2023年四川省达州市宣汉县中考数学一模试卷+

2023年四川省达州市宣汉县中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  年月日，神舟十三号飞船脱离天宫空间站后成功返回地面，总共飞行里程约公里．数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列计算结果正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列立体图形中，俯视图是三角形的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，直线、相交于点，若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  六位同学的年龄分别是、、、、、岁，关于这组数据，正确说法是(    )

A. 平均数是 B. 中位数是 C. 方差是 D. 众数是

7.  我国古代数学名著九章算术记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊三，直金十二两．问牛、羊各直金几何？”题目大意是：头牛、只羊共两银子；头牛、只羊共两银子，每头牛、每只羊各多少两银子？设头牛两银子，只羊两银子，则可列方程组为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，菱形对角线交点与坐标原点重合，点，则点的坐标是(    )

 

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在中，，的平分线交于点，，交于点，于点，，，则下列结论错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知关于的方程的两实数根为，，若，则的值为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

11.  为外一点，与相切于点，，，则长为(    )

A.  B.  C.  D.

12.   如图，在边长为的正方形中，点是边上的点，且，过点作的垂线交正方形外角的平分线于点，交边于点，连接交边于点，则的长为(    )
 

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

13.  分解因式：______．

14.  计算： ______ ．

15.  如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点，，作直线，交于点，连接，则的度数为______．

16.  如图，和是以点为位似中心的位似图形．若：：，则与的周长比是______．

17.  如图，菱形的对角线与相交于点，，，则菱形的周长是______．

18.  如图，已知点，，直线经过点试探究：直线与线段有交点时的变化情况，猜想的取值范围是______．

三、计算题（本大题共2小题，共16.0分）

19.  ．

20.  解方程：．

四、解答题（本大题共6小题，共62.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21.  本小题分
先化简，再求值：，其中为满足的整数．

22.  本小题分
如图，是线段的中点，，求证：≌．

23.  本小题分
去年，我国南方菜地一处山坡上一座输电铁塔因受雪灾影响，被冰雪从处压折，塔尖恰好落在坡面上的点处，造成局部地区供电中断，为尽快抢通供电线路，专业维修人员迅速奔赴现场进行处理，在处测得与水平线的夹角为，塔基所在斜坡与水平线的夹角为，、两点间的距离为米，求压折前该输电铁塔的高度结果保留根号．

 

24.  本小题分
如图，反比例函数的图象与过点，的直线交于点和．
求直线和反比例函数的解析式；
已知点，直线与反比例函数图象在第一象限的交点为，直接写出点的坐标，并求的面积．

25.  本小题分
如图，为的直径，点是上一点，点是外一点，，连接交于点．
求证：是的切线．
若，，求的值．
 

26.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，两点，直线与轴交于点．
求，的值；
经过点的直线分别与线段，直线交于点，，且与的面积相等，求直线的解析式；
是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段和直线上是否分别存在点，，使，，，为顶点的四边形是以为一边的矩形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
 

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为．
所以的倒数是，
故选：．
根据倒数的定义，乘积是的两个数互为倒数解答即可．
本题主要考查倒数的定义，解决本题的关键是熟记乘积是的两个数互为倒数．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
把较大的数表示成科学记数法形式：，其中，为正整数即可得出答案．
本题考查了科学记数法表示较大的数，掌握的指数比原来的整数位数小是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项符合题意；
故选：．
根据合并同类项判断选项；根据单项式除以单项式判断选项；根据同底数幂的除法判断选项；根据积的乘方判断选项．
本题考查了合并同类项，单项式除以单项式，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，掌握是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、圆锥体的俯视图是圆，故此选项不合题意；
B、三棱柱的俯视图是三角形，故此选项符合题意；
C、球的俯视图是圆，故此选项不合题意；
D、圆柱体的俯视图是圆，故此选项不合题意；
故选：．
俯视图是从物体上面看所得到的图形，据此判断得出物体的俯视图．
本题考查了几何体的三视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
 

5.【答案】 

【解析】解：，与是对顶角，
．
故选：．
根据对顶角相等可得．
本题考查了对顶角，解题的关键是熟练掌握对顶角的性质：对顶角相等．
 

6.【答案】 

【解析】解：选项，平均数岁，故该选项不符合题意；
选项，这组数据从小到大排序为：，，，，，，中位数岁，故该选项不符合题意；
选项，方差，故该选项不符合题意；
选项，出现的次数最多，众数是岁，故该选项符合题意；
故选：．
分别计算这组数据的平均数，中位数，方差，众数即可得出答案．
本题考查了算术平均数，中位数，方差，众数，掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：头牛，只羊共两银子，
；
头牛，只羊共两银子，
．
可列方程组为．
故选：．
根据“头牛、只羊共两银子；头牛、只羊共两银子”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查由实际问题抽象初二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是菱形的性质，关于原点对称的点的坐标特征，掌握菱形对角线互相平分是解题关键．
由菱形的对角线相互平分可知点与关于原点对称，从而得结论．
【解答】
解：四边形是菱形，
，即点与点关于原点对称，
点，
点的坐标是．
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：平分，，，
，，，
，
，
，
，
故选项B、C正确；
，
，故选项D正确；
故选：．
根据角平分线的性质和和勾股定理，可以求得和的长，再根据平行线的性质，即可得到的长，从而可以判断和，然后即可得到的长，即可判断；从而可得到答案．
本题考查勾股定理、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
根据方程的两实数根为，，得出与的值，再根据，即可求出的值．
【解答】
解：方程的两实数根为，，
，，
，
，
整理得：，解得：，，
方程有两个实数根，
，
整理得：，解得：，
．
故选：．
【点评】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，难度适中，掌握，是方程的两根时，，是解题关键．  

11.【答案】 

【解析】解：如图，与相切于点，
，
又，，
，
．
故选：．
根据切线的性质得到，根据含度角的直角三角形的性质得到的值，根据勾股定理即可求解．
本题考查了切线的性质，含度角的直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
根据正方形的性质、相似三角形的判定和性质，可以求得和的长，然后根据，即可求得的长．
【解答】
解：作于点，作于点，








平分，，
四边形是正方形，
，，
，，
，
，
∽，
，
正方形的边长为，，
，，
设，则，，
，
解得．
，，
，∽，
，
，，，
设，则，
，
解得，即．
，，
∽，
，
，
解得，
．
故选：．
【点评】
本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是构造辅助线，构造相似三角形进行解答．  

13.【答案】 

【解析】解：，
．
应先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解．
本题考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，分解因式要彻底，直到不能再分解为止．
 

14.【答案】 

【解析】解：．
根据幂的乘方，底数不变指数相乘计算即可．
本题考查幂的乘方的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键，要注意符号．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，
，
由作图可知，垂直平分线段，
，
，
，
故答案为：．
根据，求出，即可．
本题考查作图基本作图，三角形内角和定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

16.【答案】： 

【解析】解：和是以点为位似中心的位似图形．
和的位似比为：，
：：，
：：，
与的周长比是：．
故答案为：：．
先根据位似的性质得到和的位似比为：，再利用比例性质得到：：，然后利用相似比等于位似比和相似三角形的性质求解．
本题考查了位似变换．位似变换的两个图形相似．相似比等于位似比．
 

17.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，，，
，，，，
，
，
菱形的周长，
故答案为：．
由菱形的性质得，，，，再由勾股定理求出，即可解决问题．
此题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出的长是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：当直线经过点，时，
，
；
当直线经过点，，时，
，
．
直线与线段有交点时，猜想的取值范围是：．
故答案为：．
利用临界法求得直线和的解析式即可得出结论．
本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标的特征，利用待定系数法求出临界值是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式
． 

【解析】分别利用特殊角的三角函数值，算术平方根的定义及负整数指数的定义运算，然后合并即可求解．
本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、二次根式、特殊角的三角函数值等知识点的运算．
 

20.【答案】解：将原方程左边分解因式，得
，
 或，
 ，． 

【解析】

【分析】
先将原方程左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出两个一元一次方程的解即可．
【点评】
本题考查了解一元二次方程因式分解法，把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．  

21.【答案】解：
，
为满足的整数
，，
可以取和
当时，原式
．
当时，原式
． 

【解析】先算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
 

22.【答案】证明：点为线段的中点，
，
，
，
，
，
在与中，
，
≌． 

【解析】根据判定定理直接判定两个三角形全等．
本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
 

23.【答案】解：由已知可得，
，米，，，
，
米，
米，
，，
，
米，
米，
米，
答：压折前该输电铁塔的高度是米． 

【解析】根据锐角三角函数和勾股定理，可以分别求得、和长，然后将它们相加，即可得到压折前该输电铁塔的高度．
本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，求出、和长．
 

24.【答案】解：设反比例函数解析式为，直线解析式为，
反比例函数的图象过点，
，
把点，代入得，
解得，
直线为，反比例函数的解析式为；
解得或，
，
设直线为，
把，代入得，
解得，
直线为，
由得或，
，
． 

【解析】根据待定系数法求得即可；
解析式联立，解方程组求得的坐标，然后根据待定系数法求得直线的解析式，再与反比例函数解析式联立，解方程组即可求得的坐标，然后根据正方形的面积减去三个直角三角形的面积即可求得的面积．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键．
 

25.【答案】证明：连接，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
为的半径，
是的切线；
解：过点作于点．
，
可设，，则，
，
，
，
三角形中位线定理，
，
． 

【解析】本题考查切线的判定，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
连接，证明即可；
过点作于点由，可以假设，，则，用表示出，，可得结论．
 

26.【答案】解：把，分别代入，得：
解得：
即的值为，的值为；
设直线的解析式为：，
则
解得：
直线的解析式为：，
设直线的解析式为：，
当时，，
．
令，得，
点的横坐标为．
与的面积相等，，
，
，
，
，舍去，
直线的解析式为：；
存在．
由得：，，
抛物线的解析式为，
设，，，，为顶点的四边形是以为一边的矩形有两种情况：
如图，过点作轴于点，

四边形是矩形，
，，
，
，
在与中，
≌，
，
，．
，
，
，即，
解得：舍去，，
当时，，
；
如图，过点作轴于点，过点作轴于点，

同可得：，，
，
，
，
，即，
解得：，舍去，
当时，，
．
综上可知，在线段和直线上分别存在点，，使，，，为顶点的四边形是以为一边的矩形，且点的坐标为或． 

【解析】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的相关性质，一次函数的相关性质，矩形的性质和判定，三角形全等的性质和判定，锐角三角函数的定义，解一元二次方程等知识，第三问有难度，正确作辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
把，代入中列方程组求解即可；
利用待定系数法可得直线的解析式，再设直线的解析式为：，可求得点的坐标，点是直线和的交点，列方程可得点的横坐标，根据与的面积相等列方程解答即可；
设，分两种情况，作辅助线构建直角三角形，利用等角的三角函数相等列方程可解答．