2022-2023学年湖北省十堰市竹溪县思源实验九年一贯制学校第一教联体八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年湖北省十堰市竹溪县思源实验九年一贯制学校第一教联体八年级（下）期中数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年湖北省十堰市竹溪县思源实验九年一贯制学校第一教联体八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分。）
1．下面式子是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（　　）
A． B． C．﹣ D．
3．直角三角形中，两条直角边的边长分别为6和8，则斜边上的中线长是（　　）
A．10 B．8 C．6 D．5
4．若＝x﹣5，则x的取值范围是（　　）
A．x＜5 B．x≤5 C．x≥5 D．x＞5
5．如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝140°，则∠B的度数是（　　）

A．40° B．70° C．110° D．140°
6．下列命题错误的是（　　）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．一条对角线平分一组对角的四边形是菱形
D．对角线互相垂直的矩形是正方形
7．直角三角形的两边长为5和12，则第三边的长为（　　）
A．13 B．13或 C． D．无法确定
8．若，且ab＜0，则a﹣b＝（　　）
A．7 B．13 C．﹣7 D．﹣13
9．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，BE＝12，则EF的长是（　　）

A．7 B．8 C．7 D．7
10．如图，在菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，E为AB的中点，且DE⊥AB，AC＝6，则菱形ABCD的面积是（　　）

A．18 B．18 C．9 D．6
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分。）
11．（3+）（3﹣）＝　 　．
12．最简二次根式与能合并，则a的值为　 　．
13．如图，在菱形ABCD中，点P是对角线AC上的一点，PE⊥AB于点E．若PE＝3，则点P到AD的距离为　 　．

14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长为 　 　．

15．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，对角线AC、BD相交于点O，AE垂直平分BO于点E，则AD的长为　 　．

16．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是　 　．

三、解答题（本大题共9小题，共72分。）
17．计算题：
（1）+﹣；
（2）．
18．先化简，再求值，其中a＝，b＝．
19．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且a，b，c满足（a﹣3）2++|c﹣5|＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由．
20．已知某开发区有一块四边形的空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠B＝90°，AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，AD＝13m，若每平方米草皮需要200元，问要投入多少元？

21．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，点O是△ABC内部任意一点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．
求证：四边形DGFE是平行四边形．

22．折叠矩形ABCD的一边AD，点D落在BC边上的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，
求：（1）求CF的长；
（2）求EC的长．

23．如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）已知∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分线，若AD＝4，求DC的长．

24．如图，已知正方形ABCD的边长为，连接AC、BD交于点O，CE平分∠ACD交BD于点E，
（1）求DE的长；
（2）过点E作EF⊥CE，交AB于点F，求BF的长；


25．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，且A（4，0），点B在y轴上，且B（0，4）．
（1）求线段AB的长；
（2）若点E在线段AB上，OE⊥OF，且OE＝OF，求AE+AF的值；
（3）在（2）的条件下，过点O作OM⊥EF，交AB于点M，试证明：AM2+BE2＝EM2．



参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。）
1．下面式子是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接利用二次根式定义分析得出答案．
解：A、a是整式，不合题意；
B、是三次根式，不合题意；
C、无意义，不合题意；
D、，∵1+a2＞0，∴是二次根式，符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握二次根式的定义是解题关键．
2．下列计算正确的是（　　）
A． B． C．﹣ D．
【分析】直接利用二次根式的性质分别化简，进而判断得出答案．
解：A．（）2＝3，故此选项符合题意；
B．＝3，故此选项不合题意；
C．﹣＝﹣3，故此选项不合题意；
D．（﹣）2＝3，故此选项不合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘除法以及二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
3．直角三角形中，两条直角边的边长分别为6和8，则斜边上的中线长是（　　）
A．10 B．8 C．6 D．5
【分析】利用勾股定理求出斜边的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
解：两条直角边的边长分别为6和8，
根据勾股定理得，斜边＝＝10，
所以，斜边上的中线的长＝×10＝5．
故选：D．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，是基础题，熟练掌握性质是解题的关键．
4．若＝x﹣5，则x的取值范围是（　　）
A．x＜5 B．x≤5 C．x≥5 D．x＞5
【分析】因为＝﹣a（a≤0），由此性质求得答案即可．
解：∵＝x﹣5，
∴5﹣x≤0
∴x≥5．
故选：C．
【点评】此题考查二次根式的运算方法：＝a（a≥0），＝﹣a（a≤0）．
5．如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝140°，则∠B的度数是（　　）

A．40° B．70° C．110° D．140°
【分析】根据平行四边形的性质，邻角互补，即可得出答案．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝140°，
∴∠B＝40°，
故选：A．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，灵活的应用平行四边形的性质是解决问题的关键．
6．下列命题错误的是（　　）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．一条对角线平分一组对角的四边形是菱形
D．对角线互相垂直的矩形是正方形
【分析】利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定定理分别判断后即可确定正确的选项．
解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形是正确的，不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形是正确的，不符合题意；
C、一条对角线平分一组对角的四边形不一定是菱形，原来的说法错误，符合题意；
D、对角线互相垂直的矩形是正方形是正确的，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定定理，难度不大．
7．直角三角形的两边长为5和12，则第三边的长为（　　）
A．13 B．13或 C． D．无法确定
【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边12既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即12是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
解：设第三边为x，
（1）若12是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得：
122+52＝x2，
∴x＝13；
（2）若12是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得：
52+x2＝122，
∴x＝；
∴第三边的长为13或．
故选：B．
【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．
8．若，且ab＜0，则a﹣b＝（　　）
A．7 B．13 C．﹣7 D．﹣13
【分析】利用平方根的定义求出a与b的值，即可确定出a﹣b的值．
解：∵＝|a|＝3，＝2，ab＜0，
∴a＝﹣3，b＝4，
则a﹣b＝﹣3﹣4＝﹣7．
故选：C．
【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．
9．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，BE＝12，则EF的长是（　　）

A．7 B．8 C．7 D．7
【分析】12和5为两条直角边长时，求出小正方形的边长7，即可利用勾股定理得出EF的值．
解：∵AE＝5，BE＝12，即12和5为两条直角边长时，
小正方形的边长＝12﹣5＝7，
∴EF＝；
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理、正方形的性质；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．
10．如图，在菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，E为AB的中点，且DE⊥AB，AC＝6，则菱形ABCD的面积是（　　）

A．18 B．18 C．9 D．6
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD＝BD，再根据菱形的四条边都相等可得AB＝AD，然后求出AB＝AD＝BD，从而得到△ABD是等边三角形，再根据菱形的对角线互相平分求出AO，再根据直角三角形30度角的性质得OB的长，则得对角线BD的长，根据菱形面积公式：两条对角线乘积一半可得结论．
解：∵E为AB的中点，DE⊥AB，
∴AD＝DB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∴AD＝DB＝AB，
∴△ABD为等边三角形．
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC于O，AO＝AC＝×6＝3，
Rt△AOB中，∠OAB＝30°，
∴OB＝，
∴BD＝2OB＝2，
∴菱形ABCD的面积＝＝＝6，
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，熟记各性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分。）
11．（3+）（3﹣）＝　7　．
【分析】利用平方差公式计算．
解：原式＝32﹣（）2
＝9﹣2
＝7．
故答案为7．
【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
12．最简二次根式与能合并，则a的值为　1　．
【分析】根据最简二次根式的定义得到1+a＝4﹣2a，然后解方程即可．
解：根据题意得1+a＝4﹣2a，
解得a＝1．
故答案为1．
【点评】本题考查了同类二次根式：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
13．如图，在菱形ABCD中，点P是对角线AC上的一点，PE⊥AB于点E．若PE＝3，则点P到AD的距离为　3　．

【分析】作PF⊥AD于D，如图，根据菱形的性质得AC平分∠BAD，然后根据角平分线的性质得PF＝PE＝3．
解：作PF⊥AD于D，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC平分∠BAD，
∵PE⊥AB，PF⊥AD，
∴PF＝PE＝3，
即点P到AD的距离为3．
故答案为：3．

【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了菱形的性质．
14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长为 　3.5　．

【分析】由菱形的四边相等求出边长，再根据对角线互相垂直得出∠AOD＝90°，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，
∵AB+BC+CD+DA＝28，
∴AD＝7，
∵E为AD边中点，
∴OE＝AD＝3.5；
故答案为：3.5．
【点评】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解决问题的关键．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，对角线AC、BD相交于点O，AE垂直平分BO于点E，则AD的长为　6　．

【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA＝AB＝OB＝6，得出BD＝2OB＝6，由勾股定理求出AD即可．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵AE垂直平分OB，
∴AB＝AO，
∴OA＝AB＝OB＝6，
∴BD＝2OB＝12，
∴AD＝＝6，
故答案为：6．

【点评】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
16．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是　10　．

【分析】由正方形性质的得出B、D关于AC对称，根据两点之间线段最短可知，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小，进而利用勾股定理求出即可．
解：如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小．
∵四边形ABCD是正方形，
∴B、D关于AC对称，
∴PB＝PD，
∴PB+PE＝PD+PE＝DE．
∵BE＝2，AE＝3BE，
∴AE＝6，AB＝8，
∴DE＝＝10，
故PB+PE的最小值是10．
故答案为：10．

【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，解此题通常是利用两点之间，线段最短的性质得出．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。）
17．计算题：
（1）+﹣；
（2）．
【分析】（1）先化简，再进行加减运算即可；
（2）先算乘法，除法，化简，再算加减即可．
解：（1）+﹣
＝
＝；
（2）
＝
＝．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
18．先化简，再求值，其中a＝，b＝．
【分析】本题的关键是正确进行分式的通分、约分，并准确代值计算．
解：＝；
因为a＝，b＝；
所以原式＝．
【点评】本题所考查的内容“分式的运算”是数与式的核心内容，全面考查了有理数、整式、分式运算等多个知识点，要合理寻求简单运算途径的能力及分式运算．尤其要注意的是最后结果要分母有理化．
19．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且a，b，c满足（a﹣3）2++|c﹣5|＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【分析】利用绝对值以及偶次方的性质和二次根式的性质得出a，b，c的值进而求出即可．
解：△ABC是直角三角形，理由：
由题意a＝3，b＝4．c＝5，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形．
【点评】此题主要考查了勾股定理的逆定理及非负数的性质，根据题意得出a，b，c的值是解题关键．
20．已知某开发区有一块四边形的空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠B＝90°，AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，AD＝13m，若每平方米草皮需要200元，问要投入多少元？

【分析】连接AC，在Rt△ABC中，可求得AC的长，由AC、CD、AD的长度关系可得△DBC为一直角三角形，AD为斜边；由此看，四边形ABCD由Rt△ABC和Rt△ACD构成，则容易求解．
解：连接AC，
在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2＝32+42＝52，
在△CBD中，CD2＝132，BC2＝122，
而122+52＝132，
即AC2+CD2＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
S四边形ABCD＝S△BAC+S△ACD＝AB•BC+AC•CD
＝×3×4+×5×12
＝36．
所以需费用36×200＝7200（元）．

【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理，得出△ACD是直角三角形是解题关键．
21．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，点O是△ABC内部任意一点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．
求证：四边形DGFE是平行四边形．

【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC且DE＝BC，GF∥BC且GF＝BC，从而得到DE∥GF，DE＝GF，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可
【解答】证明：∵D、E分别是AB、AC边的中点，
∴DE∥BC，且DE＝BC，
同理，GF∥BC，且GF＝BC，
∴DE∥GF且DE＝GF，
四边形DGFE是平行四边形．
【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，菱形的判定以及平行四边形与菱形的关系，熟记的定理和性质是解题的关键．
22．折叠矩形ABCD的一边AD，点D落在BC边上的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，
求：（1）求CF的长；
（2）求EC的长．

【分析】（1）设CE＝xcm，EF＝（8﹣x）cm，先在Rt△ABF中利用勾股定理即可求得BF的长，进一步得到CF的长；
（2）在Rt△ECF中利用勾股定理即可求得EC的长．
解：（1）设CE＝xcm，EF＝（8﹣x）cm，
在Rt△ABF中，BF＝＝6cm，
CF＝10﹣6＝4cm．
故CF的长为4cm；
（2）在Rt△ECF中，EF2＝CE2+CF2，即（8﹣x）2＝x2+42，
解得x＝3．
故EC的长为3cm．
【点评】本题考查折叠变换和学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系．
23．如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）已知∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分线，若AD＝4，求DC的长．

【分析】（1）由题意可证四边形DFBE是平行四边形，且DE⊥AB，可得结论；
（2）方法一根据含30度角的直角三角形的边角关系可求DE的长度，则可得BF的长度，即可求AB的长度；
方法二可以利用含30度角的直角三角形的边角关系AE＝2，然后根据平行四边形及角平分线定义可得∠AFD＝∠DAF，所以DA＝DF＝4，进而可以解决问题．
【解答】（1）证明∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC＝AB，
∵CF＝AE，
∴DF＝BE且DC∥AB，
∴四边形DFBE是平行四边形，
又∵DE⊥AB，
∴四边形DFBE是矩形；
（2）解：方法一：
∵∠DAB＝60°，AD＝4，DE⊥AB，
∴AE＝2，DE＝AE＝2，
∵四边形DFBE是矩形，
∴BF＝DE＝2，
∵AF平分∠DAB，
∴∠FAB＝∠DAB＝30°，且BF⊥AB，
∴DC＝AB＝BF＝6．
方法二：
∵∠DAB＝60°，AD＝4，DE⊥AB，
∴AE＝2，
∵AB∥DC，
∴∠AFD＝∠BAF，
∵AF平分∠DAB，
∴∠DAF＝∠BAF，
∴∠AFD＝∠DAF，
∴DA＝DF＝4，
又DF＝BE＝4，
∴DC＝AB＝AE+BE＝6．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，运用含30度角的直角三角形是解本题的关键．
24．如图，已知正方形ABCD的边长为，连接AC、BD交于点O，CE平分∠ACD交BD于点E，
（1）求DE的长；
（2）过点E作EF⊥CE，交AB于点F，求BF的长；


【分析】（1）求出BC＝BE，根据勾股定理求出BD，即可求出DE；
（2）求出△FEB≌△ECD，根据全等三角形的性质得出BF＝DE即可．
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∠DBC＝∠BCA＝∠ACD＝45°，
∵CE平分∠DCA，
∴∠ACE＝∠DCE＝∠ACD＝22.5°，
∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝45°+22.5°＝67.5°，
∵∠DBC＝45°，
∴∠BEC＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°＝∠BCE，
∴BE＝BC＝，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD＝，
∴DE＝BD﹣BE＝2﹣；
（2）∵FE⊥CE，

∴∠CEF＝90°，
∴∠FEB＝∠CEF﹣∠CEB＝90°﹣67.5°＝22.5°＝∠DCE，
在△BEF和△DCE中，

∴△FEB≌△ECD（ASA），
∴BF＝DE＝2﹣．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键，题目比较好，难度偏大．
25．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，且A（4，0），点B在y轴上，且B（0，4）．
（1）求线段AB的长；
（2）若点E在线段AB上，OE⊥OF，且OE＝OF，求AE+AF的值；
（3）在（2）的条件下，过点O作OM⊥EF，交AB于点M，试证明：AM2+BE2＝EM2．

【分析】（1）根据AB＝即可解决．
（2）先证明△BOE≌△AOF得AF＝BE，所以AE+AF＝AE+BE＝AB即可解决．
（3）结论：FM2＝AM2+AF2．只要证明ME＝MF，AF＝BE，在RT△AMF中利用勾股定理即可证明．
解：（1）在Rt△ABO中，
∵AO＝OB＝4，
∴AB＝＝＝4．

（2）∵∠BOA＝∠EOF＝90°，
∴∠BOE＝∠AOF，
在△BOE和△AOF中，
，
∴△BOE≌△AOF（SAS），
∴AF＝BE，
∴AE+AF＝AE+EB＝AB＝4．

（3）结论：FM2＝AM2+AF2，理由如下：
连接FM．∵OE＝OF，OM⊥EF，

∴OM垂直平分EF，
∴ME＝MF，
∵OA＝OB，∠AOB＝90°，
∴∠OBA＝∠OAB＝45°
由（1）可知△BOE≌△AOF，
∴BE＝AF，∠OBE＝∠OAF＝45°，
∴∠MAF＝∠OAF+∠OAB＝90°，
∴FM2＝AM2+AF2，
∴EM2＝BE2+AM2．
【点评】本题考查等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题关键是寻找全等三角形，属于中考常考题型．