河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试理数试题

2017-2018学年度第二学期高三年级十六模考试

理数试卷

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知是虚数单位，则复数集合的实部和虚部分别是（   ）

A．，         B．，       C．，       D．，

2.已知集合，，则（   ）

A．         B．       C．       D．

3.已知随机变量服从正态分布，且，，等于（   ）

A．         B．       C．        D．

4.下列有关命题的说法正确的是（   ）

A．命题“若，则”的否命题为“若，则”        

B．命题“若，则，互为相反数”的逆命题是真命题      

C．命题“，使得”的否定是“，都有”        

D．命题“若，则”的逆否命题为真命题

5.已知满足，则（   ）

A．         B．       C.         D．

6.某几何体的三视图如图所示，三个视图中的正方形的边长均为，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的体积为（   ）

A．         B．       C.         D．

7.已知函数，现将的图形向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则在上的值域为（   ）

A．         B．       C.         D．

8.我国古代著名《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举，这个伟大创举与我国古老的算法——“辗转相除法”实质一样.如图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入，，输出的（   ）

A．         B．       C.         D．

9.已知实数，满足约束条件若不等式恒成立，则实数的最大值为（   ）

A．         B．       C.         D．

10.已知函数，，若对任意的，总有恒成立，记的最小值为，则最大值为（   ）

A．         B．       C.         D．

11.设双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于两点，，若，且是的一个四等分点，则双曲线的离心率是（   ）

A．         B．       C.         D．

12.已知偶函数满足，且当时，，关于的不等式在区间上有且只有个整数解，则实数的取值范围是（   ）

A．         B．       C.         D．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.已知平面向量，，，且，若为平面单位向量，则的最大值为          ．

14.二项式展开式中的常数项是          ．

15.已知点是抛物线：（）上一点，为坐标原点，若，是以点为圆心，的长为半径的圆与抛物线的两个公共点，且为等边三角形，则的值是          ．

16.已知在直三棱柱中，，，，若棱在正视图的投影面内，且与投影面所成角为（），设正视图的面积为，侧视图的面积为，当变化时，的最大值是          ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.已知等差数列的前（）项和为，数列是等比数列，，，，.

（1）求数列和的通项公式；

（2）若，设数列的前项和为，求.

18. 如图，在底面是菱形的四棱锥中，平面，，，点、分别为、的中点，设直线与平面交于点.

（1）已知平面平面，求证：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

19.作为加班拍档、创业伴侣、春运神器，曾几何时，方便面是我们生活中重要的“朋友”，然而这种景象却在近年出现了戏剧性的逆转.统计显示.2011年之前,方便面销量在中国连续年保持两位数增长,2013年的年销量更是创下亿包的辉煌战绩；但2013年以来,方便面销量却连续3年下跌,只剩亿包,具体如下表.相较于方便面,网络订餐成为大家更加青睐的消费选择.近年来,网络订餐市场规模的“井喷式”增长，也充分反映了人们消费方式的变化.

全国方便面销量情况（单位“亿包/桶）（数据来源：世界方便面协会）

(1)根据上表，求关于的线性回归方程.用所求回归方程预测2017 年()方便面在中国的年销量；

(2)方便面销量遭遇滑铁卢受到哪些因素影响? 中国的消费业态发生了怎样的转变? 某媒体记者随机对身边的位朋友做了一次调查,其中位受访者表示超过年未吃过方便面,位受访者认为方便面是健康食品；而位受访者有过网络订餐的经历，现从这人中抽取人进行深度访谈，记表示随机抽取的人认为方便面是健康食品的人数，求随机变量的分布列及数学期望.

参考公式：回归方程：，其中，.

参考数据：.

20.如图，设抛物线（）的准线与轴交于椭圆：（）的右焦点，为的左焦点，椭圆的离心率为，抛物线与椭圆交于轴上方一点，连接并延长其交于点，为上一动点，且在，之间移动.

（1）当取最小值时，求和的方程；

（2）若的边长恰好时三个连续的自然数，当面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线的方程.

21.已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴垂直.

（1）求的单调区间；

（2）设，对任意，证明：.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线的参数方程为（为参数）.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求的普通方程和的直角坐标方程；

（2）若过点的直线与交于，两点，与交于，两点，求的取值范围.

23.选修4-5：不等式选讲

已知，

（1）解不等式；

（2）若方程有三个解，求实数的取值范围.

参考答案及解析

一、选择题

1-5:ACBBA       6-10:DAAAC      11、12：BD

二、填空题

13.          14.           15.           16.

三、解答题

17.解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，

∵，，，，

∴

∴，，

∴，

（2）由（1）知

∴

∴

18.解：（1）∵，平面，平面

∴平面，

∵平面，平面平面，

∴.

（2）∵底面是菱形，为的中点，，

∴，，，

∴，

∵平面，则以点为原点，直线、分别为轴建立如图所示空间直角坐标系.

则，，，，

∴，，，，，

设平面的法向量为，

得.

设，则，，

则

解得，

∴，

设直线与平面所成角为，

则

∴直线与平面所成角的正弦值为

19.解：（1），，

，，，

所以

当时，

（2）依题意，人中认为方便面是健康食品的有人，的可能值为，，，，

所以；；；，

.

20.解：（1）因为，，

则，

所以取最小时值时，

此时抛物线：，此时，，

所以椭圆的方程为.

（2）因为，，则，，

设椭圆，，

由得，

所以或（舍去），代入抛物线方程得，即，

于是，，，

又的边长恰好是三个连续的自然数，

所以，此时抛物线方程为，，，

则直线的方程为，

联立得或（舍去）

于是

所以，

设（）到直线的距离为，

则

当时，，

所以的面积最大值为，：.

21.解：（1）因为（），

由已知得，所以，

所以，

设，

则在上恒成立，

即在上单调递减，

由知，当时，，从而，当时，，从而.

综上可知，的单调递增区间是，单调递减区间是，

（2）因为，要证原式成立即证成立.

当时，由（1）知成立；

当时，，且由（1）知，，所以.

设，，

则，

当时，

当时，，

所以当时，取得最大值，

所以，

即当时，，①

综上所述，对任意，恒成立，

令（），则恒成立，所以在上单调递增，恒成立，即，

即.②

当时，有；

当时，由①②式，.

综上所述，当时，成立，故原不等式成立.

22.解：（1）曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为.

（2）设直线的参数方程为（为参数），

又直线与曲线存在两个交点，因此.

联立直线与曲线：，

可得，

则，

联立直线与曲线：，可得.

则，即

23.解：（1）不等式，即为.

当时，即化为，得，

此时不等式的解集为，

当时，即化为，解得，

此时不等式的解集为.

综上，不等式的解集为.

（2）

即.

作出函数的图象如图所示，

当直线与函数的图象有三个公共点时，方程有三个解，所以.

所以实数的取值范围是.