河北省衡水中学2018届高三第十七次模拟考试数学（文）试题

2017~2018学年度高三年级十七模考试

数学试卷(文)

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：（每小题5分,共60分.下列每小题所给选项只有一个项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）

1. 设集合,集合,则集合（  ）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】分析：解指数不等式可得集合A，求出函数的定义域可得集合B，然后再求出即可．

详解：由题意得，

，

∴，

∴．

故选C．

点睛：本题考查指数函数单调性的应用，对数函数的定义域及集合的运算，考查学生的运算能力及应用所学知识解决问题的能力，属基础题．

2. 已知复数 (为虚数单位),若复数的共轭复数的虚部为, 则复数在复平面内对应的点位于（  ）

A. 第一象限    B. 第二象限    C. 第三象限    D. 第四象限

【答案】A

【解析】分析：先化简复数，根据的共轭复数的虚部为求出复数，再根据复数的几何意义确定复数在复平面内对应的点的位置．

详解：由题意得，

∴ ，

又复数的共轭复数的虚部为，

∴，解得．

∴，

∴复数在复平面内对应的点位于第一象限．

故选A．

点睛：本题以复数的运算为基础，考查复数的基本概念和复数的几何意义，解题的关键是根据复数的共轭复数的虚部为求得实数，由此得到复数，然后再根据复数对应的点的坐标确定其所在的象限．

3. 若,,，的平均数为3，方差为4,且,，则新数据, 的平均数和标准差分别为（  ）

A. -4   -4    B. -4    16    C. 2     8    D. -2     4

【答案】D

【解析】分析：根据样本的平均数、方差的定义计算即可．

详解：∵,,，的平均数为3，方差为4，

∴，

．

又，

∴，

，

∴新数据, 的平均数和标准差分别为．

故选D．

点睛：与平均数和方差有关的结论

（1）若x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为；

（2）数据x1，x2，…，xn与数据x′1＝x1＋a，x′2＝x2＋a，…，x′n＝xn＋a的方差相等，即数据经过平移后方差不变；

（3）若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2．

4. 已知双曲线的左焦点为抛物线的焦点，双曲线的渐近线方程为,则实数（  ）

A. 3    B.     C.     D.

【答案】C

【解析】抛物线的焦点坐标为，则双曲线中，

由双曲线的标准方程可得其渐近线方程为，则：

，求解关于实数a,b的方程可得：.

本题选择C选项.

5. 运行如图所示程序,则输出的的值为（  ）

A.     B.     C. 45    D.

【答案】B

【解析】程序是计算,记,,两式相加得.故,故选.

6. 已知，，则的值为（  ）

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】分析：根据同角三角函数关系由求得，于是可得，然后再根据两角和的余弦公式求解即可．

详解：∵，，

∴，

∴，

．

∴．

故选A．

点睛：本题属于给值求值的问题，考查同角三角函数关系、倍角公式、两角和的余弦公式的运用，考查学生的计算能力和公式变形能力．

7. 如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为（  ）

A. 6    B. 9    C. 12    D. 18

【答案】B

【解析】由题设中提供的三视图可以看出这是一个底面边长为2的正方形高为1的四棱柱与一个底面是边长为4的等腰直角三角形高为1的三棱柱的组合体，其体积，应选答案C 。

8. 已知,点在线段上,且的最小值为1,则 ()的最小值为（  ）

A.     B.     C. 2    D.

【答案】B

【解析】分析：由可得点O在线段的垂直平分线上，由结合题意可得当C是的中点时最小，由此可得与的夹角为，故的夹角为．然后根据数量积可求得，于是可得所求．

详解：∵，

∴点O在线段的垂直平分线上．

∵点在线段上,且的最小值为1，

∴当C是的中点时最小，此时，

∴与的夹角为，

∴的夹角为．

又

，当且仅当时等号成立．

∴的最小值为3，

∴的最小值为．

故选B．

点睛：求解平面向量最值或范围问题的常见方法

(1)利用不等式求最值，解题时要灵活运用不等式．

(2)利用函数思想求最值，常利用“平方技巧”找到向量的模的表达式，然后利用函数思想求最值，有时也常与三角函数知识结合求最值．

(3)利用数形结合思想求最值，利用平面向量“形”的特征，挖掘向量的模所表示的几何意义，从图形上观察分析出模的最值．

9. 函数的图像大致是（  ）

A.     B.

C.     D.

【答案】A

【解析】分析：先判断函数为奇函数，可排除选项C；然后求导可得函数在上单调递增，可排除B和D，从而可得答案．

详解：由题意可得，

∵，

∴函数为奇函数，其图象关于原点对称，

∴排除选项C．

又，

∴当时，单调递增，

∴排除选项B和D．

故选A．

点睛：已知函数的解析式判断函数的图象时，可从以下几个方面考虑：

 (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；

(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．

10. 若抛物线的焦点是,准线是,点是抛物线上一点，则经过点、且与相切的圆共（  ）

A. 0个    B. 1个    C. 2个    D. 4个

【答案】D

【解析】分析：由于圆经过点、且与相切，故圆心在线段的垂直平分线上，且圆心到点和准线的距离相等，故圆心在抛物线上．结合条件可得满足条件的点有两个，且每条线段的垂直平分线与抛物线都有两个交点，故可得圆心有4个．

详解：因为点在抛物线上，

所以可求得．

由于圆经过焦点且与准线l相切，

所以由抛物线的定义知圆心在抛物线上．

又圆经过抛物线上的点M，

所以圆心在线段FM的垂直平分线上，

故圆心是线段FM的垂直平分线与抛物线的交点．

结合图形知对于点M(4,4)和(4,−4)，线段FM的垂直平分线与抛物线都各有两个交点．

所以满足条件的圆有4个．

故选D．

点睛：解答本题要抓住两点：一是圆心在线段FM的垂直平分线上，二是圆心到焦点和准线的距离相等，结合抛物线的定义可得圆心应在抛物线上，故可得圆心的个数取决于点M的个数，且每条线段FM的垂直平分线与抛物线都各有两个交点．

11. 设函数.若,且，则的取值范围为（  ）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】分析：采用取特殊值的方法求解，画出函数的图象，根据图象找到使得且的的值，并由此得到所求的范围．

详解：（特殊值法）画出的图象如图所示．

结合图象可得，当时，；当时， ，满足．

由此可得当,且时，．

故选B．

点睛：本题考查三角函数图象的画法和图象的应用，考查学生运用数形结合解决问题的能力，有一定难度．解题的关键值确定满足条件的临界位置，并在此基础上得到满足条件的最小值，然后将此结论推广可得所求的范围．

12. 对于函数和，设;,若所有的,，都有，则称和互为“零点相邻函数”.与互为“零点相邻函数”,则实数的取值范围是（  ）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】试题分析：根据题意，，满足与互为“零点相邻函数”，，又因为函数图像恒过定点，要想函数在区间上有零点，需，解得，故选D．

考点：新定义，函数零点问题．

第Ⅱ卷（非选择题90分）

二、填空题（每题5分，共20分，把每小题的答案填在答卷纸的相应位置）

13. 若数列是等差数列，对于，则数列也是等差数列.类比上述性质,若数列是各项都为正数的等比数列,对于时，数列也是等比数列，则

【答案】

【解析】试题分析：等差数列中的和类别为等比数列中的乘积，是各项的算术平均数，类比等比数列中是各项的几何平均数，因此

考点：归纳类比

点评：类比题目要通过比较给定的已知条件与所要类比的结论之间的相似点，通过相似点找到其满足的性质

14. 函数的图象在点处的切线方程是,则__________．

【答案】

【解析】 由导数的几何意义可知，又，所以.

15. 已知是区间上的任意实数,直线与不等式组表示的平面区域总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为__________．

【答案】

详解：由题意直线直线的方程即为，

∴直线的斜率为，且过定点．

画出不等式组表示的可行域如图所示．

由解得，故点，此时．

当时，直线的方程为，即，

由解得，故点，如图所示．

结合图形可得要使直线与不等式组表示的平面区域总有公共点，只需满足．

∴直线的斜率

∴直线的倾斜角的取值范围为．

点睛：本题考查不等式组表示的平面区域的画法，考查数形结合在解题中的应用以及学生运用所学知识解决问题的能力．解答本题的关键是对题意的正确理解和准确画出图形．

16. 设锐角三个内角所对的边分别为,若,则的取值范围为__________．

【答案】

【解析】分析：由题意得，然后根据正弦定理得，结合为锐角三角形可得，于是可得的取值范围．

详解：由及余弦定理得，

∴，

∴．

又为锐角三角形，

∴．

由正弦定理得，

∴．

由得，

∴，

∴．

∴的取值范围为．

点睛：解答本题时容易出现的错误是忽视“为锐角三角形”这一条件，导致角的取值范围增大而出现错误的结果．

三、解答题（共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 已知数列为公差不为0的等差数列，，且,，成等差数列

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：

(1)由题意可得数列的公差为，则数列的通项公式是；

(2)结合(1)中求得的通项公式裂项求和可得数列的前项和.

试题解析：

（1）设数列的公差为

由，且，，成等差数列，得，

即，

得，

得，解得或（舍去）.

所以数列的通项公式为.

（2）因为，

所以

.

点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．

18. 在测试中,客观题难题的计算公式为,其中为第题的难度，为答对该题的人数，为参加测试的总人数.现对某校高三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题.测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：

测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示(“√”表示答对,“×”表示答错)：

（1）根据题中数据，将抽样的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表，并估计这120名学生中第5题的实测答对人数；

（2）从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率；

（3）定义统计量，其中为第题的实测难度，为第题的预估难度().规定：若，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理.判断本次测试的难度预估是否合理.

【答案】（1）；（2）；（3）是合理的.

（Ⅱ）根据古典概型计算得到;

（Ⅲ）根据方差计算公式求解即可.

试题解析：

（Ⅰ）每道题实测的答对人数及相应的实测难度如下表：

所以，估计120人中有人答对第5题．

（Ⅱ）记编号为的学生为，从这5人中随机抽取2人，不同的抽取方法有10种．

其中恰好有1人答对第5题的抽取方法为，，，，，，共6种．

所以，从抽样的10名学生中随机抽取2名答对至少4道题的学生，恰好有1人答对第5题的概率为．

（Ⅲ）为抽样的10名学生中第题的实测难度，用作为这120名学生第题的实测难度． ．

因为 ，所以，该次测试的难度预估是合理的．

19. 四棱锥中，面，底面是菱形，且，，过点作直线，为直线上一动点.

（1）求证：；

（2）当面面时，求三棱锥的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】分析：（1）由平面得，又在菱形中有，故得平面，于是得到．（2）结合题意可得平面，故．根据面面得到，然后根据几何图形的计算得到，于是，，又，由此可得所求的三棱锥的体积．

详解：（1）∵，

∴直线确定一平面.

∵平面，平面，

∴．

由题意知直线在面上的射影为，

又在菱形中有，，

∴平面，

∵平面，

∴.

（2）由题意得和都是以为底的等腰三角形，设和的交点为，

连接、，则，，

又,

∴平面．

又平面面，平面 面，

∴面，

∴.

在菱形中，，，

∴.

在中，．

在中，设，则．

∴在中，，

又在直角梯形中，，

故，

解得，即.

∴，

∴.

点睛：（1）用空间中的线面关系的有关定理证明时，要注意解题的规范性，对于定理中的关键词语在证题过程中要体现出来．

（2）在求解一些不规则的几何体的体积时，常常需要用到分割法，将不规则的几何体的体积转化为规则的几何体的体积来求解．

20. 设点、的坐标分别为,直线相交于点,且它们的斜率之积是.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）直线与曲线相交于两点，若是否存在实数，使得的面积为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）；（2）不存在.

【解析】试题分析：（1）根据题意，得，整理得的轨迹为；（2）联立，化为：，，得到韦达定理，求出弦长，再求出到直线的距离，写出面积方程，解出，但此时直线方程过、，这两点由（1）知是取不到的，所以不存在。

试题解析：

（1）设点的坐标为，因为点的坐标是，所以直线的斜率

同理，直线的斜率

所以化简得点的轨迹方程为

（2）设联立，化为：，

，∴，∴

点到直线的距离∴ ，解得：，解得，因为当时直线过点，当时直线过点，因此不存在实数，使得的面积为.

21. 已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，函数的图象恒不在轴的上方，求实数的取值范围.

【答案】（1）当时，增区间为，当时，递增区间为，减区间为；（2）.

【解析】分析：（1）求导可得，分和两种情况讨论可得函数的单调区间．（2）由题意得，且在上恒成立，，令，则，然后再根据的范围分类讨论可得所求范围．

详解：（1）∵，

∴．

①当时，则，所以在上单调递增；

②当时，则由得，由得，

所以在上单调递增，在上单调递减．

综上，当时，的单调递增区间为；

当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）由题意得，

∵当时，函数的图象恒不在轴的上方，

∴在上恒成立．

设，

则.

令，

则，

①若，则，故在上单调递增，

∴，

∴在上单调递增，

∴，

从而，不符合题意．

②若，当时，，在上单调递增，

∴，

∴在上单调递增，

∴,

从而在上，不符合题意；

③若，则在上恒成立，

∴在上单调递减，

∴，

∴在上单调递减，

∴，

从而恒成立．

综上可得实数的取值范围是.

点睛：（1）涉及含参数的单调性或单调区间的问题，要弄清参数对导数在某一区间内的符号是否有影响．若有影响，则必须分类讨论．

（2）利用函数的导数研究不等式的恒成立问题是一类重要的题型，其实质是求函数的最值问题，它体现了导数的工具性作用．将函数、不等式紧密结合起来，考查综合解决问题的能力，多为高考中较难的题目．

请考生在22、23两题中任选一题作答，并在相应题号前的方框中涂黑.

选修4-4：坐标系与参数方程

22. 在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为 (为参数，).

（1）当时，若曲线上存在两点关于点成中心对称，求直线的斜率；

（2）在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，极坐标方程为的直线与曲线相交于两点,若，求实数的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】分析：（1）将参数方程消去参数得到曲线的普通方程为，由曲线上存在两点关于点成中心对称可得，求得，于是得．（2）将曲线C的参数方程消去参数可得，根据圆的弦长公式可得，即为所求．

详解：（1）当时，曲线的参数方程为(为参数)，

消去参数得，

∴圆心的坐标为．

∵曲线上存在两点关于点成中心对称，

∴，

又，

∴直线的斜率．

（2）由 (为参数，)消去参数得曲线的普通方程为，

∴圆心的坐标为，半径为．

又直线的极坐标方程可化为，

故其直角坐标方程为，

又，

∴，

解得．

∴实数的值为．

点睛：本题考查参数方程与普通方程间的转化，并在此基础上考查圆中的对称问题和根据圆的弦长求参数等问题，主要考查学生用所学知识解决问题的能力和转化能力．

选修4-5：不等式选讲

23. 已知函数，.

（1）解不等式；

（2）设，求证：.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】分析：（1）由题意得原不等式即为，然后利用分类讨论解不等式即可．（2）根据绝对值的三角不等式证明即可．

详解：（1）由题意得原不等式为，等价于

或或，

解得或或，

综上可得．

∴原不等式的解集为．

（2）

，

当且仅当时等号成立．

点睛：解绝对值不等式的关键是去掉绝对值，要注意分类讨论思想的运用．对于含有一个绝对值号的不等式，可根据绝对值的几何意义求解；含有两个绝对值号的不等式，一般利用分类讨论求解．