2023年广东省湛江市霞山区启明学校中考数学一模试卷（含解析）

2023年广东省湛江市霞山区启明学校中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列四个实数中，最大的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  党的十八大以来，以习近平同志为核心的党中央重视技能人才的培育与发展．据报道，截至年底，我国高技能人才超过人，将数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列图形是轴对称图形而不是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  一组数据、、、、的平均数是，则这组数据的中位数是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  把二次函数配方成顶点式为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知中，，，，，则的值是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图是用纸板制作了一个圆锥模型，它的底面半径为，高为，则这个圆锥的侧面积是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：；；；一元二次方程没有实数根其中正确的结论个数是(    )

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

10.  如图，正方形的边长是，，连接，交于点，并分别与边，交于点，，连接，下列结论：；；；当时，，其中正确的结论是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）

11.  计算： ______ ．

12.  已知，则______．

13.  将二次函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的新图象函数的表达式为______ ．

14.  如图，在中，、分别为，的中点．若，则          ．

 

15.  如图，、、三点在正方形网格线的交点处，若将绕着点逆时针旋转得到，使点落在射线上，则的值为______．

16.  若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是        ．

17.  如图，菱形的一在轴的正半轴上，是坐标原点，，反比例函数的图象经过点，与交于点，则的面积为______．

三、解答题（本大题共8小题，共62.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
计算：．

19.  本小题分
先化简再求值：，其中．

20.  本小题分
为了传承中华优秀传统文化，某校组织了一次八年级名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中若干名学生的成绩作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：

请根据所给信息，解答下列问题：
______，______；
请补全频数分布直方图；
这次比赛成绩的中位数会落在______分数段；
若成绩在分以上包括分的为“优”等，则该年级参加这次比赛的名学生中成绩“优”等的约有多少人？

21.  本小题分
某中学开学初在商场购进，两种品牌的足球，购买品牌足球花费了元，购买品牌足球花费了元，且购买品牌足球数量是购买品牌足球数量的倍已知购买一个品牌足球比购买一个品牌足球多花元．
求购买一个品牌、一个品牌的足球各需多少元？
该中学响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进、两种品牌足球共个，恰逢商场对两种品牌足球的售价进行调整，品牌足球售价比第一次购买时提高了，品牌足球按第一次购买时售价的九折出售如果该中学此次购买、两种品牌足球的总费用不超过元，那么该中学此次最多可购买多少个品牌足球？

22.  本小题分
某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点处有生命迹象，已知废墟一侧地面上两探测点，相距米，探测线与地面的夹角分别是和如图，试确定生命所在点的深度．结果保留根号
 

23.  本小题分
直线与轴交于点，与轴交于点，并与双曲线交于点．
求直线与双曲线的解析式．
连接，求的正弦值．
若点在轴的正半轴上，是否存在以点、、构成的三角形与相似？若存在求出点的坐标，若不存在，请说明理由．

24.  本小题分
如图，在中，，的角平分线交于．
动手操作：利用尺规作，使经过点、，且圆心在上；并标出与的另一个交点保留作图痕迹，不写作法；
综合应用：在你所作的图中，
判断直线与的位置关系，并说明理由；
若，，求线段、与劣弧所围成的图形面积结果保留根号和．

25.  本小题分
已知，抛物线经过、、三点，点是抛物线上一点．
求抛物线的解析式；
当点位于第四象限时，连接，，，若，求直线的解析式；
如图，当点位于第二象限时，过点作直线，分别交轴于，两点，请问的值是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
最大的数是，
故选：．
根据负数小于，正数大于即可得出答案．
本题考查了实数大小比较，算术平方根，掌握，是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；
D.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度与自身重合．
 

4.【答案】 

【解析】解：，此选项计算错误；
B.，此选项计算错误；
C.，此选项计算正确；
D.，此选项计算错误；
故选：．
利用合并同类项法则、单项式乘多项式法则逐一判断即可．
本题主要考查整式的加减，整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
 

5.【答案】 

【解析】解：数据、、、、的平均数是，
，
解得，
所以这组数据为、、、、，
所以这组数据的中位数为，
故选：．
先根据算术平均数的定义列方程求出的值，再将这组数据从小到大重新排列，利用中位数的定义可得答案．
本题主要考查中位数和算术平均数，解题的关键是掌握算术平均数和中位数的定义．
 

6.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
由于二次项系数是，直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
本题考查了二次函数解析式的三种形式：
一般式：、、为常数；
顶点式：；
交点式与轴：
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
，，．
，
，
．
故选：．
根据，可得，再根据，，，进而可选出答案．
此题主要考查了平行线分线段成比例定理，关键是掌握平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例．
 

8.【答案】 

【解析】解：锥的母线长，
所以这个圆锥的侧面积．
故选：．
先利用勾股定理计算出母线长，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 

9.【答案】 

【解析】解：抛物线与轴的一个交点在点和之间，而抛物线的对称轴为直线，
抛物线与轴的另一个交点在点和之间．
当时，，
即，所以正确；
抛物线与轴有两个交点，则，所以正确；
抛物线的对称轴为直线，即，，，所以正确；
抛物线与直线有一个公共点，
由图象可得，抛物线与直线有两个公共点，
一元二次方程有两个实数根，所以错误．
故选：．
利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点在点和之间，则当时，，于是可对进行判断；根据二次函数与轴有两个交点，则可对进行判断；利用抛物线的对称轴为直线，即，则可对进行判断；由于抛物线与直线有一个公共点，则抛物线与直线有一个公共点，于是可对进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据图象求方程的根的情况，掌握二次函数图象与性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，
，
，
，故正确；
，，
，
∽，
，
，
，
，
，
；故错误；
在与中，
，
≌，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，
即；故正确；
，，
，
∽，
，
，
，
∽，
，
，
，
，故错误，
故选：．
由四边形是正方形，得到，，根据全等三角形的性质得到，根据余角的性质得到；故正确；根据相似三角形的性质得到，由，得到；故错误；根据全等三角形的性质得到，，于是得到，即；故正确；根据相似三角形的性质得到，求得，，，由三角函数的定义即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角函数的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式

．
故答案为：．
直接利用特殊角的三角函数值分别代入，进而计算得出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
设，，
，
故答案为：．
利用设法，进行计算即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握设法是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由“左加右减，上加下减”知：将抛物线的图象向左平移个单位，再向上平移个单位则新的抛物线函数解析式为，即．
故答案为：．
根据函数图象“左加右减，上加下减”可得答案．
本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理；熟练掌握三角形中位线定理，证明三角形相似是解决问题的关键．
证明是的中位线，得出，且，证出∽，根据面积比等于相似比平方求出与的面积比，继而可得出的面积与四边形的面积比．最后求出结论．
【解答】
解：，分别是边，的中点，
是的中位线，
，且，
∽，
，
，
．
故答案为：．  

15.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质和锐角三角函数关系，得出是解题关键．利用勾股定理逆定理得出是直角三角形以及锐角三角函数关系进而得出即可．
【解答】
解：如图所示：连接，，
由网格利用勾股定理得：，，，
，
是直角三角形，
则，
，
故答案为．  

16.【答案】且 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
且．
故答案为：且．
根据一元二次方程的定义和根的判别式进行求解即可．
本题主要考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．
 

17.【答案】 

【解析】解：作交于，于，
，
设，，
，，
，，
由勾股定理得：，
，
四边形为菱形，
，，
，
，
同理，
，
，
；
故答案为：．
易证，再根据的值即可求得菱形的边长，即可求得点的坐标，可得菱形的面积和结论．
本题考查了菱形的性质，反比例函数的性质，三角函数的定义，考查了菱形面积的计算，本题中求得是解题的关键．
 

18.【答案】解：


． 

【解析】利用绝对值的定义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂计算．
本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握绝对值的定义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂．
 

19.【答案】解：当时，
原式

 

【解析】根据分式的运算法则即可求出答案．
本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
 

20.【答案】；；

；
；
该年级参加这次比赛的名学生中成绩“优”等的人数约是：人．
答：约有人． 

【解析】解：抽取的总人数是人，
，；
故答案是：，；
见答案；
中位数会落段，故答案是：；
见答案．
根据第一组的人数是，对应的频率是即可求得总人数，然后根据频率的公式即可求得；
根据即可补全直方图；
根据中位数的定义即可判断；
利用总人数乘以对应的频率即可求得．
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
 

21.【答案】解：设一个品牌的足球需元，则一个品牌的足球需元，由题意得：
，
解得：，
经检验是原方程的解，
，
答：一个品牌的足球需元，则一个品牌的足球需元．
设此次可购买个品牌足球，则购进牌足球个，由题意得，
，
解得，
是整数，
最大等于，
答：该中学此次最多可购买个品牌足球． 

【解析】设一个品牌的足球需元，则一个品牌的足球需元，根据购买品牌足球数量是购买品牌足球数量的倍列出方程解答即可；
设此次可购买个品牌足球，则购进牌足球个，根据购买、两种品牌足球的总费用不超过元，列出不等式解决问题．
此题考查一元一次不等式与分式方程的应用，找出题目蕴含的等量关系与不等关系是解决问题的关键．
 

22.【答案】解：如图，过点作交的延长线于点．

探测线与地面的夹角为和，
，
根据三角形外角的性质，得，
即，
米，
在中，米．
答：生命所在点的深度约为米． 

【解析】

【分析】
本题主要考查解直角三角形的应用俯角问题，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
过点作交的延长线于点．根据题意推出米，在中，利用锐角三角函数计算即可得出答案．  

23.【答案】解：直线与轴交于点，
把点代入得：，
直线的解析式是：；
直线也过点，
把点代入得到：
，
 把将点代入得：，
双曲线的解析式是：；

过点作于点，
点经过轴，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
，
在中，
，
在中，
；

存在；
过点作轴，垂足为点，
则，，
则，
，
，
，
，
∽或∽，
或，
或，
或，
点，
点的坐标是或． 

【解析】把点的坐标代入，求出的值，得出直线的解析式；把点代入得到的值，求出点的坐标，再把将点代入中，求出的值，从而得出双曲线的解析式；
先过点作于点，根据点经过轴，求出点的坐标，根据勾股定理求出的值，根据，得出是等腰三角形，求出的度数，再在中，根据正弦定理求出的值，从而得出的正弦值．
先过点作轴，垂足为点，根据，，求出的值，根据，求出的值，再根据，得出，从而得出∽或∽，最后根据或，再代入求出的长，即可得出答案．
此题考查了反比例函数的综合，用到的知识点是勾股定理、相似三角形的判断与性质，特殊角的三角函数值，关键是根据题意作出辅助线，求出线段的长度．
 

24.【答案】解：如图；

如图，连接，
，
，
的角平分线交边于，
，
，
，
，
，
，
即直线与的切线，
直线与的位置关系为相切；

如图，设的半径为，则，又，
在中，
，
即，
解得，，
，
，
，
线段、与劣弧所围成的图形面积为： 

【解析】根据题意得：点应该是垂直平分线与的交点；
由的角平分线交边于，与圆的性质可证得，又由，则问题得证；
设的半径为则在中，利用勾股定理列出关于的方程，通过解方程即可求得的值；然后根据扇形面积公式和三角形面积的计算可以求得“线段、与劣弧所围成的图形面积为：”．
此题主要考查了切线的判定与性质以及扇形面积与三角形面积的求解方法等知识，注意数形结合思想的应用是解答此题的关键．
 

25.【答案】解：将、、代入，
，
，
；
过点作交于点，过点作轴交于点，
、，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为；
的值是为定值，理由如下：
设，
设直线的解析式为，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
，
，
，
，
，
的值是为定值． 

【解析】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，用待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键．
将、、代入，即可求解；
过点作交于点，过点作轴交于点，由题意可得，求出，再由，求出点，求直线的解析式即为所求；
设，分别由待定系数法求出直线的解析式，直线的解析式，就能求出和的长，即可求解．