2022-2023学年黑龙江省哈尔滨113中七年级（下）期中数学试卷（五四学制）（含解析）

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨113中七年级（下）期中数学试卷（五四学制）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列方程中是二元一次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若，则下列各式中一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如所示的四个图形中，线段是的高的图形是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  将不等式组的解集表示在数轴上，下列正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性，这样做蕴含的道理是(    )

A. 两点之间线段最短
B. 三角形具有稳定性
C. 经过两点有且只有一条直线
D. 垂线段最短

6.  一个三角形的两边长分别是和，且第三边长为整数，则第三边的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  一个多边形的内角和的度数是外角和的倍，则这个多边形是(    )

A. 三角形 B. 四边形 C. 六边形 D. 八边形

8.  如图，在中，于点，于点，，交于点，
≌，若，，则的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图所示的网格是由个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  下面说法中正确的个数有(    )
全等三角形的周长和面积一定相等；
由三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形；
如果的三个内角满足，那么一定是直角三角形；
任意的多边形的外角和都等于；
如果一个三角形只有一条高在三角形的内部，那么这个三角形一定是钝角三角形；
已知，，，能够判定≌；

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

11.  已知二元一次方程，用含的代数式表示，则 ______ ．

12.  如果关于、的方程是二元一次方程，那么 ______ ．

13.  若等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长是______．

14.  不等式的正整数解有______个．

15.  已知是方程组的解，则 ______ ．

16.  如图，≌，且，，则 ______ 度

17.  如果一元一次不等式组的解集为，则的取值范围是______ ．

18.  把一批书分给小朋友，每人本，则余本；每人本，则最后一个小朋友分到了书，但不足本，这批书有______ 本

19.  中，是边上的高，，，则 ______ 度．

20.  如图，点和点是中和边上的两点，将沿翻折，使点的对应点恰好落在射线上，与相交于点，若，，则的度数为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21.  本小题分
解下列二元一次方程组：

 

22.  本小题分
解下列不等式组，并把它们的解集表示在数轴上．
；
．

23.  本小题分
如图，在的正方形网格中的每个小正方形边长都是，线段交点称做格点任意连接这些格点，可得到一些线段按要求画图：
请画出的高；
请连接格点，用一条线段将图中分成面积相等的两部分；
直接写出的面积是______ ．

24.  本小题分
如图，、是的角平分线，与相交于点．
如图，求证：；
如图，延长至，的角平分线交射线于点，若，求的度数．
 

25.  本小题分
某商场销售、两种商品，售出件种商品和件种商品所得利润为元；售出件种商品和件种商品所得利润为元．
求每件种商品和每件种商品售出后所得利润分别为多少元；
由于需求量大，、两种商品很快售完，该商场决定将一次购进、两种商品共件，如果将这件商品全部售完后所得利润不低于元，那么该商场至少需购进多少件种商品？

26.  本小题分
如图，是中边上的高，点是上一点，连接交于点，．
求证：；
若，求证：；
如图，在的条件下，延长至点，连接，，若，求线段的长注：不能应用等腰三角形的相关性质和判定
 

27.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，且，满足方程组，点在轴的正半轴，的面积为．
求点坐标；
点为的中点，点为轴正半轴上一点，连接并延长至点，使，作直线交轴于点，设点的横坐标为，线段的长度，请用含有的代数式表示，并直接写出自变量的取值范围；
在的条件下，点为轴正半轴上一点，连接，，是否存在点，使得和全等，如果存在，请求出的面积，如果不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是一元一次方程，故此选项不合题意；
B、不是整式方程，故此选项不合题意；
C、是二元一次方程，故此选项符合题意；
D、是二元二次方程，故此选项不合题意；
故选：．
二元一次方程满足的条件：含有个未知数，未知数的项的次数是的整式方程．
此题主要考查了二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有个未知数，未知数的项的次数是的整式方程．
 

2.【答案】 

【解析】解：如果，那么，根据等式性质得出，若小于等于不成立，故此选项错误；
B.如果，那么，根据等式性质得出，故此选项错误；
C.如果，那么，根据等式性质得出，故此选项正确；
D.如果，那么，根据等式性质得出，不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．故此选项错误；
故选：．
根据不等式的基本性质分别进行分析即可．
此题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质：不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变．不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

3.【答案】 

【解析】解：、图形中，线段不是的高，不符合题意；
B、图形中，线段不是的高，不符合题意；
C、图形中，线段不是的高，不符合题意；
D、图形中，线段是的高，符合题意；
故选：．
根据三角形的高的概念判断即可．
本题考查的是三角形的高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
 

4.【答案】 

【解析】解：不等式组的解集为无解，
在数轴上表示为：

故选：．
先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．
本题考查了解不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能正确在数轴上表示出不等式组的解集是解此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性，这样做的道理是三角形具有稳定性，
故选：．
根据三角形具有稳定性解答即可．
此题主要考查了三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中．
 

6.【答案】 

【解析】解：设第三边为，根据三角形的三边关系，得：，即．
为整数，
的最大值为．
故选：．
根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得第三边长的最大值．
本题考查了三角形的三边关系，求不等式组整数解，关键知道三角形的任何一边大于其他两边之差，小于两边之和，满足此关系的可组成三角形．
 

7.【答案】 

【解析】解：设这个多边形是边形，根据题意，得
，
解得：．
即这个多边形为六边形．
故选：．
多边形的外角和是，则内角和是设这个多边形是边形，内角和是，这样就得到一个关于的方程组，从而求出边数的值，从而求解．
本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．
 

8.【答案】 

【解析】解：≌，
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据全等三角形的性质得出，求出长，再根据三角形的面积公式求出面积即可．
本题考查了全等三角形的性质和三角形的面积，能根据全等三角形的性质求出是解此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图所示，

，，，
≌，
，
，
在正方形中，是对角线，
，
，
故选：．
如图所示见详解，证明可得，，在正方形中，是对角线，由此即可求解．
本题主要考查格点三角形的知识，掌握格点三角形中顶点与边的关系，证明三角形全等，根据全等三角形的性质，角平分线的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：全等三角形的周长和面积一定相等，故正确；
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，故不正确；
如果的三个内角满足，那么一定是直角三角形，故正确；
任意的多边形的外角和都等于，故正确；
如果一个三角形只有一条高在三角形的内部，那么这个三角形是钝角三角形或直角三角形，故不正确；
已知，，，不能够判定≌，故不正确；
所以，上面说法中正确的个数有个，
故选：．
根据全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的定义，多边形的外角和，逐一判断即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，多边形的内角与外角，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：二元一次方程，
得：．
故答案为：．
把看做已知数表示出即可．
本题考查了解二元一次方程，解题的关键是将看做已知数表示出．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据二元一次方程的定义，得：
且，
解得．
故答案为：．
根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面确定的取值．
本题考查二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：方程中只含有个未知数；含未知数项的最高次数为一次；方程是整式方程．
 

13.【答案】 

【解析】解：当是腰时，，不符合三角形三边关系，故舍去；
当是腰时，周长．
故它的周长为．
故答案为：．
题中没有指出哪个底哪个是腰，故应该分情况进行分析，注意应用三角形三边关系进行验证能否组成三角形．
此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的运用；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
故不等式的正整数解为，，，，有个．
故答案为：．
先根据不等式的基本性质求出不等式的解集，再求出不等式的正整数解即可
本题考查了解一元一次不等式，不等式的整数解的应用，解此题的关键是能根据不等式的性质求出不等式的解集，难度适中．
 

15.【答案】 

【解析】解：是方程组的解，
，
，可得，
解得，
把代入，可得，
解得，
原方程组的解是，
．
故答案为：．
首先根据题意，可得，然后应用加减消元法，求出方程组的解，再把、的值相加即可．
此题主要考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用．
 

16.【答案】 

【解析】解：≌，，
，
，
．
故答案为：．
根据全等三角形对应角相等可得，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
本题考查了全等三角形性质，熟知全等三角形的对应角相等是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：，
由得，，
由得，，
一元一次不等式组的解集为，
，
故答案为：．
根据一元一次不等式组解集的确定的口诀“同大取大”即可得出答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：设共有个小朋友，则这批书共有本，
依题意，得：，
解得：．
又为正整数，
，
．
故答案为：．
设共有个小朋友，则这批书共有本，根据“每人本，则最后一个小朋友分到了书，但不足本”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为正整数即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
 

19.【答案】或 

【解析】解：如图，当在内部时，
；

如图，当在外部时，
；

故答案为：或．
根据的不同位置，分两种情况进行讨论：在内部，在外部，分别进行画图计算即可．
本题主要考查了三角形的内角和定理，解决问题的关键是掌握三角形的内角和等于，解题时注意分类思想的运用．
 

20.【答案】 

【解析】解：由翻折可得：，，．
设，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
由翻折得出三组角相等，设未知数，，，再利用三角形外角知识和已知条件得出，进一步得出，然后利用三角形内角和和外角知识得出，把两个式子组合在一起，得出的值，就是的度数．
本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角等知识，有一定的难度．
 

21.【答案】解：，
得：，
将代入得：，
，
方程组的解为；
原方程组化为，
得：，
，
将代入，
，
，
方程组的解为 

【解析】根据二元一次方程组的加减消元法即可求出答案；
根据二元一次方程组的加减消元法即可求出答案；
本题考查二元一次方程组，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法，本题属于基础题型．
 

22.【答案】解：，
，
，
．
，
解集表示在数轴上为：
；

，
解不等式，得，
解不等式，得，
所以不等式组的解集是，
解集表示在数轴上为：
． 

【解析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为可得；
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：的高如图所示．

如图线段将分成面积相等的两部分．

．
故答案为．
过点画的垂线段即可，的高如图所示．
取的中点，如图线段将分成面积相等的两部分．
根据计算即可．
本题考查作图与应用设计、三角形的高、面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

24.【答案】证明：平分，平分，
，，



；
解：平分，平分，
，，
，
，
又，
，
即，
当时，，
答：． 

【解析】根据角平分线的定义，三角形内角和定理即可得出结论；
根据角平分线的定义，三角形的外角的性质以及等量代换即可得出即可．
本题考查角平分线，三角形内角和定理，掌握三角形内角和是以及角平分线的定义是正确解答的前提．
 

25.【答案】解：设售出每件种商品所得利润为元，售出每件种商品所得利润为元，
依题意，得：，
解得：．
答：售出每件种商品所得利润为元，售出每件种商品所得利润为元．
设购进件种商品，则购进件种商品，
依题意，得：，
解得：．
为整数，
的最小值为．
答：该商场至少需购进件种商品． 

【解析】设售出每件种商品所得利润为元，售出每件种商品所得利润为元，根据“售出件种商品和件种商品所得利润为元；售出件种商品和件种商品所得利润为元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购进件种商品，则购进件种商品，根据总利润售出每件商品的利润销售数量结合总利润高于元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

26.【答案】证明：是中边上的高，
，
，
，
，
，
即：．
证明：由知：，，
，，
，
又，
，
即：，
，
即：，
，
，
在和中，
，
≌，
．
解：是中边上的高，
，
，，
，
，
，
即：，
，
由知：，
，
，
过点作交的延长线于点，

则，
由知：，
，
，
由知：，
即：，
在和中，
，
≌，
，
由知：≌，
，
，
，
，
 即：，
，
． 

【解析】首先根据高的意义得出，，再结合已知条件可得到，据此得出结论；
首先根据高的意义及的结论可得出，然后再结合已知条件可得出，据此可证明和全等，进而可得出结论；
首先根据四边形的面积的面积面积可得出，过点作交的延长线于点，再证和全等，从而得，由可知，据此可得，然后根据可求出的长，进而可得出的长．
此题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积计算公式等，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法与技巧，理解全等三角形的性质，难点是在解答时，过点作交的延长线于点，从而构成全等三角形．
 

27.【答案】解：，
，
，
，
，
；
当点在线段上时，，

为的中点，
，
又，，
≌，
，
，
，
，
当点在线段的延长线上时，，

，
同理可得．
综上所述或；
当点在上，如图，若≌，则，，

≌，
，
，
，，
，
，
，
；
如图，当点在上，轴时，≌，

，
，
，
解得，
．
当点在的延长线上时，不存在满足题意的点；
综上所述，存以点使得和全等，的面积为或． 

【解析】求出，根据三角形面积可求出，则可得出答案；
分两种情况，当点在线段上时，，证明≌，由全等三角形的性质得出，则可得出答案；当点在线段的延长线上时，，，同理可得出答案；
由全等三角形的性质及三角形面积公式可得出答案．
本题是三角形的综合题，考查了二元一次方程组，全等三角形的判定与性质，三角形面积等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度．