湖南省部分学校2023届高三下学期5月联考数学试卷（含答案）

湖南省部分学校2023届高三下学期5月联考数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知集合，，则(   )

A.  B.

C.  D.

2、复数的实部与虚部之和为(   )

A.-4 B.-1 C.1 D.4

3、已知某班共有学生46人，该班语文老师为了了解学生每天阅读课外书籍的时长情况，决定利用随机数表法从全班学生中抽取10人进行调查。将46名学生按进行编号。现提供随机数表的第7行至第9行：

若从表中第7行第41列开始向右依次读取2个数据，每行结束后,下一行依然向右读数，则得到的第8个样本编号是(   )

A.07 B.12 C.39 D.44

4、在等比数列中，，则“”是“数列的公比为”的(   )

A.充分不必要条件  B.必要不充分条件

C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

5、已知椭圆的左、右顶点分别是A，B，O是坐标原点，P在椭圆C上,且则的面积是(   )

A. B.4 C. D.8

6、某社区计划在一块空地上种植花卉，已知这块空地是面积为1800平方米的矩形ABCD，为了方便居民观赏。在这块空地中间修了如图所示的三条宽度为2米的人行通道，则种植花卉区域的面积的最大值是(   )

A.1208平方米 B.1448平方米 C.1568平方米 D.1698平方米

7、已知函数在上恰有3个零点，则的取值范围是(   )

A. B. C. D.

8、已知，，则(   )

A. B. C. D.

二、多项选择题

9、已知向量，，则(   )

A.  B.

C.与a同向的单位向量是 D.向量a在b上的投影向量是

10、已知直线与圆,则(   )

A.直线l与圆C一定相交

B.直线l过定点

C.圆心C到直线距离的最大值是

D.使得圆心C到直线l的距离为2的直线l有2条

11、在三棱锥中，平面ABC，，，且，则下列结论正确的是(   )

A.若，则三棱锥的体积是

B.若，则三棱锥的内切球半径是

C.若，则三棱锥的内切球的球心到点A的距离是

D.当三棱锥的体积取得最大值时，该三棱锥外接球的体积是

12、已知定义在R上的函数和的导函数分别是和，若，，且是奇函数,则下列结论正确的是(   )

A.  B.的图象关于点对称

C.  D.

三、填空题

13、已知函数，若是偶函数，则a=___________

14、已知某生产线生产的某种零件的合格率是，该零件是合格品，则每件可获利10元，该零件不是合格品，则每件亏损15元，若某销售商销售该零件10000件，则该销售商获利的期望为___________万元.

15、宋代是中国瓷器的黄金时代,涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑。其中汝窑被认为是五大名窑之首。如左图，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如右图所示，已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是8厘米，高是14厘米，且上、下两圆台的高之比是，则该汝窑双耳罐的侧面___________积是平方厘米.

16、已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线E的右支交于点M，O为坐标原点，过点O作，垂足为N，若，则双曲线E的离心率是___________

四、解答题

17、民族要复兴、乡村要振兴。合作社助力乡村产业振兴，农民专业合作社已成为新型农业经营主体和现代农业建设的中坚力量，为实施乡村振兴战略作出了巨大的贡献。已知某主要从事手工编织品的农民专业合作社共有100名编织工人，该农民专业合作社为了鼓励工人，决定对“编织巧手”进行奖励，为研究“编织巧手”是否与年龄有关，现从所有编织工人中抽取40周岁以上(含40周岁)的工人24名，40周岁以下的工人16名，得到的数据如表所示.

（1）请完成答题卡上的列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析“编织巧手”与“年龄”是否有关；

（2）为进一步提高编织效率，培养更多的“编织巧手”，该农民专业合作社决定从上表中的非“编织巧手”的工人中采用分层抽样的方法抽取6人参加技能培训，再从这6人中随机抽取2人分享心得，求这2人中恰有1人的年龄在40周岁以下的概率。

参考公式：

，其中。

参考数据：

18、在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且。

(1)求的值;

(2)若，，D是线段AC上的一点，求BD的最小值。

19、在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答。

问题：设数列的前n项和为，，且

(1)求；

(2)若，求数列的前项和。

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。

20、如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，四边形ABCD是梯形，，，E，F分别是棱BC，PA的中点。

（1）/平面PCD

（2）若，求直线EF与平面PAD所成角的正弦值.

21、已知直线轴，垂足为x轴负半轴上的点E，点E关于原点O的对称点为F，且，直线，垂足为A，线段AF的垂直平分线与直线交于点B，记点B的轨迹为曲线C。

（1）求曲线C的方程；

（2）已知点，不过点P的直线l与曲线C交于M，N两点，以线段MN为直径的圆恒过点P，点P关于x轴的对称点为Q，若的面积是，求直线l的斜率。

22、已知函数，

（1）讨论的单调性;

（2）已知是的导函数，若对任意的，都有，求a的取值范围.

参考答案

1、答案：B

解析：由题意可得，，则

2、答案：C

解析：因为，所以复数z的实部与虚部分别是，，则复数z的实部与虚部之和为。

3、答案：D

解析：由题意可知得到的样本编号依次为，则得到的第8个样本编号是44。

4、答案：B

解析：由，，得，则；由，，得。故“”是“数列的公比为”的必要不充分条件。

5、答案：A

解析：设，则，解得，故的面积是。

6、答案：C

解析：设米，则种植花㚏区域的面积。因为，所以，当且仅当时，等号成立，则1568，即当米，米时，种植花㚏区域的面积取得最大值,最大值是1568平方米。

7、答案：A

解析：由题意可得，因为，所以，则，解得。

8、答案：D

解析：设，则，从而在R上单调递增，故，即。设，则，从而在上单调递增，故，即。综上，。

9、答案：ABD

解析：由题意可得，则A正确；

因为，，所以，所以，则B正确；

与a同向的单位向量是，则C错误；

向量a在b上的投影向量是，则D正确。

10、答案：AB

解析：由题意可知直线l过定点，圆心C的坐标为，半径为3，则点A在圆C内，从而直线l与圆C一定相交，故A,B正确；

设圆心C到直线l的距离为d，则，则C错误；

因为圆心C到直线的距离为2，而直线l的斜率一定存在，所以使得圆心C到直线l的距离为2的直线l有且仅有1条，则D错误。

11、答案：AD

解析：由，得，则三棱锥的体积是，故A正确；

设三棱锥的内切球半径为r，则，解得，从而三棱锥的内切球的球心到点的距离，故BC错误.

设，则，故三棱锥的体积，设，则，由，得，由，得，则在上单调递增，在上单调递减，从而，即三棱锥的体积的最大值是，此时，即，，因为平面ABC，，所以三棱锥外接球的半径，则三棱锥外接球的体积为，故D正确.

12、答案：ABD

解析：因为是奇函数，所以，因为，所以，所以，则A正确；

因为，所以，所以，所以，则的图象关于点对称，则B正确；

因为，所以，所以（c为常数)，所以(c为常数)，因为，所以。令，得，所以，则，因为是奇函数，所以，所以，所以，所以,所以，即是周期为4的周期函数，因为，所以，所以，所以，即是周期为4的周期函数，因为，所以，,，所以，，，则，，故，，即C错误，D正确。

13、答案：-4

解析：由题意可得，因为是偶函数，所以，解得。

14、答案：8.75

解析：由题意可得该销售商销售每件零件获利的期望是元，则该销售商销售该零件10000件，获利的期望为元，即8.75万元。

15、答案：

解析：

如图，作，垂足为G，作，垂足为H，由题意可得，，，则，，由题意可知，则，，从而，，故该汝窑双耳罐的侧面积为平方厘米.

16、答案：

解析：由题意可知，，，则，因为，所以，所以，则，在中，由余弦定理可得，即，整理得，即，解得。

17、答案：（1）有关（2）

解析：（1）年龄在40周岁以上(含40周岁)的非“编织巧手”有5人，年龄在40周岁以下的“编织巧手”有6人.列联表如下：

零假设为：“编织巧手”与“年龄”无关联。根据列联表中的数据,经计算得到，

根据小概率值的独立性检验,我们推断不成立，即认为“编织巧手”与“年龄”有关，此推断犯错的概率不大于。

（2）由题意可得这6人中年龄在40周岁以上(含40周岁)的人数是2；年龄在40周岁以下的人数是4，

从这6人中随机抽取2人的情况有种；

其中符合条件的情况有种；

故所求概率。

18、答案：（1）（2）

解析：（1）因为，所以，所以，即，

解得。

因为，所以。

（2）由余弦定理可得，则。

设的边AC上的高为h，

因为的面积,所以，

因为B是钝角,所以当时，垂足在边AC上，即BD的最小值是。

19、答案：（1）（2）

解析：（1）选①，因为，所以，则是首项为1，公差为1的等差数列，从而，故。

选②，因为，所以，所以，则.，因为满足上式，所以。

（2）由（1）可得，

则。

20、答案：（1）证明见解析（2）

解析：（1）证明:取AD的中点H，连接EH，FH。

因为F，H分别是棱PA，AD的中点，所以。

因为平面PCD，平面PCD，所以平面PCD。

因为E，H分别是棱BC，AD的中点，所以。

因为平面PCD，平面PCD，所以平面PCD.

因为平面HEF，且，所以平面平面PCD.

因为平面HEF，所以平面PCD。

（2）

以D为坐标原点，分别以，的方向为x，y轴的正方向，垂直平面ABCD向上的方向为z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系。

设，则，。

由余弦定理可得，则，

从而，，，，

故，，。

设平面PAD的法向量为，

则，令，得。

设直线EF与平面PAD所成的角为，

则，即直线EF与平面PAD所成角的正弦值为。

21、答案：（1）（2）1或

解析：（1）由题意可得，即点B到点F的距离等于点B到直线的距离。

因为，所以的方程为，

则点B的轨迹C是以F为焦点，直线为准线的抛物线，故点B的轨迹C的方程为。

（2）由题意可知直线l的斜率不为0，则设直线，，，

联立，整理得。

则，从而，。

故。

由题意可得，则点Q到直线的距离，

故的面积.

因为以线段MN为直径的圆恒过点P，所以，

即，

因为，，所以，

所以，即，即，所以，即或。

因为直线l不经过点P，所以，所以。则

解得或。

故直线l的斜率为1或

22、答案：（1）当时，在上单调递增。在上单调递减；

当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减

（2）

解析：（1）由题意可得的定义域为，且，

令，则，。

当，即时，，在上单调递增。

当，即或时，有两个根，，若，，，则当时，，单调递增；当时，，单调递减；

若，，则当或时，，单调递增；当时，，单调递减。

综上，当时，在上单调递增。在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减。

（2）对任意的，都有等价于对任意的，都有，设，则。

若，当时，，则在上单调递减。

所以，不等式不恒成立，即不符合题意。

当时，设，则，

当时，，所以，则在上单调递增，

即在上单调递增,且，

若，则，，则存在，使得，当时，，则在上单调递减,则,不等式不恒成立，即不符合题意。

若，则，在上单调递增，故，即对任意的，不等式恒成立。

当时，，即对任意的，不等式恒成立，即符合题意。

综上，a的取值范围为。