2023届山西省部分学校高三上学期12月联考数学试题（解析版）

2023届山西省部分学校高三上学期12月联考数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先解不等式求出集合，由对数函数的定义域得集合，再利用交集的定义即可得解．

【详解】因为，，所以．

故选：C．

2．已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【分析】利用复数的除法运算求得，进而求得对应点的坐标，从而求得正确答案.

【详解】，

对应点的坐标为，在第三象限.

故选：C

3．已知p：，则p的一个必要不充分条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据必要不充分条件的定义判断求解.

【详解】对于A，由可推出，反之不行，

所以“”是“”的必要不充分条件，故A正确；

对于B，由可推出，反之不行，

所以“”是“”的充分不必要条件，故B错误；

对于C，由推不出，反之也不行，

所以“”是“”的既不充分不必要条件，故C错误；

对于D，由可推出，反之不行，

所以“”是“”的充分不必要条件，故D错误；

故选:A.

4．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据指数函数对数函数单调性,分别计算出范围比较即可.

【详解】因为，，，所以．

故选:.

5．若函数的图象在点处的切线方程为，则（    ）

A．1 B．0 C．－1 D．e

【答案】B

【分析】求导得到，再利用，求出的值.

【详解】因为，所以，故

又，所以．

故选：B

6．已知等比数列的前n项和为，若，则公比（    ）

A．3 B．2 C．4 D．－3

【答案】A

【分析】分别讨论，，结合公式法求和即可求值

【详解】当时，，．因为，所以不满足．

当时，因为，所以．因为，，所以，故．

故选：A

7．已知正三棱柱的侧棱长为，底面边长为，若该正三棱柱的外接球体积为，当最大时，该正三棱柱的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由外接球半径体积可得外接球半径，根据勾股定理，设，根据可行域可得当直线与曲线相切时最大，联立令解出的值即可.

【详解】因为正三棱柱外接球的体积为，所以，

设球心为，底面外接圆圆心为，由正三棱锥可得，底面外接圆半径，

所以由勾股定理得，

设，当直线与曲线相切时，最大，

联立方程组得，

由，得或（舍去），此时，，

所以正三棱柱的体积，

故选：B

8．已知定义在上的函数的导函数为，对任意的x满足.若，且关于x的方程有2个不同的实根，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由及，求出，将关于x的方程有2个不同的实根，转化为函数的图象与直线有两个不同的交点，画出函数的草图，结合图象列式可求出结果.

【详解】由，得，得，

所以，所以，

因为，所以，所以，所以，

所以，

当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，所以，

当时，恒成立，又，

所以的草图如图：

因为关于x的方程有2个不同的实根，所以函数的图象与直线有两个不同的交点，

由图可知，，得.

故选：B

【点睛】关键点睛：将关于x的方程有2个不同的实根，转化为函数的图象与直线有两个不同的交点，作出函数图象，利用图象求解是解题关键.

二、多选题

9．双曲线C：的离心率为，则下列选项中正确的是（    ）

A．C的渐近线方程为 B．C的渐近线方程为

C．若C的虚轴长为5，则C的焦距为 D．若C的虚轴长为5，则C的焦距为

【答案】BC

【分析】由双曲线的离心率可得，结合双曲线的简单几何性质求解判断即可.

【详解】因为双曲线C的离心率为，所以，即，所以，故C的渐近线方程为，

若C的虚轴长，则，所以，故C的焦距为．

故选：BC．

10．若，且，则（    ）

A．的最小值为 B．的最小值为

C．的最大值为 D．的最大值为

【答案】BD

【分析】利用已知条件构造，然后与相乘构造基本不等式，利用基本不等式即可判断选项和；由，结合利用基本不等式即可判断和.

【详解】由，可知，，，

当且仅当时，等号成立，的最小值为25．

又．

当且仅当时，等号成立，

所以，

故的最大值为．

故选：.

11．高斯是德国的天才数学家，享有“数学王子”的美誉，以“高斯”命名的概念、定理、公式很多，如高斯函数，其中不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作．如，，，记函数，则（    ）

A． B．的值域为

C．在上有5个零点 D．，方程有两个实根

【答案】BD

【分析】根据高斯函数的定义，结合特殊点的函数值、值域、零点、方程的根、函数图象等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】，选项A错误；

当时，，

当时，，；

当时，，

……以此类推，可得的图象如下图所示，

由图可知，的值域为，选项B正确；

由图可知，在上有6个零点，选项C错误；

，函数与的图象有两个交点，如下图所示，

即方程有两个根，选项D正确．

故选：BD

12．阿基米德不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号.抛物线上任意两点处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”.已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，抛物线在处的切线交于点，则为“阿基米德三角形”，下列结论正确的是（    ）

A．在抛物线的准线上 B．

C． D．面积的最小值为4

【答案】ACD

【分析】对A：根据题意利用导数求切线的方程，进而求交点坐标，结合韦达定理分析运算；对B：利用韦达定理可得，即可得结果；对C：分和两种情况讨论，分析运算可得，即可得结果；对D：根据题意可求面积，分析运算即可.

【详解】对A：

抛物线的焦点为，准线为.

设直线的方程为，

联立方程组得，则.

因为，所以，

故在处切线的斜率，则直线的方程为，即，

同理可得：直线的方程为，

联立方程，解得，

所以，故在抛物线的准线上，A正确；

对B：

因为，

所以，则，故B错误；

对C：

当时，则直线的斜率不存在，故；

当时，则直线的斜率，则，所以；

综上所述：.

则，所以，C正确；

对D：

设的中点为，则，

∴面积，

当且仅当，即时等号成立，

所以面积的最小值为4，D正确.

故选：ACD.

三、双空题

13．函数的零点，且，，则____________，____________．

【答案】     1     2

【分析】根据零点存在性定理求解即可.

【详解】因为单调递增，，，所以，，

故答案为：1；2

四、填空题

14．已知，，，则，的夹角为____________．

【答案】####

【分析】利用题给条件列出关于，的夹角的方程，解之即可求得，的夹角的值.

【详解】设，的夹角为θ，则由，，

可得，

所以，又，则

故，的夹角为．

故答案为：

15．已知两圆与外离，则整数的一个取值可以是___________.

【答案】（只需从中写一个答案即可）

【分析】分别求两圆的圆心和半径，根据两圆的位置关系列式运算.

【详解】因为圆的圆心为(3,)，半径为，圆的圆心为，半径为

则两圆圆心的距离为.

由题意可得，所以，

故整数的取值可能是，.

故答案为：（只需从中写一个答案即可）.

16．颇受青年朋友喜欢的蛋白石六角锥灵摆吊坠如图（1）所示，现在我们通过手工制作一个六角锥吊坠模型．准备一张圆形纸片，已知圆心为O，半径为，该纸片上的正六边形的中心为为圆O上的点，如图（2）所示．分别是以为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以为折痕折起，使重合，得到六棱锥，当底面六边形的边长变化时，所得六棱锥体积的最大值为___________．

【答案】##

【分析】连接，交于点H，由题意得，

设cm，则cm，cm，

由已知求出，利用条件得六棱锥的体积，

转化为函数，利用函数导数求解即可

【详解】连接，交于点H，由题意得，

设cm，则cm，cm

因为所以，

六棱锥的高cm．

正六边形的面积cm2，

则六棱锥的体积 cm3．

令函数，

则，

当时，，

当时，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以 cm3．

故答案为：

五、解答题

17．已知数列满足，．

(1)求的通项公式；

(2)若数列的前n项和为，求数列的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据累加法求解即可；

（2）由题知，进而根据裂项求和得，，再求和即可得答案.

【详解】（1）解：因为，

所以，当时，，，…，，

相加得，

因为，所以，

因为满足，

所以，．

（2）解：因为，

所以．

因为，

所以．

18．在中，角，，的对边分别为，，，且．

(1)求的值；

(2)若，的面积是，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理、两角和的正弦公式、诱导公式等知识化简已知条件，从而求得的值.

（2）先求得，利用三角形的面积公式求得，再利用余弦定理求得.

【详解】（1）依题意，，

由正弦定理得，

，

所以

，由于，所以，

所以，则．

（2）由（1）得，所以，

由解得，

由于，所以，

由余弦定理得.

19．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象．

(1)若为奇函数，求的值；

(2)若在上单调，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用三角函数恒等变换结合平移变换得到，根据为奇函数，求出，结合求出的值；

（2）当时，，结合，在上单调，得到不等式，求出的取值范围.

【详解】（1）因为，

所以．

因为为奇函数，所以，

即，又，所以的值为；

（2）因为，所以．

因为，所以，

又在上单调，

所以或

或，

所以的取值范围是．

20．如图所示，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，侧面为等边三角形，.

(1)求四棱锥的体积；

(2)若为的中点，求平面与平面夹角的余弦值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）取的中点，连接，根据已知条件证明平面，即为四棱锥的高，利用锥体的体积公式计算即可；

（2）根据（1）的结论，建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，找出平面与平面的法向量，然后利用法向量求出二面角的大小的余弦值.

【详解】（1）在等腰梯形中，，

得.

取的中点，连接.

在中，由余弦定理得：.

在中，知，且.

因为，所以.

因为，平面，所以平面，

所以.

（2）由（1）知平面，以为原点，以的方向分别为轴的正方向，

建立空间直角坐标系，如图所示：

则，

设平面的法向量为，

则令，得，

设平面的法向量为，

则令，得，

所以，

故平面与平面夹角的余弦值为.

21．已知中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的椭圆经过点，．

(1)求的方程；

(2)已知点，直线与交于两点，且直线的斜率之和为，证明：点在一条定抛物线上．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据椭圆标准方程求法，列方程组解决即可；

（2）设直线的斜率分别为，，，．将代入，得， ，根据韦达定理化简得即可解决.

【详解】（1）依题意设的方程为，

因为经过点，，

所以，解得，

故的方程为．

（2）证明：设直线的斜率分别为，，，．

将代入，得．

由题设可知，，，

所以

，

所以，

所以．

因为，

所以，

所以，

故点在抛物线上，即点在一条定抛物线上．

22．已知函数．

(1)求在上的单调区间；

(2)设是的导函数，函数，若对恒成立，求a的取值范围．

【答案】(1)的单调递减区间为，，单调递增区间为，

(2)

【分析】（1）求导得到导函数，设，根据单调性得到当时，，当时，，再计算单调区间即可.

（2）求导得到导函数，题目转化为对恒成立，分别根据必要性和充分性得到答案.

【详解】（1）

．

设，，则对成立，

所以在上单调递增，，

故当时，，当时，，

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增.

的单调递减区间为，，单词递增区间为，．

（2）

，

，所以恒成立．

若对恒成立，则对恒成立．

设，，，

则．

必要性：若，，不满足；

若，则，，

故存在，使，且时，，，不满足；

所以，当时，不满足题意；

充分性：当时，，函数单调递增，

恒成立，

综上所述：a的取值范围为．

【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数求函数的单调区间，解决不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中构造新函数，根据新函数的性质解决问题，和必要性探路是解题的关键.