四川省成都市石室中学2023届高三（理）下学期高考冲刺卷（一）数学（Word版附答案）
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（理科）数学
注意事项：
- 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
- 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
- 考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
- 已知集合，则集合
A. B.
C. D.
- 走路是最简单优良的锻炼方式，它可以增强心肺功能，血管弹性，肌肉力量等，甲、乙两人利用手机记录了去年下半年每个月的走路里程（单位：公里），现将两人的数据绘制成如图所示的折线图，则下列结论中正确的是
A．甲走路里程的极差等于10
B．乙走路里程的中位数是26
C．甲下半年每月走路里程的平均数小于乙下半年每月走路里程的平均数
D．甲下半年每月走路里程的标准差小于乙下半年每月走路里程的标准差
3. 已知平面向量，，a，b的夹角为60°，(tR)，则实数t=
A． B．1 C． D.
4. 若直线是曲线的一条切线，则实数
A． B． C． D．
5. 函数的部分图象大致形状是
A B C D
- 已知正方体(如图1)，点P在棱上(包括端点)．则三棱锥的侧视图不可能是
A B C D
- 已知抛物线的焦点和椭圆的一个焦点重合，且抛物线的准线截椭圆的弦长为3，则椭圆的标准方程为
- B. C. D.
8. 已知为常数)，若在上单调，且，则的值可以是
A. B. C. D.
9. 如图，在矩形ABCD中，E、F分别为边AD、BC上的点，且，，设P、Q分别为线段AF、CE的中点，将四边形ABFE沿着直线EF进行翻折，使得点A不在平面CDEF上，在这一过程中，下列关系不能成立的是
A．直线直线CD B．直线直线PQ
C．直线直线ED D．直线平面
10．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1所示）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心到水面的距离h为1.5m，筒车的半径r为2.5m，筒车每秒转动，如图2所示，盛水桶在处距水面的距离为3m，则2s后盛水桶到水面的距离近似为（结果精确到0.1m）（参考数据：）
A．3.2m B．3.4m C．3.6m D．3.8m
11. 已知双曲线C的方程为，斜率为的直线与圆相切于M，与双曲线C的两条渐近线分别相交于A，B，且M为AB中点，则双曲线C的离心率为
A. 2 B. C. D.
- 已知函数的定义域均为R，且满足，为奇函数，则
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
- 若复数z满足，则z的共轭复数的虚部为 .
- 在之间任取一个实数m，使得直线与圆有公共点的概率为 .
15. 已知正三棱柱所有顶点都在球O上，若球O的体积为，则该正三棱柱体积的最大值为 .
16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则当边c取得最大值时，的周长为 .
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17. （本小题满分12分）
已知数列的前项和为，且.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
- （本小题满分12分）
“五一黄金周”期间，某商场为吸引顾客，增加顾客流量，推出购物促销优惠活动，具体优惠方案有两种：方案一：消费金额不满300元，不予优惠；消费金额满300元减60元；方案二：消费金额满300元，可参加一次抽奖活动，活动规则为：从装有3个红球和3个白球共6个球的盒子中任取3个球（这些小球除颜色不同其余均相同），抽奖者根据抽到的红球个数不同将享受不同的优惠折扣，具体优惠如下：
抽到的红球个数 | 0 | 1 | 2 | 3 |
优惠折扣 | 无折扣 | 九折 | 八折 | 七折 |
（1）现有甲乙两位顾客各获得一次抽奖活动，求这两位顾客恰好有一人获得八折优惠折扣的概率；
（2）若李女士在该商场消费金额为x元（），请以李女士实付金额的期望为决策依据，对李女士选择何种优惠方案提出建议.
- （本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中，点E，F分别是，中点，平面平面．
（1）证明：；
（2）若，平面平面，且，求直线l与平面所成角的余弦值．
- （本小题满分12分）
已知抛物线C：，过的直线与C相交于A，B两点，其中O为坐标原点.
（1）证明：直线OA，OB的斜率之积为定值；
（2）若线段AB的垂直平分线交y轴于M，且，求直线AB的方程.
- （本小题满分12分）
已知R)，.
（1）求的极值；
（2）若，求实数k的取值范围.
（二）选考题：共10分。请考生在第22，23题中任选一题作答。如果多做，则按做的第一题记分。
22. [选修4—4：极坐标与参数方程]（本小题满分10分）
在直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为：（为参数），曲线C2的参数方程为：（t为参数）.
（1）将曲线C1，C2化为普通方程；
（2）若曲线C2与y轴相交于A，B，与x轴相交于C，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线与曲线C1相交于P，求四边形ACBP的面积.
23.[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知，且.证明：
（1）；
（2）.
高中2023届毕业班高考冲刺卷（一）
理科数学参考答案及评分标准
一、选择题
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | A | C | A | D | C | D | B | A | C | D | B | A |
二、填空题
13.1 14. 15.8 16.
三、解答题
17.（1）解： 当时，可得，解得. …………1分
因为，当时，可得.
两式相减，可得，即，即. …………4分
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
所以. …………6分
（2）解：因为，可得. …………8分
所以
. …………12分
18.（1）设事件A：抽奖的顾客获得八折优惠，则； …………2分
由于甲乙两位顾客获得八折优惠的概率均为，设甲乙两位顾客恰好一人获得八折优惠的概率P，
则；
所以甲乙两位顾客恰好一人获得八折优惠的概率为. …………5分
（2）方案一：设实付金额，则,（）； …………6分
方案二：设实付金额，则的可能取值有：x，0.9x，0.8x，0.7x；（）.
； ； ；
所以 …………10分
①若，解得，选择方案一；
②若，解得，选择方案一或方案二均可；
③若，解得，选择方案二. …………12分
19.（1）取中点G，连接，.
∵E，G分别是，中点，∴且.
又∵且，∴且.
∴四边形为平行四边形，∴. …………3分
又平面，平面，∴EF∥平面.
∵平面，平面平面，∴． …………5分
（2）由三棱柱为直棱柱，∴平面，∴，.
∵平面平面，平面平面，平面.
∴平面，∴. …………6分
故以为坐标原点，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系.
设，则，，，.
所以，.
又，则，解得. …………8分
所以，，则，.
设平面法向量为，
所以，即，取，得. …………10分
由（1）知直线，则l方向向量为.
设直线l与平面所成角为.
则，则.
所以直线l与平面所成角的余弦值为． …………12分
- （1）设，设直线AB：x=my+1.
联立化简可得：
由韦达定理可得：； …………2分
所以
所以直线OA，OB的斜率之积为定值. …………4分
（2）设线段AB的中点N，设.
则，解得，所以，即； …………6分
所以； …………8分
又线段AB的中点N，可得，所以.
因为，所以，所以. …………10分
所以，解得；
所以直线AB的方程为：或. …………12分
…………4分
……7分 ……………9分
…………12分
22.（1）曲线C1的参数方程为：（为参数）可得（为参数）
消去参数可得：，所以曲线C1的普通方程为：. …………2分
曲线C2的参数方程为（t为参数）可得（t为参数）
消去参数t可得，又因为，所以.
所以曲线C2的普通方程为：，. …………5分
（2）易得曲线C2与y轴交于，与x轴交于. …………6分
将射线化为直角坐标方程：.
联立解得 …………8分
所以；
所以四边形ACBP的面积为. …………10分
23.（1）.
又基本不等式可得：；
所以；
所以，当且仅当时取等号. …………5分
（2）因为，由柯西不等式
因为，所以；当且仅当时取等号.
所以. …………10分
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