江苏省南京市鼓楼区2022-2023学年七年级下学期期中数学试卷

这是一份江苏省南京市鼓楼区2022-2023学年七年级下学期期中数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）2022年北京冬残奥会会徽上半部分整体形如汉字“飞”的书法形态，巧妙地描绘出一个向前滑行、冲向胜利的运动员的形象．下列四个图案中，能由左图平移得到的是（　　）

A． B．
C． D．
2．（2分）下列运算中正确的是（　　）
A．a3+a3＝a6 B．a6÷a2＝a3 C．（a2）3＝a5 D．a4•a2＝a6
3．（2分）如图，三根木条相交成∠1，∠2．固定木条b，c，使得∠1＝35°．转动木条a，当a∥b时，∠2的大小为（　　）

A．35° B．55° C．90° D．145°
4．（2分）如图，AB∥CD，CE⊥BE，则∠B与∠C一定满足的关系是（　　）

A．∠B＝∠C B．∠B＝2∠C C．∠B+∠C＝90° D．∠B+∠C＝180°
5．（2分）若（a+b）（p+q）能运用平方差公式计算，则p，q满足的条件可能是（　　）
①p＝a，q＝b；②p＝a，q＝﹣b；③p＝﹣a，q＝b；④p＝﹣a，q＝﹣b．
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
6．（2分）把12cm长的铁丝截成三段，每段长度为整数．若将这三段铁丝首尾顺次相接组成三角形，则不同的三角形有（　　）
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．（2分）近年来，我国研发的北斗芯片实现了22纳米制程的突破，22纳米等于0.000000022米．用科学记数法表示0.000000022是 　 　．
8．（2分）南京大报恩寺琉璃塔地基平面可以看成八边形，它的每个内角都相等，则每个内角的度数是 　 　°．
9．（2分）若3x＝4，3y＝5，则3x+y＝　 　．
10．（2分）“有两个角互余的三角形是直角三角形”的逆命题是　 　．
11．（2分）已知a＝﹣（0.3）2，b＝3﹣1，，比较a、b、c的大小，并用“＜”号连接：　 　．
12．（2分）我们学习的“幂的运算”有四种：①同底数幂的乘法，②同底数幂的除法，③幂的乘方，④积的乘方．在“（a3b）2＝（a3）2b2＝a6b2”的运算过程中，远用了上述幂的运算中的 　 　（填序号）．
13．（2分）若关于x的多项式x2﹣6x+k是完全平方式，则k＝　 　．
14．（2分）如图，AB∥EF，CD平分∠ACE，若∠A＝155°，∠E＝105°，则∠ACD＝　 　°．

15．（2分）若20.52＝202+a，则a的值是 　 　．
16．（2分）如图，在线段AB上取一点C，分别以AC、BC为边作正方形ACDE、正方形CBFG．若这两个正方形的面积和为13，△ACG的面积为3，则AB的长度是 　 　．

三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（9分）计算：
（1）；
（2）（m2）3•m÷m3；
（3）水珠不断地滴在一块石头上，经过40年，石头上形成了一个深为4×10﹣2m的小洞．求平均每年小洞增加的深度．
18．（8分）计算：
（1）x2•（﹣2xy2）2；
（2）a（a2﹣1）﹣a（a2﹣a﹣1）．
19．（6分）先化简再求值：（3﹣4a）（3+4a）+（3+4a）2．其中a＝﹣2．
20．（6分）如图，点D，E，F分别是△ABC的边BC、CA，AB上的点，DE∥BA，∠FDE＝∠A，求证DF∥CA．

21．（6分）如图，点A、B、C是方格纸中的格点．
（1）画出AC边上的中线BD；
（2）画出AB边上的高线CE；
（3）画出∠BAC的平分线AF．

22．（5分）如图1，将两个含30°角的三角尺（△ABC与△ADE）摆放在一起，AD、BC交于点F、BC、DE交于点G．
（1）求证∠BAF＝∠CGE．小明的证明途径可以用下面的框图2表示，请填写其中的空格．
（2）当∠BAD＝　 　°时，AE∥BC．

23．（7分）研究一个问题：多边形的一个外角与它不相邻的内角之和具有怎样的数量关系？

【回顾】如图①，请直接写出∠ACD与∠A、∠B之间的数量关系：　 　．
【探究】如图②，∠DCE是四边形ABCD的外角，求证∠DCE＝∠A+∠B+∠D﹣180°．
【结论】若n边形的一个外角为x°，与其不相邻的内角之和为y°，则x，y与n的数量关系是 　 　．
24．（6分）已知k为整数，且k≥0．
（1）若a为正奇数，则a可以用含k的代数式表示为 　 　．
A．2k B．2k﹣1 C．2k+1
（2）若a，b为连续的奇数，且a＜b．试说明：ab+1能被4整除．
25．（7分）要度量作业纸上两条相交直线a、b所夹锐角α的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接度量．

（1）小明的方案：画直线c与a、b相交，如图①，测得∠1＝m°，∠2＝n°，则a＝　 　°（用含m、n的代数式表示）；
（2）小刚的方案：画直线c与a、b相交，再画∠1、∠2相邻的外角的角平分线交于点O，如图②，则得∠O＝p°，则α＝　 　°（用含p的代数式表示）；
（3）你还有什么方法，请在图③中补全，写出必要的文字说明．
26．（8分）如图，在△ABC和△FBC中，∠A≤∠F．点F与A位于线段BC所在直线的两侧，分别延长AB、AC至点D、E．

【特殊化思考】
若∠A＝∠F时，请尝试探究：
（1）当F在∠A内部时，请直接写出∠ECF、∠DBF与∠A的数量关系为 　 　；
（2）当F在∠A外部时，请直接写出∠ECF、∠DBF与∠A的数量关系为 　 　；
（3）若CG平分∠ECF，BH平分∠FBD．无论点F在∠A内部（如图③）还是∠A外部（如图④）时，都有CG∥BH，请选择一幅图进行证明；
说明：选择图③证明得3分，选择图④证明得4分．
【一般化探究】
若∠A＜∠F时，请尝试探究：
（4）若射线CG、BH分别是∠ECF，∠DBF的n等分线（n为大于2的正整数），且，．当CG∥BH时，直接写出∠A与∠F需满足的条件：　 　．

2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区七年级（下）期中数学试卷
（参考答案）
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）2022年北京冬残奥会会徽上半部分整体形如汉字“飞”的书法形态，巧妙地描绘出一个向前滑行、冲向胜利的运动员的形象．下列四个图案中，能由左图平移得到的是（　　）

A． B．
C． D．
【解答】解：根据“平移”的定义可知，由题图经过平移得到的图形是．
故选：B．
2．（2分）下列运算中正确的是（　　）
A．a3+a3＝a6 B．a6÷a2＝a3 C．（a2）3＝a5 D．a4•a2＝a6
【解答】解：A、a3+a3＝2a3，故A不符合题意；
B、a6÷a2＝a4，故B不符合题意；
C、（a2）3＝a6，故C不符合题意；
D、a4•a2＝a6，故D符合题意；
故选：D．
3．（2分）如图，三根木条相交成∠1，∠2．固定木条b，c，使得∠1＝35°．转动木条a，当a∥b时，∠2的大小为（　　）

A．35° B．55° C．90° D．145°
【解答】解：∵a∥b，
∴∠1＝∠2＝35°，
故选：A．
4．（2分）如图，AB∥CD，CE⊥BE，则∠B与∠C一定满足的关系是（　　）

A．∠B＝∠C B．∠B＝2∠C C．∠B+∠C＝90° D．∠B+∠C＝180°
【解答】解：如图：

∵AB∥CD，
∴∠B＝∠1，
∵CE⊥BE，
∴∠CEB＝90°，
∴∠C+∠1＝90°，
∴∠C+∠B＝90°，
故选：C．
5．（2分）若（a+b）（p+q）能运用平方差公式计算，则p，q满足的条件可能是（　　）
①p＝a，q＝b；②p＝a，q＝﹣b；③p＝﹣a，q＝b；④p＝﹣a，q＝﹣b．
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【解答】解：∵（a+b）（p+q）能运用平方差公式计算，
∴p＝a，q＝﹣b或p＝﹣a，q＝b，
故选：C．
6．（2分）把12cm长的铁丝截成三段，每段长度为整数．若将这三段铁丝首尾顺次相接组成三角形，则不同的三角形有（　　）
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
【解答】解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，最短的边是1时，不成立；
当最短的边是2时，三边长是：2，5，5；
当最短的边是3时，三边长是：3，4，5；
当最短的边是4时，三边长是：4，4，4；
最短的边一定不能大于4．
综上，有3种不同的三角形．
故选：B．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．（2分）近年来，我国研发的北斗芯片实现了22纳米制程的突破，22纳米等于0.000000022米．用科学记数法表示0.000000022是 　2.2×10﹣8　．
【解答】解：0.000000022＝2.2×10﹣8，
故答案为：2.2×10﹣8．
8．（2分）南京大报恩寺琉璃塔地基平面可以看成八边形，它的每个内角都相等，则每个内角的度数是 　135　°．
【解答】解：∵一个八边形，它的每个内角都相等，
∴这个八边形的每个外角都相等，
∴每个外角的度数＝360°÷8＝45°，
∴每个内角的度数＝180°﹣45°＝135°．
故答案是：135．
9．（2分）若3x＝4，3y＝5，则3x+y＝　20　．
【解答】解：∵3x＝4，3y＝5，
∴3x+y＝3x•3y＝4×5＝20．
故答案为：20．
10．（2分）“有两个角互余的三角形是直角三角形”的逆命题是　直角三角形的两个锐角互余　．
【解答】解：“有两个角互余的三角形是直角三角形”的逆命题“直角三角形的两个锐角互余”．
故答案为直角三角形的两个锐角互余．
11．（2分）已知a＝﹣（0.3）2，b＝3﹣1，，比较a、b、c的大小，并用“＜”号连接：　a＜b＜c　．
【解答】解：∵a＝﹣（0.3）2＝﹣0.09，b＝3﹣1＝，＝1，
∴a＜b＜c．
故答案为：a＜b＜c．
12．（2分）我们学习的“幂的运算”有四种：①同底数幂的乘法，②同底数幂的除法，③幂的乘方，④积的乘方．在“（a3b）2＝（a3）2b2＝a6b2”的运算过程中，远用了上述幂的运算中的 　③④　（填序号）．
【解答】解：（a3b）2
＝（a3）2b2（积的乘方得到）
＝a6b2（利用幂的乘方得到），
故运算过程中，运用了上述幂的运算中的③④．
故答案为：③④．
13．（2分）若关于x的多项式x2﹣6x+k是完全平方式，则k＝　9　．
【解答】解：∵关于x的多项式x2﹣6x+k是完全平方式，
∴x2﹣6x+k＝x2﹣2•x•3+32，
∴k＝32＝9，
故答案为：9．
14．（2分）如图，AB∥EF，CD平分∠ACE，若∠A＝155°，∠E＝105°，则∠ACD＝　50　°．

【解答】解：过点C作CG∥AB，如图，

∵AB∥EF，
∴AB∥CG∥EF，
∴∠A+∠ACG＝180°，∠E+∠ECG＝180°，
∵∠A＝155°，∠E＝105°，
∴∠ACG＝180°﹣∠A＝25°，∠ECG＝180°﹣∠E＝75°，
∴∠ACE＝∠AEG+∠ECG＝100°，
∵CD平分∠ACE，
∴∠ACD＝∠ACE＝50°．
故答案为：50．
15．（2分）若20.52＝202+a，则a的值是 　20.25　．
【解答】解：∵20.52＝202+a，
∴a＝20.52﹣202
＝（20.5+20）×（20.5﹣20）
＝40.5×0.5
＝20.25，
故答案为：20.25．
16．（2分）如图，在线段AB上取一点C，分别以AC、BC为边作正方形ACDE、正方形CBFG．若这两个正方形的面积和为13，△ACG的面积为3，则AB的长度是 　5　．

【解答】设AC＝a，BC＝b，则AB＝AC+BC＝a+b，
∵这两个正方形的面积和为13，△ACG的面积为3，
∴，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝13+2×6＝25，
∴a+b＝5（负值舍去），
∴AB的长度＝AC+CB＝a+b＝5，
故答案为：5．
三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（9分）计算：
（1）；
（2）（m2）3•m÷m3；
（3）水珠不断地滴在一块石头上，经过40年，石头上形成了一个深为4×10﹣2m的小洞．求平均每年小洞增加的深度．
【解答】解：（1）
＝4﹣9
＝﹣5；
（2）（m2）3•m÷m3
＝m6•m÷m3
＝m7÷m3
＝m4；
（3）根据题意，得4×10﹣2÷40＝10﹣3（m），
答：平均每年小洞增加的深10﹣3m．
18．（8分）计算：
（1）x2•（﹣2xy2）2；
（2）a（a2﹣1）﹣a（a2﹣a﹣1）．
【解答】解：（1）x2•（﹣2xy2）2
＝4x2•x2y4
＝4x4y4；
（2）a（a2﹣1）﹣a（a2﹣a﹣1）
＝a（a2﹣1﹣a2+a+1）
＝a•a
＝a2．
19．（6分）先化简再求值：（3﹣4a）（3+4a）+（3+4a）2．其中a＝﹣2．
【解答】解：（3﹣4a）（3+4a）+（3+4a）2
＝9﹣16a2+9+24a+16a2
＝18+24a，
当a＝﹣2时，原式＝18+24×（﹣2）＝18﹣48＝﹣30．
20．（6分）如图，点D，E，F分别是△ABC的边BC、CA，AB上的点，DE∥BA，∠FDE＝∠A，求证DF∥CA．

【解答】证明：∵DE∥BA，
∴∠FDE＝∠BFD，
∵∠FDE＝∠A，∴∠A＝∠BFD，
∴DF∥CA．
21．（6分）如图，点A、B、C是方格纸中的格点．
（1）画出AC边上的中线BD；
（2）画出AB边上的高线CE；
（3）画出∠BAC的平分线AF．

【解答】解：（1）如图，线段BD即为所求；
（2）如图线段CE即为所求；
（3）如图，射线AF即为所求．

22．（5分）如图1，将两个含30°角的三角尺（△ABC与△ADE）摆放在一起，AD、BC交于点F、BC、DE交于点G．
（1）求证∠BAF＝∠CGE．小明的证明途径可以用下面的框图2表示，请填写其中的空格．
（2）当∠BAD＝　30　°时，AE∥BC．

【解答】（1）证明：∵∠AFC＝∠BAF+∠B，∠AFC＝∠D+∠DGF，
∴∠BAF+∠B＝∠D+∠DGF，
∵∠B＝∠D，
∴∠BAF＝∠DGF，
∵∠DGF与∠CGE是对顶角，
∴∠BAF＝∠CGE．
故答案为：∠AFC＝∠D+∠DGF；∠B＝∠D；∠DGF与∠CGE是对顶角；
（2）解：∵AE∥BC，
∴∠AFC＝∠EAD＝90°，
∴∠B+∠BAD＝90°，
∵∠B＝60°，
∴∠BAD＝∠AFC﹣∠B＝90°﹣60°＝30°．
故答案为：30．
23．（7分）研究一个问题：多边形的一个外角与它不相邻的内角之和具有怎样的数量关系？

【回顾】如图①，请直接写出∠ACD与∠A、∠B之间的数量关系：　∠ACD＝∠A+∠B　．
【探究】如图②，∠DCE是四边形ABCD的外角，求证∠DCE＝∠A+∠B+∠D﹣180°．
【结论】若n边形的一个外角为x°，与其不相邻的内角之和为y°，则x，y与n的数量关系是 　y﹣x＝180（n﹣3）　．
【解答】解：【回顾】∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，∠ACD+∠ACB＝180°，
∴∠ACD＝∠A+∠B；
故答案为：∠ACD＝∠A+∠B；
【探究】∵∠A+∠B+∠D+∠BCD＝360°，∠DCE+∠BCD＝180°，
∴360°﹣（∠A+∠B+∠D）＝180°﹣∠DCE，
∴∠DCE＝∠A+∠B+∠D﹣180°．
【结论】∵n边形的某一个外角的度数是x°，
∴与这个外角相邻的内角是（180﹣x）°，
∵与这个外角不相邻的所有内角的和是y°，
∴（180﹣x）+y＝（n﹣2）180，
整理得：y﹣x＝180（n﹣3），
故答案为：y﹣x＝180（n﹣3）．
24．（6分）已知k为整数，且k≥0．
（1）若a为正奇数，则a可以用含k的代数式表示为 　C　．
A．2k B．2k﹣1 C．2k+1
（2）若a，b为连续的奇数，且a＜b．试说明：ab+1能被4整除．
【解答】解：（1）奇数可以用含k的代数式表示为2k+1或2k﹣1，
∵k≥0．且k为整数，
∴2k≥0，
当k＝0时，2k﹣1＝﹣1，
∵a为正奇数，
∴a可以用含k的代数式表示为2k+1；
故答案为：C；
（2）∵a，b为连续的奇数，
∴设a＝2k+1，b＝2k+3，
∴ab+1＝（2k+1）（2k+3）+1＝4（k+1）2，
∴，
∵k为整数，
∴（k+1）2为整数，
∴ab+1能被4整除．
25．（7分）要度量作业纸上两条相交直线a、b所夹锐角α的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接度量．

（1）小明的方案：画直线c与a、b相交，如图①，测得∠1＝m°，∠2＝n°，则a＝　（180﹣m﹣n）　°（用含m、n的代数式表示）；
（2）小刚的方案：画直线c与a、b相交，再画∠1、∠2相邻的外角的角平分线交于点O，如图②，则得∠O＝p°，则α＝　（180﹣2p）　°（用含p的代数式表示）；
（3）你还有什么方法，请在图③中补全，写出必要的文字说明．
【解答】解：（1）∵∠1+∠2+a＝180°，∠1＝m°，∠2＝n°，
∴a＝（180﹣m﹣n）°；
故答案为：（180﹣m﹣n）；
（2）如图，

∵∠O＝p°，
∴∠OAB+∠OBA＝180°﹣p°，
∵AO，BO分别平分∠CAB，∠ABD，
∴∠CAB＝2∠OAB，∠DBA＝2∠OBA，
∴∠CAB+∠DBA＝2（∠OAB+∠OBA）＝360°﹣2p°，
∴∠1+∠2＝2p°，
∴α＝（180﹣2p）°；
故答案为：（180﹣2p）；
（3）如图，

根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得α＝∠2﹣∠1．
26．（8分）如图，在△ABC和△FBC中，∠A≤∠F．点F与A位于线段BC所在直线的两侧，分别延长AB、AC至点D、E．

【特殊化思考】
若∠A＝∠F时，请尝试探究：
（1）当F在∠A内部时，请直接写出∠ECF、∠DBF与∠A的数量关系为 　∠ECF+∠DBF＝2∠A　；
（2）当F在∠A外部时，请直接写出∠ECF、∠DBF与∠A的数量关系为 　∠ECF﹣∠DBF＝2∠A　；
（3）若CG平分∠ECF，BH平分∠FBD．无论点F在∠A内部（如图③）还是∠A外部（如图④）时，都有CG∥BH，请选择一幅图进行证明；
说明：选择图③证明得3分，选择图④证明得4分．
【一般化探究】
若∠A＜∠F时，请尝试探究：
（4）若射线CG、BH分别是∠ECF，∠DBF的n等分线（n为大于2的正整数），且，．当CG∥BH时，直接写出∠A与∠F需满足的条件：　∠F＝（n﹣1）∠A　．
【解答】解：（1）在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
在△FBC中，∠F+∠FBC+∠FCB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB+∠FBC+∠FCB＝360°﹣（∠A+∠F），
∵∠ECF+∠ACB+∠FCB＝180°，∠DBF+∠ABC+∠FBC＝180°，
∴∠ABC+∠ACB+∠FBC+∠FCB＝360°﹣（∠ECF+∠DBF），
∴∠ECF+∠DBF＝∠A+∠F，
∵∠A＝∠F，
∴∠ECF+∠DBF＝2∠A，
故答案为：∠ECF+∠DBF＝2∠A；
（2）在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
在△FBC中，∠F+∠FBC+∠FCB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB+∠FBC+∠FCB＝360°﹣（∠A+∠F），
∵∠ECF+∠ACB+∠FCB＝180°，∠FBC﹣∠DBF+∠ABC＝180°，
∴∠ABC+∠ACB+∠FBC+∠FCB＝360°﹣（∠ECF﹣∠DBF），
∴∠ECF﹣∠DBF＝∠A+∠F，
∵∠A＝∠F，
∴∠ECF﹣∠DBF＝2∠A，
故答案为：∠ECF﹣∠DBF＝2∠A；
（3）选择图③，
证明：如图，

过点F作FM∥CG，
∴∠GCF＝∠CFM，
∵CG平分∠ECF，BH平分∠DBF，
∴，，
由（1）知∠ECF+∠DBF＝2∠A＝2∠F，
∴，
∴∠CFM+∠HBF＝∠F，
∵∠CFM+∠BFM＝∠F，
∴∠HBF＝∠BFM，
∴FM∥BH，
∴CG∥BH；
选择图④，
证明：如图，设BF与CG交于点N，

∵CG平分∠ECF，BH平分∠DBF，
∴，，
同（2）可得：∠DBF﹣∠ECF＝2∠A，
∵∠A＝∠F，
∴∠DBF﹣∠ECF＝2∠F，
∴，
∵∠FNG是△FCN的一个外角，
∴∠FNG＝∠GCF+∠F，
即∠FNG﹣∠GCF＝∠F，
∴∠FNG＝∠HBF，
∴CG∥BH；
（4）证明：∵∠A＜∠F，
∴F只能在∠A内部，
如图，过点F作FM∥CG，

∵CG∥BH，
∴FM∥BH，
连接AF，
∵FM∥CG，
∴∠GCF＝∠CFM，
又∵FM∥BH，
∴∠HBF＝∠BFM，
又∵，，
∴，，
∴∠BFC＝∠CFM+∠BFM
＝∠GCF+HBF
＝
＝，
又∵∠ECF＝∠CAF+∠AFC，∠DBF＝∠BAF+∠AFB，
∴∠ECF+∠DBF＝∠CAF+∠AFC+∠BAF+∠AFB＝∠BAC+∠BFC，
∴，
∴，
∴∠BFC＝（n﹣1）∠BAC，
即∠F＝（n﹣1）∠A．
故答案为：∠F＝（n﹣1）∠A．