2023年吉林省长春市榆树市小区域联考中考三模数学试题(含答案)

2023.5.25第三次模拟考试数学试题

一．选择题（每题3分共24分）

1．（3分）太阳的体积约为1400000000000000000立方千米，将1400000000000000000这个数用科学记数法表示为（　　）

A．14×1017 B．1.4×1018 C．1.4×1019 D．0.14×1019

2．（3分）在实数﹣2、﹣1、0、1中，最小的实数是（　　）

A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1

3．（3分）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为（　　）

A． B． 

C． D．

4．（3分）关于x的一元二次方程x2+4x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（　　）

A．9 B．6 C．4 D．﹣1

5．（3分）将一副三角尺（厚度不计）如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中∠1的大小为（　　）

A．100° B．105° C．115° D．120°

6．（3分）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，以点O为圆心的量角器（半圆O）的直径和AB重合，零刻度落在点B处（即从点B处开始读数），点D是AB上一点，连接CD并延长交半圆于点P，若∠ACP＝64°，则点P在量角器上显示的读数为（　　）

A．64 B．26 C．52 D．32

7．（3分）如图，已知下列尺规作图：

①作一个角的平分线；

②作一条线段的垂直平分线；

③过直线外一点作已知直线的垂线．

其中作法正确的是（　　）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，边OC在x轴的正半轴上，函数的图象经过对角线OB的中点D，分别交边AB、BC于点E、点F，连结DE、DF、EF．若△DEF的面积为1，则k的值为（　　）

A．2 B． C． D．6

二、填空题（每题3分共18分）

9．（3分）分解因式：2m2﹣2＝　              　．

10．（3分）若关于x的方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 　      　．

11．（3分）将一副三角板按如图所示的方式摆放，点D在边AC上，点E在边CB的延长线上，AB∥EF，∠C＝∠F＝90°，则∠CDE的大小为 　     　度．

12．（3分）如图，在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，过点D作DE⊥AC于点E，连接CD，过点E作CD的平行线，交BC的延长线于点F．若AB＝10，则EF的长为 　   　．

13．（3分）如图，⊙O是等边△ABC的外接圆．若AB＝2，则的长是 　                 　（结果保留π）．

14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线和直线y2＝kx（k＞0）交于点O和点A．若点A的横坐标是3，则﹣kx+2k＞ax2﹣2ax的解集为 　         　．

三、解答题（共78分）

15．（6分）先化简，再求值：（a+1）2﹣a（a+4），其中．

16．（6分）一个黑箱子里装有红、白两种颜色的球共3只，它们除颜色外其余都相同．小明将球搅匀后从箱子中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回，不断重复实验，发现多次实验后摸到白球的频率会逐渐接近0.67．

（1）箱子中的红球有 　   　个．

（2）从该箱子里随机摸出一个球，记录颜色后放回并搅匀，再摸出一个球记录颜色．用画树状图（或列表）的方法，求摸到一个红球和一个白球的概率．

17．（6分）用A、B两种机器人搬运大米，A型机器人比B型机器人每小时多搬运20袋大米，A型机器人搬运700袋大米与B型机器人搬运500袋大米所用时间相等．求A、B型机器人每小时分别搬运多少袋大米．

18．（6分）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，不要求写出画法．

（1）在图①中作∠ABC的角平分线BD．

（2）在图②、图③中，过点C作一条直线CE，使点A、B到直线CE的距离相等，图②、图③所画直线CE不相同．

19．（6分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．

（1）求证：四边形ADBF是菱形；

（2）若AC＝10，，求菱形ADBF的面积．

20．（6分）2022年，我国粮食总产量再创新高．新浪微博发表了《丰收来之不易，一图读懂2022年全国粮食产量》一文，现将其中两部分内容截图如下．

根据以上信息回答下列问题：

（1）从“粮食五大主产地占全国比重”那张图看，产量最高的产地是 　      　．

（2）我国从2018年到2022年，粮食总产量的中位数是 　        　．

（3）国家统计局公布，2022年全国粮食总产量68653万吨，比上一年增长0.5%．如果继续保持这个增长率，2023年全国粮食总产量约为 　        　万吨（保留整数）．

（4）国际粮食安全的标准线为人均粮食占有量400公斤，2022年我国的人口数为14.12亿人，请通过计算说明2022年我国人均粮食占有量是否超过国际粮食安全的标准线．（注：1吨＝1000公斤，人均粮食占有量＝）

21．（8分）装有一个进水管和一个出水管的容器，开始时，先打开进水管注水，6分钟时，再打开出水管排水，16分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完．在整个过程中，容器中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的函数关系如图所示．

（1）进水管注水的速度为 　     　升/分钟．

（2）当6≤x≤16时，求y与x之间的函数关系式．

（3）求a的值．

22．（10分）实践与探究：

【操作一】：如图①，已知矩形纸片ABCD（AB＞AD），点E和点F分别是CD和AB上的点，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B与点D重合，点C的对应点是点C'．求证：△ADF≌△C′DE；

【操作二】：在操作一的基础上，将矩形纸片ABCD沿DF继续折叠，点A的对应点是点A′．我们发现，当矩形ABCD的邻边长度比值不同时，点A′的位置也不同．如图（2），当点A′恰好落在折痕EF上时，＝　                  　；

【拓展】：如图（3），在【操作二】中点A′恰好落在折痕EF上时，点N为A′D上任意一点，连接EN、C′N．若AB＝6，则EN+C′N的最小值为 　              　．

23．（12分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求：

（1）当t＝3时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？

（2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式．

（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？

24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c（b、c为常数）顶点M的坐标为（2，﹣5），点P、点Q均在这个抛物线上，点P的横坐标为m，点Q的横坐标为2﹣m，将此抛物线上P、Q两点之间的部分（包括P、Q两点）记为图象G．

（1）求b和c的值．

（2）当点P与点Q重合时，求点P的坐标．

（3）当顶点M在图象G上时，设图象G最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为d，求d与m之间的函数关系式．

（4）矩形ABCD的顶点分别为A（2m﹣1，2）、B（1﹣m，2）、C（1﹣m，﹣3），当图象G在矩形ABCD内部的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．

数学参考答案

一．选择题（每题3分共24分）

1． B．2． A．3． D．4． D．5． B．6． C．7． B．8． B．

二、填空题（每题3分共18分）

9． 2（m+1）（m﹣1）．

10． m＜1．

11． 75．

12． 5．

13． ．

14．﹣1＜x＜2．

三、解答题（共78分）

15．

解：（a+1）2﹣a（a+4）

＝a2+2a+1﹣a2﹣4a

＝﹣2a+1，

当a＝时，原式＝﹣2×+1＝﹣1+1＝0．

16．

解：（1）∵摸到白球的频率会逐渐接近0.67，

∴摸到红球的频率会逐渐接近1﹣0.67＝0.33，

∴箱子中的红球有3×0.33≈1个，

故答案为：1；

（2）树状图如图所示，

如图表示所有可能的情况，共有9种等可能的结果，而摸到一个红球和一个白球的结果有4次，可知其概率为，

故答案为：．

17．

解：设A型机器人每小时搬大米x袋，则B型机器人每小时搬运（x﹣20）袋，

依题意得：＝，

解这个方程得：x＝70

经检验x＝70是方程的解，所以x﹣20＝50．

答：A型机器人每小时搬大米70袋，则B型机器人每小时搬运50袋．

18．

解：（1）由图可得：AB＝BC，找到线段AC中点，连接B点和中点的射线BD即是∠ABC的角平分线；

（2）解：要使点A、B到直线CE的距离相等，即过点A、B向直线CE作垂线，垂线段距离相等；

故图②图③中的直线CE即为所求作．

19．

解：（1）∵AF∥BC，

∴∠AFC＝∠FCD，

∵点E是AD的中点，

∴AE＝DE，

∵∠FAE＝∠CDE，

∴△FAE≌≌△CDE（AAS），

∴AF＝CD，

∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，

∴AD＝BD＝CD，

∴AF＝BD，

∴四边形AFBD是平行四边形，

∵AD＝BD，

∴四边形ADBF是菱形．

（2）∵四边形ADBF是菱形，

∴S菱形ADBF＝2S△ABD，

∵点D是BC的中点，

∴S△ABC＝2S△ABD，

∴S菱形ADBF＝S△ABC，

∵AD＝CD，

∴∠DAC＝∠ACB，

∵，AC＝10，

∴，

∴AB＝6，

∴．

20．

解：（1）∵080.8＜4100.1＜5543.8＜6789.4＜7763.1，

∴黑龙江最高，

故答案为：黑龙江．

（2）∵65789，66384，66949，68285，68653，

∴中位数是66949，

故答案为：66949．

（3）根据题意，得68653（1+0.5%）＝68996.265≈68996（万吨）．

故答案为：68996．

（4）（公斤），

∵486＞400，

∴2022年我国人均粮食占有量超过国际粮食安全的标准线．

21．

解：（1）进水管注水的速度为升/分钟；

故答案为：10

（2）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），

将（6，60），（16，40）代入，得：，

解得：，

∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+72（6≤x≤16）．

（3）根据题意得：（升/分），

∵，

∴．

22．

【操作一】（方法一）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝∠B＝∠C＝∠ADC＝90°，AD＝BC．

由折叠得∠C'＝∠C＝90°，∠C'DF＝∠B＝90°，C'D＝CD．

∵∠C'DE+∠EDF＝90°，∠ADF+∠EDF＝90°，

∴∠C'DE＝∠ADF．

∴△ADF≌△C'DE（ASA）；

（方法二）∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝∠B＝∠C＝∠ADC＝90°，AD＝BC．

由折叠得∠BFE＝∠DFE，∠C'DF＝∠B＝90°，C'D＝CD．

∵∠C'DE+∠EDF＝90°，∠ADF+∠EDF＝90°，

∴∠C'DE＝∠ADF，

∵AB∥CD，∠BFE＝∠DFE，

∴∠DEF＝∠DFE，

∴DE＝DF．

∴△ADF≌△C'DE（SAS）；

【操作二】解：由折叠得∠DA'F＝∠A＝90°，DF＝BF．∠DFE＝∠BFE．∠ADF＝∠A'DF．

∵AB∥CD，

∴∠DEF＝∠BFE，

∴DE＝DF，

∴∠FDA'＝∠EDA'，

∴∠ADF＝∠FDA＝∠EDA'＝30°，

设AF＝x，则AD＝x，DF＝2x，

∴BF＝DF＝2x，

∴AB＝3x，

∴＝，

故答案为：；

【操作三】解：根据【操作二】可得：DA'是EF的垂直平分线，

∴EN＝FN，

∴EN+C'N＝FN+C'N，

当F、N、C'共线时，EN+C'N最小，即为C'F，

∵AB＝6，

∴AF＝2，BF＝4，

∴DF＝4，C'D＝AD＝2，

∴C'F＝＝＝2，

故答案为：2．

23．

解：由题意得AP＝4t，CQ＝2t，则CP＝20﹣4t，

（1）当t＝3时，CP＝20﹣4t＝8cm，CQ＝2t＝6cm，

由勾股定理得PQ＝；

（2）由题意得AP＝4t，CQ＝2t，则CP＝20﹣4t，

因此Rt△CPQ的面积为S＝cm2；

（3）分两种情况：

①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，，即，解得t＝3；

②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，，即，解得t＝．

因此t＝3或t＝时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．

24．

解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c顶点M的坐标为（2，﹣5），

∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣5＝x2﹣4x﹣1，

∴b＝﹣4，c＝﹣1；

（2）∵点P与点Q重合，

∴m＝2﹣m，

解得：m＝1，

当x＝1时，y＝12﹣4×1﹣1＝﹣4，

∴点P的坐标为（1，﹣4）；

（3）∵抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣5，

∴抛物线的对称轴为直线x＝2，且开口向上，

∵顶点M在图象G上，

∴图象G的最低点的纵坐标为﹣5，

当点P在对称轴的左侧，点Q在对称轴的右侧时，此时m＜2且2﹣m＞2，即m＜0，

∵2﹣m＞2﹣m﹣2，

∴图象G最高点的纵坐标等于点P的纵坐标，即m2﹣4m﹣1，

∴d＝m2﹣4m﹣1﹣（﹣5）＝m2﹣4m+4；

当点P在对称轴的右侧，点Q在对称轴的左侧时，此时m＞2且2﹣m＜2，即m＞2，

∵m﹣2＜2﹣（2﹣m），

∴图象G最高点的纵坐标等于点Q的纵坐标，即（2﹣m）2﹣4（2﹣m）﹣1，

∴d＝（2﹣m）2﹣4（2﹣m）﹣1﹣（﹣5）＝m2；

综上所述，d与m之间的函数关系式为；

（4）∵2﹣m＞1﹣m，

∴点Q位于点BC的右侧，

∵图象G在矩形ABCD内部的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，

∴矩形ABCD位于直线x＝2的左侧，

若点P在点Q的左侧，

当点A在点B的左侧时，

根据题意得：，

解得：；

当点A在点B的右侧时，如图，

根据题意得：，无解；

若点P在点Q的右侧，

根据题意得：，

解得：；

综上所述，m的取值范围为或．