上海交通大学附属中学2023届高三三模数学试题

交大附中高三三模数学试卷

2023.05

一､填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）

1.已知集合，则__________.

2.复数的模为__________.

3.不等式的解集为__________.

4.已知幂函数的图像过点，则__________.

5.已知函数，则函数的最小正周期是__________.

6.由函数的观点，方程的解为__________.

7.二项式的展开式中含项的系数为__________.

8.为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示：

则该单位党员一周学习党史时间的第40百分位数分别是__________.

9.若存在实数，使得是方程的解，但不是方程的解，则实数的取值范围是__________.

10.随机变量，若，那么实数的值为__________.

11.已知曲线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围为__________.

12.函数是最小正周期为4的偶函数，且在时，，若存在满足，且，则最小值为__________.

一､选择题（本大题共4题，满分20分）

13.设，则“”是“直线与直线平行”的（    ）

A.充分非必要条件    B.必要非充分条件

C.充要条件    D.既非充分也非必要条件

14.函数的导函数的图像如图所示，则函数的图像可能是（    ）

A.    B.

C.    D.

15.已知函数为偶函数，则不等式的解集为（    ）

A.    B.    C.    D.

16.已知，集合，若集合恰有8个子集，则的可能值有几个（    ）

A.1    B.2    C.3    D.4

三､解答题（本大题共有5题，满分76分）

17.已知为等差数列，为等比数列，.

（1）求和的通项公式；

（2）记的前项和为，求证：；

18.如图：平面，四边形为直角梯形，.

（1）求异面直线与所成角的大小；

（2）求二面角的余弦值；

19.流行性感冒简称流感，是流感病毒引起的急性呼吸道感染，也是一种传染性强､传播速度快的疾病，了解引起流感的某些细菌､病毒的生存条件､繁殖习性等对于预防流感的传播有极其重要的意义，某科研团队在培养基中放入一定是某种细菌进行研究.经过2分钟菌落的覆盖面积为，经过3分钟覆盖面积为，后期其蔓延速度越来越快；菌落的覆盖面积（单位：）与经过时间（单位：）的关系现有三个函数模型：①（；②；③可供选择.

（1）选出你认为符合实际的函数模型，说明理由，并求出该模型的解析式；

（2）在理想状态下，至少经过多少分钟培养基中菌落的覆盖面积能超过？（结果保留到整数）

20.在平面直角坐标系中，若椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上且在第一象限内，，直线与椭圆相交于另一点

（1）求的周长；

（2）在轴上任取一点，直线与直线相交于点，求的最小值；

（3）设点在椭圆上，记与的面积分别是，若，求点的坐标.

21.记分别为函数的导函数.若存在，满足且，则称为函数与的一个“兰亭点”.

（1）证明：函数与不存在“兰亭点”；

（2）若函数与存在“兰亭点”，求实数的值；

（3）已知函数.对存在实数，使函数与在区间内存在“兰亭点”，求实数的取值范围

2023届交大附中高三三模数学试卷

2023.05

一､填空题

1.【答案】    2.【答案】    3.【答案】    4.【答案】

5.【答案】    6.【答案】    7.【答案】-8

8.【答案】

【解析】因为，

所以第40百分位数为第16个数和第17个数的平均数，即.

9.【答案】

【解析】由题意知，，且，故，显然，即，若，此时显然不满足题意，故.

10.【答案】95.5

【解析】由，所以，

又，故，解得.

11.【答案】

【解析】作出图像，动态分析即可.

12.【答案】1513

【解析】函数是最小正周期为4的偶函数，且在时，

函数的值域为，对任意，

都有，

要使取得最小值，尽可能多让取得最高点，且，

，

的最小值估计值为，故的最小值取507，相应的最小值为1011.5，

则的最小值为1518.5.

二､选择题

13.【答案】A

14.【答案】D

【解析】原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，因此选D.

15.【答案】B

【解析】因为为偶函数，所以，即

解之得，经检验符合题意.则

由，可得

故的解集为，故选B.

16.【答案】B

【解析】由题意易知，，均是集合中的元素，

又集合恰有8个子集，故集合只有三个元素，有，则结合正弦函数图像易知，

可取的值是4或5.

三､解答题

17.【答案】；（2）见解析

【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，

得，，故，于是；

由得，，

又等比数列公比，得到，故，

于是.

（2）由（1）得，，故，

作差可得，

即，得证

18.【答案】

（1）；（2）.

【解析】（1）由，

则异面直线与所成角即为，

由题意知，平面，故，

故，即，

即异面直线与所成角为

（2）因为平面，所以，又，

所以以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系：

则，

则，

设平面的法向量为，

则，取，得，得，

取平面的法向量为，

设二面角的大小为，由图形知，为锐角，

所以，

所以二面角的余弦值为.

19.【答案】（1）见解析；（2）至少经过培养基中菌落的覆盖面积能超过

【解析】（1）因为的增长速度越来越快，

和的增长速度越来越慢，

所以应选函数模型

由题意得，解得，

所以该函数模型为；

（2）由题意得，即，所以，

又.

所以至少经过培养基中菌落的覆盖面积能超过.

20.【答案】（1）6；（2）-4；（3）或.

【解析】（1）由椭圆方程可知：.

所以的周长为；

（2）由椭圆方程得，设，则直线方程为，

又，所以直线与的交点为，

，

当时，

（3）若，设到直线距离到直线距离，

则，即，

可得直线方程为，

所以

由题意得，点应为与直线平行且距离为的直线与椭圆的交点，

设平行于的直线为，与直线的距离为，求得或12，

当时，直线为，联立方程：，可得，

解得或，

当时，直线为，联立方程：可得：，

此时方程无解

综上所述，点坐标为或.

21.【答案】

（1）见解析；（2）；（3）

【解析】（1）函数，则.

由且，得

，此方程组无解，

因此，与不存在“兰亭点”.

（2）函数，

则.

设为与的“兰亭点”，由与且与，得

，即，（*）

得，即，则.

当时，满足方程组（*），即为与的“兰亭点”.

因此，的值为.

（3），

函数与在区间内存在“兰亭点”，记为，

所以，解得，

由于，解得或，

而，所以，

所以时，时，

综上，实数的取值范围是.