湖南省岳阳市临湘市2021-2022学年高一下学期期末数学试题

2022年上学期教学质量检测试卷

高一 数学

一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．

1. 设，则=（    ）

A.  B.  C.  D. 2

【答案】B

【解析】

【分析】对复数进行运算化简得，再进行模的计算，即可得答案；

【详解】，

故选：B.

【点睛】本题考查复数模的计算，考考运算求解能力，属于基础题.

2. 2021年湖南省新高考实行“3+1+2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．某同学已选了物理，记事件A=“他选择政治和地理”，事件B=“他选择化学和地理”，则事件A与事件B（    ）

A. 是互斥事件，不是对立事件 B. 是对立事件

C. 既不是对立事件，也不是互斥事件 D. 无法判断

【答案】A

【解析】

【分析】根据对立事件、互斥事件的定义判断即可；

【详解】解：依题意某同学已选了物理，则还有政治和地理，政治和化学，政治和生物，地理和化学，地理和生物，化学和生物这种情况，

所以事件与事件是互斥事件，但是不是对立事件；

故选：A

3. 已知两条不同直线，，两个不同平面，，则下列命题正确的是

A. 若，，，则

B. 若，，，则

C. 若，，，则

D. 若，，，则

【答案】B

【解析】

【分析】

对A，或异面，所以该选项错误；对B，，所以该选项正确；对C，，所以该选项错误；对D，或或相交或异面，所以该选项错误.

【详解】对A，若，，，则或异面，所以该选项错误；

对B，若，，所以，因为，则，所以该选项正确；

对C，若，，，则，所以该选项错误；

对D，若，，，则或或相交或异面，所以该选项错误.

故选：B.

【点睛】本题主要考查空间直线和平面位置关系的命题真假的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象能力.

4. 设，则“”是“”的

A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.

【详解】化简不等式，可知 推不出；

由能推出，

故“”是“”的必要不充分条件，

故选B．

【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件．

5. 已知，，，则，，的大小关系是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据对数函数与指数函数的性质，分别判断，，的范围，即可得出结果.

【详解】因为，，，

所以.

故选：C.

6. 如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个观测点，，测得，，，并在处测得塔顶的仰角为45°，则塔高（ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由已知在中，利用正弦定理可求的值，在中，由，可求塔高的值.

【详解】解：在中，，，，

由正弦定理，可得，

可得，

在中，，

所以塔高.

故选：D.

7. 函数的零点所在的区间为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

先判断在上恒成立，排除CD；再判断在上单调，计算出，，，根据函数零点存在性定理，即可得出结果.

【详解】当时，，所以恒成立，故和内不可能存在零点；排除CD.

当时，单调递增，也单调递增，所以在上单调递增；

又在上为连续函数，且，

，

，因此，，

由函数零点存在性定理可得，仅区间内有零点，即A正确，B错.

故选：A.

8. 已知四边形中，，，，点在四边形上运动，则的最小值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由题意分析可知四线性关于直线对称，且，只需考虑点在边上的运动情况即可，然后分类讨论求出的最小值.

【详解】

如图所示，因为，且，所以垂直且平分，则△为等腰三角形，又，所以△为等边三角形.

则四边形关于直线对称，故点在四边形上运动时，只需考虑点在边上的运动情况即可，

因为，易知，即，则，

①当点在边上运动时，设，则，

∴，当时，的最小值为；

②当点在边上运动时，设，则，

∴，当时，的最小值为；

综上，的最小值为；

故选：C .

【点睛】本题考查向量的数量积及数量积的最值问题，考查数形结合思想的运用、分类讨论思想的运用，难度稍大.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．

9. 为了解学生的身体状况，某校随机抽取了100名学生测量体重，经统计，这些学生的体重数据（单位：千克）全部介于45至70之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则（    ）

A. 频率分布直方图中值为0.04

B. 这100名学生中体重不低于60千克的人数为20

C. 这100名学生体重的众数约为52.5

D. 据此可以估计该校学生体重的75%分位数约为61.25

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用频率之和为1可判断选项A，利用频率与频数的关系即可判断选项B，利用频率分布直方图中众数的计算方法求解众数，即可判断选项C，由百分位数的计算方法求解，即可判断选项D．

【详解】解：由，解得，故选项A正确；

体重不低于60千克的频率为，

所以这100名学生中体重不低于60千克的人数为人，故选项B错误；

100名学生体重的众数约为，故选项C正确；

因为体重不低于60千克的频率为0.3，而体重在，的频率为，

所以计该校学生体重的分位数约为，故选项D正确．

故选：ACD．

10. 将函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，得到偶函数的图象，则下列结论中正确的有（    ）

A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于对称

C. 在上的值域为 D. 在上单调递减

【答案】ABD

【解析】

【分析】

通过函数图象的伸缩平移变换可得的值，以及与解析式，再根据三角函数图象性质判断各个选项.

【详解】函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度,

得，

又为偶函数，故轴为的对称轴，

即，解得，

，，

，

的对称中心：令，即对称中心为，

当时，对称中心为，故A选项正确；

对称轴：令，当时，对称轴为，故B选项正确；

，，故C选项错误；

的单调递减区间：令，即，

又，故函数在上单调递减，D选项正确；

故选：ABD.

11. 下列说法正确的是（    ）

A. 若函数在存在零点，则一定成立

B. “，”的否定是“，”

C. 设M为平行四边形ABCD的对角线的交点，O为平面内任意一点，则

D. 若，O为所在平面一点，和分别表示和的面积，则

【答案】BD

【解析】

【分析】直接利用零点定理，命题的否定，向量的线性运算，向量的加法和三角形的面积的求法，逐一分析各个选项，即可得出答案．

【详解】解：对于A：若函数在存在零点，且函数具有单调性，则（1）一定成立，故A错误；

对于B：“，的否定是“，”故B正确；

对于C：如图所示：

所以，，

所以，故C错误；

对于D：，

如图所示：

整理得：，取的中点为，的中点为，

所以，

所以设，，

所以，

由于为的中位线，

所以，

故．故D正确；

故选：BD．

12. 如图，在正方体中，点在线段上运动，则（    ）

A. 直线平面

B. 二面角的大小为

C. 三棱锥的体积为定值

D. 异面直线与所成角的取值范围是

【答案】AC

【解析】

【分析】在A中推导出A1C1⊥BD1，DC1⊥BD1，从而直线BD1⊥平面A1C1D；在B中根据正方体性质显然不成立；在C中由B1C∥平面 A1C1D，得到P到平面A1C1D的距离为定值，再由△A1C1D的面积是定值，从而三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值；在D中异面直线AP与A1D所成角的取值范围是即可求解.

【详解】如图，

在A中，∵A1C1⊥B1D1，A1C1⊥BB1，B1D1∩BB1＝B1，

∴A1C1⊥平面BB1D1，∴A1C1⊥BD1，同理，DC1⊥BD1，

∵A1C1∩DC1＝C1，∴直线BD1⊥平面A1C1D，故A正确；

在B中，由正方体可知平面不垂直平面,故B错误；

在C中，∵A1D∥B1C，A1D⊂平面A1C1D，B1C⊄平面A1C1D，

∴B1C∥平面 A1C1D，

∵点P在线段B1C上运动，∴P到平面A1C1D的距离为定值，

又△A1C1D的面积是定值，∴三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值，故C正确；

在D中，当点P与线段的端点重合时, 异面直线与所成角取得最小值为,故异面直线AP与A1D所成角的取值范用是，故D错误.

故选：AC

【点睛】关键点点睛：根据正方体的图形与性质，结合线面垂直的判定，三棱锥的体积公式，二面角、异面直线所成角的概念，是解题的关键，属于中档题.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知向量，，若，则__________．

【答案】

【解析】

【分析】利用平面向量垂直的坐标表示结合三角恒等变换化简得出，利用二倍角的余弦公式可求得结果.

【详解】由得

，

所以，，因此，.

故答案为：.

14. 关于的方程有实根，则实数的值为__________．

【答案】

【解析】

【分析】设为方程的实根，代入方程中化简，然后利用复数相等的条件可求出实数的值

【详解】设为方程的实根，则，

的以，

所以，

所以，得，

所以，

故答案为：

15. 为了了解一家公司生产的白糖的质量情况，现从这家公司生产的白糖中随机抽取了10袋白糖，称出各袋白糖的质量（单位：克）如下：

495   500   503   508   498   500   493   500   503   500

则质量落在区间（表示质量的平均值，为标准差）内的白糖有____________袋.

【答案】7

【解析】

【分析】根据平均数和标准差的计算公式，结合数据，即可求得结果.

【详解】由题可得：；

，故可得.

则区间[﹣s，+s]即为.

故落在该区间的产品件数为：.

故答案为：.

16. 已知函数，若当方程有四个不等实根、、、，(＜＜＜) 时，不等式恒成立，则x1·x2=________，实数的最小值为___________．

【答案】    ①. 1    ②.

【解析】

【分析】根据分段函数性质画出的图象，结合题设，应用数形结合及对

数函数的性质可得，利用对数的运算易得，由对称性可得

，再应用参变分离有恒成立，构造

，利用换元法结合基本不等式求最值，即可求的最小值.

【详解】当时，，

∴，如下图示：

∴、､、对应A、B、C、D的横坐标，

由，故，因为，又

得

故答题空1的答案为：.

由对称性同理可得：，

又因

得：，，

分离参数得：，

设，

令，则，，则，

再令（）

则，

∴（当且仅当时取“=”），

∴，即，

∴，即实数的最小值为.

故答题空2的答案为：.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知，函数．

（1）求的最小正周期和最大值；

（2）求在上的单调区间．

【答案】（1）最小正周期为π，最大值为．   

（2）为单调递增区间；为单调递减区间．

【解析】

【分析】（1）根据数量积的坐标运算及三角恒等变换化简，由正弦型三角函数求周期、最值即可；

（2）根据自变量的范围求出的范围，结合正弦型三角函数的单调性求解.

【小问1详解】

，

因此的最小正周期为π，最大值为．

【小问2详解】

当时，，

从而当，

即时，单调递增，

当，即时，单调递减．

综上可知，在上单调递增；在上单调递减．

18. 从①，②，③三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答：

已知三个内角，，的对边分别为，，，已知_________.

（1）求角的大小；

（2）若为锐角三角形，，求a的取值范围.

【答案】选①②③（1）；（2）

【解析】

【分析】（1）选①：利用余弦定理以及已知条件可求得的值，再结合角范围即可求解；选②：利用正弦定理化边为角可得的值，再结合角范围即可求解；选③：利用诱导公式和同角三角函数基本关系可求得的值，再结合角范围即可求解；

（2）利用正弦定理，结合将边转化为角，再由锐角三角形求出的范围，利用三角函数的性质即可求解.

【详解】（1）选①：∵，

∴.

∴.

∴.

又∵，∴.

选②：∵，

由正弦定理得.

∵，∴，

∴，∴.

又∵，∴.

选③：∵，

∴.

∴.

∴.

又∵，∴.

（2）由正弦定理，

∴.

∴ 

.

∵为锐角三角形，，

可得 ，解得：，

∴，∴

∴，∴.

∴的范围是.

19. 在直三棱柱中，，分别是，的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若，，．

（ⅰ）求二面角的正切值；

（ⅱ）求直线到平面的距离．

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）（ⅰ）；（ⅱ）.

【解析】

【分析】（Ⅰ）取中点并连接，证明四边形为平行四边形，然后得到即可；

（Ⅱ）（ⅰ）连接，首先得到，然后可得二面角的平面角为，然后证明平面，然后在中求解即可；

（ⅱ）利用求解即可.

【详解】证明：（Ⅰ）取中点并连接，

因为是的中点，所以，

因为是的中点，所以，

所以，，所以四边形为平行四边形，

所以，

因为平面，平面，

所以平面．

（Ⅱ）（ⅰ）连接，因为，，是的中点，

所以，所以，所以，

同理可得，所以，

因为，所以二面角的平面角为，

又，所以平面，

因为平面，所以，

因为直三棱柱，所以平面，又平面，

所以，又，

所以平面，因为平面，所以，

易得，在中可得，

所以二面角的正切值为

（ⅱ）因为平面，

所以直线到平面的距离等于点到平面的距离，

设点到平面的距离为，

因为，所以，

即，解得，

所以直线到平面的距离为．

20. 为打造精品赛事，某市举办“南粤古驿道定向大赛”，该赛事体现了“体育+文化+旅游”全方位融合发展.本次大赛分少年组、成年组、专业组三个小组，现由工作人员统计各个组别的参赛人数以及选手们比赛时的速度，得到如下统计表和频率分布直方图：

（1）求a，b的值；

（2）估计本次大赛所有选手的平均速度（同一组数据用该组数据的中间值作代表，最终计算结果精确到0.01）；

（3）通过分层抽样从成年组和专业组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人接受采访，求接受采访的2人都来自“成年组”的概率.

【答案】（1），；（2）9.05千米/小时；（3）.

【解析】

【分析】（1）由频率和为1，求出的值，再由频率分布直方图求出少年组的频率，而少年组的人数为300人，从而可求出总人数，进而可求出的值；

（2）利用平均数公式求解即可；

（3）先利用分组抽样的定义求出成年组和专业组的人数，然后利用列举法求解即可

【详解】（1）由频率分布直方图可知

，

∴.

少年组人数为300人，频率，总人数人，

∴.

∴，.

（2）平均速度

，

∴估计本次大赛的平均速度为9.05千米/小时.

（3）成年组和专业组的参赛人数分别为600人、300人.

设在成年组和专业组抽取的人数分布为x，y，

则.

∴，.

∴由分层抽样在成年组中抽取4人，专业组中抽取2人.

设成年组中的4人分别用A，B，C，D表示；专业组中的2人分别为a，b表示.

从中抽取两人接受采访的所有结果为：

AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab共15种.

接受采访的两人均来自成年组的所有结果为：

AB，AC，AD，BC，BD，CD共6种.

故接受采访的两人都来自成年组的概率为.

21. 十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，年某企业计划引进新能源汽车生产设备看，通过市场分析，全年需投入固定成本万元，每生产（百辆）需另投入成本（万元），且.由市场调研知，每辆车售价万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.

（1）求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润=销售额—成本）

（2）当年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.

【答案】（1）   

（2）百辆，最大利润为万

【解析】

【分析】（1）根据题意分情况列式即可；

（2）根据分段函数的性质分别计算最值.

【小问1详解】

由题意得当时，，

当时，，

所以,

【小问2详解】

由（1）得当时，，

当时，，

当时，

，当且仅当，即时等号成立，

，时，，，

时，即年产量为百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为万元.

22. 已知函数为奇函数．

（1）求实数的值；

（2）若对任意的，有恒成立，求实数的取值范围；

（3）设（，且），问是否存在实数，使函数在上的最大值为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）；（3）不存在满足条件，理由见解析．

【解析】

【分析】（1）由于函数在上为奇函数，所以，从而可求出实数的值；

（2）由于在上单调递增，且，所以可转化为在上恒成立，即在上恒成立，设，求出其最大值即可；

（3）设，，则在上恒成立，从而得，对于二次函数，利用二次函数的性质可得，然后分和求出即可

【详解】（1）∵函数的定义域为，且为奇函数，

∴，解得．

此时，所以为奇函数，

所以

（2）∵，

∴在上单调递增，且．

∵，则，

又函数在上单调递增，则在上恒成立，

∴在上恒成立，

设，则，

∴实数的取值范围为．

（3）不存在，理由如下，设，，，

∴在上恒成立，

∴，则，∵，则．

对于二次函数，开口向上，对称轴，∴

∴对称轴位于的左侧，则二次函数在上单调递增，

则，，

假设存在满足条件的实数，则当时，由复合函数的单调性判断方法，

可知为减函数，

∴，则，∴，

∴（舍），

同理可知，当时，（舍），

综上所述，不存在实数满足条件成立．

【点睛】关键点点睛：此题考查函数的奇偶性，考查不等式恒成立问题，考查二次函数性质的应用，解题的关键是设，，则，由求出，然后分和求出即可，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题