2023年山东省聊城市阳谷县中考数学一模试卷（含解析）

2023年山东省聊城市阳谷县中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  实数的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图是一个长方体切去部分得到的工件，箭头所示方向为主视方向，那么这个工件的主视图是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  如图，是某商店售卖的花架简图，其中，，，，则长为．(    )

A.
B.
C.
D.

4.  一个水分子的质量大约为克，一滴水的质量大约为克．则一滴水大约含______个水分子．(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列说法中，正确的是(    )

A. 若是实数，则是必然事件 B. 表示非负数的平方根
C. 三角形的外心是它的三边中垂线的交点 D.

6.  关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是(    )

A. 且 B. 且
C.  D. 且

7.  如图，是的弦，，垂足为，，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  若是非负整数，则表示的值的对应点落在如图数轴上的范围是(    )
 

A.  B.  C.  D. 或

9.  生活垃圾分类回收是实现垃圾减量化和资源化的重要途径和手段为了解年某市第二季度日均可回收物回收量情况，随机抽取该市年第二季度的天数据，整理后绘制成统计表进行分析．

表中组的频率满足下面有四个推断：
表中的值为；
表中的值可以为；
这天的日均可回收物回收量的中位数在组；
这天的日均可回收物回收量的平均数小于．
所有合理推断的序号是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  我国党的二十大报告指出从年到年基本实现社会主义现代化，从年到本世纪中叶把我国建成富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国年我国约为万亿元，如果以后每年按相同的增长率增长，两年后我国约达万亿元，将增长率记作，可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

11.  如图，和都是等边三角形，点是的外心，那么：的值为(    )

A.
B.
C.
D.

12.  如图，在菱形中，，点是边上的一动点，点是对角线上一动点，设的长度为，与的长度和为，当点从向点运动时，与的函数关系图所示，其中是图象上的最低点，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13.  分解因式： ______ ．

14.  写出不等式组的整数解是______ ．

15.  如图是一顶由扇形纸板围成的圆锥形生日帽，阴影部分是扇形纸板重叠的部分用于黏贴已知生日帽的母线长为，高为，长为，则原扇形纸板的圆心角度数为______

16.  秦九韶的数书九章中有一个“峻积验雪”的例子，其原理为：如图，在中，，，，，，过点作交的延长线于点，过点作交于点，那么 ______ ．

17.  如图，在轴的正半轴上依次截取，过点，，，分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，，，，得直角三角形，，，，并设其面积分别为，，，，则的值为______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

18.  解分式方程：．

四、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
为进一步实现云端教学的增效赋能，某校就“初中生在网课期间平均每日作业完成时长”的问题，从本校随机抽取了名学生进行问卷调查问卷如下：
近两周你平均每天完成书面作业的时间大约是分钟，如果你平均每天完成书面作业的时间超过分钟，请回答第个问题．
作业超时的主要原因是____单选．
A.作业难度大无法按时完成
B.作业会做，但题量大无法按时完成
C.学习效率低无法完成
D.其他
根据调查结果，将平均每天完成作业的时间分钟分为组；；；；，并绘制成如下两幅不完整的统计图：

根据以上信息，解答下列问题：
书面作业不少于分钟的学生人数占被调查人数的百分比为______ ；影响作业完成时间的主要原因统计图中的 ______ ．
补全作业完成时间统计图；
老师准备从自己班完成作业用时最少的名学生中选取名进行经验介绍，已知这名同学中有名男生和名女生，用列表或画树状图的方法求选中的名同学恰好是一男一女的概率．

20.  本小题分
如图，▱对角线，相交于点，过点作且，连接，，．
求证：▱是菱形；
若，，求的长．
 

21.  本小题分
卡塔尔世界杯于月日开幕，闪耀在卡塔尔的除了足球，还有我们的“中国造”，本届世界杯三款限量版纪念品，包括“大力神杯”纪念品摆件、会徽摆件、冠军国家地图徽章套组均产自东莞，还有多款周边纪念品．某商店售卖甲乙两种钥匙扣，已知个甲和个乙的售价和为元，个甲和个乙的售价和为元．
求每个甲钥匙扣的售价和每个乙钥匙扣的售价；
第一天商店按原售价卖出甲个和乙个，第二天商店决定调整销售策略，每个甲钥匙扣售价不变，销量在第一天的基础上减少了个，每个乙钥匙扣降价元，销量比第一天增加了个，结果第二天两种钥匙扣的销售总额比第一天增加了元，销售过程中，乙钥匙扣的单价始终高于甲的单价，求乙钥匙扣降价后的单价．

22.  本小题分
某数学小组要测量学校路灯的顶部到地面的距离，他们借助皮尺、测角仪进行测量，在处测得路灯顶部的仰角，处测得路灯顶部的仰角，已知测角仪的高度为，路灯顶部到地面的距离约为多少米？结果精确到米参考数据：，，，
 

23.  本小题分
一次函数的图象与反比例函数的图象交于和，与轴交于点．
求反比例和一次函数的解析式，并在网格中画出一次函数的图象．
点在一次函数的图象上，过点作轴于点，交反比例函数图象于点，连接，，求四边形的面积．

24.  本小题分
如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且．
求证：是的切线；
若直径，，求的长．

25.  本小题分
如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点，连接，作直线．

求抛物线的表达式；
如图，点是线段上的任意一点，过点作垂直于轴交抛物线于点连接，当时，求点的坐标；
若点是直线下方的抛物线上的一点，点在轴上，点在线段上，当以，，，为顶点的四边形是菱形时，求菱形的边长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：实数的相反数是，
故选：．
直接利用相反数的定义得出答案．
本题考查求一个数的相反数，解题的关键是熟练掌握只有符号不同的两个数互为相反数，特别地，的相反数是．
 

2.【答案】 

【解析】解：该几何体的主视图是一个矩形，矩形的右边有一条线段把矩形分成了一个梯形和三角形．
故选：．
主视图是从几何体的正面看所得到的视图，注意看不到的棱需要画成虚线．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
即，
，
的长是．
故选：．
由，利用平行线分线段成比例，可求出的长．
本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

5.【答案】 

【解析】解：、若是实数，则，故不是必然事件，原说法错误，不符合题意；
B、表示非负数的算术平方根，原说法错误，不符合题意；
C、三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等，三角形的外心就是它的三边中垂线的交点，正确，符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意．
故选：．
根据事件可能性大小对选项A分析；根据平方根和算术平方根的定义分析；根据三角形外心的定义判定；根据平方差公式计算．
本题主要考查随机事件、非负数的性质及三角形的外心等知识，掌握相关知识点是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，
，，
，，
且．
故选：．
根据一元二次方程的二次项系数不为零，进行求解即可得到答案
本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据二次项系数不等于零以及根的判别式，找出关于的一元一次不等式组是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图：

连接，则，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
连接，则，由，则，再由，即可求出答案．
本题考查了圆，平行线的性质，解直角三角形，等腰三角形的有关知识；正确作出辅助线、利用圆的半径相等是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：原式




，
则表示的值的对应点落在如图数轴上的范围是．
故选：．
原式第二项约分后，利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，即可作出判断．
此题考查了分式的化简求值，以及数轴，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：．
故表中的值为，是合理推断；
，
，
，
故表中的值可以为，是不合理推断；
，
故这天的日均可回收物回收量的中位数在组，是合理推断；
由题意可知，最小的平均数估算为：
，
故这天的日均可回收物回收量的平均数为，平均数小于是不合理推断．
故选：．
根据数据总和频数频率，列式计算可求的值；
根据组的频率满足，可求该范围的频数，进一步得到的值的范围，从而求解；
根据中位数的定义即可求解；
根据加权平均数的计算公式即可求解．
考查频数率分布表，从表中获取数量及数量之间的关系是解决问题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据题意得：年我国约为万亿元，
年我国约为万亿元，
可列方程为．
故选：．
根据题意直接列出方程即可．
本题考查一元二次方程的实际应用．理解题意，找出等量关系，正确列出等式是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图，延长交于点，连接，

是等边三角形，点是的外心，
，，，
设，则，
，，
，
和都是等边三角形，
，，
：：．
故选：．
延长交于点，连接，根据是等边三角形可知，设，则，利用锐角三角函数的定义用表示出的长，再根据相似三角形的性质即可得出结论．
本题考查的是三角形的外心，等边三角形的性质，含角的直角三角形的三边关系；熟知外心相关性质是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：连接，作，垂足为，交于，

由菱形是关于对角线所在直线的对称可知：，，
，，
，，
由三角形三边关系和垂线段最短知，，
即有最小值，
菱形中，，，
在中，，
解得，，
在中，，
，
，
是图象上的最低点，
，
，，
故选：．
从图知，是的最小值，从图作辅助线知；接下来求出，则求出，，最后得，
本题考查动点问题的函数图象，掌握菱形的轴对称性质，三角形三边关系及垂线段最短是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：



，
故答案为：．
采用分组分解法分解因式即可．
本题考查了分组分解法分解因式，熟记平方差公式，正确地分组是解题的关键．
 

14.【答案】，， 

【解析】解：，
解得，，
解得，，
不等式组的解集为，
不等式组的整数解为，，．
故答案为，，．
先解两个不等式，再求不等式组的解集，从而得出正整数解．
本题考查了一元一次不等式组的整数解，是基础知识比较简单．
 

15.【答案】 

【解析】解：圆锥的底面半径为，
底面周长为，
设原扇形纸板的圆心角度数为度，
，
解得．
故答案为：．
根据圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面周长计算．
本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，作，于点，，

，
，
，
，
四边形是矩形，
，
在中，，，，
，
，
，
，
，
，
∽，
，，
，
，
．
故答案为：．
作，于点，，根据已知条件证明四边形是矩形，再根据等面积法求出，证明∽，利用对应高的比等于相似比即可求出的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，等面积法，解决本题的关键是综合运用以上知识．
 

17.【答案】 

【解析】解：连接，，，，如图所示：

过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是个定值，，
，即，
又，
，，，，，
与的高为同一条高，
，
，
故答案为：．
因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是个定值，，由反比例函数解析式中，得出，，，，的面积都为，而为的，且与的高为同一条高，故的面积为的面积的，由的面积都为，得出的面积，即为的值．
此题属于反比例函数的综合题，涉及的主要知识有：反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义，图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积的关系即．
 

18.【答案】解：去分母得：，
解得：，
检验：把代入，
则是原分式方程的解． 

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
 

19.【答案】   

【解析】解：书面作业不少于分钟的学生人数占被调查人数的百分比为，
影响作业完成时间的主要原因统计图中的，即，
故答案为：，；
人数为，
补全图形如下：

由题意可得，树状图如图所示，

由树状图知，共有种等可能结果，其中选中的名同学恰好是一男一女的有种结果，
恰好选中一名男生和一名女生的概率是．
用第组人数除以总人数即可，根据百分比之和为可得的值，
根据五个小组人数之和为可得第组人数；即可补充统计图；
根据题意可以画出相应的树状图，从而可以求得相应的概率．
本题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

20.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形．
，
平行四边形是矩形，
，
，
▱是菱形；
解：四边形是菱形，
，，，
，
是等边三角形，
，
，
在中，由勾股定理得：，
由可知，四边形是矩形，
，，
，
即的长为：． 

【解析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
先证四边形是平行四边形．再证平行四边形是矩形，则，得，然后由菱形的判定即可得出结论；
证是等边三角形，得，再由勾股定理得，然后由矩形的在得，，即可解决问题．
 

21.【答案】解：设每个甲钥匙扣的售价为元，每个乙钥匙扣的售价为元，
由题意可列方程组得：，解得：，
答：每个甲钥匙扣的售价为元，每个乙钥匙扣的售价为元；
根据题意可列方程得：，
整理得：，解得：，，
乙钥匙扣的单价始终高于甲的单价，而，
，
此时元，
答：乙钥匙扣降价后的单价为元． 

【解析】先设出未知数，然后根据题意列出方程组，解出方程组即可求出；
根据题意列出方程，求出的值，根据乙钥匙扣的单价始终高于甲的单价，不符合条件的值舍去，即可求出乙钥匙扣降价后的单价．
本题主要考查了二元一次方程组和一元二次方程的应用，解题关键：找出题中的等量关系列出方程．
 

22.【答案】解：如图：延长，交于点，则，

，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
同理：四边形矩形；
，，
在中，有，
在中，有，
，
即，
，
解得：；
；
米；
路灯顶部到地面的距离约为米． 

【解析】延长，交于点，则，先得到四边形、是矩形，然后由解直角三角形求出的长度，再求出的长度，即可求出答案．
本题考查了解直角三角形的应用，解直角三角形，矩形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握题意，正确的作出辅助线，正确的求出的长度．
 

23.【答案】解：反比例函数过，
，
，
反比例的解析式：；
反比例函数过，
，
，
把和代入一次函数，
，
解得，，
一次函数的解析式：；
一次函数的图象如下：

连接，如图所示：

，且在一次函数图象上，
，
，
轴，
的纵坐标为，
把，代入；
得，即，
，
，，，，
． 

【解析】反比例函数过，求出，求得反比例函数的解析式；把点代入求得的反比例函数的解析式，求出，把和代入一次函数，求出、，根据点、的坐标画出函数图象．
四边形在平面直角坐标系中如图所示：先求出，根据计算即可．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，掌握待定系数法求一次、反比例函数解析式的步骤，其中求三角形的面积转化为面积之差是解题关键．
 

24.【答案】证明：连接，
是的直径，
，
，
又，
，
又．
，
即，
是的切线；
解：，，
，
在中，
，，
，
，
，
，，
∽，
，
设，则，，
又，
即，
解得取正值，
． 

【解析】根据切线的判定，连接，证明出即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案；
由，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得：：：：，再根据相似三角形的性质可求出答案．
本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三角形，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提．
 

25.【答案】解：将、，代入抛物线的解析式得：
，
解得，
抛物线表达式为；
如图所示：过点作轴，交于点．

轴，
点的纵坐标为．
将代入抛物线的解析式得：，
解得：或，
．
．
，
，
即 ，
解得，
，
设的解析式为，将点的坐标代入得：，
解得 ，
直线的解析式为 ，
将 代入 得：
，
解得：或，
将代入 得：
．
，
当点在点的上方时，如图所示

，
，
为菱形，

轴．
由可知点的坐标为．
菱形的边长为．
如图所示：当点在点的下方时．过点作轴，垂足为．

设菱形的边长为，则，
，
，
的坐标为 ．
将点的坐标代入抛物线的解析式得：，
解得：，
综上所述菱形的边长为或 ． 

【解析】先，，三点的坐标代入解析式即可得解；
过点作轴，交于点，先求得点的坐标，则可得到的长，然后证明 ，可得到点的坐标，再求得的解析式，最后求得与抛物线的交点坐标即可；
当点在点的上方时，由菱形的对角线平分每一组对角可得到，则轴，可求得点的坐标，故此可得到菱形的边长；当点在点的下方时，过点作轴，垂足为设菱形的边长为，可求得点的坐标为 ，将点的坐标代入抛物线的解析式可求得的值．
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质、锐角三角函数的定义，菱形的性质．分类讨论是解答本题的关键．