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2023年河北省沧州市孟村县中考数学二模试卷（含解析）
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这是一份2023年河北省沧州市孟村县中考数学二模试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年河北省沧州市孟村县中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共16小题，共42.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列计算结果为负数的是( )
A. −(−2) B. −|−2| C. −(−2)3 D. (−2)2
2. 如图，△ABC中，_____，AC=9cm，BC=3cm，要使△ACD和△BCD的周长的差是6cm，则横线上加的条件为( )
A. CD是AB边上的中线
B. CD是∠ACB的平分线
C. CD是AB边上的垂线
D. CD是△ABC的中位线
3. 若|m|=5，|n|=2，且m，n异号，则|m−n|的值为( )
A. 7 B. 3或−3 C. 3 D. 7或3
4. 下列二次根式是最简二次根式的是( )
A. 12 B. 0.3 C. 8 D. 6
5. 如图，若村庄A要从河流l引水入村，则沿着垂线段AP铺设水管最节省材料，其依据是( )
A. 两点之间，线段最短
B. 垂线段最短
C. 两点确定一条直线
D. 在同一平面内，经过一点有并且只有一条直线与已知直线垂直
6. 将图1围成图2的正方体，则图1中的红心“”标志所在的正方形是正方体中的( )
A. 面CDHE B. 面BCEF C. 面ABFG D. 面ADHG
7. 下列关于x的不等式组3(x−1)≤4x+1x−m<0，说法正确的是( )
A. 若此不等式无实数解，则m≤−4 B. 若此不等式无实数解，则m>−4
C. 若此不等式有解，则m=−4 D. 此不等式无整数解
8. 把数轴上的点A向左移动8个单位长度得到点B，若A点表示的数与B点表示的数互为相反数，则A点表示的数是( )
A. 8 B. 4 C. −4 D. −8
9. 将两块三角板按如图所示位置摆放，若AD//BC，点F在AD上，则∠ACF的度数为( )
A. 15° B. 10° C. 20° D. 25°
10. 如图，▱ABCD中，∠C=110°，AB=2，以AB为直径的⊙O交BC于点E，则AE的长为( )
A. π9
B. 7π18
C. 7π9
D. 2π9
11. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D是线段AB上的一点，连接CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF，下列结论错误的是( )
A. AGAB=AFFC
B. 若点D是AB的中点，则AF= 23AB
C. 当B、C、F、D四点在同一个圆上时，DF=DB
D. 若DBAD=12，则S△ABC=9S△BDF
12. 反比例函数y=kx(k为常数，k≠0)的图象经过点(1,−2)，则下列说法错误的是( )
A. k=−2 B. 当x>0时，y随x的增大而增大
C. 函数图象分布在第二、四象限 D. 当x<0时，y随x的增大而减小
13. 图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字4的刻度在矩形ABCD的对角线AC上，时钟中心在矩形ABCD对角线的交点O上．若AD=60cm，则AB的长为( )
A. 20cm B. 20 3cm C. 30cm D. 30 3cm
14. 某班五个兴趣小组的人数分别为4，4，5，x，6.已知这组数据的平均数是5，则这组数据的中位数是( )
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
15. 如图，扇形OBA中，点C在弧AB上，连接BC，P为BC中点．若OA=6，∠AOB=120°，则点C沿弧从点B运动到点A的过程中，点P所经过的路径长为( )
A. 4π B. 2π C. 3 3 D. 6
16. 如图，边长为2的正方形ABCD的顶点A在y轴上，顶点D在反比例函数y=kx(x>0)的图象上．已知点B的坐标是(65,115)，则k的值为( )
A. 16
B. 12
C. 8
D. 4
二、填空题（本大题共3小题，共9.0分）
17. 电脑系统中有个“扫雷”游戏，游戏规定：一个方块里最多有一个地雷，方块上面如果标有数字，则是表示此数字周围的方块中地雷的个数．如图1中的“3”就是表示它周围的八个方块中有且只有3个有地雷．如图2，这是小明玩游戏的局部，图中有4个方块已确定是地雷(标旗子处)，其它区域表示还未掀开，问在标有“A”～“G”的七个方块中，能确定一定是地雷的有 (填方块上的字母)．
18. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，直角∠MON的顶点O在AB上，OM、ON分别交CA、CB于点P、Q，∠MON绕点O任意旋转．当OAOB=12时，OPOQ的值为______ ；当OAOB=1n时，OPOQ为______ .(用含n的式子表示)
19. 如图，学校准备新建一个长度为L的读书长廊，并准备用若干块带有花纹和没有花纹的两种规格大小相同的正方形地面砖搭配在一起，按图中所示的规律拼成图案铺满长廊，已知每个小正方形地面砖的边长均为0.5m．
(1)按图示规律，第一图案的长度L1= ______ m；第二个图案的长度L2= ______ m；
(2)用代数式表示带有花纹的地面砖块数n与走廊的长度Ln(m)之间的关系______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共69.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. (本小题9.0分)
三角形的一边长为2a+b，第二边比第一边长a+2b，第三边长为3a+3b．
(1)用代数式表示三角形的周长；
(2)当a=3，b=2时，求三角形的周长．
21. (本小题9.0分)
某校要在甲、乙两名同学中选择一人参加市级的演讲比赛，对他们演讲材料、语言表达、形体语言三方面进行测评，根据综合成绩择优去参加比赛.他们的各项成绩如表所示：
(1)如果把各项成绩的平均数作为综合成绩，应该让谁参加比赛？
(2)如果想让一名综合能力较强的同学参加比赛，把演讲材料、语言表达、形体语言三方面成绩分别按照50%，30%，20%的比例计入综合成绩，应该让谁参加比赛？
候选人
演讲材料
语言表达
形体语言
甲
93分
87分
83分
乙
88分
96分
80分
22. (本小题9.0分)
若a，b是有理数，定义一种运算“▲”：a▲b=ab+2a−3b+2．
(1)计算3▲(−4)的值；
(2)计算(2▲3)▲(−6)的值；
(3)定义的新运算“▲”对交换律是否成立？请写出你的探究过程．
23. (本小题10.0分)
某体育用品店经销A、B两种商品，A种商品每件进价15元，售价20元；B种商品每件进价35元，售价45元．
(1)若该体育用品店同时购进A、B两种商品共100件恰好用去2700元，求能购进A、B两种商品各多少件？
(2)若该体育用品店同时购进A、B两种商品共100件，设A商品购进x件，售完此两种商品总利润为y元，写出y与x的函数关系式；
(3)在“十⋅一”黄金周期间，该体育用品店对A、B两种商品进行如下优惠促销的活动.按此优惠条件，若王老师第一天只购买A种商品一次性付款200元，第二天只购买B种商品打折后一次性付款324元，那么这两天王老师在该体育用品店购买A、B两种商品一共多少件？(通过计算求出所有符合要求的结果)
打折前一次性购物总金额
优惠措施
不超过300元
不优惠
超过300元且不超过400元
售价打九折
超过400元
售价打八折
24. (本小题10.0分)
已知：如图，小亮在⊙O上任取一点A，再以点A为圆心，OA长为半径将圆等分，等分点分别为B、C、D、E、F，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点G．
(1)连接AC，试判断△ACG的形状，并说明理由；
(2)若CG=5，求AB的长；
(3)若阴影部分的面积为83π，求AG的长．
25. (本小题10.0分)
如图，已知二次函数y=−x2+bx+c与x轴的交点为A(−3,0)，B(43,0)，与y轴的交点为C．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)在抛物线上是否存在一点D，使得BD⊥AC，若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)P是二次函数y=−x2+bx+c的图象上在第二象限内的一动点，求出△PAC面积的最大值．
26. (本小题12.0分)
已知：△ABC和△ADE均为等边三角形，连接BE，CD，点F，G，H分别为DE，BE，CD中点．
(1)当△ADE绕点A旋转时，如图1，则△FGH的形状为______ ，说明理由；
(2)在△ADE旋转的过程中，当B，D，E三点共线时，如图2，若AB=3，AD=2，求线段FH的长；
(3)在△ADE旋转的过程中，若AB=a，AD=b(a>b>0)，则△FGH的周长是否存在最大值和最小值，若存在，直接写出最大值和最小值；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、−(−2)=2，是正数，故本选项错误；
B、−|−2|=−2，是负数，故本选项正确；
C、−(−2)3=−(−8)=8，是正数，故本选项错误；
D、(−2)2=4，是正数，故本选项错误．
故选：B．
根据有理数的乘方，相反数的定义，绝对值的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了有理数的乘方，相反数的定义，绝对值的性质，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：△ACD的周长的为：AC+CD+AD，
△BCD的周长的为：BC+CD+BD，
∵AC=9cm，BC=3cm，要使△ACD和△BCD的周长的差是6cm，
∴AC+CD+AD−(BC+CD+BD)=6，
即：9+CD+AD−(3+CD+BD)=6，
则有：AD−BD=0，
∴AD=BD，
故CD是AB边上的中线．
故选：A．
先表示出△ACD和△BCD的周长，再根据其差为6，可得9+CD+AD−(3+CD+BD)=6，进而可得AD=BD，问题得解．
本题主要考查了三角形中位线定理，三角形的角平分线、中线和高，三角形的三边关系，掌握三角形中位线定理是解答本题的关键．
3.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查有理数的减法和绝对值，解题的关键是掌握根据绝对值的性质确定m、n的值．
先根据绝对值的性质得出m=±5，n=±2，再结合m，n异号知m=5，n=−2或m=−5，n=2，继而分别代入计算可得答案．
【解答】
解：∵|m|=5，|n|=2，
∴m=±5，n=±2，
又∵m，n异号，
∴m=5，n=−2或m=−5，n=2，
当m=5，n=−2时，|m−n|=|5−(−2)|=7；
当m=−5，n=2时，|m−n|=|−5−2|=7；
综上|m−n|的值为7，
故选：A．
4.【答案】D
【解析】解：A、 12= 22，被开方数含分母，不是最简二次根式；
B、 0.3= 310= 3010，被开方数含分母，不是最简二次根式；
C、 8=2 2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
D、 6是最简二次根式；
故选：D．
根据最简二次根式的概念判断．
本题考查的是最简二次根式的概念，掌握被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式是最简二次根式是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：若村庄A要从河流l引水入村，则沿着垂线段AP铺设水管最节省材料，其依据是垂线段最短，
故选：B．
根据垂线的性质即可得到结论．
本题考查了垂线的性质，熟练掌握垂线段最短是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：由图1中的红心“”标志，
可知它与等边三角形相邻，折叠成正方体是正方体中的面CDHE．
故选A．
由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．注意找准红心“”标志所在的相邻面．
本题考查了正方体的展开图形，解题关键是从相邻面入手进行分析及解答问题．
7.【答案】A
【解析】解：3(x−1)≤4x+1①x−m<0②，
解不等式①，得：x≥−4，
解不等式②，得：x
当m>−4时，此不等式组的解集为−4≤x
分别求出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集的情况判断m的取值范围即可．
本题考查由一元一次不等式组的解集求参数，解题的关键是掌握解一元一次不等式组的方法．
8.【答案】B
【解析】解：设点A为x，则向左移动8个单位长度得到的点B为x−8，
∵A点表示的数与B点表示的数互为相反数，
即x+x−8=0，
∴x=4，
∴A点表示的数是4．
故选：B．
设点A为x，由平移和相反数的性质得到方程x+x−8=0，解方程即可．
本题考查了数轴上点的表示，平移和相反数的性质的应用是解题关键．
9.【答案】A
【解析】解：由题意得∠DFE=60°，
∵AD//BC，∠ACB=45°，
∴∠DAC=∠ACB=45°，
∵∠DFE是△AFC的外角，
∴∠DFE=∠DAC+∠ACF，
∴∠ACF=60°−45°=15°．
故选：A．
由题意可得∠DFE=60°，再由平行线的性质得∠DAC=∠ACB=45°，利用三角形的外角性质即可求∠ACF．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
10.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠B+∠C=180°，
∵∠C=110°，
∴∠B=70°，
∵OB=OE，
∴∠B=∠OEB，
∴∠OEB=70°，
∴∠AOE=∠B+∠OEB=70°+70°=140°，
∵AB=2，AB为⊙O的直径，
∴OA=OB=OE=1，
∴AE的长为：140π×1180=7π9，
故选：C．
根据平行线的性质，可以得到∠B的度数，然后根据等腰三角形的性质和三角形的外角与内角的关系，可以得到∠AOB的度数，再根据弧长公式l=nπr180，即可计算出AE的长．
本题考查平行四边形的性质、弧长的计算、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确弧长公式l=nπr180和平行四边形的性质，利用数形结合的思想解答．
11.【答案】D
【解析】解：依题意可得BC//AG，
∴△AFG∽△CFB，
∴AGBC=AFCF，
又AB=BC，
∴AGAB=AFCF.故A项正确；
如图，
∵∠1+∠3=90°，∠1+∠4=90°，
∴∠3=∠4．
在△ABG与△BCD中，
∠3=∠4AB=BC∠BAG=∠CBD=90°，
∴△ABG≌△BCD(ASA)，
∴AG=BD，
又∵BD=AD，
∴AG=AD；
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AC= 2AB；
∴AG=AD=12AB=12BC；
∵△AFG∽△BFC，
∴AGBC=AFCF，
∴FC=2AF，
∴AF=13AC= 23AB.故B项正确；
当B、C、F、D四点在同一个圆上时，
由圆内接四边形的性质可得∠CFD=∠ABC=90°，
∴CD是B、C、F、D四点所在圆的直径，
∵BG⊥CD，
∴∖overset⌢DF=∖overset⌢BD，
∴DF=DB，故C项正确；
∵AGAB=AFCF，AG=BD，BDAD=12，
∴BDAB=13，
∴S△BDF=13S△ABF，AFCF=13，
∴AF=14AC，
∴S△ABF=14S△ABC；
∴S△ABC=12S△BDF.故D项错误．
故选：D．
由△AFG∽△CFB，可确定A项正确；由△ABG≌△BCD可得AG=12AB=12BC，进而由△AFG∽△CFB确定点F为CA的三等分点，可确定B项正确；当B、C、F、D四点在同一个圆上时，由圆内接四边形的性质得到∠CFD=∠ABC=90°，得到CD为圆的直径，因为BG⊥CD，根据垂径定理得到DF=DB，故C项正确；因为D为AB的三等分点，△AFG∽△CFB即AFCF=13，可得S△ABC=12S△BDF，由此确定D项错误．
本题考查了等腰直角三角形中相似三角形与全等三角形的应用，有一定的难度．对每一个结论，需要仔细分析，严格论证；注意各结论之间并非彼此孤立，而是往往存在逻辑关联关系，需要善加利用．
12.【答案】D
【解析】解：∵反比例函数y=kx(k为常数，k≠0)的图象经过点(1,−2)，
∴k=1×(−2)=−2，故A正确，不符合题意；
∵k=−2<0，
∴函数图象分布在第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大，
故B、C正确，不符合题意；D错误，符合题意．
故选：D．
根据反比例函数y=kx(k为常数，k≠0)的图象经过点(1,−2)，可得k=−2，再根据反比例函数的增减性，即可得出结论．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
13.【答案】B
【解析】解：如图，过点O作OE⊥BC于点E，
∵时钟数字4的刻度在矩形ABCD的对角线AC上，
∴∠EOC=60°，
∵OE⊥BC，
∴∠ACB=30°，
∵四边形ABCD是矩形，AD=60cm，
∴∠B=90°，AD=BC=60cm，
在Rt△ABC中，tan∠ACB=ABBC，
∴AB60= 33，
∴AB=20 3，
∴AB的长为20 3cm．
故选：B．
过点O作OE⊥BC于点E，根据题意先求出∠EOC，然后求出∠ACB，然后利用锐角三角函数求出AB即可．
本题考查的矩形的性质、钟面角，含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．
14.【答案】A
【解析】解：∵某班五个兴趣小组的人数分别为4，4，5，x，6，已知这组数据的平均数是5，
∴x=5×5−4−4−5−6=6，
∴这一组数从小到大排列为：4，4，5，6，6，
∴这组数据的中位数是5．
故选：A．
先根据平均数的定义计算出x的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即为中位数．
本题考查了中位数的知识，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．也考查了平均数的定义．
15.【答案】B
【解析】解：连接OP，AB，过O作OD⊥AB于点D，取OB的中点E，连接DE，
则∠BOD=∠AOD=60°，
∵P是BC的中点，
∴OP⊥BC，
∴点P在以BC为直径的⊙E上，
由题意知，点E运动的路径为BD，
∵ED=EO，∠BOD=60°，
∴△ODE为等边三角形，
∴∠OED=60°，
∵OA=6，
DE=BE=OE=12OA=3，
∴∠BED=120°，
∵点P所经过的路径长为，
∴120π⋅3180=2π，
故选：B．
连接OP，AB，过O作OD⊥AB于点D，取OB的中点E，连接DE，则P点运动的路径为BD，已知OA，根据弧长公式求得BE．
本题主要考查了圆的垂径定理，等边三角形的判定与性质，弧长公式，关键确定BD是P点运动的路径．
16.【答案】C
【解析】解：如图，过点B作BE⊥y轴于E，过点D作DF⊥y轴于F，
在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠DAF=90°，
∵∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠BAE=∠ADF，
在△ABE和△DAF中，
∠BAE=∠ADF∠AEB=∠DFAAB=AD，
∴△ABE≌△DAF(AAS)，
∴AF=BE，DF=AE，
∵正方形的边长为2，B(65,115)，
∴BE=65，AE= 22−(65)2=85，
∴OF=OE+AE+AF=115+85+65=5，
∴点D的坐标为(85,5)，
∵顶点D在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，
∴k=xy=85×5=8．
故选：C．
过点B作BE⊥y轴于E，过点D作DF⊥y轴于F，根据正方形的性质可得AB=AD，∠BAD=90°，再根据同角的余角相等求出∠BAE=∠ADF，然后利用“角角边”证明△ABE和△DAF全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=BE，DF=AE，再求出OF，然后写出点D的坐标，再把点D的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出k的值．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
17.【答案】B、D、F、G
【解析】
【分析】
本题主要考查了扫雷的基本原理和推理和证明的知识，主要训练学生逻辑推理能力．
根据“扫雷”游戏的规定分区域进行分析即可．
【解答】
解：图2中最左边的“1”和最右边的“1”，可得如下推断：
由第三行第二个“1”，可得它的上方必定是雷．
结合B下方的“2”，可得最左边的A、B对应的“？”中有一个雷；
同理可得最右边的“4”周围4个“？”中有3个雷，中间D、E对应“？”中有一个雷；
由于B下方的“2”和第二行最右边的“2”，它们周围的雷已经够数，
所以C对应的方格肯定不是雷，如下图所示：
进行下一步推理：
因为C对应的方格不是雷，所以C下方“2”的左上、右上的方格，即B、D都是雷；
而B下方的“2”的周围的雷也已经够数，所以A对应的方格也不是雷．
因为D下方的“2”，它的周围的雷已经够数，可得EE对应的方格不是雷，
根据F下方的“4”周围应该有4个雷，结合E不是雷，可得F、G对应的方格都是雷．
综上所述，A、C、E对应的方格不是雷，且B、D、F、G对应的方格是雷．
18.【答案】 32； 3n
【解析】解：作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，如图，
∵∠ACB=90°，
∴OD//BC，OE//AC，
∴△AOD∽△ABC，△BOE∽△BAC，
∴ODBC=AOAB，OEAC=BOBA，
∵OAOB=1n，
∴OAAB=1n+1，OBAB=nn+1，
∴ODBC=1n+1，OEAC=nn+1，
∴ODOE=BCn⋅AC，
在Rt△ABC中，tanB=tan30°=ACBC= 33，即BCAC= 3，
∴ODOE= 3n，
∵∠POQ=90°，
而∠DOE=90°，
∴∠DOP=∠QOE，
∴Rt△DOP∽Rt△EOQ，
∴OPOQ=ODOE= 3n，
当n=2时，即OAOB=12时，OPOQ= 32．
故答案为 32， 3n．
作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，由OD//BC，OE//AC易得△AOD∽△ABC，△BOE∽△BAC，根据相似的性质得ODBC=AOAB，OEAC=BOBA，由于OAOB=1n，则ODBC=1n+1，OEAC=nn+1，所以ODOE=BCn⋅AC，在Rt△ABC中，利用正切的定义得tanB=tan30°=ACBC= 33，即BCAC= 3，所以ODOE= 3n；利用等角的余角相等得到∠DOP=∠QOE，则Rt△DOP∽Rt△EOQ，则OPOQ=ODOE= 3n，且当n=2时，即OAOB=12时，OPOQ= 32．
本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形一边的直线与其他两边所截的三角形与原三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似；相似三角形对应边的比相等，都等于相似比．
19.【答案】1.5 2.5 L=0.5(2n+1)
【解析】解：(1)第一图案的长度L1=0.5×3=1.5，第二个图案的长度L2=0.5×5=2.5；
(2)观察可得：第1个图案中有花纹的地面砖有1块，第2个图案中有花纹的地面砖有2块，…
故第n个图案中有花纹的地面砖有n块；
第一个图案边长L=3×0.5，第二个图案边长L=5×0.5，则第n个图案边长为Ln=0.5(2n+1)．
故答案为：0.9，1.5；0.5(2n+1)．
(1)观察题目中的已知图形，可得前两个图案中有花纹的地面砖分别有：1，2个，第二个图案比第一个图案多1个有花纹的地面砖，所以可得第n个图案有花纹的地面砖有n块；第一个图案边长3×0.5=L，第二个图案边长5×0.5=L，
(2)由(1)得出则第n个图案边长为L=(2n+1)×0.5．
此题考查列代数式，找出图形之间的联系得出运算规律，利用规律得出一般性的结论即可．
20.【答案】解：(1)由题意得：第二边长为2a+b+(a+2b)=3a+3b，
则三角形的周长为(2a+b)+(3a+3b)+(3a+3b)=8a+7b；
(2)当a=3，b=2时，
三角形的周长为8×3+7×2=38．
【解析】(1)先求出第二边长，再利用三角形的周长公式列式计算即可得；
(2)将a=3，b=2代入计算即可得．
本题考查了整式加减中的化简求值，掌握整式的加减运算法则是解题关键．
21.【答案】解：(1)甲的综合成绩为93+87+833≈87.7(分)，
乙的综合成绩为88+96+803=88(分)．
因为乙的综合成绩比甲的高，所以应该让乙参加比赛；
(2)甲的综合成绩为50%×93+30%×87+20%×83=89.2(分)，
乙的综合成绩为50%×88+30%×96+20%×80=88.8(分)．
因为甲的综合成绩比乙的高，所以应该让甲参加比赛．
【解析】(1)根据算术平均数的计算方法计算即可；
(2)根据加权平均数的计算方法计算即可．
本题考查了算术平均数和加权平均数的知识，掌握算术平均数和加权平均数的计算方法是解答本题的关键．
22.【答案】解：(1)由题意得：3▲(−4)=3×(−4)+2×3−3×(−4)+2=8；
(2)由题意得(2▲3)=2×3+2×2−3×3+2=3，
3▲(−6)=3×(−6)+2×3−3×(−6)+2=8，
∴(2▲3)▲(−6)=8；
(3)不成立，理由如下：
∵a▲b=ab+2a−3b+2，b▲a=ba+2b−3a+2，
∴a▲b≠b▲a(a≠b)，即定义的新运算“▲”对交换律不成立．
【解析】(1)根据题目所给新定义运算顺序和运算法则，进行计算即可；
(2)根据题目所给新定义运算顺序和运算法则，进行计算即可；
(3)根据题目所给新定义运算顺序和运算法则，分别计算a▲b和b▲a，再进行比较即可．
本题主要考查了新定义下的有理数的混合运算，解题的关键是正确理解题意，明确题目所给新定义的运算顺序和运算法则．
23.【答案】解：(1)设购进A种商品m件，则购进B种商品(100−m)件，
根据题意，得：15m+35×(100−m)=2700，
解得：m=40，
∴100−m=60．
答：购进A种商品40件，B种商品60件；
(2)设A商品购进x件，售完此两种商品总利润为y元，则购进B种商品(100−x)件，
根据题意，得：y=(20−15)x+(45−35)(100−x)=−5x+1000，
且：0≤x≤100，且x为整数，
故y=−5x+1000(0≤x≤100，且x为整数)；
(3)王老师在该体育用品店购买A种商品数量为：200÷20=10(件)，
设王老师在该体育用品店购买B种商品n件(n为正整数)，
当300<45n≤400，即7≤n≤8时，
有0.9×45n=324，
解得：n=8；
当45n>400，即n≥9时，有0.8×45n=324，
解得：n=9
即总的件数为10+8=18(件)或10+9=19(件)．
答：这两天王老师在该体育用品店购买A、B两种商品一共18件或19件．
【解析】(1)设购进A种商品m件，则购进B种商品(100−m)件，列出一元一次方程，解方程即可求解；
(2)设A商品购进x件，售完此两种商品总利润为y元，则购进B种商品(100−x)件，根据题意列式出等式即可作答；
(3)先求出购买A种商品数量，再分类讨论求出购买B种商品数量，问题即可求解．
本题考查了一元一次方程的应用，一次函数以及一元一次不等式等知识，明确题意，准确列式，是解答本题的关键．
24.【答案】解：(1)△ACG是直角三角形，
理由：连接OA，OB，OC，
∵OA=AB=OC=OB=BC，
∴△AOB和△COB是等边三角形，
∴∠BOC=∠AOB=60°，
∴∠CAB=12∠BOC=30°，∠AOC=120°，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
∴∠ACO=CAB，
∴AG//OC，
∵CG是⊙O的切线，
∴OC⊥CG，
∴AG⊥CG，
∴△ACG是直角三角形；
(2)过O作OH⊥AB于H，
∴四边形OHGC是矩形，
∴OH=CG=5，
在Rt△OHB中，∠OHB=90°，∠OBA=60°，
∴OB=OHsin60∘=5 32=10 33，
∴AB的长为60⋅π×10 33180=10 3π9；
(3)∵∠OAC=∠ACB=30°，
∴OA//BC，
∴S△ABC=S△OBC，
∴阴影部分的面积=扇形BOC的面积=69⋅π×OB2360=8π3，
∴OB=4，
设OB与AC交于M，
∵∠AOB=∠BOC=60°，OA=OC，
∴OM⊥AC，
∴AM= 32OB=2 3，
∴AC=2AM=4 3，
∴AG= 32AC=6．
【解析】(1)连接OA，OB，OC，根据已知条件得到△AOB和△COB是等边三角形，求得∠BOC=∠AOB=60°，根据切线的性质得到OC⊥CG，根据平行线的性质即可得到结论；(2)过O作OH⊥AB于H，根据矩形的性质得到OH=CG=5，根据三角函数的定义得到OB=OHsin60∘=5 32=10 33，根据弧长公式即可得到结论；
(3)根据平行线的判定定理得到OA//BC，求得S△ABC=S△OBC，根据扇形的面积公式得到OB=4，设OB与AC交于M，根据直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了切线的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，扇形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．
25.【答案】解：(1)把点A(−3,0)，B(43,0)代入y=−x2+bx+c得：
−9−3b+c=0−169+43b+c=0，
解得：b=−53c=4，
∴此二次函数的解析式为y=−x2−53x+4；
(2)存在点D，使得BD⊥AC，过点O作OE⊥AC于点E，由(1)可得点C的坐标为(0,4).如图所示：
设AC的解析式为y=mx+n，把点A(−3,0)，C(0,4)代入得：
−3m+n=0n=4，
解得：m=43n=4，
∴AC的解析式为y=43x+4．
∵A(−3,0)，C(0,4)，
∴AC=5，
∵S△AOC=12OA⋅OC=12OE⋅AC，
∴OE=125，
∴E(−4825,3625)，
∴直线OE的解析式为y=−34x，
设过点B与OE平行的直线的解析式为y=−34x+d，
把点B(43,0)代入y=−34x+d得：
0=−34×43+d，
解得：d=1，
∴直线BD的解析式为y=−34x+1，与抛物线y=−x2−53x+4联立，
y=−34x+1y=−x2−53x+4，
解得：x1=43(舍去)，x2=−94，
∴点D的坐标为(−94,4316)．
(3)过点P作PG⊥x轴交AC于点F，连接PC，PA，
设P(x,−x2−53x+4)，则F(x,43x+4)，
∴PF=−x2−53x+4−(43x+4)=−x2−3x，
∴S△PAC=12×3PF=32(−x2−3x)=−32(x+32)2+278，
∴当x=−32时，S△PAC最大，最大值为278．
【解析】(1)把点A(−3,0)，B(43,0)代入y=−x2+bx+c，解出即可求解．
(2)过点O作OE⊥AC于点E，可求出点E(−4825,3625)，进而可求出直线直线OE的解析式为y=−34x，设过点B与OE平行的直线的解析式为y=−34x+d，把点B(43,0)代入y=−34x+d可求得直线BD的解析式为y=−34x+1，与抛物线y=−x2−53x+4联立，即可求出．
(3)过点P作PG⊥x轴交AC于点F，连接PC，PA，设P(x,−x2−53x+4)，则F(x,43x+4)，可得PF=−x2−3x，根据S△PAC=12×3PF=−32(x+32)2+278，即可得出结论．
本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，一次函数与二次函数交点问题，面积最值问题，构造函数关系是求面积最值是解此题的关键．
26.【答案】等边三角形
【解析】解：(1)结论：△FGH是等边三角形．理由如下：
如图1中，连接BD、CE，延长BD交CE于M，设BM交FH于点O．
∵△ABC和△ADE均为等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD=CE，∠ADB=∠AEC，
∵EG=GB，EF=FD，
∴FG=12BD，GF//BD，
∵DF=EF，DH=HC，
∴FH=12EC，FH//EC，
∴FG=FH，
∵∠ADB+∠ADM=180°，∴∠AEC+∠ADM=180°，
∴∠DMC+∠DAE=180°，
∴∠DME=120°，
∴∠BMC=60°
∴∠GFH=∠BOH=∠BMC=60°，
∴△GHF是等边三角形，
故答案为等边三角形．
(2)如图2中，连接AF、EC．
易知AF⊥DE，在Rt△AEF中，AE=2，EF=DF=1，
∴AF= 22−12= 3，
在Rt△ABF中，BF= AB2−AF2= 6，
∴BD=CE=BF−DF= 6−1，
∴FH=12EC= 6−12．
(3)存在．理由如下．
由(1)可知，△GFH是等边三角形，GF=12BD，
∴△GFH的周长=3GF=32BD，
在△ABD中，AB=a，AD=b，
∴BD的最小值为a−b，最大值为a+b，
∴△FGH的周长最大值为32(a+b)，最小值为32(a−b)．
(1)结论：△FGH是等边三角形．理由如下：根据三角形中位线定理证明FG=FH，再想办法证明∠GFH=60°即可解决问题；
(2)如图2中，连接AF、EC.在Rt△AFE和Rt△AFB中，解直角三角形即可；
(3)首先证明△GFH的周长=3GF=32BD，求出BD的最大值和最小值即可解决问题；
本题考查等边三角形的性质．全等三角形的判定和性质、解直角三角形、三角形的三边关系、三角形的中位线的宽等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找全等三角形解决问题，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考压轴题．
2023年河北省沧州市孟村县中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共16小题，共42.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列计算结果为负数的是( )
A. −(−2) B. −|−2| C. −(−2)3 D. (−2)2
2. 如图，△ABC中，_____，AC=9cm，BC=3cm，要使△ACD和△BCD的周长的差是6cm，则横线上加的条件为( )
A. CD是AB边上的中线
B. CD是∠ACB的平分线
C. CD是AB边上的垂线
D. CD是△ABC的中位线
3. 若|m|=5，|n|=2，且m，n异号，则|m−n|的值为( )
A. 7 B. 3或−3 C. 3 D. 7或3
4. 下列二次根式是最简二次根式的是( )
A. 12 B. 0.3 C. 8 D. 6
5. 如图，若村庄A要从河流l引水入村，则沿着垂线段AP铺设水管最节省材料，其依据是( )
A. 两点之间，线段最短
B. 垂线段最短
C. 两点确定一条直线
D. 在同一平面内，经过一点有并且只有一条直线与已知直线垂直
6. 将图1围成图2的正方体，则图1中的红心“”标志所在的正方形是正方体中的( )
A. 面CDHE B. 面BCEF C. 面ABFG D. 面ADHG
7. 下列关于x的不等式组3(x−1)≤4x+1x−m<0，说法正确的是( )
A. 若此不等式无实数解，则m≤−4 B. 若此不等式无实数解，则m>−4
C. 若此不等式有解，则m=−4 D. 此不等式无整数解
8. 把数轴上的点A向左移动8个单位长度得到点B，若A点表示的数与B点表示的数互为相反数，则A点表示的数是( )
A. 8 B. 4 C. −4 D. −8
9. 将两块三角板按如图所示位置摆放，若AD//BC，点F在AD上，则∠ACF的度数为( )
A. 15° B. 10° C. 20° D. 25°
10. 如图，▱ABCD中，∠C=110°，AB=2，以AB为直径的⊙O交BC于点E，则AE的长为( )
A. π9
B. 7π18
C. 7π9
D. 2π9
11. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D是线段AB上的一点，连接CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF，下列结论错误的是( )
A. AGAB=AFFC
B. 若点D是AB的中点，则AF= 23AB
C. 当B、C、F、D四点在同一个圆上时，DF=DB
D. 若DBAD=12，则S△ABC=9S△BDF
12. 反比例函数y=kx(k为常数，k≠0)的图象经过点(1,−2)，则下列说法错误的是( )
A. k=−2 B. 当x>0时，y随x的增大而增大
C. 函数图象分布在第二、四象限 D. 当x<0时，y随x的增大而减小
13. 图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字4的刻度在矩形ABCD的对角线AC上，时钟中心在矩形ABCD对角线的交点O上．若AD=60cm，则AB的长为( )
A. 20cm B. 20 3cm C. 30cm D. 30 3cm
14. 某班五个兴趣小组的人数分别为4，4，5，x，6.已知这组数据的平均数是5，则这组数据的中位数是( )
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
15. 如图，扇形OBA中，点C在弧AB上，连接BC，P为BC中点．若OA=6，∠AOB=120°，则点C沿弧从点B运动到点A的过程中，点P所经过的路径长为( )
A. 4π B. 2π C. 3 3 D. 6
16. 如图，边长为2的正方形ABCD的顶点A在y轴上，顶点D在反比例函数y=kx(x>0)的图象上．已知点B的坐标是(65,115)，则k的值为( )
A. 16
B. 12
C. 8
D. 4
二、填空题（本大题共3小题，共9.0分）
17. 电脑系统中有个“扫雷”游戏，游戏规定：一个方块里最多有一个地雷，方块上面如果标有数字，则是表示此数字周围的方块中地雷的个数．如图1中的“3”就是表示它周围的八个方块中有且只有3个有地雷．如图2，这是小明玩游戏的局部，图中有4个方块已确定是地雷(标旗子处)，其它区域表示还未掀开，问在标有“A”～“G”的七个方块中，能确定一定是地雷的有 (填方块上的字母)．
18. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，直角∠MON的顶点O在AB上，OM、ON分别交CA、CB于点P、Q，∠MON绕点O任意旋转．当OAOB=12时，OPOQ的值为______ ；当OAOB=1n时，OPOQ为______ .(用含n的式子表示)
19. 如图，学校准备新建一个长度为L的读书长廊，并准备用若干块带有花纹和没有花纹的两种规格大小相同的正方形地面砖搭配在一起，按图中所示的规律拼成图案铺满长廊，已知每个小正方形地面砖的边长均为0.5m．
(1)按图示规律，第一图案的长度L1= ______ m；第二个图案的长度L2= ______ m；
(2)用代数式表示带有花纹的地面砖块数n与走廊的长度Ln(m)之间的关系______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共69.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. (本小题9.0分)
三角形的一边长为2a+b，第二边比第一边长a+2b，第三边长为3a+3b．
(1)用代数式表示三角形的周长；
(2)当a=3，b=2时，求三角形的周长．
21. (本小题9.0分)
某校要在甲、乙两名同学中选择一人参加市级的演讲比赛，对他们演讲材料、语言表达、形体语言三方面进行测评，根据综合成绩择优去参加比赛.他们的各项成绩如表所示：
(1)如果把各项成绩的平均数作为综合成绩，应该让谁参加比赛？
(2)如果想让一名综合能力较强的同学参加比赛，把演讲材料、语言表达、形体语言三方面成绩分别按照50%，30%，20%的比例计入综合成绩，应该让谁参加比赛？
候选人
演讲材料
语言表达
形体语言
甲
93分
87分
83分
乙
88分
96分
80分
22. (本小题9.0分)
若a，b是有理数，定义一种运算“▲”：a▲b=ab+2a−3b+2．
(1)计算3▲(−4)的值；
(2)计算(2▲3)▲(−6)的值；
(3)定义的新运算“▲”对交换律是否成立？请写出你的探究过程．
23. (本小题10.0分)
某体育用品店经销A、B两种商品，A种商品每件进价15元，售价20元；B种商品每件进价35元，售价45元．
(1)若该体育用品店同时购进A、B两种商品共100件恰好用去2700元，求能购进A、B两种商品各多少件？
(2)若该体育用品店同时购进A、B两种商品共100件，设A商品购进x件，售完此两种商品总利润为y元，写出y与x的函数关系式；
(3)在“十⋅一”黄金周期间，该体育用品店对A、B两种商品进行如下优惠促销的活动.按此优惠条件，若王老师第一天只购买A种商品一次性付款200元，第二天只购买B种商品打折后一次性付款324元，那么这两天王老师在该体育用品店购买A、B两种商品一共多少件？(通过计算求出所有符合要求的结果)
打折前一次性购物总金额
优惠措施
不超过300元
不优惠
超过300元且不超过400元
售价打九折
超过400元
售价打八折
24. (本小题10.0分)
已知：如图，小亮在⊙O上任取一点A，再以点A为圆心，OA长为半径将圆等分，等分点分别为B、C、D、E、F，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点G．
(1)连接AC，试判断△ACG的形状，并说明理由；
(2)若CG=5，求AB的长；
(3)若阴影部分的面积为83π，求AG的长．
25. (本小题10.0分)
如图，已知二次函数y=−x2+bx+c与x轴的交点为A(−3,0)，B(43,0)，与y轴的交点为C．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)在抛物线上是否存在一点D，使得BD⊥AC，若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)P是二次函数y=−x2+bx+c的图象上在第二象限内的一动点，求出△PAC面积的最大值．
26. (本小题12.0分)
已知：△ABC和△ADE均为等边三角形，连接BE，CD，点F，G，H分别为DE，BE，CD中点．
(1)当△ADE绕点A旋转时，如图1，则△FGH的形状为______ ，说明理由；
(2)在△ADE旋转的过程中，当B，D，E三点共线时，如图2，若AB=3，AD=2，求线段FH的长；
(3)在△ADE旋转的过程中，若AB=a，AD=b(a>b>0)，则△FGH的周长是否存在最大值和最小值，若存在，直接写出最大值和最小值；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、−(−2)=2，是正数，故本选项错误；
B、−|−2|=−2，是负数，故本选项正确；
C、−(−2)3=−(−8)=8，是正数，故本选项错误；
D、(−2)2=4，是正数，故本选项错误．
故选：B．
根据有理数的乘方，相反数的定义，绝对值的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了有理数的乘方，相反数的定义，绝对值的性质，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：△ACD的周长的为：AC+CD+AD，
△BCD的周长的为：BC+CD+BD，
∵AC=9cm，BC=3cm，要使△ACD和△BCD的周长的差是6cm，
∴AC+CD+AD−(BC+CD+BD)=6，
即：9+CD+AD−(3+CD+BD)=6，
则有：AD−BD=0，
∴AD=BD，
故CD是AB边上的中线．
故选：A．
先表示出△ACD和△BCD的周长，再根据其差为6，可得9+CD+AD−(3+CD+BD)=6，进而可得AD=BD，问题得解．
本题主要考查了三角形中位线定理，三角形的角平分线、中线和高，三角形的三边关系，掌握三角形中位线定理是解答本题的关键．
3.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查有理数的减法和绝对值，解题的关键是掌握根据绝对值的性质确定m、n的值．
先根据绝对值的性质得出m=±5，n=±2，再结合m，n异号知m=5，n=−2或m=−5，n=2，继而分别代入计算可得答案．
【解答】
解：∵|m|=5，|n|=2，
∴m=±5，n=±2，
又∵m，n异号，
∴m=5，n=−2或m=−5，n=2，
当m=5，n=−2时，|m−n|=|5−(−2)|=7；
当m=−5，n=2时，|m−n|=|−5−2|=7；
综上|m−n|的值为7，
故选：A．
4.【答案】D
【解析】解：A、 12= 22，被开方数含分母，不是最简二次根式；
B、 0.3= 310= 3010，被开方数含分母，不是最简二次根式；
C、 8=2 2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
D、 6是最简二次根式；
故选：D．
根据最简二次根式的概念判断．
本题考查的是最简二次根式的概念，掌握被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式是最简二次根式是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：若村庄A要从河流l引水入村，则沿着垂线段AP铺设水管最节省材料，其依据是垂线段最短，
故选：B．
根据垂线的性质即可得到结论．
本题考查了垂线的性质，熟练掌握垂线段最短是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：由图1中的红心“”标志，
可知它与等边三角形相邻，折叠成正方体是正方体中的面CDHE．
故选A．
由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．注意找准红心“”标志所在的相邻面．
本题考查了正方体的展开图形，解题关键是从相邻面入手进行分析及解答问题．
7.【答案】A
【解析】解：3(x−1)≤4x+1①x−m<0②，
解不等式①，得：x≥−4，
解不等式②，得：x
当m>−4时，此不等式组的解集为−4≤x
分别求出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集的情况判断m的取值范围即可．
本题考查由一元一次不等式组的解集求参数，解题的关键是掌握解一元一次不等式组的方法．
8.【答案】B
【解析】解：设点A为x，则向左移动8个单位长度得到的点B为x−8，
∵A点表示的数与B点表示的数互为相反数，
即x+x−8=0，
∴x=4，
∴A点表示的数是4．
故选：B．
设点A为x，由平移和相反数的性质得到方程x+x−8=0，解方程即可．
本题考查了数轴上点的表示，平移和相反数的性质的应用是解题关键．
9.【答案】A
【解析】解：由题意得∠DFE=60°，
∵AD//BC，∠ACB=45°，
∴∠DAC=∠ACB=45°，
∵∠DFE是△AFC的外角，
∴∠DFE=∠DAC+∠ACF，
∴∠ACF=60°−45°=15°．
故选：A．
由题意可得∠DFE=60°，再由平行线的性质得∠DAC=∠ACB=45°，利用三角形的外角性质即可求∠ACF．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
10.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠B+∠C=180°，
∵∠C=110°，
∴∠B=70°，
∵OB=OE，
∴∠B=∠OEB，
∴∠OEB=70°，
∴∠AOE=∠B+∠OEB=70°+70°=140°，
∵AB=2，AB为⊙O的直径，
∴OA=OB=OE=1，
∴AE的长为：140π×1180=7π9，
故选：C．
根据平行线的性质，可以得到∠B的度数，然后根据等腰三角形的性质和三角形的外角与内角的关系，可以得到∠AOB的度数，再根据弧长公式l=nπr180，即可计算出AE的长．
本题考查平行四边形的性质、弧长的计算、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确弧长公式l=nπr180和平行四边形的性质，利用数形结合的思想解答．
11.【答案】D
【解析】解：依题意可得BC//AG，
∴△AFG∽△CFB，
∴AGBC=AFCF，
又AB=BC，
∴AGAB=AFCF.故A项正确；
如图，
∵∠1+∠3=90°，∠1+∠4=90°，
∴∠3=∠4．
在△ABG与△BCD中，
∠3=∠4AB=BC∠BAG=∠CBD=90°，
∴△ABG≌△BCD(ASA)，
∴AG=BD，
又∵BD=AD，
∴AG=AD；
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AC= 2AB；
∴AG=AD=12AB=12BC；
∵△AFG∽△BFC，
∴AGBC=AFCF，
∴FC=2AF，
∴AF=13AC= 23AB.故B项正确；
当B、C、F、D四点在同一个圆上时，
由圆内接四边形的性质可得∠CFD=∠ABC=90°，
∴CD是B、C、F、D四点所在圆的直径，
∵BG⊥CD，
∴∖overset⌢DF=∖overset⌢BD，
∴DF=DB，故C项正确；
∵AGAB=AFCF，AG=BD，BDAD=12，
∴BDAB=13，
∴S△BDF=13S△ABF，AFCF=13，
∴AF=14AC，
∴S△ABF=14S△ABC；
∴S△ABC=12S△BDF.故D项错误．
故选：D．
由△AFG∽△CFB，可确定A项正确；由△ABG≌△BCD可得AG=12AB=12BC，进而由△AFG∽△CFB确定点F为CA的三等分点，可确定B项正确；当B、C、F、D四点在同一个圆上时，由圆内接四边形的性质得到∠CFD=∠ABC=90°，得到CD为圆的直径，因为BG⊥CD，根据垂径定理得到DF=DB，故C项正确；因为D为AB的三等分点，△AFG∽△CFB即AFCF=13，可得S△ABC=12S△BDF，由此确定D项错误．
本题考查了等腰直角三角形中相似三角形与全等三角形的应用，有一定的难度．对每一个结论，需要仔细分析，严格论证；注意各结论之间并非彼此孤立，而是往往存在逻辑关联关系，需要善加利用．
12.【答案】D
【解析】解：∵反比例函数y=kx(k为常数，k≠0)的图象经过点(1,−2)，
∴k=1×(−2)=−2，故A正确，不符合题意；
∵k=−2<0，
∴函数图象分布在第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大，
故B、C正确，不符合题意；D错误，符合题意．
故选：D．
根据反比例函数y=kx(k为常数，k≠0)的图象经过点(1,−2)，可得k=−2，再根据反比例函数的增减性，即可得出结论．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
13.【答案】B
【解析】解：如图，过点O作OE⊥BC于点E，
∵时钟数字4的刻度在矩形ABCD的对角线AC上，
∴∠EOC=60°，
∵OE⊥BC，
∴∠ACB=30°，
∵四边形ABCD是矩形，AD=60cm，
∴∠B=90°，AD=BC=60cm，
在Rt△ABC中，tan∠ACB=ABBC，
∴AB60= 33，
∴AB=20 3，
∴AB的长为20 3cm．
故选：B．
过点O作OE⊥BC于点E，根据题意先求出∠EOC，然后求出∠ACB，然后利用锐角三角函数求出AB即可．
本题考查的矩形的性质、钟面角，含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．
14.【答案】A
【解析】解：∵某班五个兴趣小组的人数分别为4，4，5，x，6，已知这组数据的平均数是5，
∴x=5×5−4−4−5−6=6，
∴这一组数从小到大排列为：4，4，5，6，6，
∴这组数据的中位数是5．
故选：A．
先根据平均数的定义计算出x的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即为中位数．
本题考查了中位数的知识，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．也考查了平均数的定义．
15.【答案】B
【解析】解：连接OP，AB，过O作OD⊥AB于点D，取OB的中点E，连接DE，
则∠BOD=∠AOD=60°，
∵P是BC的中点，
∴OP⊥BC，
∴点P在以BC为直径的⊙E上，
由题意知，点E运动的路径为BD，
∵ED=EO，∠BOD=60°，
∴△ODE为等边三角形，
∴∠OED=60°，
∵OA=6，
DE=BE=OE=12OA=3，
∴∠BED=120°，
∵点P所经过的路径长为，
∴120π⋅3180=2π，
故选：B．
连接OP，AB，过O作OD⊥AB于点D，取OB的中点E，连接DE，则P点运动的路径为BD，已知OA，根据弧长公式求得BE．
本题主要考查了圆的垂径定理，等边三角形的判定与性质，弧长公式，关键确定BD是P点运动的路径．
16.【答案】C
【解析】解：如图，过点B作BE⊥y轴于E，过点D作DF⊥y轴于F，
在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠DAF=90°，
∵∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠BAE=∠ADF，
在△ABE和△DAF中，
∠BAE=∠ADF∠AEB=∠DFAAB=AD，
∴△ABE≌△DAF(AAS)，
∴AF=BE，DF=AE，
∵正方形的边长为2，B(65,115)，
∴BE=65，AE= 22−(65)2=85，
∴OF=OE+AE+AF=115+85+65=5，
∴点D的坐标为(85,5)，
∵顶点D在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，
∴k=xy=85×5=8．
故选：C．
过点B作BE⊥y轴于E，过点D作DF⊥y轴于F，根据正方形的性质可得AB=AD，∠BAD=90°，再根据同角的余角相等求出∠BAE=∠ADF，然后利用“角角边”证明△ABE和△DAF全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=BE，DF=AE，再求出OF，然后写出点D的坐标，再把点D的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出k的值．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
17.【答案】B、D、F、G
【解析】
【分析】
本题主要考查了扫雷的基本原理和推理和证明的知识，主要训练学生逻辑推理能力．
根据“扫雷”游戏的规定分区域进行分析即可．
【解答】
解：图2中最左边的“1”和最右边的“1”，可得如下推断：
由第三行第二个“1”，可得它的上方必定是雷．
结合B下方的“2”，可得最左边的A、B对应的“？”中有一个雷；
同理可得最右边的“4”周围4个“？”中有3个雷，中间D、E对应“？”中有一个雷；
由于B下方的“2”和第二行最右边的“2”，它们周围的雷已经够数，
所以C对应的方格肯定不是雷，如下图所示：
进行下一步推理：
因为C对应的方格不是雷，所以C下方“2”的左上、右上的方格，即B、D都是雷；
而B下方的“2”的周围的雷也已经够数，所以A对应的方格也不是雷．
因为D下方的“2”，它的周围的雷已经够数，可得EE对应的方格不是雷，
根据F下方的“4”周围应该有4个雷，结合E不是雷，可得F、G对应的方格都是雷．
综上所述，A、C、E对应的方格不是雷，且B、D、F、G对应的方格是雷．
18.【答案】 32； 3n
【解析】解：作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，如图，
∵∠ACB=90°，
∴OD//BC，OE//AC，
∴△AOD∽△ABC，△BOE∽△BAC，
∴ODBC=AOAB，OEAC=BOBA，
∵OAOB=1n，
∴OAAB=1n+1，OBAB=nn+1，
∴ODBC=1n+1，OEAC=nn+1，
∴ODOE=BCn⋅AC，
在Rt△ABC中，tanB=tan30°=ACBC= 33，即BCAC= 3，
∴ODOE= 3n，
∵∠POQ=90°，
而∠DOE=90°，
∴∠DOP=∠QOE，
∴Rt△DOP∽Rt△EOQ，
∴OPOQ=ODOE= 3n，
当n=2时，即OAOB=12时，OPOQ= 32．
故答案为 32， 3n．
作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，由OD//BC，OE//AC易得△AOD∽△ABC，△BOE∽△BAC，根据相似的性质得ODBC=AOAB，OEAC=BOBA，由于OAOB=1n，则ODBC=1n+1，OEAC=nn+1，所以ODOE=BCn⋅AC，在Rt△ABC中，利用正切的定义得tanB=tan30°=ACBC= 33，即BCAC= 3，所以ODOE= 3n；利用等角的余角相等得到∠DOP=∠QOE，则Rt△DOP∽Rt△EOQ，则OPOQ=ODOE= 3n，且当n=2时，即OAOB=12时，OPOQ= 32．
本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形一边的直线与其他两边所截的三角形与原三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似；相似三角形对应边的比相等，都等于相似比．
19.【答案】1.5 2.5 L=0.5(2n+1)
【解析】解：(1)第一图案的长度L1=0.5×3=1.5，第二个图案的长度L2=0.5×5=2.5；
(2)观察可得：第1个图案中有花纹的地面砖有1块，第2个图案中有花纹的地面砖有2块，…
故第n个图案中有花纹的地面砖有n块；
第一个图案边长L=3×0.5，第二个图案边长L=5×0.5，则第n个图案边长为Ln=0.5(2n+1)．
故答案为：0.9，1.5；0.5(2n+1)．
(1)观察题目中的已知图形，可得前两个图案中有花纹的地面砖分别有：1，2个，第二个图案比第一个图案多1个有花纹的地面砖，所以可得第n个图案有花纹的地面砖有n块；第一个图案边长3×0.5=L，第二个图案边长5×0.5=L，
(2)由(1)得出则第n个图案边长为L=(2n+1)×0.5．
此题考查列代数式，找出图形之间的联系得出运算规律，利用规律得出一般性的结论即可．
20.【答案】解：(1)由题意得：第二边长为2a+b+(a+2b)=3a+3b，
则三角形的周长为(2a+b)+(3a+3b)+(3a+3b)=8a+7b；
(2)当a=3，b=2时，
三角形的周长为8×3+7×2=38．
【解析】(1)先求出第二边长，再利用三角形的周长公式列式计算即可得；
(2)将a=3，b=2代入计算即可得．
本题考查了整式加减中的化简求值，掌握整式的加减运算法则是解题关键．
21.【答案】解：(1)甲的综合成绩为93+87+833≈87.7(分)，
乙的综合成绩为88+96+803=88(分)．
因为乙的综合成绩比甲的高，所以应该让乙参加比赛；
(2)甲的综合成绩为50%×93+30%×87+20%×83=89.2(分)，
乙的综合成绩为50%×88+30%×96+20%×80=88.8(分)．
因为甲的综合成绩比乙的高，所以应该让甲参加比赛．
【解析】(1)根据算术平均数的计算方法计算即可；
(2)根据加权平均数的计算方法计算即可．
本题考查了算术平均数和加权平均数的知识，掌握算术平均数和加权平均数的计算方法是解答本题的关键．
22.【答案】解：(1)由题意得：3▲(−4)=3×(−4)+2×3−3×(−4)+2=8；
(2)由题意得(2▲3)=2×3+2×2−3×3+2=3，
3▲(−6)=3×(−6)+2×3−3×(−6)+2=8，
∴(2▲3)▲(−6)=8；
(3)不成立，理由如下：
∵a▲b=ab+2a−3b+2，b▲a=ba+2b−3a+2，
∴a▲b≠b▲a(a≠b)，即定义的新运算“▲”对交换律不成立．
【解析】(1)根据题目所给新定义运算顺序和运算法则，进行计算即可；
(2)根据题目所给新定义运算顺序和运算法则，进行计算即可；
(3)根据题目所给新定义运算顺序和运算法则，分别计算a▲b和b▲a，再进行比较即可．
本题主要考查了新定义下的有理数的混合运算，解题的关键是正确理解题意，明确题目所给新定义的运算顺序和运算法则．
23.【答案】解：(1)设购进A种商品m件，则购进B种商品(100−m)件，
根据题意，得：15m+35×(100−m)=2700，
解得：m=40，
∴100−m=60．
答：购进A种商品40件，B种商品60件；
(2)设A商品购进x件，售完此两种商品总利润为y元，则购进B种商品(100−x)件，
根据题意，得：y=(20−15)x+(45−35)(100−x)=−5x+1000，
且：0≤x≤100，且x为整数，
故y=−5x+1000(0≤x≤100，且x为整数)；
(3)王老师在该体育用品店购买A种商品数量为：200÷20=10(件)，
设王老师在该体育用品店购买B种商品n件(n为正整数)，
当300<45n≤400，即7≤n≤8时，
有0.9×45n=324，
解得：n=8；
当45n>400，即n≥9时，有0.8×45n=324，
解得：n=9
即总的件数为10+8=18(件)或10+9=19(件)．
答：这两天王老师在该体育用品店购买A、B两种商品一共18件或19件．
【解析】(1)设购进A种商品m件，则购进B种商品(100−m)件，列出一元一次方程，解方程即可求解；
(2)设A商品购进x件，售完此两种商品总利润为y元，则购进B种商品(100−x)件，根据题意列式出等式即可作答；
(3)先求出购买A种商品数量，再分类讨论求出购买B种商品数量，问题即可求解．
本题考查了一元一次方程的应用，一次函数以及一元一次不等式等知识，明确题意，准确列式，是解答本题的关键．
24.【答案】解：(1)△ACG是直角三角形，
理由：连接OA，OB，OC，
∵OA=AB=OC=OB=BC，
∴△AOB和△COB是等边三角形，
∴∠BOC=∠AOB=60°，
∴∠CAB=12∠BOC=30°，∠AOC=120°，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
∴∠ACO=CAB，
∴AG//OC，
∵CG是⊙O的切线，
∴OC⊥CG，
∴AG⊥CG，
∴△ACG是直角三角形；
(2)过O作OH⊥AB于H，
∴四边形OHGC是矩形，
∴OH=CG=5，
在Rt△OHB中，∠OHB=90°，∠OBA=60°，
∴OB=OHsin60∘=5 32=10 33，
∴AB的长为60⋅π×10 33180=10 3π9；
(3)∵∠OAC=∠ACB=30°，
∴OA//BC，
∴S△ABC=S△OBC，
∴阴影部分的面积=扇形BOC的面积=69⋅π×OB2360=8π3，
∴OB=4，
设OB与AC交于M，
∵∠AOB=∠BOC=60°，OA=OC，
∴OM⊥AC，
∴AM= 32OB=2 3，
∴AC=2AM=4 3，
∴AG= 32AC=6．
【解析】(1)连接OA，OB，OC，根据已知条件得到△AOB和△COB是等边三角形，求得∠BOC=∠AOB=60°，根据切线的性质得到OC⊥CG，根据平行线的性质即可得到结论；(2)过O作OH⊥AB于H，根据矩形的性质得到OH=CG=5，根据三角函数的定义得到OB=OHsin60∘=5 32=10 33，根据弧长公式即可得到结论；
(3)根据平行线的判定定理得到OA//BC，求得S△ABC=S△OBC，根据扇形的面积公式得到OB=4，设OB与AC交于M，根据直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了切线的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，扇形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．
25.【答案】解：(1)把点A(−3,0)，B(43,0)代入y=−x2+bx+c得：
−9−3b+c=0−169+43b+c=0，
解得：b=−53c=4，
∴此二次函数的解析式为y=−x2−53x+4；
(2)存在点D，使得BD⊥AC，过点O作OE⊥AC于点E，由(1)可得点C的坐标为(0,4).如图所示：
设AC的解析式为y=mx+n，把点A(−3,0)，C(0,4)代入得：
−3m+n=0n=4，
解得：m=43n=4，
∴AC的解析式为y=43x+4．
∵A(−3,0)，C(0,4)，
∴AC=5，
∵S△AOC=12OA⋅OC=12OE⋅AC，
∴OE=125，
∴E(−4825,3625)，
∴直线OE的解析式为y=−34x，
设过点B与OE平行的直线的解析式为y=−34x+d，
把点B(43,0)代入y=−34x+d得：
0=−34×43+d，
解得：d=1，
∴直线BD的解析式为y=−34x+1，与抛物线y=−x2−53x+4联立，
y=−34x+1y=−x2−53x+4，
解得：x1=43(舍去)，x2=−94，
∴点D的坐标为(−94,4316)．
(3)过点P作PG⊥x轴交AC于点F，连接PC，PA，
设P(x,−x2−53x+4)，则F(x,43x+4)，
∴PF=−x2−53x+4−(43x+4)=−x2−3x，
∴S△PAC=12×3PF=32(−x2−3x)=−32(x+32)2+278，
∴当x=−32时，S△PAC最大，最大值为278．
【解析】(1)把点A(−3,0)，B(43,0)代入y=−x2+bx+c，解出即可求解．
(2)过点O作OE⊥AC于点E，可求出点E(−4825,3625)，进而可求出直线直线OE的解析式为y=−34x，设过点B与OE平行的直线的解析式为y=−34x+d，把点B(43,0)代入y=−34x+d可求得直线BD的解析式为y=−34x+1，与抛物线y=−x2−53x+4联立，即可求出．
(3)过点P作PG⊥x轴交AC于点F，连接PC，PA，设P(x,−x2−53x+4)，则F(x,43x+4)，可得PF=−x2−3x，根据S△PAC=12×3PF=−32(x+32)2+278，即可得出结论．
本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，一次函数与二次函数交点问题，面积最值问题，构造函数关系是求面积最值是解此题的关键．
26.【答案】等边三角形
【解析】解：(1)结论：△FGH是等边三角形．理由如下：
如图1中，连接BD、CE，延长BD交CE于M，设BM交FH于点O．
∵△ABC和△ADE均为等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD=CE，∠ADB=∠AEC，
∵EG=GB，EF=FD，
∴FG=12BD，GF//BD，
∵DF=EF，DH=HC，
∴FH=12EC，FH//EC，
∴FG=FH，
∵∠ADB+∠ADM=180°，∴∠AEC+∠ADM=180°，
∴∠DMC+∠DAE=180°，
∴∠DME=120°，
∴∠BMC=60°
∴∠GFH=∠BOH=∠BMC=60°，
∴△GHF是等边三角形，
故答案为等边三角形．
(2)如图2中，连接AF、EC．
易知AF⊥DE，在Rt△AEF中，AE=2，EF=DF=1，
∴AF= 22−12= 3，
在Rt△ABF中，BF= AB2−AF2= 6，
∴BD=CE=BF−DF= 6−1，
∴FH=12EC= 6−12．
(3)存在．理由如下．
由(1)可知，△GFH是等边三角形，GF=12BD，
∴△GFH的周长=3GF=32BD，
在△ABD中，AB=a，AD=b，
∴BD的最小值为a−b，最大值为a+b，
∴△FGH的周长最大值为32(a+b)，最小值为32(a−b)．
(1)结论：△FGH是等边三角形．理由如下：根据三角形中位线定理证明FG=FH，再想办法证明∠GFH=60°即可解决问题；
(2)如图2中，连接AF、EC.在Rt△AFE和Rt△AFB中，解直角三角形即可；
(3)首先证明△GFH的周长=3GF=32BD，求出BD的最大值和最小值即可解决问题；
本题考查等边三角形的性质．全等三角形的判定和性质、解直角三角形、三角形的三边关系、三角形的中位线的宽等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找全等三角形解决问题，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考压轴题．
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