2022-2023学年江苏省常州市溧阳中学高二下学期4月阶段性调研测试数学试题含解析

这是一份2022-2023学年江苏省常州市溧阳中学高二下学期4月阶段性调研测试数学试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省常州市溧阳中学高二下学期4月阶段性调研测试数学试题 一、单选题1．可以表示为(    )．A． B． C． D．【答案】C【分析】根据排列数的计算公式即可判断﹒【详解】＝，故选：C﹒2．若平面，的法向量分别为，，并且，则x的值为（    ）A．10 B． C． D．【答案】C【解析】根据两个法向量共线可得的值.【详解】因为，共线，故，故，故选：C.3．根据组合数的性质可知，（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据性质直接可得.【详解】由性质可得.故选：C4．从名大学毕业生中选人担任村长助理，则甲、乙至少有人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】分别在甲、乙有且仅有人入选和甲、乙人都入选的情况下确定选法种数，根据分类加法计数原理可求得结果.【详解】甲、乙有且仅有人入选、丙没有入选的情况有：种；甲、乙人都入选、丙没有入选的情况有：种；甲、乙至少有人入选，而丙没有入选的不同选法的种数有种.故选：C.5．将一枚骰子连续抛两次，得到正面朝上的点数分别为、，记事件A为 “为偶数”，事件B为“”，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用条件概率的公式求解即可.【详解】根据题意可知，若事件为“为偶数”发生，则、两个数均为奇数或均为偶数，其中基本事件数为，，，，，，，，，，，，，，，，，，一共个基本事件，∴,而A、同时发生，基本事件有当一共有9个基本事件，∴，则在事件A发生的情况下，发生的概率为,故选:.6．已知三棱锥中，点为棱的中点，点为的重心，设，，，则向量（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】作出图形，利用重心的性质可得出关于、、的表达式，再由可得结果.【详解】连接并延长交于点，连接，则为的中点，且，，，为的中点，.故选：A.7．某次考试共有4道单选题，某学生对其中3道题有思路，1道题完全没有思路．有思路的题目每道做对的概率为0.8，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为0.25．若从这4道题中任选2道，则这个学生2道题全做对的概率为（    ）A．0.34 B．0.37 C．0.42 D．0.43【答案】C【分析】根据排列组合以及概率的乘法公式即可求解.【详解】设事件表示“两道题全做对”，若两个题目都有思路，则,若两个题目中一个有思路一个没有思路，则，故,故选：C8．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥如图，在堑堵ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，若AB＝，AA1＝2，当鳖臑A1﹣ABC体积最大时，直线B1C与平面ABB1A1所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】当鳖臑A1﹣ABC体积最大时，AC＝BC＝1，以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出直线B1C与平面ABB1A1所成角的余弦值．【详解】解：在堑堵ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AB＝，AA1＝2，当鳖臑A1﹣ABC体积最大时，AC＝BC＝1，以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，B1（0，1，2），C（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），设平面ABB1A1的法向量，则，取x＝1，得，设直线B1C与平面ABB1A1所成角为θ，则,所以∴直线B1C与平面ABB1A1所成角的余弦值为．故选：A． 二、多选题9．从4名男生、3名女生中选2人分别担任班长和副部长，要求选出的2人中至少有一名男生，则不同的方法数为（    ）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】根据选项注意分析即可.【详解】表示从4名男生中选1人，再从剩余的6人中选1人，最后将选出的2人进行排列，当选出的2人都为男生时，此算法有重复，故A错误；表示先从7人中选2人，减去2人都是女生的情况，最后将选出的2人进行排列，故B正确；表示先从4名男生和3名女生中各选1人，或从4名男生中选2人，最后将选出的2人进行排列，故C正确；表示从7人中选出2人进行排列，然后减去2人都是女生的情况，故D正确.故选：BCD10．已知，则（    ）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】令可求得可判断A；写出该二项展开式的通项可得可判断B；令，求得，进而求得可判断C；由二项展开式的通项分析可知，当为偶数时，，当为奇数时，，然后令可得出所求式子的值，可判断D．【详解】因为，令，得，故A正确；展开式的通项为 ，则，故B错误；令，得，故C正确；展开式的通项为，则，其中且，当为偶数时，；当为奇数时，，令，可得，故D正确.故选：ACD.11．假设某厂有两条包装食盐的生产线甲、乙，生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐质量服从正态分布（单位：g），生产线乙正常情况下生产出来包装食盐质量为xg，随机变量x服从正态密度函数，其中，则（    ）附：随机变量，则，，．A．正常情况下，从生产线甲任意抽取一包食盐，质量小于485g的概率为0.15%B．生产线乙的食盐质量C．生产线乙产出的包装食盐一定比生产线甲产出的包装食盐质量重D．生产线甲上的检测员某天随机抽取两包食盐，称得其质量均大于515g，于是判断出该生产线出现异常是合理的【答案】AD【分析】根据正态分布的参数，以及结合原则的参考数据，即可判断选项.【详解】由条件可知，设生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐的质量为，其中，其中，，则，故A正确；B. 随机变量x服从正态密度函数，可知，，，所以生产线乙的食盐质量，故B错误；C.不一定，可能小概率事件发生，生产线乙产出的包装食盐比生产线甲产出的包装食盐质量轻，故C错误；D. ，说明生产线甲抽到质量大于515g的可能性很低，所以随机抽取两包质量均大于515g，说明判断出该生产线出现异常是合理的，故D正确.故选：AD12．已知离散型随机变量服从二项分布，其中，记为奇数的概率为，为偶数的概率为，则下列说法中正确的有（    ）A．  B．时，C．时，随着的增大而增大 D．时，随着的增大而减小【答案】ABC【分析】选项A利用概率的基本性质即可，B选项由条件可知满足二项分布，利用二项分布进行分析，选项C，D根据题意把的表达式写出，然后利用单调性分析即可.【详解】对于A选项，由概率的基本性质可知，，故A正确，对于B选项，由时，离散型随机变量服从二项分布，则，所以，，所以，故B正确，对于C,D选项，，当时，为正项且单调递增的数列，故随着的增大而增大故选项C正确，当时，为正负交替的摆动数列，故选项D不正确.故选：ABC. 三、填空题13．在棱长为1的正方体中，为棱上任意一点，则=_______.【答案】1【分析】根据空间向量的线性运算及数量积的运算性质求解.【详解】如图，在正方体中，为棱上任意一点，则，，.故答案为：1.14．展开式中含项的系数为______．【答案】－60【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.【详解】，设该二项式的通项公式为，因为的次数为，所以令，二项式的通项公式为，令，所以项的系数为，故答案为：15．某企业的一批产品由一等品零件、二等品零件混装而成，每包产品均含有10个零件．小张到该企业采购，利用如下方法进行抽检：从该企业产品中随机抽取1包产品，再从该包产品中随机抽取4个零件，若抽取的零件都是一等品，则决定采购该企业产品；否则，拒绝采购．假设该企业这批产品中，每包产品均含1个或2个二等品零件，其中含2个二等品零件的包数占，则小张决定采购该企业产品的概率为______．【答案】【分析】根据题意，分析可得含1个二等品零件的包数占，进而由对立事件和互斥事件的概率公式计算可得答案．【详解】解：根据题意，该企业这批产品中，含2个二等品零件的包数占，则含1个二等品零件的包数占，在含1个二等品零件产品中，随机抽取4个零件，若抽取的4个零件都是一等品，其概率，在含2个二等品零件产品中，随机抽取4个零件，若抽取的4个零件都是一等品，其概率，则小张决定采购该企业产品的概率；故答案为：． 四、双空题16．在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列.现连续发射信号次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为.①当时，_______；②已知切比雪夫不等式：对于任一随机变量，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有.根据该不等式可以对事件“”的概率作出下限估计.为了至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，估计信号发射次数的最小值为_______.【答案】          1250【分析】①根据二项分布公式计算；②运用二项分布公式算出 和 ，再根据题意求出 中a的表达式，最后利用切比雪夫不等式求解.【详解】①当时，由已知，所以 ；②由已知，所以，若，则，即，即.由切比雪夫不等式，要使得至少有的把握使发射信号“1”的频率在与之间，则，解得，所以估计信号发射次数的最小值为1250.故答案为：；1250. 五、解答题17．在1，2，3，…，9这9个自然数中，任取2个不同的数.(1)求这2个数中恰有1个是奇数的概率；(2)设X为所取的2个数中奇数的个数，求随机变量X的概率分布及均值.【答案】(1)(2)分布列见解析，均值为． 【分析】（1）由9个数中5个奇数，4个偶数，可得出取出的2个数中恰有1个是奇数的方法数，从而计算出概率；（2）X的可能值依次为，分别计算出概率的分布列，由均值公式计算出均值．【详解】（1）9个数中5个奇数，4个偶数，因此所求概率为；（2）X的可能值依次为，，，的分布列为012均值为．18．已知在的展开式中，第2项与第8项的二项式系数相等.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中的常数项.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据题目条件先求出，再根据二项式系数的性质求出结果；（2），结合（1）中的结果，求出的常数项和的系数即可.【详解】（1）依题意得，，解得，根据二项式系数的性质最大，于是展开式中系数最大的项为：.（2），展开式的常数项为：，展开式的的系数为：，于是展开式的常数项为：19．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，平面，(1)求到平面的距离；(2)求平面与平面的夹角的正弦值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据等体积求解.（2）以为坐标原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设平面与平面的夹角为，则代入求解.【详解】（1）平面，所以是三棱锥的高，根据题意，设到平面的距离为，，由得，代入数据，得，所以到平面的距离为.（2）由平面，平面，，又则，两两垂直，以为坐标原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，则设平面的一个法向量为，则，令，则，平面的一个法向量，设平面与平面的夹角为，则，，平面与平面的夹角的正弦值为20．（1）求证：；（2）求和：；（3）求证：当随机变量时，【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析【分析】（1）由组合数公式证明即可；（2）由（1）中结论，结合二项式系数的性质求解； （3）写出的表达式，由（2）中结论，结合二项式定理求解．【详解】（1），，所以.（2）.（3）.21．如图，四棱锥的底面为正方形，底面，，点在棱上，且，点是棱上的动点（不含端点）.(1)若是棱的中点，求的余弦值；(2)求与平面所成角的正弦值的最大值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出，的坐标，利用向量夹角公式求解；（2）设，求出平面的法向量，设与平面所成角为，则，根据二次函数取最值的条件即得结果.【详解】（1）由平面，，平面，所以，，又，所以、、两两垂直，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，当为棱的中点时，，则，，，所以的余弦值为.（2），设，，则，则，又，设平面的一个法向量为，则，即，取，，设与平面所成角为，，令，当时，，即时，有最大值，所以与平面所成角的正弦值的最大值为.22．法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家面包店购买一个面包，该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是1000g，上下浮动不超过50g，这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1000g，标准差为50g的正态分布.(1)已知如下结论：若，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量.利用该结论解决下面问题.①假设面包师的说法是真实的，随机购买25个面包，记随机购买25个面包的平均值为，求；②庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到的数据都落在上并经计算25个面包质量的平均值为978.72g.庞加莱通过分析举报了该面包师，从概率角度说明庞加菜举报该面包师的理由；(2)假设有两箱面包（面包除颜色外，其他都一样），已知第一箱中共装有6个面包，其中黑色面包有2个；第二箱中共装有8个面包，其中黑色面包有3个.现随机挑选一箱，然后从该箱中随机取出2个面包.求取出黑色面包个数的分布列及数学期望.附：①随机变量服从正态分布，则，，②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生【答案】(1)①；②答案见解析(2)分布列见解析， 【分析】（1）（i）由正太分布的对称性及原则进行求解；（ii）结合第一问求解的概率及小概率事件进行说明；（2）设取出黑色面包个数为随机变量，则的可能取值为0,1,2,求出相应的概率，进而求出分布列及数学期望.【详解】（1）（i）假设面包师说法是真实的，则每个面包的质量由已知结论可知，由附①数据知，（ii），由附②知，事件“”为小概率事件，由题25个面包质量的平均值，小概率事件“”发生所以庞加莱认为面包师的说法不真实，进行了举报（2）由题意，设随机挑选一箱，取出两个面包，其中黑色面包个数为，则的取值为0，1，2设“所取两个面包来自第箱”，所以设“所取两个面包有各黑色面包”，由全概率公式，，，所以黑色面包个数的分布列为012所以