河北省衡水中学2017届高三上学期一调考试数学（文）试题

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.已知集合，则=（   ）

A．                       B．{2}                       C．{0}                     D．{-2}

【答案】B

考点：集合的运算.

2.复数=（   ）

A．                     B．                        C．                     D．

【答案】D

【解析】

试题分析：由题意得，故选D.

考点：复数的运算.

3.下列函数为奇函数的是（   ）

A．                 B．                C．                D．

【答案】A

【解析】

试题分析：由题意得，令，则，所以函数为奇函数，故选A.

考点：函数奇偶性的判定.

4.设，则“”是“”的（   ）

A．充要条件                            B．充分而不必要条件

C．必要而不充分条件                    D．既不充分也不必要条件

【答案】C

考点：充要条件的判定.

5.设，，则（   ）

A．                              B．

C．                              D．

【答案】C

【解析】

试题分析：由题意得，根据指数函数与对数函数的性质，可知，，，所以，故选C.

考点：指数函数与对数函数的性质.

6.若变量满足则的最大值是（   ）

A．12                                B．10

C．9                                 D．4

【答案】B

【解析】

试题分析：由约束条件，作出可行域，如图所示，因为，所以，联立，解得，因为，所以的最大值是，故选B.

考点：简单的线性规划.

7.已知函数，则函数的图象（   ）

A．最小正周期为                         B．关于点对称

C．在区间上为减函数                      D．关于直线对称

【答案】D

考点：三角函数图象与性质.

【方法点晴】本题主要考查了三角函数的图象与性质，其中解答中涉及到两角和的余弦函数、正弦与余弦的二倍角公式、辅助角公式和三角函数的性质等知识点的综合考查，解答中熟练掌握三角函数恒等变换的公式，化简函数为是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力.

8.已知，，则等于（   ）

A.                      B．                      C．                    D．

【答案】C

【解析】

试题分析：由，得，又由三角函数的基本关系式，可得，且，所以，由，故选C.

考点：三角函数的化简求值.

9.设函数若，则=（   ）

A．1                       B．                          C．                       D．

【答案】D

考点：分段函数的应用.

10.若执行如图所示的程序框图，输出的值为（   ）

A．                               B．

C．2                                     D．3

【答案】D

【解析】

试题分析：由题意得，由判断框中的条件可知，该程序框图是计算

．

考点：循环结构.

11.一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（   ）

[来源:学.科.网]

A．                         B．                         C．                    D．

【答案】B

考点：几何体的三视图；几何体的体积.

【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图、三棱柱与三棱锥的体积的计算，此类问题的解答关键在于根据三视图的规则——“长对正、高平齐、宽相等”的规则得到原几何体的形状，再根据几何体的线面位置关系和几何体的体积公式求解，着重考查了学生的空间想象能力及推理与运算能力.属于基础题.

12.设为非零向量，，两组向量和均由2个和2个排

列而成，若所有可能取值中的最小值为，则与的夹角为（   ）

A．                        B．                      C．                        D．0

【答案】B

【解析】

试题分析：由题意，设与的夹角为，分类讨论可得：

，不满足题意；

，不满足题意；

，此时满足题意，所以，所以与的夹角为，故选B.

考点：平面向量的数量积的运算；向量的夹角公式.

【方法点晴】本题主要考查了平面向量的数量积的运算、向量的夹角公式的应用，其中解答中涉及到向量的数量积的运算公式、向量的模的运算等知识点的考查，着重考查学生的分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，解答中根据两组向量和均由个和个排列而成，结合其数量积组合情况，即可得出结论.

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）

13.已知函数，且，则的

值为___________.

【答案】

考点：函数奇偶性的应用.

14.已知函数的图象在点处的切线过点（2,7），则=__________.[来源:]

【答案】

【解析】

试题分析：由题意得，函数的导数为，所以，而，所以切线方程为，因为切线方程经过点，所以，解得.

考点：利用导数研究曲线在某点的切线方程.

15.不等式对任意实数恒成立，则实数的最大值为___________.

【答案】

考点：不等式的恒成立问题.

【方法点晴】本题主要考查了不等式的恒成立问题的求解，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值问题和函数最值的应用等知识点的考查，此类问题解答的关键在于把不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题，利用函数的性质求解，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

16.已知的三边满足，则角=_____________.

【答案】

【解析】

试题分析：由的三边满足，所以，所以，所以，即为，所以，所以.

考点：余弦定理的应用.

【方法点晴】本题主要考查了解三角形中的余弦定理的应用，其中解答中涉及到已知三角函数值求角、多项式的变形化简，其中多项式的变形、化简是本题的一个难点，其中运算量大、化简灵活，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的推理与运算能力，此类问题平时应注意总结和积累.

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分12分）

函数的部分图象如图所示.

（1）写出的最小正周期及图中的值；

（2）求在区间上的最大值和最小值.

【答案】（1），，；（2），．

考点：三角函数的图象与性质.

18.（本小题满分12分）

在中，内角所对应的边分别为，已知A.

（1）求；

（2）若，求的值.

【答案】（1）；（2）．

考点：正弦定理；三角恒等变换化简求值.

19.（本小题满分12分）

已知函数，其中为常数.

（1）若曲数在点处的切线与直线垂直，求函数的单调递减区间；

（2）若函数在区间[1,3]上的最小值为，求的值.

【答案】（1）；（2）．

【解析】[来源:]

试题分析：（1）因为曲线在点处的切线与直线垂直，解得，代入求得，令，即可求解函数的单调递减区间；（2）分别根据和、三种情况分类讨论，得出函数的单调区间，确定函数的最小值，即可求解的值.

考点：利用导数研究曲线在某点处的切线方程；利用导数研究函数的单调性与极值（最值）.

20.（本小题满分12分）

如图，在一条海防警戒线上的点处各有一个水声监测点，两点到的距离分别为20千

米和50千米，某时刻，收到发自静止目标的一个声波信号，8秒后同时接收到该声波信号，

已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒.

（1）设到的距离为千米，用表示到的距离，并求的值；

（2）求到海防警戒线的距离.

【答案】（1），，；（2）．

考点：解三角形的实际应用.

【方法点晴】本题主要考查了解三角形的实际应用问题，其中解答中涉及到解三角形的正弦定理于余弦定理的应用以及三角形的高线的应用等知识点的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的推理与运算能力，属于基础题，此类问题的解答中关键在于灵活运用正弦定理和余弦定理找到解决问题的途径.

21.（本小题满分12分）

已知函数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）是否存在实数，使恒成立，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由.

【答案】（1）函数的单调增区间为和，单调减区间为；（2）当时，使恒成立.

【解析】

试题分析：（1）确定函数的定义域，求导函数，分类讨论，利用导数的正负确定取得函数的单调区间；（2）恒成立可转化为恒成立，

令，则只需在恒成立即可，

．

当时，在时，，在时，

的最小值为，由得，

故当时恒成立，                              .................8分

当时，，在不能恒成立，

当时，取，有，在不能恒成立，   ...10分

综上所述当时，使恒成立.

考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值与最值.

【方法点晴】本题主要考查了函数的单调区间和恒成立问题的求解，其中解答中涉及到导数的运算公式、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值与最值等知识点的考查，着重考查了分类讨论思想、转化与化归思想的应用，以及学生的推理与运算能力，其中把恒成立问题转化为新函数的最值问题是解答的关键，试题有一定的难度，属于难题.

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.

22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲[来源:学&科&网Z&X&X&K]

如图，是圆的切线，是切点，与，割线交圆于两点.

（1）证明：，四点共圆；

（2）设，求的大小.

【答案】（1）证明见解析；（2）．

（2）连接.因为，结合（1）得

.   ...10分

考点：与圆有关的比例线段.

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标

系，圆的极坐标方程为.

（1）把圆的极坐标方程化为直角坐标系方程；

（2）将直线向右平移个单位，所得直线与圆相切，求.

【答案】（1）；（2）或.

考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程的应用.

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲[来源:ZXXK]

已知函数.

（1）若当时，恒有，求的最大值；

（2）若当时，恒有，求的取值范围.

【答案】（1）的最大值；（2）．

【解析】

考点：绝对值不等式.