河北省衡水中学2016届高三下学期第二次调研考试理数试题解析

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合，集合，则的子集个数为（  ）

A．2            B．4            C．8           D．16

【答案】C

考点：1、不等式的解法；2、集合的交集运算；3、集合的子集．

2.如图，复平面上的点到原点的距离都相等，若复数所对应的点为，则复数（是虚数单位）的共轭复数所对应的点为（   ）

A．         B．      C．      D．

【答案】B

【解析】

试题分析：根据题意，设（且为实数），则为负实数，对应点在轴负半轴，即为，共轭复数是，故选B．

考点：复数的概念．

3.下列四个函数中，在处取得极值的函数是（    ）

①；②；③；④

A．①②         B．①③        C．③④         D．②③

【答案】D

【解析】

试题分析：①中，恒成立，所以函数在上递增，无极值点；②中，当时函数单调递增，当时函数单调递减，且，符合题意；③中结合该函数图象可知当时函数单调递增，当时函数单调递减，且，符合题意；④中，由函数的图象知其在上递增，无极值点，故选D．

考点：函数的极值．

4.已知变量满足：，则的最大值为（   ）

A．      B．       C．2         D．4

【答案】D

考点：简单的线性规划问题．[来源:Z.xx.k.Com]

5.执行如图所示的程序框图，输出的结果是（   ）

A．5      B．6      C．7      D．8

【答案】B

【解析】

试题分析：第一次循环，得；第二次循环，得；第三次循环，得＝；第四次循环，得；第五次循环，得＝，，

此时不满足循环条件，退出循环，输出，故选B．

考点：程序框图．

6.两个等差数列的前项和之比为，则它们的第7项之比为（   ）

A．2            B．3            C．        D．

【答案】B

【解析】

试题分析：设这两个数列的前项和分别为，则，故选B．

考点：1、等差数列的前项和；2、等差数列的性质．

7.在某次联考数学测试中，学生成绩服从正态分布，若在（80,120）内的概率为0.8，则落在（0,80）内的概率为（  ）

A．0.05        B．0.1      C．0.15         D．0.2

【答案】B

考点：正态分布．

8.函数的部分图象如图所示，的值为（   ）

A．0      B．       C．       D．

【答案】A

【解析】

试题分析：由图知，，所以，所以．由正弦函数的对称性知，所以＝，故选A．

考点：1、三角函数的图象及周期性．

【方法点睛】由周期确定，即由求出．常用的确定值的方法有：（1）曲线与轴的相邻两个交点之间的距离为；（2）最高点和与其相邻的最低点横坐标之间的距离为；（3）相邻的两个最低点（最高点）之间的距离为；（4）有时还可以从图中读出或的长度来确定．

9.若，则的值是（   ）

A．-2       B．-3       C．125         D．-131

【答案】C

考点：二项式定理．

10.已知圆，圆，椭圆（，焦距为），若圆都在椭圆内，则椭圆离心率的范围是（    ）

A．        B．       C．         D．

【答案】B

【解析】

试题分析：由题意，得圆的圆心分别为和，半径均为，满足题意的圆与椭圆的临界位置关系如图所示，则知要使圆都在椭圆内，则需满足不等式，所以离心率，故选B．

考点：1、椭圆的几何性质；2、圆锥曲线间的位置关系．

11.定义在上的函数对任意都有，且函数的图象关于（1,0）成中心对称，若满足不等式，则当时，的取值范围是（  ）

A．           B．      C．        D．

【答案】D

考点：1、函数的单调性；2、函数的奇偶性；3、不等式的性质．

【方法点睛】利用函数性质解决函数不等式的常用方法有：（1）根据奇函数、偶函数的图象特征和性质，通过图象将函数不等式转化为一般不等式，从而解决函数不等式问题；（2）根据函数奇偶性与周期性将函数不等式中的自变量转化到同一单调区间上，再根据单调性脱去符号“”求解．

12.正三角形的边长为2，将它沿高翻折，使点与点间的距离为，此时四面体外接球表面积为（  ）

A．7         B．19          C．        D．

【答案】A

考点：1、多面体的外接球；2、正余弦定理；3、球的表面积．

【方法点睛】求解翻折问题的基本方法：（1）先比较翻折前后的图形，弄清哪些几何量和线面间位置关系在翻折过程中不变，哪些已发生变化；（2）将不变的条件集中到立体图形中，将问题归结为一个条件与结论明朗化的立体问题．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.一个几何体的三视图如图所示，该几何体体积为          .

【答案】

【解析】

试题分析：由三视图知该几何体是以底面边长为2的正方形，高为的四棱锥，所以该几何体的体积为．

考点：1、空间几何三视图；2、四棱锥的体积．

【思路点睛】由三视图还原几何体可考虑三种情况：（1）若主视图与左视图都是三角形，则几何体为棱锥；（2）若主视图与左视图都是矩形，则几何体为棱柱；（3）若主视图与左视图中一个为三角形，一个为矩形，则几何体为横放的几何体．

14.已知向量与的夹角为60°，且，若，且，则实数的值为          .

【答案】1

【解析】

试题分析：因为，所以．－＝＝，解得．

考点：1、向量的数量积运算；2、向量的线性运算．

15.已知双曲线的半焦距为，过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，若抛物线的准线被双曲线截得的弦长是（为双曲线的离心率），则的值为          .

【答案】

考点：1、抛物线与双曲线的几何性质；2、直线与双曲线的位置关系．

【方法点睛】关于双曲线的离心率问题，主要是有两类试题：一类是求解离心率的值，一类是求解离心率的范围．基本的解题思路是建立椭圆和双曲线中的关系式，求值问题就是建立关于的等式，求取值范围问题就是建立关于的不等式．

16.用表示自然数的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1,3,9，的因数有1,2,5,10，，那么          .

【答案】

考点：1、新定义；2、等差数列与等比数列的前项和．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 

17.(本小题满分12分)在锐角中，角所对的边分别为，已知

.

(1)求角的大小；

(2)求的面积.

【答案】（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）先由正弦定理求得与的关系，然后结合已知等式求得的值，从而求得的值；（2）先由余弦定理求得的值，从而由的范围取舍的值，进而由面积公式求解．

试题解析：(1)在中，由正弦定理，得，即.(3分)

又因为，所以.   (5分)

因为为锐角三角形，所以.             (6分)

考点：1、正余弦定理；2、三角形面积公式．

18.(本小题满分12分)某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图.

为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”.

(1)当时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为，乙型号电视机的“星级卖场”数量为，比较，的大小关系；

(2)在这10个卖场中，随机选取2个卖场，记为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求的分布列和数学期望；

(3)若，记乙型号电视机销售量的方差为，根据茎叶图推断为何值时，达到最小值.(只需写出结论)[来源:学.科.网Z.X.X.K]

【答案】（1）；（2）分布列见解析，；（3）0．

【解析】

试题分析：(1)根据茎叶图，得2数据的平均数为.(1分)

乙组数据的平均数为.(2分)

由茎叶图，知甲型号电视剧的“星级卖场”的个数，乙型号电视剧的“星级卖场”的个数，所以.                      (4分)

考点：1、平均数与方差；2、分布列；3、数学期望．

19.(本小题满分12分)如图1，在边长为4的菱形中，，于点，将沿折起到的位置，使，如图2.

(1)求证：平面；

(2)求二面角的余弦值；

(3)判断在线段上是否存在一点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）；（3）不存在，理由见解析．

（3）假设在线段上存在一点，使得平面平面，设，则

，，设平面的法向量为，由，

，得，令，得，∵平面平面，∴，即，解得，

∵，∴在线段上不存在点，使得平面平面．(12分 )

考点：1、空间垂直关系的判定与性质；2、二面角；3、空间向量的应用．

【方法点睛】证明空间直线与平面垂直的方法有：一是利用线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理．在解题时，要注意线线、线面与面央关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系．

20.(本小题满分12分)如图，已知椭圆：，点是它的两个顶点，过原点且斜率为的直线与线段相交于点，且与椭圆相交于两点.

(1)若，求的值；

(2)求四边形面积的最大值.

【答案】（1）或；（2）．

故，由知，，得，由点在线段上，知，得，

所以，化简，得，解得或.（6分）

[来源:学科网]

考点：1、直线与圆的位置关系；2、点到直线的距离公式；3、基本不等式．[来源:Zxxk.Com]

21.(本小题满分12分)设函数.

(1)求函数的单调区间；

(2)若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数的值；

(3)若方程有两个不相等的实数根，比较与0的大小.[来源:学科网ZXXK]

【答案】(1) 当时，单调增区间为，无单调减区间；时，单调增区间为，单调减区间为；(2)3；(3) ．

【解析】

试题分析：(1)求导后，分、，根据导函数与0的关系求得单调区间；(2) 由(1)知的最小值，即，令，求得，通过讨论的单调性求得的值；(3) 由是方程的两个不等实根，则，，两式相减，得，然后通过换元求导即可证明．

(3) ，结论证明如下：

因为是方程的两个不等实根，由(1)知.

不妨设，则

两式相减得，

即．

所以.

因为，当时，，当时，，

考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、函数零点；3、比较大水小．

【方法点睛】利用导数研究函数的单调性时，先求导，再由 ()解出相应的的取值范围．当时，在相应的区间上是增函数；当时，在相应的区间上是减函数．要特别注意的是，涉及含参数的单调性或单调区间问题，一定要弄清参数对导数在某一区间内的符号是否有影响．若有影响，则必须分类讨论．

请从下面所给的22 , 23 ,24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22.

 (本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲

如图，直线与⊙相切于点是⊙的弦，的平分线交⊙于点，连接，并延长与直线相交于点.

(1)求证：；

(2)若，求弦的长.

【答案】(1)见解析； (2)．

考点：1、切割线定理；2、弦切角定理；3、相似三角形．

23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标中，圆的方程为.

(1)写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程；

(2)若点坐标，圆与直线交于两点，求的值.

【答案】(1) 直线的普通方程为，圆的直角坐标方程为；（2）．

【解析】

试题分析：(1) 把直线的参数方程两式相加消参即可得到其普通方程；根据与求圆的直角坐标方程；（2）把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程中利用参数的几何意义求解．

试题解析：(1)由得直线的普通方程为.(2分)

又由得圆的直角坐标方程为，即.(5分)

（2）把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，得，即，由于，故可设是上述方程的两实数根，所以，又直线的过点，两点对应的参数分别为，所以.(10分)

考点：1、参数方程与普通方程的互化；2、极坐标方程与直角坐标方程的互化；3、参数的几何意义的应用．

【警示点睛】将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数，此时要注意其中的 (它们都是参数的函数)的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．参数方程化普通方程常用的消参技巧有：代入消元、加减消元、平方后相加减消元、整体消元等．

24.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲

(1)已知函数，求的取值范围，使为常函数；

(2)若，求的最大值.

【答案】(1) ；（2）3．

考点：1、零点分段法；2、柯西不等式．