四川省成都市玉林中学2022-2023学年高三数学（理）下学期模拟试题一（Word版附答案）

成都市玉林中学高2020级高考模拟一

（理科数学）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1．已知复数z满足，则z的虚部为

A.                 B.               C.                 D. 1

2．已知集合，，则

A.             B.           C.             D.

3. 在数列中，“对任意大于1的正整数，都有”是“为等比数列”的

A. 充分不必要条件     B. 必要不充分条件    

C. 充要条件           D. 既不充分也不必要条件

4．近年来，报考教师资格证的人数越来越多，教师行业逐渐升温．下图给出了近四年四所师范院校的录取分数排名，则下列判断错误的是

A．近四年北京师范大学录取分数排名变化最不明显

B．近四年湖南师范大学录取分数排名的平均值最大

C．近四年华南师范大学录取分数排名的极差值最大

D．近四年华中师范大学的生源质量呈现下降的趋势

5．执行如下图所示的程序框图，则输出的的值是

A.              B.               C.              D.

6．如下图，在中，，则

A． B． C． D．

7．如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为

A．30°           B．45°            C．60°            D．75°

第6题图                        第7题图                     

第5题图

8．函数的图象大致为

        A                    B                    C                   D

9．已知数列为等比数列，公比，，，，成等差数列，将数列中的项按一定顺序排列成，，，，，，，，，，…的形式，记此数列为，数列的前n项和为，则的值是

A．1629 B．1630 C．1635 D．1641

10．2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G．若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则下列命题错误的是

A．椭圆的长轴长为

B．线段AB长度的取值范围是

C．面积的最小值是4

D．的周长为

11.在平面四边形中，，为正三角形，将绕对角线所在直线旋转至，使得，则三棱锥的外接球的表面积为

A.              B.               C.                   D.

12. 设，则

A.         B.            C.               D.

第Ⅱ卷（非选择题90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13． ________.

14．已知向量，若，且，则的最小值为_____________.

15．已知为双曲线的两个焦点，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为 ________.

16. 图1中，正方体的每条棱与正八面体（八个面均为正三角形）的每条棱垂直且互相平分．将该正方体的顶点与正八面体的顶点连结，得到图2的十二面体，该十二面体能独立密铺三维空间．若，则该十二面体的表面积为_________；点M到直线的距离等于__________.

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（12分）已知函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为，请从条件①、条件②、条件③中任意选择两个作为已知条件作答．

条件①：的最小值为；  

条件②：的图象的一个对称中心为；

条件③：的图象经过点．

（1）求的解析式；

（2）在锐角中，内角所对的边分别为，，，求面积的取值范围.

18.（12分）如图，在四棱锥中，四边形ABCD为菱形，，E，F分别是PA，PD的中点，过E，F作平面交线段PB，PC分别于点G，H，且.

（1）求证：；

（2）若PD⊥平面ABCD，且二面角为，二面角的正切值为，求的值．

19．（12分）港珠澳大桥海底隧道是当今世界上埋深最大、综合技术难度最高的沉管隧道，建设过程中突破了许多世界级难题，其建成标志着我国在隧道建设领域已达到世界领先水平．在开挖隧道施工过程中，若隧道拱顶下沉速率（瞬时变化率）过快，无法保证工程施工的安全性，则需及时调整支护参数、某施工队对正在施工的隧道工程进行下沉量监控量测工作，通过对监控量测结果进行回归分析，建立前t天隧道拱顶的累加总下沉量z（单位：毫米）与时间t（单位：天）的回归方程，通过回归方程预测是否需要调整支护参数．已知该隧道拱顶下沉的实测数据如下表所示：

研究人员制作相应散点图，通过观察，拟用函数进行拟合．令，计算得：，，；，，．

（1）请判断是否可以用线性回归模型拟合u与t的关系；

（2）试建立z与t的回归方程，并预测前8天该隧道拱顶的累加总下沉量；

（3）已知当拱顶下沉速率超过9毫米/天，支护系统将超负荷，隧道有塌方风险．若规定每天下午6点为调整支护参数的时间，试估计最迟在第几天需调整支护参数，才能避免塌方．

附：①参考数据：，．②相关系数；

③回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．

20. （12分）已知抛物线的焦点为.若直线与抛物线交于两点，为坐标原点，.

（1）求证：直线过定点，并求出该定点的坐标；

（2）在轴上是否存在点，使得直线与直线的斜率之和为定值.若存在，求出点的坐标和定值；若不存在，请说明理由.

21．（12分）已知函数，.

（1）当时，讨论函数的单调性；

（2）当时，函数，且不等式恒成立，求实数的取值范围.

（二）选考题 [选修4—4：坐标系与参数方程]

22.（10分）已知直线的参数方程为(其中为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为(其中).

（1）求直线l与曲线的直角坐标方程；

（2）若，当变化时，求直线被曲线截得的弦长的取值范围.

成都市玉林中学高2023级高考模拟一

（理科解析）

1-12 BABDB ABADC CA   13．    14.      15.    16. ，6

17．解：（1）因为图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以，即，所以，所以                                                         ······2分

若选①②，则，，，即，，

因为，所以，所以；                                  ······6分

若选①③，则，，即，

因为，所以，所以，得，所以；

······6分

若选②③，，，即，，

因为，所以，此时，

因为，，，，所以   ·····6分

（2）由（1）知，，因，所以，    ······8分

因为，所以

所以                                              ······10分

因为，所以,

面积的取值范围是                                         ······12分

18.解：（1）证明：∵E，F分别是PA，PD中点，

∴，又∵，∴，

又∵平面PBC，平面PBC，∴平面PBC，　　　　　　　　　　　　        ······３分

又∵平面α，平面平面，

∴，∴；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　      　······６分

（2）∵PD⊥平面ABCD，AD，平面ABCD，∴，，

∴∠ADC为二面角的平面角，则，

取BC中点O，连接OD，以D为原点，DA所在直线为x轴，DO所在直线为y轴，DP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则，，，，设点G坐标为，                      ······8分

∵，，∴，

∴，∴，设平面PBD的法向量为，则，

即，令，则，，则，

设平面EFG的法向量为，，，

∴，即，

令，则，，则，                                 ······10分

设二面角E-FG-P的平面角为θ，∵二面角E-FG-P的正切值为，

∴，，，

∴，解得或（舍去）.                                          ······12分

19.解（1）;　　　

　　　　　　　　　　　······2分

可以用线性回归模型拟合变量间的关系.　　　　　　　　　　　　　　　　        ······4分

（2）设，则.；　　　　　　　;　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　     　······6分

，,当时，.　　　　　　　　　　　　　　　

所以预测前8天该隧道拱顶的累加总下沉量为毫米。　　　　　　　　　　　　   ······8分　

（3），下沉速率：，                                    ······10分

所以设第n天下沉速率超过9毫米/天，

则：，，，，，

所以第8天该隧道拱顶的下沉速率超过9毫米/天，

最迟在第7天需调整支护参数，才能避免塌方．                                       ······12分

20. 解：（1）因为，即，故抛物线的方程为.　　　　　　　　　     　······２分

当直线的斜率为0时，与抛物线交点为1个，不合要求，舍去　　　　　　　　　　     　······３分

故设直线的方程为，代入并整理得.，且

设，则，　　　　　　　　　　　······４分

由得，即，

所以，即，故直线的方程为过定点（4，0）.　　　　　　    ······６分

（2）假设存在满足条件的点，使. 由（1）知，

所以

化简可得：.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　······８分

因为上式对恒成立，所以，　解得.          ······１０分

所以在轴上存在点，使得直线与直线的斜率之和为0.　　　　　    ······　１２分

21．【详解】（1）当b=1时，，定义域为（0，+∞）　.　　　······２分

当时，，所以函数在（0，+∞）上单调递减.

当时，，令，得；令，得，

所以函数在（0，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减.　　　　　　          　······４分

综上，当时，函数在（0，+∞）上单调递减，

　　　当时，函数在（0，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减.　　        ······５分

（2）由于，所以当显然不成立　　　　　　　　　　　　               ······６分

解得易得故b=1，所以f(x)=lnx－x，

所以f(x)≤g(x)即，等价于对x>0恒成立，

即对x>0恒成立.令，所以，                ······８分

.令，，

则恒成立，所以G(x)在（0，＋∞）上单调递增.

由于G(1)=e>0，，所以使得，即，（※）

所以当时，G(x)<0，当时，G(x)>0，

即F(x)在上单调递减，在上单调递增，所以，

由（※）式可知，，，

令，，又x>0，所以，即s(x)在（0，+∞）上为增函数，   ······１０分

所以，即，所以，　　所以

所以，实数m的取值范围为（－∞，1].　　　　　　　　　　　　　　　　　　　     　    ······１２分

22.解析：（1）当时直线方程为；当时直线方程为               ······2分

由，曲线的极坐标方程对应的直角坐标方程为，

即                                                             ······5分

（2）直线l的极坐标方程为，代入曲线的极坐标方程并整理可得，······7分

设直线l与曲线的两个交点对应的极径分别为，则.

则直线l与曲线截得的弦长为

                               ······9分

即直线l与曲线截得的弦长的取值范围是.                                      ······10分