2022-2023学年辽宁省部分学校高二下学期期中考试数学试题含解析

2022-2023学年辽宁省部分学校高二下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．函数y＝x2cos 2x的导数为（    ）

A．y′＝2xcos 2x－x2sin 2x

B．y′＝2xcos 2x－2x2sin 2x

C．y′＝x2cos 2x－2xsin 2x

D．y′＝2xcos 2x＋2x2sin 2x

【答案】B

【分析】利用复合函数的导数运算法则计算即可．

【详解】y′＝(x2)′cos 2x＋x2(cos 2x)′＝2xcos 2x＋x2(－sin 2x)·(2x)′＝2xcos 2x－2x2sin 2x

故选：B

2．已知数列满足，，其前n项和为，则(    )

A． B． C．3 D．

【答案】B

【分析】根据首项和递推公式求出数列前五项，判断出数列为周期数列，根据周期性即可求．

【详解】数列满足，，

，，，，…

数列是周期为4的周期数列，

，

∴．

故选：B．

3．用数学归纳法证明，当时，等式左边应在时的基础上加的项是（    ）

A． B． C． D．1

【答案】C

【解析】分别令，，然后作差求解.

【详解】等号左边加的项是

,

,

故选：C

4．将一个底面半径为1，高为2的圆雉形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱最大体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设圆柱的底面半径为，高为，利用三角形相似求得与的关系式，写出圆柱的体积，利用不等式，即可求解.

【详解】解：设圆柱的底面半径为，高为，体积为，

由与相似，可得，则，

所以圆柱的体积为，

所以圆柱的最大体积为，此时.

故选：C.

5．色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据列于表中：已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且，现有一对测量数据为，则该数据的残差为（    ）

A． B． C．0.8 D．0.96

【答案】C

【分析】根据表中的数据求出，，根据回归直线方程必过样本中心，即可求出，从而得到回归直线方程，再将代入回归方程，求出预测值，从而求出残差.

【详解】由题意可知，，，

将代入，即，解得，

所以，

当时，，

所以该数据的残差为.

故选：C.

6．九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环的次数决定解开圆环的个数.在某种玩法中，用表示解开n（，）个圆环所需的最少移动次数，若数列满足，且当时，则解开5个圆环所需的最少移动次数为（    ）

A．10 B．16 C．21 D．22

【答案】D

【分析】根据题意，结合数列递推公式，代入计算即可.

【详解】根据题意，由，

得.

故选：D.

7．已知数列的前项和满足(）且，则

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】数列{an}的前n项和Sn满足Sn+Sm=Sn+m（n，m∈N*）且a1=5，令m=1，可得Sn+1=Sn+S1，可得an+1=5．即可得出．

【详解】数列{an}的前n项和Sn满足Sn+Sm=Sn+m（n，m∈N*）且a1=5，

令m=1，则Sn+1=Sn+S1=Sn+5．可得an+1=5．

则a8=5．

故选C．

【点睛】本题考查了数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

8．已知函数（其中为自然对数底数）在处取得极小值，则的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】对函数求导，得到，若，满足在处取得极小值，若，令，得=1或，只需就满足在处取得极小值，求解即可．

【详解】由，得

．

当时，，由，得，由，得．

∴在上为减函数，在上为增函数，

则在=1取得极小值；

当时，令，得=1或，为使在=1取得极小值，则有

，∴．

综上可得：

【点睛】本题考查了函数的极值，考查了利用导数求函数的单调性，属于中档题．

二、多选题

9．设函数，则下列结论错误的是（    ）

A．函数在上单调递增

B．函数在上单调递减

C．若，则函数的图象在点处的切线方程为

D．若，则函数的图象与直线只有一个公共点

【答案】ABD

【分析】求定义域，求导，得到函数的单调区间，从而判断出AB错误；

C选项，利用导函数的几何意义求出切线斜率，进而写出切线方程；

D选项，研究函数的单调区间和极值情况，画出函数图象，数形结合得到结论.

【详解】，定义域为R，

，

当或时，，当时，，

所以函数在上不单调，AB错误；

时，，，

所以函数的图象在点处的切线方程为，C正确；

时，，，

由A选项所求可知，在上单调递增，在上单调递减，

所以在处取得极大值，在处取得极小值，

且，，

画出的图象如图所示，

显然函数的图象与直线有3个公共点，D错误.

故选：ABD

10．数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ）

A．已知，则使得成等比数列的充要条件为

B．若为等差数列，且，则当时，的最大值为2022

C．若，则数列前5项的和最大

D．设是等差数列的前项和，若，则

【答案】CD

【分析】对于A：利用等比中项求出，即可判断；对于B：由等差数列的性质求出即可判断；对于C：先判断出为等差数列，利用二次函数的性质即可判断出时，取得最大值；对于D：利用等差数列的分段和性质直接求解.

【详解】对于A：因为，所以使得成等比数列等价于，即，解得：.故A错误；

对于B：因为为等差数列，且，

所以由等差数列的性质可得：，

所以.故B错误；

对于C：因为，所以，，所以为等差数列.

所以的前项和为.

由二次函数的性质可得：当时，取得最大值.故C正确；

对于D：在等差数列中，设.

因为，所以，且.

由等差数列的分段和性质可知：也构成等差数列，

所以，解得：，所以.故D正确.

故选：CD

11．关于函数，下列说法正确的是（    ）

A．函数的极小值为2

B．函数有且只有1个零点

C．当时，恒成立

D．对任意两个正实数，且，若，则

【答案】BC

【分析】求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的极小值，判断A，C，D，求出函数的导数，根据函数的单调性判断函数的零点个数，判断B即可．

【详解】解：对于A：函数的定义域是，

，

令，解得，令，解得，

故在递减，在递增，

（2），故A错误；

对于B：令，

则，

令，则，

令，解得：，令，解得：，

故在递减，在，递增，

故，

故，故函数在上单调递减，

又（1），（2），

故函数有且只有1个零点，故B正确；

对于C：令，

因为，由A选项可知，

所以当时，恒成立，故C正确；

对于D：设，，结合A选项可知，，

构造函数，其中，

则，故在递减，

，，则，故（2），

即，

在递增，，

可证，故D错误.

故选：BC.

12．意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现了这样的数列：1，1，2，3，5，8，，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，并将数列中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】ABD

【分析】根据题意，由列举法分析可得数列是以6为最小正周期的数列，由此分析可得A正确，C错误，根据数列的递推公式分析可得B、D正确，综合可得答案．

【详解】解：根据题意，，，，，，，

，，，，，，，故数列是以6为最小正周期的数列，

依次分析选项：

对于A，，，故A正确；

对于B，，，故，B正确；

对于C，，故C错误；

对于D，，，则，，

，，

故，故D正确；

故选：ABD．

三、填空题

13．已知函数的解析式唯一，且满足.则函数的图象在点处的切线方程为___________.

【答案】

【分析】先求得的解析式，然后利用切点和斜率求得切线方程.

【详解】由，可得，设，

又由，有，得，

可得，

故所求切线方程为，整理为.

故答案为：

14．购买一件某家用电器需要10000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为一月，购买后一个月开始付款，每月付款一次，共付12次，购买后一年还清，月利率，按复利计算，那么每期应付款为__________元.（）

【答案】880

【分析】这是一个分期付款问题，关键是计算各期付款到最后一次付款时所生的利息，并注意到各期所付款以及所生利息之和，应等于所购物品的现价及这个现价到最后一次付款所生利息之和

【详解】设每期应还款元，则

第1期还款后，还欠款

第2期还款后，还欠款

……………

第12期还款后，还欠款

第12期还款后，还欠款应为0

所以

即

所以

故答案为：880

【点睛】本题考查数列的实际问题，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．

15．已知数列的前n项和为，且满足，则______________．

【答案】

【分析】由，推得，得到数列表示首项为，公比为的等比数列，求得和 ，进而得到，再结合等比数列求和公式，即可求解.

【详解】由数列的前项和，且满足，

当时，，

两式相减，可得，即，

令，可得，解得，

所以数列表示首项为，公比为的等比数列，所以，

则，所以，

所以

.

故答案为：.

【点睛】关键点睛：

由，利用，推得从而证得数列为等比数列是解答本题的关键.

16．已知函数，，若图象向下平移个单位后与的图象有交点，则的最小值为______．

【答案】

【分析】分析可知在上有解，利用导数求出函数在上的最小值，即可得解.

【详解】由题意可得，即在上有解，

设，其中，则，

令，其中，则，

故函数在上单调递增，

因为，，

所以，存在，使得，

即，

令，其中，则，故在上递增，

因为，则，，由可得，

所以，，则，

且当时，，则，此时函数单调递减，

当时，，则，此时函数单调递增，

故，所以，.

故答案为：.

【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：

（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；

（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；

（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.

四、解答题

17．已知等差数列为递增数列，，且，，成等比数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)令，求数列的前n项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由，，成等比数列可得，与进行联立即可求解；

（2）由（1）得，利用裂项相消法即可.

【详解】（1）设递增的等差数列的公差为，首项为，

因为，，成等比数列，所以，即①，

又，所以②，

联立①②解得，

故.

（2）由（1）可知，，

所以数列的前n项和.

18．为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学随机抽取了800名学生，按照性别和体育锻炼情况整理为如下列联表：

(1)依据列联表中的所有样本观测数据，能否有95%的把握认为性别因素会影响学生锻炼的经常性；

(2)若从学校所有女生中随机抽取3人，用表示这3人中经常锻炼的人数，用样本频率估计概率，求的分布列及数学期望.

附：①，其中.

②临界值表

【答案】(1)可以认为性别因素会影响学生锻炼的经常性

(2)分布列见解析，

【分析】（1）根据题意，计算的值，即可判断；

（2）根据题意，由条件可得服从二项分布，然后结合二项分布的概率计算公式以及期望公式即可得到结果.

【详解】（1）由题意得

，

因此有95%的把握认为性别因素会影响学生锻炼的经常性.

（2）由频率估计概率得，在学校女生中随机抽取1个经常运动的女生的概率为，

由题得，则，

，

，

，

所以的分布列为：

所以的期望.

19．已知函数．

(1)当时，求函数在上的最大值和最小值；

(2)试讨论函数的单调性．

【答案】(1)最大值为，最小值为

(2)答案见解析

【分析】（1）根据导数法求函数最值的步骤即可求解；

（2）利用导数法求函数单调性的步骤及对进行分类讨论即可求解.

【详解】（1）由题意时，函数，

所以，

令得或，，

当或时，；

当时，；

所以在和上单调递增，在上单调递减.

所以函数在时取得极大值，且；

在时取得极小值．且，

又，，

所以函数在区间上取得最大值为，最小值为；

（2），且，

当时，，此时在单调递增；

当时，时，，此时单调递增；

时，，此时单调递减；

当时，时，，此时单调递增；

时，，此时单调递减；

综上所述：当时，函数单调递增区间为，

当时，函数的单调递增区间为，；函数的单调递减区间为．

当时，函数的单调递增区间为，；函数的单调递减区间为．

20．某商店为了更好地规划某种产品的进货量，该商店从某一年的销售数据中，随机抽取了组数据作为研究对象，如表（吨）为该商品的进货量，（天）为销售天数：

(1)根据上述提供的数据，求出关于的回归方程，并预测进货量为时的销售天数；（结果四舍五入）；

(2)在该商品进货量不超过吨的前提下任取个值，求该商品进货量恰好有个值不超过吨的概率.

参考数据和公式：，，，.

【答案】(1)回归直线方程为，预测进货量为时的销售天数约为天

(2)

【分析】（1）计算出、，利用最小二乘法求出、的值，可得出回归直线方程，将代入回归直线方程，可得出结果；

（2）列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】（1）解：，，

所以，，所以，，

所以回归直线方程为，当时，，

预测进货量为时的销售天数为天.

（2）解：进货量不超过吨有、、、、，共个，

任取个的基本事件有：、、、、、、、、、，共种结果，

恰好有次不超过吨的基本事件有：、、、、、，共种结果，

所以所求的概率为.

21．已知各项均为正数的数列的前项和为，，且.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，且数列的前项和为，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用退一相减法可得数列为等差数列，进而可得其通项公式；

（2）利用错位相减法可得，再根据的单调性可得取值范围.

【详解】（1）由，得①，

所以当时，②.

由①减②，得.

因为数列为各项均为正数的数列，所以，

又由，，得

所以，所以

故数列是首项为，公差为的等差数列，所以；

（2）由（1），得，

所以数列的前项和.

所以，

两式作差可得：，

所以

由于，，

则数列在上单调递增，

于是.

22．设函数其中

(Ⅰ)若曲线在点处切线的倾斜角为，求的值;

(Ⅱ)已知导函数在区间上存在零点，证明:当时，.

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析

【解析】(Ⅰ)求导得到，，解得答案.

(Ⅱ) ，故，在上单调递减，在上单调递增，，设，证明函数单调递减，故，得到证明.

【详解】(Ⅰ)，故，

，故.

(Ⅱ) ，即，存在唯一零点，

设零点为，故，即，

在上单调递减，在上单调递增，

故

，

设，则，

设，则，单调递减，

，故恒成立，故单调递减.

，故当时，.

【点睛】本题考查了函数的切线问题，利用导数证明不等式，转化为函数的最值是解题的关键.