2022-2023学年江苏省无锡市四校高二下学期期中联考数学试题含解析

2022-2023学年江苏省无锡市四校高二下学期期中联考数学试题

一、单选题

1．若，则（    ）

A．30 B．20 C．12 D．6

【答案】A

【分析】先由组合的运算公式计算出的值，再代入中，由排列公式即可计算出结果.

【详解】若

故选：A.

2．下列求导运算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用常见函数的导数对选项分别求导即可.

【详解】对于A选项，，A选项错误；

对于B选项，，B选项错误；

对于C选项，，C选项错误；

对于D选项，，D选项正确．

故选：D

3．一机械制造加工厂的某条生产线在设备正常运行的情况下，生产的零件尺寸z（单位：）服从正态分布，且，则（    ）

A．0.1 B．0.04 C．0.05 D．0.06

【答案】D

【分析】直接由正态分布的对称性求解即可.

【详解】因为零件尺寸z服从正态分布，

所以，

所以．

故选：D.

4．已知函数与的部分图象如图所示，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用导数的几何意义直接判断.

【详解】由图可知，与在区间上单调递增，所以，.

在区间上，的图象比的图象更陡峭，所以，.

故选：B.

5．学校有个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少个名额，则不同的分配方案种数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用隔板法（插空法）可解决问题.

【详解】问题相当于在8个物体产生的7个间隔中，插入2快隔板，则分配方案种数为：

.故C正确.

故选：C

6．已知在7个电子元件中，有2个次品，5个合格品，每次任取一个测试，测试完后不再放回，直到2个次品都找到为止，则经过3次测试恰好将2个次品全部找出的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】基本事件总数为从7个电子元件中选3个的排列数，经过3次测试恰好将2个次品全部找出，则第3次是次品，前2次中有一次是次品．

【详解】从7个电子元件中选3个的排列数为，

经过3次测试恰好将2个次品全部找出，则第3次是次品，前2次中有一次是次品的排列数为，

经过3次测试恰好将2个次品全部找出为事件A，

则．

故选：B．

7．在某地区进行流行病调查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，发现该100名患者中有30名的年龄位于区间内.已知该地区这种疾病的患病率为，年龄位于区间内人口占该地区总人口的.现从该地区任选一人，若此人年龄位于区间内，则此人患该疾病的概率为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】设此人年龄位于区间为事件A，此人患病为事件B，则所求概率为，即可得答案.

【详解】设此人年龄位于区间为事件A，此人患病为事件B.

则所求概率为.

故选：C

8．已知，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由幂函数和对数函数的单调性进行比较即可.

【详解】∵幂函数在区间上单调递减，

∴，即，

∵对数函数在区间上单调递增，

∴，即，

综上所述，，，的大小关系为.

故选：D.

二、多选题

9．若（）的展开式中第5项的二项式系数最大，则的可能取值为（    ）

A．7 B．8 C．9 D．10

【答案】ABC

【分析】由题展开式的第5项的二次项系数为：，据此分析各选项即可.

【详解】A选项，此时展开式有8项，第4项二次项系数，第5项二次项系数最大且相等，故满足题意，故A正确；

B选项，此时展开式有9项，第5项二次项系数最大，故满足题意，故B正确；

C选项，此时展开式有10项，第5项二次项系数，第6项二次项系数最大且相等，故满足题意，故C正确；

D选项，此时展开式有11项，第6项二次项系数最大，不合题意，故D错误.

故选：ABC

10．已知随机变量的分布列如下表所示，且满足，则下列选项正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】依题意根据分布列的性质及期望公式求出，即可求出，再根据方差的性质得到，再求出分布列，即可求出与；

【详解】依题意，解得，

所以的分布列为：

则，则；

所以的分布列为：

则，，所以；

故选：ACD.

11．红黄蓝被称为三原色，选取任意几种颜色调配，可以调配出其他颜色.已知同一种颜色混合颜色不变，等量的红色加黄色调配出橙色；等量的红色加蓝色调配出紫色；等量的黄色加蓝色调配出绿色.现有红黄蓝颜料各两瓶，甲从六瓶中任取两瓶颜料，乙再从余下四瓶中任取两瓶颜料，两人分别进行等量调配，表示事件“甲调配出红色”；表示事件“甲调配出绿色”；表示事件“乙调配出紫色”；则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C． D．事件与事件相互独立

【答案】AC

【分析】对于A，从六瓶中任取两瓶颜料的方法数为，事件需要两瓶颜料均为红色，方法数为，求其概率即可；

对于B，，事件需要两瓶颜料均为红色，C事件为一瓶红色，一瓶蓝色颜料，

在条件下，C事件不可能发生；

对于C，由事件需1瓶黄色和1瓶蓝色，方法数为，求其概率即可；

对于D，根据题意,若C事件发生，则甲有三种情况，分别为甲取两瓶黄色；甲取1瓶黄色和1瓶红色或蓝色；甲取1瓶红色，1瓶蓝色，求出，验证与是否相等判断选项D.

【详解】从六瓶中任取两瓶颜料的方法数为.

对于A，表示事件“甲调配出红色” ，若调出红色，需要两瓶颜料均为红色，方法数为，则，故A正确；

对于B，事件需要两瓶颜料均为红色，C事件为一瓶红色，一瓶蓝色颜料，

在条件下，C事件不可能发生，所以，故B正确；

对于C，由事件需1瓶黄色和1瓶蓝色, 则，

在条件下，还剩1瓶黄色和1瓶蓝色,2瓶红色，则C事件发生的概率，则，故C正确；

对于D，根据题意,若C事件发生，则甲有三种情况，分别为甲取两瓶黄色；甲取1瓶黄色和1瓶红色或蓝色；甲取1瓶红色，1瓶蓝色，则，

，事件与事件不相互独立，故D错误.

故选：AC.

12．若二次函数的图象与曲线存在公切线，则实数的可能取值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】设公切线与的图象相切于点，与的图象相切于点，写出切线方程并联立，得出，设函数，利用导数求的取值范围，即的取值范围，再判断各选项.

【详解】由得；

由得.

设公切线与的图象相切于点，与的图象相切于点，

所以，即，

可得或，

因为，，则，即，

，，

令，，

可得，

由，得；由，得；

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，所以实数的取值范围.

因为，，，，即，，则，则AC正确.

故选：AC.

三、填空题

13．已知的展开式中含的项的系数为______．

【答案】

【分析】写出二项的展开式通项，分别求出、中含项的系数，相加可得结果.

【详解】的展开式通项为，

因为，

在中，其展开式通项为，

由可得，此时，项的系数为；

在中，其展开式通项为，

令，可得，此时，项的系数为.

综上所述，展开式中含项的系数为.

故答案为：.

14．甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端且甲和乙不相邻，则不同的排列方式有_____种.

【答案】36

【分析】利用特殊元素优先安排以及插空法计算.

【详解】甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排一共由5个位置，假设五个位置按顺序分别为一、二、三、四、五.

因为甲不站在两端且甲和乙不相邻，所以优先安排甲.

当甲在安排在位置二时，乙安排在四、五位置，其它人可以随意安排，即(种)；

当甲在安排在位置四时，同理有(种)；

当甲在安排在位置三时，乙安排在一、五位置，其它人可以随意安排，即(种)；

则共有(种).

故答案为：36.

15．已知函数，则在处的切线方程为_______．

【答案】

【分析】直接求导得，代入则可解出，则得到函数方程，则求出切点坐标，即可得到直线方程.

【详解】，令，，解得，

则，则，则在处的切线方程为，即.

故答案为：.

16．某工厂的某种产品成箱包装，每箱件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．记件产品中恰有件不合格品的概率为，则取最大值时，_______．

【答案】/

【分析】利用独立重复试验的概率可得出的表达式，利用导数法可求得函数取最大值对应的值.

【详解】因为每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立，

所以，件产品中恰有件不合格品的概率为，

则

，

当时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减，

故当时，取最大值.

故答案为：.

四、解答题

17．一只口袋中装有形状、大小都相同的10个小球，其中有红球1个，黑球4个，白球5个．

(1)从中1次随机摸出3个球，记白球的个数为X，求随机变量X的概率分布；

(2)从袋子中任取两个小球，若其中一个小球是黑球，求另一个小球也是黑球的概率.

【答案】(1)答案见解析；

(2).

【分析】（1）求出的可能值，并求出各个值对应的概率，列出分布列作答.

（2）根据给定条件，利用条件概率公式计算作答.

【详解】（1）可能的取值为0，1，2，3，

，，，，

概率分布列为：

（2）设“从袋子中任取两个小球，其中一个小球是黑球”为事件，“另一个小球也是黑球”为事件，

则，     

由条件概率公式可得，

所以从袋子中任取两个小球，若其中一个小球是黑球，另一个小球也是黑球的概率为.

18．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．

(1)在组成的五位数中，能被5整除的个数有多少？

(2)在组成的五位数中，所有奇数的个数有多少?

(3)在组成的五位数中，数字1和3相邻的个数有多少?

(4)在组成的五位数中，若从小到大排列，30421排第几个?

【答案】(1)24

(2)36

(3)36

(4)第54个

【分析】（1）能被5整除的数的个位数字为0，其它位置任意排.

（2）先排个位数，从两个奇数里选，然后排万位数，不能为零，剩下其它位置任意排，再按分步乘法计数原理得出结果.

（3）把数字1和3捆绑在一起，1和3可以交换位置，又最高位不为0，先安排0，有3个位置，其余位置任意排；

（4）计算出比30421小的五位数的情况，即可知道30421排第几个.

【详解】（1）能被5整除的数的个位数字为0，其它位置任意排，则有个；

（2）在组成的五位数中，先排个位数，从两个奇数里选，然后排万位数，不能为零，剩下其它位置任意排.

所有奇数的个数有个；

（3）在组成的五位数中，把数字1和3捆绑在一起，1和3可以交换位置，又最高位不为0，先安排0，有3个位置，其余位置任意排，

则有个；

（4）比30421小的五位数，若万位为1或2，其余位置任意排，即，

若万位为3，比30421小的有5个，30124，30142，30214，30241，30412.

从小到大排列，30421排第54个.

19．已知展开式的二项式系数和为512，且．

（1）求的值；

（2）求的值；

（3）求被6整除的余数．

【答案】(1)，（2）2，（3）5

【分析】（1）根据二项式定理，由展开式的二项式系数和为512，可求出，再将代入中，变形可得，则为其展开式中的系数，由二项式定理可得答案；

（2）由（1）的结论，用赋值法，在中令，可求得的值，令，可得的值，从而可得答案；

（3）根据题意，可得，变形可得，由二项式定理展开式可得，进而由整除的性质分析可得答案

【详解】解：（1）因为展开式的二项式系数和为512，

所以，解得，

因为，所以，

（2）在中，令，则，

令，可得，

所以

（3）

，

，

因为（）能被6整除，而，即被6整除余数为5，

所以被6整除的余数为5

【点睛】易错点睛：此题考查二项定理的运用，易错点为在（3）中，对求余数，根据，即被6整除余数为5，考查计算能力，属于中档题

20．设函数，其中实数满足．

(1)若且在上单调递增，求的取值范围；

(2)若，求函数的极值.

【答案】(1)

(2)极大值为，极小值为

【分析】（1）根据题意分析可得在上恒成立，利用参变分离结合恒成立问题分析运算；

（2）由题意可得，代入求导，利用导数判断原函数单调性和极值.

【详解】（1）因为，所以，

可得，故，

因为在上单调递增，所以在上恒成立，

可得，故，

所以.

（2）因为，所以，

所以，

则，

令，解得，，可得：

所以函数的极大值为，极小值为

21．水蜜桃是生活中常见的水果之一，适量食用可以增高人体血红蛋白的含量，补充人体的维生素和膳食纤维，但水蜜桃的外皮较薄，往往小的划痕都容易造成它的腐烂变质.某水果批发市场，在水蜜桃成熟以后进行装箱，每一箱10个．根据以往经验，该种水果每箱含有0，1，2个坏果的概率分别为，，．

(1)现随机取三箱该水蜜桃，求三箱水蜜桃中坏果总数恰有3个的概率；

(2)现随机打开一箱该水蜜桃，并从中任取2个，设X为坏果的个数，求X的分布列及期望．

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

【分析】（1）由题可得三箱中，1箱2个坏果，1箱1个坏果；或者3箱各1个坏果.据此可得答案.

（2）由题可得可取0，1，2，后由题意可得即可得分布列及期望.

【详解】（1）箱水蜜桃中坏果总数恰有3个坏果的情况有：有一箱有2个坏果，一箱有1个坏果，另外一箱没有坏果，或者三箱各有一个坏果，

三箱水果中坏果总数恰有3个坏果的概率为

（2）由题意可知：可取0，1，2.

时，有可能箱中无坏果，概率为；有1个坏果但没抽中，概率为；

有2个坏果但没抽中，概率为.则；

时，箱中有可能1个坏果且被抽中，概率为；

两个坏果但只被抽中1个，概率为，

则；

时，箱中有2个坏果且被抽中，则.

综上，得分布列如下：

期望为

22．已知函数，.

(1)讨论函数的单调性；

(2)若恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）求导，对a进行讨论，利用导函数的正负即可求出的单调性；

（2）方法一：将问题转化为恒成立，令，求导利用导函数的正负和零点存在定理，分析其单调性，根据隐零点的的关系求出最小值，转化为，再次换元，令，求导分析单调性并得到最值，即可求出a；方法二：利用将问题转化为恒成立，换元后得到新的函数，求导分析其单调性，并对a进行讨论，即可求解；

【详解】（1）解：的定义域为，，

当时，恒成立，所以在上单调递减；

当时，令解得，所以在上单调递增；

令解得，所以在上单调递减，

综上所述：当时，在上单调递减；           

当时，在上单调递增，在上单调递减；

（2）已知在恒成立，化简得

法一：令，定义域为，

则，

①当时，恒成立，则单调递增，的值域为R，不符合题意；

②当时，，也不符合题意；

③当时，令，则恒成立，

所以在上单调递增.

当时，，又，

根据零点存在定理以及函数的单调性可知，有，即有唯一解，

有，此时；

当时，，又，

根据零点存在定理以及函数的单调性可知，有，即有唯一解，

有，此时.

综上所述，对，都有唯一解，有，此时.

又当时，，即，所以在上单调递减；

当时，，即，所以在上单调递增.

所以，

故只需.                    

令，上式即转化为，设，则.

当时，，所以在上单调递增；

当时，，所以在上单调递减.

所以，当时，有最大值，所以，

所以.

又，所以，所以.

由，解得．

综上所述.

法二：恒成立，

令，故在上单调递增，

所以，问题转化为在恒成立，

设，

当时，恒成立，在上单调递增，又，

所以时，，不符合题意；                

当时，在上单调递减，上单调递增，

所以，

当时，都有均不符合题意，

当时，，此时在恒成立，

综上所述：

【点睛】方法点睛：主要考向有以下几点：

1、求函数的单调区间（含参数）或判断函数（含参数）的单调性；

2、求函数在某点处的切线方程，或知道切线方程求参数；

3、求函数的极值（最值）；

4、求函数的零点（零点个数），或知道零点个数求参数的取值范围；

5、证明不等式；

解决方法：对函数进行求导，结合函数导数与函数的单调性等性质解决，在证明不等式或求参数取值范围时，通常会对函数进行参变分离，构造新函数，对新函数求导再结合导数与单调性等解决.