2022-2023学年山东省泰安市高二下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年山东省泰安市高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．如果一个物体的运动方程为，其中位移的单位是千米，时间的单位是小时，那么该物体在4小时末的瞬时速度是（    ）

A．24千米/小时 B．26千米/小时 C．56千米/小时 D．80千米/小时

【答案】C

【分析】对求导，代入t值即可.

【详解】由，

则当时，

，

故选：C.

2．已知，，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意利用排列数公式、组合数公式及其性质，结合特殊值计算可得结论．

【详解】由于已知，，且，

利用排列数的性质，令，

则，

故A不正确；

当，时，，

故B错误；

当时，，

故C错误；

，

故D正确，

故选：D．

3．下列求导过程错误的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据简单复合函数的求导法则即可求解.

【详解】因为，故选项A正确；

因为，故选项B正确；

因为，故选项C错误；

因为，故选项D正确，

故选：C.

4．若函数在上单调递增，则实数t的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求导得到在上恒成立，即，设，计算值域得到答案.

【详解】，在上恒成立，

即，设，，故，故.

故选：A

5．若，且能被17整除，则的最小值为（    ）

A．0 B．1 C．16 D．18

【答案】D

【分析】将化为二项展开式，根据能被 17 整除，即可求得的值, 进而得出答案.

【详解】由题意，

因为能被17整除，

而能被17整除,

∴也能被 17 整除,

∴, 即,

∴的最小值为18 .

故选：D.

6．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据函数的单调性与导函数的关系判断即可；

【详解】解：由的图象可知，当时函数单调递增，则，故排除C、D；

当时先递减、再递增最后递减，所以所对应的导数值应该先小于，再大于，最后小于，故排除B；

故选：A

7．某学校选派甲，乙，丙，丁，戊共5位优秀教师分别前往四所农村小学支教，用实际行动支持农村教育，其中每所小学至少去一位教师，甲，乙，丙不去小学但能去其他三所小学，丁，戊四个小学都能去，则不同的安排方案的种数是（    ）

A．72 B．78 C．126 D．240

【答案】B

【分析】分组讨论结合组合排列关系计算即可.

【详解】要求每所小学至少去一位教师，则需要将5人分成4组，

则①甲，乙，丙中有2位教师去同一所学校有：

种情况，

②甲，乙，丙中有1位教师与丁去同一所学校有：

种情况，

③丁，戊两人选择同一所学校有：种情况，

所以满足题意的情况为：，

故选：B.

8．在如图所示的5个区域内种植花卉，每个区域种植1种花卉，且相邻区域种植的花卉不同，若有6种不同的花卉可供选择，则不同的种植方法种数是（    ）

A．1440 B．720 C．1920 D．960

【答案】C

【分析】按照地图涂色问题的方法，先分步再分类去种植花卉即可求得不同的种植方法种数.

【详解】如图，设5个区域分别是A，B，C，D，E.

第一步，选择1种花卉种植在A区域，有6种方法可以选择；

第二步：从剩下的5种不同的花卉中选择1种种植在B区域，有5种方法可以选择；

第三步：从剩下的4种花卉中选择1种种植在C区域，有4种方法可以选择；

第四步；若区域D与区域A种植同1种花卉，则区域E可选择的花卉有4种；

若区域D与区域A种植不同种花卉，则有3种方法可以选择；

则区域E可选择的花卉有种，

故不同的种植方法种数是.

故选：C

二、多选题

9．某大学的3名男生和3名女生利用周末到社区进行志愿服务，当天活动结束后，这6名同学排成一排合影留念，则下列说法正确的是（    ）

A．若要求3名女生相邻，则这6名同学共有144种不同的排法

B．若要求女生与男生相间排列，则这6名同学共有96种排法

C．若要求3名女生互不相邻，则这6名同学共有144种排法

D．若要求男生甲不在排头也不在排尾，则这6名同学共有480种排法

【答案】ACD

【分析】捆绑法解决选项A，插空法解决选项BC，特殊优先法或间接法解决选项D.

【详解】选项A，将3名女生捆绑在一起，再与3名男生进行全排列，

则有（种），故A正确，

选项B，要求女生与男生相间排列，采用插空法，

则有（种），故B不正确，

选项C，先排3名男生，3名女生插空，

则有（种），故C正确，

选项D，间接法，6人排列有（种）情况，

男生甲在排头或排尾，则有（种），

所以男生甲不在排头也不在排尾有（种），

故D正确，

故选：ACD.

10．已知三次函数的图象如图，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C． D．的解集为

【答案】BC

【分析】设，分析可知的极值点为、，以及为奇函数，可求得，，根据函数的单调性可得出，逐项分析可得出合适的选项.

【详解】由图可知，三次函数为奇函数，且的极值点为、，

设，则，可得，

由奇函数的定义可得，即，

所以，，可得，则，

由题意可得，可得，则，

由图可知，函数的单调递增区间为，

故不等式的解集为，所以，，

对于A选项，，，

所以，，A错；

对于B选项，，所以，，B对；

对于C选项，由题意可知，，

由导数的定义可得，C对；

对于D选项，由，

可得，解得或，

因此，不等式的解集为，D错.

故选：BC.

11．若，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】根据二项式的特征，利用赋值法逐项计算即可求解.

【详解】令可得，，故选项A错误；

令可得，①

令可得，②

②①可得，

则，

因为，所以，故选项B正确；

展开式中的系数为，则，

的系数为，即，

因为，所以，故选项C正确；

令，

等式两边同时对求导可得，

，

令可得，，故选项D正确；

故选：BCD.

12．已知，且，则下列结论正确的是（    ）

A．存在，使得成立

B．存在，使得

C．对任意，都有

D．若过点可以作曲线的两条切线，则

【答案】BD

【分析】求出，结合可解出，即有的解析式，

对于A，根据单调性得出即可判断；

对于B，根据单调性，应用零点存在定理，即可判断；

对于C，根据基本不等式，即可判断；

对D，设函数的切线方程，代入可得，此时有两条切线等价于方程有两个互异实根，令，讨论的单调性、最值，即可判断的范围.

【详解】，故，，，

再由，可得，，故，

，故在上单调递增，

对于A，，,

单调递减， 单调递增，

, ,故A错；

对于B， 在上单调递增且

根据零点存在定理，存在，使得，故 B对；

对于C， ，故C错；

对D，设切点为，则切线方程为，将代入得：，要有两条切线，则方程有两个互异实根，

令，则，则当时，，在上单调递增；

当时，，在上单调递减，故，

当时，；当时，，

故只需，即可使有两个互异实根，故D对.

故选：BD.

三、填空题

13．若，则______.

【答案】4或7

【分析】根据组合数的性质，列式计算可得答案.

【详解】由可得或，

解得或，

故答案为：4或7

14．的展开式中的系数是______.（用数字作答）

【答案】

【分析】先求出的通项，然后分别和通项相乘凑出含的项，从而得到的系数.

【详解】，

而的通项为，，

故展开式中的系数是,

故答案为：.

15．数字2022具有这样的性质：它是6的倍数并且各位数字之和为6，称这种正整数为“吉祥数”.在所有的三位正整数中，“吉祥数”的个数为___________.

【答案】12

【分析】讨论百位数为6、5、4、3、2、1分别列举出符合要求的“吉祥数”，即可得结果.

【详解】当百位为6，符合要求的“吉祥数”有600；

当百位为5，符合要求的“吉祥数”有510；

当百位为4，符合要求的“吉祥数”有420、402；

当百位为3，符合要求的“吉祥数”有330、312；

当百位为2，符合要求的“吉祥数”有240、204、222；

当百位为1，符合要求的“吉祥数”有150、114、132；

综上，共有12个“吉祥数”.

故答案为：12

16．已知函数在上的导函数为，，，当时，，若，则实数的取值范围是______.

【答案】

【分析】令根据题意可知，函数为上的偶函数，且在上单调递增，然后利用函数的单调性即可求解.

【详解】令，因为，，

所以，，即，，

所以函数为上的偶函数，

由，又因为当时，，

则当时，，所以函数在上单调递增，

在上单调递减，

又因为可化为，

即，则，解得或，

所以实数的取值范围是，

故答案为：.

四、解答题

17．已知函数在处有极值，其图象经过点，且.

(1)求函数的解析式；

(2)求函数在处的切线方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出函数的导数，根据题意列方程求得，即得答案；

（2）利用（1）的结论，根据导数的几何意义，即可求得答案.

【详解】（1）由题意，∵， ∴，

∵在处有极值，∴，即，

∵的图象过点，∴，即，

由，解得，，∴；

故，

当时，，当时，，当时，，

即在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

故在出取极小值，符合题意，

故.

（2）由（1）知，∴，

又，∴函数在处的切线方程为，即.

18．在混放在一起的6件不同的产品中，有2件次品，4件正品.现需要通过检测将其区分，每次随机抽取一件进行检测，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出4件正品时检测结束.

(1)若第二次抽到的是次品且第三次抽到的是正品，求共有多少种不同的抽法；

(2)已知每检测一件产品需要100元费用，求检测结束时检测费用为400元的抽法有多少种？（要求：解答过程要有必要的说明和步骤）

【答案】(1)120

(2)96

【分析】（1）由题意知，第一次抽到的必是正品，共抽取4次或5次检测结束，然后利用两个计数原理和排列组合数即可求解；

（2）利用分类加法计数原理和排列组合的相关知识即可进行求解.

【详解】（1）由题意知，第一次抽到的必是正品，共抽取4次或5次检测结束，

第1次抽到的是正品有种抽法；第2次抽到的是次品有种抽法；第3次抽到的是正品有种抽法；

当抽取4次结束时，第4次抽到的必是次品，共有种抽法；

当抽取5次结束时，若第4次抽到的是正品且第5次抽到的是正品，则共有种抽法；

若第4次抽到的是正品且第5次抽到的是次品，则共有种抽法；

综上，第二次抽到的是次品且第三次抽到的是正品共有120种抽法.

（2）由题意知，检测费用为400元，说明一共抽取了4次检测结束，共有以下两种情况：

①4次抽到的均为正品，共有种抽法；

②前3次抽到2件正品，1件次品，且第4次抽到的是次品，共有种抽法.

所以，检测结束时，检测费用为400元的抽法共有96种.

19．已知二项式的展开式中前三项的二项式系数之和为79.

(1)求展开式中的常数项；（结果用数字表示）

(2)求展开式中系数绝对值最大的项.（系数用数字表示）

【答案】(1)7920

(2)

【分析】（1）根据题意结合二项式系数求得，再结合二项展开式分析运算；

（2）由（1）可得系数的绝对值为，根据题意列式解得时，取到最大值，即可得结果.

【详解】（1）由题意可得：，解得或（舍），

所以二项式的通项为，

令，解得，

故展开式中的常数项为.

（2）由（1）可知展开式系数的绝对值为，

设第项系数的绝对值最大，则，

整理得，解得，

又因为且，所以，

故展开式中系数绝对值最大的项为.

20．已知函数的导函数为.

(1)求的单调区间；

(2)求函数在上的最大值和最小值.

【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间为，

(2)，

【分析】（1）对函数求导，再利用导数研究的单调区间；

（2）由（1）所得单调性判断其区间符号，进而确定单调性，即可求最值.

【详解】（1），

设，则，

令，解得，，

令，解得，，

∴的单调递增区间为，，单调递减区间为，.

（2）由（1）知，当时，单调递减，又，

∴当时，故在上单调递减.

∴，.

21．某工厂计划投资一定数额的资金生产甲，乙两种新产品.甲产品的平均成本利润（单位：万元）与投资成本（单位：万元）满足：（，为常数，，）；乙产品的平均成本利润（单位：万元）与投资成本（单位：万元）满足：.已知投资甲产品为1万元，10万元时，获得的利润分别为5万元，16.515万元.

(1)求，的值；

(2)若该工厂计划投入50万元用于甲，乙两种新产品的生产，每种产品投资不少于10万元，问怎样分配这50万元，才能使该工厂获得最大利润？最大利润为多少万元？

（参考数据：，）

【答案】(1)，

(2)甲，乙两种产品各投资25万元时，公司取得最大利润，最大利润为31.09万元

【分析】（1）根据投资甲产品为1万元，10万元时，获得的利润列出方程，即可求得答案；

（2）设甲产品投资万元，乙产品投资万元，由此列出获得利润的表达式，利用导数求得最大值，可得答案.

【详解】（1）由题意知，，

整理得，解得，；

（2）设甲产品投资万元，乙产品投资万元，且，

则该公司获得的利润，；

则在上单调递减，

令，解得或（舍去），

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

∴，

∴当甲，乙两种产品各投资25万元时，公司取得最大利润，最大利润为31.09万元.

22．已知方程有两个不同的实根，.

(1)求的取值范围；

(2)证明：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）令，对函数求导，分情况讨论函数的单调性可得当当时，无零点，不合题意；当时，函数在上有一个零点，在上有一个零点，符合题意；

（2）记的两个零点为，，则有，同理，进而得到，由可得的两个零点，互为倒数，代入即可得证.

【详解】（1）设（且），

则，

方程有两个不同的实根，等价于有两个不同的零点.

①当时，（且）∴无零点，不符合题意；

②当时，，∴在和上单调递增.

当时，，，，

，

∴在上有一个零点，

当时，，，，

，

∴在上有一个零点，

③当时，，设，

∵，，

∴在和上分别存在零点和

∴在处取极大值，在处取极小值.

又，∴当时，，

又，∴当时，，

∴当时，无零点，不符合题意；

综上，.

（2）的两个零点为，，∴，

即，∴.同理，，

∴，

若，即，则，

∴的两个零点，互为倒数，即，

∴（等号不成立），∴，

由（1）知，有两个不同的零点时，∴.

【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.