2022-2023学年山东省潍坊市高二下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年山东省潍坊市高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知函数，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】直接利用函数的求导公式，导数的四则运算进行求解.

【详解】根据求导公式和导数的加法，.

故选：A

2．已知等差数列的前n项和为 则（    ）

A．18 B．21 C．39 D．42

【答案】C

【分析】利用等差数列的前n项和公式结合等差数列的性质求解.

【详解】解：因为等差数列的前n项和为

所以，

故选：C

3．如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为，记次独立重复试验中出现“成功”的次数为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】伯努利试验中随机变量服从二项分布，根据方差的计算公式即可算出结果.

【详解】解：伯努利试验中随机变量服从二项分布，即，

因为出现“成功”的概率为，所以，

因为次独立重复试验，所以，

所以.

故选：.

4．已知函数的导函数为，若，则（    ）

A． B．1 C． D．2

【答案】A

【分析】求得，令，即可求解.

【详解】由函数，可得，

令，可得，解得.

故选：A.

5．某学校对高二学生是否喜欢阅读进行随机调查，调查的数据如下表所示：

根据表中的数据，下列对该校高二学生的说法正确的是（    ）

A．没有95%以上的把握认为“性别与是否喜欢阅读有关”

B．有99%以上的把握认为“性别与是否喜欢阅读有关”

C．在犯错误的概率不超过0.025 的前提下认为“性别与是否喜欢阅读有关”

D．在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“性别与是否喜欢阅读有关”

【答案】D

【分析】根据列联表中的数据，求得的值，再与临界值表对照，逐项判断.

【详解】解：

A.因为，所以有95%以上的把握认为“性别与是否喜欢阅读有关”，故错误；

B.因为，所以没有99%以上的把握认为“性别与是否喜欢阅读有关”，故错误；

C.因为，所以在犯错误的概率不超过0.025 的前提下，不能认为“性别与是否喜欢阅读有关”，故错误；

D.因为，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“性别与是否喜欢阅读有关”，故D正确；

故选：D

6．若 的展开式中，所有的二项式系数之和为64，则该展开式中的常数项为（    ）

A．10 B．20 C． D．

【答案】D

【分析】首先利用求出，然后再利用二项式展开式的通项即可求解.

【详解】根据题意可得，解得，

则展开式的通项为，

令，得，

所以常数项为：.

故选：D.

7．已知数列{an}的前n项和为，，，则（    ）

A．64 B．62 C．32 D．30

【答案】B

【分析】根据得到，，，，相加得到答案.

【详解】，，

则，，，.

故.

故选：B

8．已知是定义在上的可导函数，且满足，则不等式的解集是（    ）

A． B．  C． D．

【答案】D

【分析】先根据构造新函数，从而得到新函数的单调性，然后再对要求的不等式变形，变成“”的形式，然后根据函数单调性去掉对应关系“”，从而解得答案.

【详解】因为定义在上，所以中的式子要有意义，

需满足，解得.

因为，所以，即，

设函数，则在定义域上单调递减.

要求，则

当，即时，，即，

所以，解得或，所以；

当，即时，，即，

所以，解得；

在中，令得，

而在中，当时，有，显然成立；

综上，的解集为.

故选：D.

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．相关系数r越小，说明两个变量之间的线性相关性越弱

B．若P（B|A）=P（B），且P（B）>0，则事件A，B相互独立

C．回归直线 恒过样本中心点，且至少经过一个样本点

D．残差平方和越小，线性回归模型的拟合效果越好

【答案】BD

【分析】根据线性回归直线的相关知识可判断选项A，C，D；利用相互独立事件的概念即可判断选项B.

【详解】线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强，故选项A错误；

因为P（B|A）=P（B），且P（B）>0，所以事件A，B相互独立，故选项B正确；

回归直线 恒过样本中心点，当不一定经过样本点，故选项C错误；

残差平方和越小的模型，线性回归模型的拟合效果越好，故选项D正确；

故选：BD.

10．已知函数的导函数的图象如图所示，则（    ）

A．有且仅有两个极值点

B．在区间上单调递增

C．若在区间上单调递增，则m的取值范围为或

D．可能有四个零点

【答案】AC

【分析】根据的图象，得出函数的单调性，结合极值点的概念和单调性，逐项判定.

【详解】根据的图象，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

当时，取得极大值，当时，取得极小值，所以A正确；

而B错误；

若在区间上单调递增，则，或，

解得或，所以C正确；

根据函数的单调性，可知函数的图象与轴最多有三个交点，

所以D错误.

故选：AC

11．围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年的历史.在某次围棋比赛中，甲，乙两人进入决赛.决赛采用五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束.假设每局比赛甲胜乙的概率都为，且每局比赛的胜负互不影响，记决赛中的比赛局数为X，则（    ）

A．乙连胜三场的概率是

B．

C．

D．的最大值是

【答案】BD

【分析】根据题意列出决赛中的比赛局数为X的概率分布列，然后对照选项逐项分析即可判断.

【详解】乙连胜三场时比赛局数可能是3,4,5，若比赛局数为3时，乙连胜三场的概率是；若比赛局数为4时，乙连胜三场的概率是；若比赛局数为5时，乙连胜三场的概率是；故选项A错误；

由题意可知，决赛中的比赛局数的可能取值为，

则； ；故选项B正确；

;故选项C错误；

令，则，

因为，所以当时，，当时，；

当函数在上单调递增，在上单调递减，

则当时，函数取最大值，所以的最大值是 ，故选项D正确；

故选：BD.

12．给定无穷数列，若无穷数列满足:对任意，都有，则称与“接近”，则（    ）

A．设则数列与“接近”

B．设 ，，则数列与“接近”

C．设数列的前四项为，，，，是一个与接近的数列，记集合，则中元素的个数为3或4

D．已知是公差为的等差数列，若存在数列满足：与接近，且在 ，，，中至少有100个为正数，则

【答案】BCD

【分析】计算，A错误，确定得到B正确，计算的范围，考虑相等的情况得到C正确，考虑，，和四种情况，计算得到答案.

【详解】对选项A：，错误；

对选项B：，，正确；

对选项C：，故，故，，，

，故可能和相等，和相等，但不能同时成立，与不相等，

故中元素的个数为3或4，正确；

对选项D：是公差为的等差数列，若存在数列满足：与接近，

可得，

①若，取，，，

则，，，中有200个正数，符合题意；

②若，取，则    ，，

可得，则，，，中有200个正数，符合题意；

③若，可令，，满足，

，

则，，，中恰有100个正数，符合题意；

④若，若存在数列满足：与接近，即为，

，可得    ，

，，，中无正数，不符合题意.

综上所述：的范围是，正确.

故选：BCD

【点睛】关键点睛：本题考查了数列的新定义，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将等差数列的公差讨论四种情况，可以简化运算，是解题的关键，分类讨论是常用的数学方法，需要熟练掌握.

三、填空题

13．要安排4位同学表演文艺节目的顺序，要求甲不能第一个出场，则不同的安排方法共有____________种.

【答案】18

【分析】根据题意，由特殊元素优先处理，先安排甲，然后其他同学顺序没有限制，即可得到结果.

【详解】因为甲不能第一个出场，则甲可以排在第二，三，四的位置，共3种，

剩下3名同学的排序为，

所以不同的安排方法共有种.

故答案为:

14．已知函数在取得极值，则_____________

【答案】0

【分析】对函数求导，结合求参数a，注意验证是否取得极值.

【详解】，

由题意，此时，故，

所以上，上，

即上递减，上递增，则取得极小值，

所以.

故答案为：

15．已知数列的前n项和为，且满足：①从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于;②当时，S取得最大值.则____________.（写出一个即可）

【答案】（答案不唯一）

【分析】根据等差数列的性质即可求解.

【详解】由题意可知，数列的公差，

要使当时，数列的前n项和为取得最大值，则，

则满足条件，

故答案为：（答案不唯一）.

四、双空题

16．将字母a，a，a，b，b，b，c，c，c放入3×3 的表格中，每个格子各放一个字母.

①每一行的字母互不相同，且每一列的字母也互不相同的概率为____________；

②若表格中一行字母完全相同的行数为ξ，则ξ的均值为____________.

【答案】         

【分析】运用排列中的倍缩法求出9个字母的排列数，当每一行的字母互不相同，且每一列的字母也互不相同时，分三列依次讨论9个字母的排列情况，进而求出概率；行数可能取值为0,1,3，进而求出分数为1和3的概率，然后通过分布列的性质求出分数为0的概率，最后求出均值.

【详解】当每一行的字母互不相同，且每一列的字母也互不相同时，第一列a，b，c三个字母全排列，有种方法，第二列剩下的a，b，c三个字母的排列方法有种，第三列剩下的a，b，c三个字母的排列方法有种,所以共有种排列方法，六个字母在的表格中进行排列，共有种排列方法，所以所求概率为．

由题意知，分数的可能取值为0,1,3，，，，所以所得分数的均值为．

故答案为：，.

五、解答题

17．已知曲线在坐标原点处的切线方程为.

(1)求实数的值;

(2)求在上的值域.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求导，根据导数的几何意义，切线经过的点列方程求解；

（2）求导，研究函数的单调性，得到函数的极值然后求出端点处的函数值，和极值比较大小，从而得到函数的值域

【详解】（1），由题意得.，

解得

（2）由（1）知  ，

令，即，解得或；

令，即，解得.

所以在单调递增，单调递减，单调递增，

则的极大值为，极小值为   

又因为，即在上的最大值，最小值分别为.

故在上的值域为

18．已知数列的前n项和为，且

(1)求证：数列是等差数列；

(2)设 求数列的前n项和.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据前n项和与通项公式之间的关系可得，再结合等差数列定义证明；

（2）结合（1）中的结果，利用裂项相消法求解.

【详解】（1）当时，则；

当时，则；

显然当时，也满足上式，

所以.

当n≥2时，则，

所以数列是首项为3，公差为2的等差数列.

（2）由（1）可知，，则，

可得

，

所以数列前n项和为.

19．第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT 发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元.ChatGPT所用到的数学知碑，开辟了人机自然交流的新纪元. ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，条件概率就被广泛应用于ChatGPT 中.某数学素养提升小组设计了如下问题进行探究：现有完全相同的甲，乙两个箱子（如图），其中甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同.某人先从两个箱子中任取一个箱子，再从中随机摸出一球.

(1)求摸出的球是黑球的概率；

(2)若已知摸出的球是黑球，请用概率公式判断该球取自哪个箱子的可能性更大.

【答案】(1)

(2)该球取自乙箱的可能性更大

【分析】（1）利用全概率公式求摸出的球是黑球的概率；

（2）利用贝叶斯公式求黑球来自甲、乙箱的概率，比较它们的大小，即可得结论.

【详解】（1）记事件A表示“球取自甲箱”，事件表示“球取自乙箱”，事件B表示“取得黑球”，

则，

由全概率公式得： .

（2）该球取自乙箱的可能性更大，理由如下：

该球是取自甲箱的概率

该球取自乙箱的概率

因为所以该球取自乙箱的可能性更大.

20．已知等比数列的公比，且，是，的等差中项.

(1)求数列的通项公式;

(2)已知数列满足求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意求出公比和即可求数列的通项公式；

（2）分别用累加法和错位相减法求.

【详解】（1）解：因为是，的等差中项，所以，

所以，解得，

所以，所以，由可解得，

所以，

即数列的通项公式为.

（2）由题意知，

所以

……

  …

累加得

，

设

 ，

所以

整理得

又，  所以

21．从传统旅游热点重现人山人海场面，到新兴旅游城市异军突起；从“特种兵式旅游”出圈，到“味蕾游”兴起；从文博演艺一票难求，到国风国潮热度不减……2023 年“五一”假期旅游市场传递出令人振奋的信息.这个“五一”假期，您在游玩时的满意度如何?您对景区在“吃住行游购娱”等方方面面有哪些评价和感受?为此，某市文旅局对市内各景区进行了游客满意度测评（满分100分）.

(1)本市一景区随机选取了100名游客的测评成绩作为样本并进行统计，得到如下频率分布表.

按照分层抽样的方法，先从样本测评成绩在[0，20），[80，100]的游客中随机抽取5人，再从这5人中随机选取3人赠送纪念品，记这3人中成绩在[80，100]的人数为X，求X 的分布列及期望；

(2)该市文旅局规定游客满意度测评成绩在80分及以上为“好评”，并分别统计了该市7个景区满意度测评的平均成绩x与“好评”率y，如下表所示：

根据数据初步判断，可选用作为回归方程.

（i）求该回归方程;

（ii）根据以上统计分析，可以认为本市各景区满意度测评平均成绩x~N（μ，400），其中μ近似为样本平均数a，估计该市景区“好评”率不低于0.78的概率为多少?

参考公式与数据：若，则，

线性回归方程中，

若随机变量，则

【答案】(1)分布列见解析，1.8

(2)（i）；（ii）0.1585

【分析】（1） 根据分层抽样的性质可知X的取值范围是{1，2，3}，然后算出每一个值对应的概率，列出分布列，代入均值的计算公式即可求解；

（2）（i）根据题中所给数据，利用最小二乘法即可求解方程；

（ii）利用正态分布的性质即可求解.

【详解】（1）按照分层抽样的方法，测评成绩在[0，20）的游客有2人，[80，100]的游客有3人，则X的取值范围是{1，2，3}，

E（ X） = 1×0.3 +2 ×0.6 +3 ×0.1 =1.8.

（2）（i）对两边取对数得，令，则

根据所给公式可得，   

又因为  

所以，即k≈0.15，

所以该回归方程为

（ii）由（i）及参考数据可得  μ≈=63，σ=20，

由y≥0.78即（可得

又μ+σ=83，P（μ-σ<x<μ+σ）≈0.683             

由正态分布的性质得

估计该市景区“好评”率不低于0.78 的概率为0.1585.

22．已知函数，

(1)讨论函数的单调性;

(2)若函数有两个零点，且，曲线在这两个零点处的切线交于点，求证：小于和的等差中项;

(3)证明:

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】（1）求导，结合函数定义域为，分参数，来讨论导函数的符号即可；

（2）先根据导数的几何意义写出两条切线，联立切线得到的表达式，为证明题干只需证明，然后转化成双变量问题的不等式处理，接着通过换元：，把双变量问题转化成单变量问题解决；

（3）利用（1）的结论进行辅助证明.

【详解】（1）的定义域为，

当时，，在上单调递减；

当时，令，又因为，可解得

单调递增，

单调递减；

（2）因为函数有两个零点,而单调函数至多只有一个零点，根据（1）可知.

 ， 所以曲线在和处的切线分别是：

.

联立两条切线解得：.

要证小于和的等差中项，即证，整理得：

由题意得

即证  

令，即证.

令.

所以在单调递减，所以

所以得证，故小于和的等差中项得证.

（3）由（1）知当时，所以，即  .

即当时，，将不等式累加后，得到：

，

即.