2022-2023学年山东省青岛市青岛第十七中学高二下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年山东省青岛市青岛第十七中学高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在2 s内完成刹车，其位移(单位：m)关于时间(单位：s)的函数为s(t)＝－t3－4t2＋20t＋15，则s′(1)的实际意义为（    ）

A．汽车刹车后1 s内的位移

B．汽车刹车后1 s内的平均速度

C．汽车刹车后1 s时的瞬时速度

D．汽车刹车后1 s时的位移

【答案】C

【分析】根据导数的物理意义判断．

【详解】解：由导数的实际意义知，位移关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度．

故选：C.

2．的展开式的中间一项的二项式系数为（    ）

A．15 B．20 C． D．

【答案】B

【分析】根据给定的二项式，确定展开式的项数即可求出中间一项的二项式系数作答.

【详解】的展开式共7项，中间一项是第4项，其二项式系数是.

故选：B

3．已知随机变量服从正态分布，且，则等于（    ）

A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1

【答案】C

【分析】根据正态分布曲线的对称性进行求解即可.

【详解】解析由已知可得曲线关于直线对称，，

所以，故．

故选：C

4．已知一组样本点，其中，根据最小二乘法求得的回归直线方程是，则下列说法正确的是（    ）

A．若所有样本点都在回归直线方程上，则变量间的相关系数为1

B．至少有一个样本点落在回归直线方程上

C．对所有的（），预测值一定与实际值有误差

D．若的斜率，则变量与正相关

【答案】D

【分析】选项A，相关系数，故A错误；

选项B，样本点可能都不在经验回归直线上，故B错误；

选项C，可以存在；对应的预测值与实际值没有误差，故C错误；

选项D，，样本点的分布从左至右上升，变量与正相关，故D正确.

【详解】选项A，若所有样本点都在直线上，则变量间的相关系数的绝对值为1 ，相关系数，故A错误；

选项B，经验回归直线必过样本点的中心，但样本点可能都不在经验回归直线上，故B错误；

选项C，样本点可能在直线上，即可以存在；对应的预测值与实际值没有误差，故C错误；

选项D，相关系数与符号相同，若的斜率，则，样本点的分布从左至右上升，变量与正相关，故D正确.

故选：D

5．曲线在点处的切线截圆所得弦长为（    ）

A．4 B． C．2 D．

【答案】A

【分析】函数在切点处的导数等于切点处切线的斜率，利用点斜式得出切线方程，而圆心到直线的距离为0，即直线过圆心，那么弦即为直径，故弦长为4.

【详解】解：∵曲线，

∴，

∴切线方程的斜率为：，

又因为曲线过点（1，2）

∴切线方程为：，

即，

圆心到直线的距离，

∴切线截圆所得弦长为4．

故选：A

【点睛】导数的几何意义要理解，利用点斜式求切线方程，都要熟练掌握，直线和圆相交以后，弦心距、半弦长、半径构成直角三角形，用勾股定理来列方程.

6．6名研究人员在3个无菌研究舱同时进行工作，由于空间限制，每个舱至少1人，至多3人，则不同的安排方案共有（    ）

A．360种 B．180种 C．720种 D．450种

【答案】D

【分析】方案一：每个舱各安排2人，共有（种）不同的方案；方案二：分别安排3人，2人，1人，共有（种）不同的方案，共有（种）不同的安排方案.

【详解】方案一：每个舱各安排2人，共有（种）不同的方案；

方案二：分别安排3人，2人，1人，共有（种）不同的方案.

所以共有（种）不同的安排方案.

故选：D.

7．已知函数存在零点，函数存在零点，且，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】确定函数单调递增，，得到，令，求导得到函数单调递增，计算值域得到答案.

【详解】函数在上单调递增，，

故函数的零点，由，可得，

存在零点，即方程在有解，

令，则．

所以在单调递增，则的值域为，

则实数的取值范围是．

故选：D

8．盲盒里有大小、形状完全相同的个绿球，个红球，现抛掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从盲盒里取出几个球．则取出的球全是绿球的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设“取出的球全是绿球”，“掷出点”，则，求出，利用全概率公式可求得的值.

【详解】设“取出的球全是绿球”，“掷出点”，则，

又因为从盲盒里每次取出个球的所有取法是，即基本事件总数为，

而从袋中每次取出个绿球的所有取法是，即事件所含基本事件数为，

所以掷出点，取出的球全是绿球的概率为，

所以，.

故选：B.

二、多选题

9．已知随机变量的分布列如下，且，则下列说法正确的是（    ）

A．， B．，

C． D．

【答案】BC

【分析】根据期望的公式以及分布列的性质列方程，求得，计算出，由此确定正确选项.

【详解】依题意，

所以，结合，解得，所以B选项正确.

，所以C选项正确.

故选：BC

【点睛】本小题主要考查随机变量的分布列、期望和方差的知识，属于基础题.

10．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．

C．在区间内有个极值点

D．的图象在点处的切线的斜率大于

【答案】ACD

【分析】根据导函数的正负可得单调性，由单调性可判断AB正误；由极值点定义可知C正确；由可知D正确.

【详解】由图象可知：当时，；当时，；

在，上单调递增；在上单调递减；

对于A，，，A正确；

对于B，，，B错误；

对于C，由极值点定义可知：为的极大值点；为的极小值点，即在区间内有个极值点，C正确；

对于D，当时，，在点处的切线的斜率大于，D正确.

故选：ACD.

11．下列说法正确的是（    ）

A．在回归分析中，对一组给定的样本数据，，…，而言，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好

B．若随机变量，则

C．现安排，，三名同学到五个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有61种

D．从10名男生、5名女生中随机选取4人，则其中至少有一名女生的概率

【答案】AC

【分析】由残差的概念即可判断A；由二项分布的方差公式及方差的性质即可判断B；根据正难则反思想，求出满足条件的安排方法种数，即可判断C；求出至少有一名女生的对立事件的概率，即可得出至少有一名女生的概率，从而判断D．

【详解】对于A：由残差的概念知，残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好，故A正确；

对于B：由随机变量得，

则，故B错误；

对于C：由题可知，所有可能的方法有种，工厂甲没有同学去的方法有种，

所有工厂甲必须有同学去的不同的安排方法有种，故C正确；

对于D：从10名男生、5名女生中随机选取4人，没有女生的概率为，

故至少有一名女生的概率为，

又，故D错误，

故选：AC．

12．定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则（   ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【分析】令，利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性逐一判断即可.

【详解】令，

则，

因为恒成立，

所以恒成立，

所以在上递减，

所以，

即，

所以，故A正确；

，故B正确；

，故C错误；

故D错误.

故选：AB.

【点睛】关键点点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性，构造函数是解决本题的关键.

三、填空题

13．某单位为了了解用电量(度)与气温(度)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了如下的对照表：

由表中数据，得回归直线方程，若，则________．

【答案】

【分析】根据给定数表，求出样本的中心点，再利用回归直线方程求解作答.

【详解】依题意，，，即样本中心点，

代入回归直线方程，得，解得.

故答案为：

14．已知，则______．

【答案】

【分析】用赋值法，令和，分别求出和，即可求出答案．

【详解】令，则，

令，则，

所以，

故答案为：．

15．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件“取到的2个数之和为偶数”，事件“取到的2个数均为偶数”，则______．

【答案】

【分析】利用互斥事件的概率及古典概型概率计算公式求出事件A的概率，同样利用古典概型概率计算公式求出事件的概率，然后直接利用条件概率公式求解．

【详解】， ．

由条件概率公式得．

故答案为：．

16．已知函数若在区间上存在个不同的数，，，…，，使得成立，则的最大值为______．

【答案】4

【分析】由导数判断单调性后作出图象，数形结合求解

【详解】，

当时，，令，得，

当时，，当时，，

在单调递增，在单调递减，

作出图象，数形结合可得与在最多有4个交点，

故答案为：4

四、解答题

17．为了了解一个智力游戏是否与性别有关，从某地区抽取男女游戏玩家各200名，其中游戏水平分为高级和非高级两种．

（1）根据题意分别求出m，n，并根据列联表判断是否有99%以上的把握认为智力游戏水平高低与性别有关？

（2）按照性别用分层抽样的方法从这些人中抽取10人，从这10人中抽取3人作为游戏参赛选手,设抽取的3名选手中女生的人数为X，求X的分布列和期望．

附表：，其中．

【答案】（1），；没有99％以上的把握认为智力游戏水平高低与性别有关；（2）分布列见解析；期望为．

【分析】（1）先求出列联表，再根据公式计算并判断；

（2）由题意可知男、女各抽取5人，再得到女生的所有可能取值，根据超几何分布求出分布列及期望.

【详解】（1），.

，

所以没有99％以上的把握认为智力游戏水平高低与性别有关.

（2）根据分层抽样的特征10人中男女各5人，

女生的人数X的所有取值为0，1，2，3；

，，

，；

所以X的分布列为

．

18．5G网络是第五代移动通信网络的简称，是新一轮科技革命最具代表性的技术之一.2020年初以来，我国5G网络正在大面积铺开.A市某调查机构为了解市民对该市5G网络服务质量的满意程度，从使用了5G手机的市民中随机选取了200人进行问卷调查，并将这200人根据其满意度得分分成以下6组：､､､…，，统计结果如图所示：

(1)由直方图可认为A市市民对5G网络满意度得分Z（单位：分）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差s，并已求得.若A市恰有2万名5G手机用户，试估计这些5G手机用户中满意度得分位于区间的人数（每组数据以区间的中点值为代表）；

(2)该调查机构为参与本次调查的5G手机用户举行了抽奖活动，每人最多有3轮抽奖活动，每一轮抽奖相互独立，中奖率均为.每一轮抽奖，奖金为100元话费且继续参加下一轮抽奖；若未中奖，则抽奖活动结束.现小王参与了此次抽奖活动，求小王所获话费总额X的数学期望.

参考数据：若随机变量Z服从正态分布，即，则，.

【答案】(1)（人）

(2)（元）

【分析】（1）根据正态分布所提供的数据计算即可；

（2）先得X的可能取值，再求概率，然后用数学期望公式计算即可.

【详解】（1）由题意知样本平均数为，

∴，∵，所以，，

而

故2万名5H手机用户中满意度得分位于区间的人数约为（人）

（2）由题意可知X的可能取值有0､100､200､300，

∴（元）

19．已知函数

(1)若和是的极值点，求实数的值；

(2)当且时，恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意可得，解方程组可求出实数的值，然后再验证可，

（2）将问题转化为在上恒成立，构造函数，利用导数求出其最小值即可

【详解】（1）由，得

，

因为和是的极值点，

所以，解得，

所以，

，

当或时，，当时，，

所以是函数的极大值点，是函数的极小值点，

所以

（2）由，得在上恒成立，

所以在上恒成立，

令，，则

令，，则

，

当时，，当时，，

所以在上递减，在上递增，

所以，

所以，

所以在上单调递增，

所以，

所以，即实数m的取值范围为

20．某科技公司为制订下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量x（单位：亿元）对年销售额y（单位：亿元）的影响，对近10年研发资金投入量和销售额数据作了初步处理，得到下面的散点图.

(1)根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售额y关于年研发资金投入量x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

(2)①根据（1）的选择及表中数据，建立y关于x的回归方程（精确到0.001）；

②若下一年销售额y需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量x约为多少亿元？

附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：.参考数据：其中.

【答案】(1)

(2)①；②40亿元

【分析】（1）根据散点图可得答案；

（2）根据所给数据和公式计算即可.

【详解】（1）适宜作为年销售量额关于年研发资金投入量的回归方程类型.

（2）①由，得，即

，

则关于的回归方程为

所以，即

②若下一年销售额需达到90亿元，则由，得，

，所以预测下一年的研发资金投入量约为40亿元.

21．某医药开发公司实验室有瓶溶液，其中瓶中有细菌，现需要把含有细菌的溶液检验出来，有如下两种方案：

方案一：逐瓶检验，则需检验次；

方案二：混合检验，将瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌，则瓶溶液全部不含有细菌；若检验结果含有细菌，就要对这瓶溶液再逐瓶检验，此时检验次数总共为.

(1)假设，采用方案一，求恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌的概率；

(2)现对瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌的概率均为.

若采用方案一.需检验的总次数为,若采用方案二.需检验的总次数为.

(i)若与的期望相等.试求关于的函数解析式;

(ii)若,且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望.求的最大值.

参考数据：

【答案】（1）（2）（ⅰ）（ii）8

【分析】（1）对可能的情况分类：<1>前两次检验出一瓶含有细菌第三次也检验出一瓶含有细菌，<2>前三次都没有检验出来，最后就剩下两瓶含有细菌；（2）(i)根据，找到与的函数关系；(ii)根据得到关于的不等式式，构造函数解决问题.

【详解】解：（1）记所求事件为，“第三次含有细菌且前2次中有一次含有细菌”为事件，“前三次均不含有细菌”为事件，

则，且互斥，

所以

（2），

的取值为，

，

所以，

由得，

所以；

（ii）,所以，

所以，所以

设，

，

当时，在上单调递增；

当时，在上单调递减

又，

所以的最大值为8

【点睛】本题考查离散型随机变量的均值以及随机事件的概率计算，难度较难.计算两个事件的和事件的概率，如果两个事件互斥，可将结果写成两个事件的概率之和；均值（或期望）的相关计算公式要熟记..

22．已知函数.

(1)设，求函数的极值；

(2)设，求证：存在唯一的，使得函数的图象在点处的切线与函数的图象也相切；

(3)设，对于任意，总存在，使成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)极小值；

(2)见解析；

(3).

【分析】(1)由题意可得，令，得，再根据导数的正负确定函数的单调性从而即可得函数的极值；

(2)由题意可得在处的切线方程为，只需证明此直线与曲线相切，假设此直线与相切于点，将问题转化为证明方程在上存在唯一解即可，构造函数，利用导数证明函数在上单调且只有一个零点即可；

(3)由题意可得在上恒成立，利用导数得,所以即转化为在上恒成立，令，只需在上恒成立，利用导数即可解决.

【详解】（1）解：因为，

所以，

令，解得，

所以当时， ，单调递减；当时， ，单调递增；

所以函数只有极小值，极小值

（2）证明：因为，

所以，

又因为，

所以在处的切线方程为，

假设此直线与曲线相切于点，

因为，

所以切线的斜率且，

所以，

所以，

化简为(>1)，

下面证明此方程在上存在唯一解.

令，

则，

令，

则，

所以当时，单调递增，

又因为，，

又为在(1,2)上连续，

所以在(1,2)上存在唯一零点，设为，

则有，即，

当时，，即，单调递减；

当时，，即，单调递增；

所以，，

所以在内存在唯一零点.

所以存在唯一的，使得函数的图象在点处的切线与函数的图象也相切；

（3）解：因为，

所以

令，则有，

又因为，

所以有，

又因为，在上单调递增，

所以，

所以在上恒成立，

所以在上单调递增，

所以,

所以在上恒成立，

令，

则，且在上恒成立，

因为，

当时，，在上单调递减，，不合题意；

当时，令，得，

当，即时，在上单调递减，存在，不合题意；

当，即时，在上单调递增，，满足题意.

综上所述，实数的取值范围为：.

【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数，

（1）若，，总有成立，故；

（2）若，，有成立，故；

（3）若，，有成立，故；

（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．