2022-2023学年福建省连城县第一中学高二下学期3月月考数学试题含解析

这是一份2022-2023学年福建省连城县第一中学高二下学期3月月考数学试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省连城县第一中学高二下学期3月月考数学试题 一、单选题1．函数的导函数为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据复合函数的求导法则即可求解.【详解】由得，故选：B2．一物体做直线运动，其位移（单位：）与时间（单位：）的关系是，则该物体在时的瞬时速度为（    ）A．3 B．7 C．6 D．1【答案】D【解析】求出即可求出物体在时的瞬时速度.【详解】解：，当时，.故选:D.【点睛】本题考查了函数导数的求解.本题的关键是求出函数的导数.3．函数，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据求导公式求，再求即可.【详解】因为，所以，所以.故选：D.4．设x，，向量，，且，，则（    ）A． B． C．3 D．4【答案】C【分析】根据，，解得x，y，然后由空间向量的模公式求解.【详解】因为向量，，且由得，由，得 解得，所以向量，，所以，所以故选：C5．函数的递增区间是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】利用导数的性质进行求解即可.【详解】，因为在整个实数集上恒成立，所以函数的递增区间是.故选：C6．已知函数为的导函数，则的大致图象是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出，判断奇偶性，并结合特殊值验证，即可判断出答案.【详解】由可知，则，即为奇函数，故A，D错误；又，故C错误，B正确，故选：B7．设函数的导函数为，若对任意都有成立，则（    ）A． B．C． D．与的大小关系不能确定【答案】C【分析】构造函数，利用导数判断函数的单调性，由单调性可判断，由此即可求的答案.【详解】解：令，则对任意都有成立，即在上单调递增又，即故选：C8．若，则正实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】不等式可化为，故考虑构造函数，利用导数研究函数的单调性，结合单调性化简不等式可得，由已知，再利用导数求函数的最小值，可得的取值范围.【详解】不等式，可化为，设，则，即在上单调递增，而，因为，所以，由已知恒成立，令，则，当时，即递减；当时，即递增；∴，故只需，即．又，所以的取值范围为.故选：B【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)恒成立⇔；(2)恒成立⇔ 二、多选题9．关于空间直角坐标系中的一点，下列说法正确的是（    ）A．的中点坐标为B．点关于轴对称的点的坐标为C．点关于原点对称的点的坐标为D．点关于面对称的点的坐标为【答案】ACD【解析】结合中点坐标公式可判断A正确；结合空间点对称特点依次判断BCD的正确性即可【详解】利用中点公式可得的中点坐标为，A对；点关于轴对称的点的坐标为，B错；点关于原点对称的点的坐标为，C对；点关于面对称的点的坐标为，D对；故选：ACD.【点睛】结论点睛：本题考查空间中中点坐标公式的应用，空间中对称点的判断，可熟记以下结论：（1）若空间中的点为，则的中点坐标为；（2）若空间中的点为，则点关于轴对称的点的坐标为，关于轴对称的点的坐标为，关于轴对称的点的坐标为；（3）若空间中的点为，点关于面对称的点的坐标为，关于面对称的点的坐标为，关于面对称的点的坐标为；（4）若空间中的点为，点关于原点对称的点的坐标为10．若函数有两个极值点则的值可以为（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】AB【分析】求出函数的导函数为二次函数，由函数有两个极值点，则导函数与轴有两个交点，即可求出的范围，得解.【详解】解：因为函数有两个极值点则与轴有两个交点，即解得故满足条件的有故选：【点睛】本题考查利用导数求函数的极值问题，属于基础题.11．设函数，则函数（    ）A．在区间内有零点 B．在区间内无零点C．在区间内有零点 D．在区间内无零点【答案】BC【分析】在同一坐标系中作出函数的图象，由图象结合零点存在性定理即可判断.【详解】作出函数和的图象，如图，因为，则，由零点存在性定理可知：在内无零点，在内有零点，故选：BC.12．设为定义在R上的函数的导函数，下列说法正确的是（    ）A．若恒成立，则B．若，，则不等式的解集为C．若是奇函数且满足，当时，，则使得成立的x的取值范围是D．若，，则在上单调递增【答案】ACD【分析】对于A，，有题目条件知在上单调递增，∴，∴，即可判断A；对于B，令，对求导结合题目易知函数在R上单调递减，又，即可判断B.对于C，设，对求导结合题目易知函数在上单调递增，又，可得函数的解集为，即可判断C.对于D，，设，结合题目条件可知∴在上单调递减，在上单调递增，，即可判断D.【详解】，即，设，则，当时，恒成立，在上单调递增，∴，∴，∴，故A正确．等价于，即，令，则．∵，即，且，∴，故函数在R上单调递减，又，故的解集是，故B错误．设，则．∵当时，，即，∴函数在上单调递增．∴为奇函数，∴也为奇函数，∴在上单调递增．∴，∴，∴函数的解集为．又等价于，∴的解集为，故C正确．由题意得，设，则．当时，，当时，，∴在上单调递减，在上单调递增，∴，∴，∴在上单调递增，故D正确．故选：ACD． 三、填空题13．曲线在点处的切线的方程为_________.【答案】【分析】求得函数的导数，得到，利用直线的点斜式方程，即可求解.【详解】由题意，函数，可得，则，所以切线方程为，即.故答案为：14．如图，在长方体中，P是线段上一点，且，若，则___________．【答案】/．【分析】用基底表示后可得．【详解】由已知，所以，．故答案为：．15．已知函数则满足的取值范围是_________【答案】【分析】利用的单调性解不等式【详解】，而，，均在区间内单调递增，故在区间内单调递增，则可化为，解得故答案为：16．已知函数，若当时，，则的取值范围是_________．【答案】【分析】求出，分，，讨论的单调性，可得答案.【详解】由，，得，（1）当，即时，，所以在上单调递增，所以，（2）当时，令，则，所以在上单调递增，于是，①若，即时，，于是在上单调递增，于是，②若，即时，存在，使得当时，，于是在上单调递减，所以，不符合题意.综上所述，的取值范围是.故答案为：.【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)恒成立⇔；(2)恒成立⇔ 四、解答题17．如图，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点．(1)求的距离；(2)求的值．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）以点C作为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用向量的模长公式计算即可；（2）利用向量夹角运算公式计算的值；【详解】（1）如图，以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，依题意得，，，．，∴∴．所以的距离为.（2）依题意得，，，，∴，，，，，∴．18．设函数．(1)求的增区间；(2)若不等式在上恒成立，求的取值范围．【答案】(1)、(2) 【分析】（1）解不等式，可得出函数的单调递增区间；（2）利用导数求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围.【详解】（1）解：函数的定义域为，依据题意可知，令得或，所以，的增区间为，.（2）解：令，得（舍），，列表如下：x  单调递减极小值单调递增所以，当时，，对任意的，恒成立，则.19．设函数(1)求的极值．(2)证明：，．【答案】(1)极大值为，无极小值(2)证明见解析 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，结合极值的定义求函数的极值；（2）要证明，，只需证明，故考虑设函数，利用导数求其最大值，即可完成证明.【详解】（1）函数的定义域为，因为令得或(舍去)当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，∴当时，函数取极大值，极大值为，函数无极小值．（2）要证明，，只需证明，，令，则，令得或(舍去)当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减∴，即.20．某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某“著名品牌”系列进行市场销售量调研，通过对该品牌的系列一个阶段的调研得知，发现系列每日的销售量（单位：千克）与销售价格（元/千克）近似满足关系式，其中，为常数.已知销售价格为6元/千克时，每日可售出系列15千克.（1）求函数的解析式；（2）若系列的成本为4元/千克，试确定销售价格的值，使该商场每日销售系列所获得的利润最大.【答案】（1）；（2）当销售价格为5元/千克时，系列每日所获得的利润最大.【详解】分析：（1）根据题意已知销售价格为6元/千克时，每日可售出系列15千克.即可求出a得到解析式；（2）设该商场每日销售系列所获得的利润为，然后根据利润计算式得出具体表达式，然后根据导数求最值思维求解即可.详解：（1）有题意可知，当时，，即，解得，所以.（2）设该商场每日销售系列所获得的利润为，则，，令，得或（舍去），所以当时，为增函数； 当时，为减函数，故当时，函数在区间内有极大值点，也是最大值点，即时函数取得最大值. 所以当销售价格为5元/千克时，系列每日所获得的利润最大.点睛：考查函数的表示，导函数最值的应用，正确理解题意，写出具体表达式，然后借助导数分析思维求解是解题关键，做此类题要有耐心，认真审题，读懂题意，属于中档题.21．已知函数，曲线在处的切线方程为.（1）求证：当时，；（2）求证：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线方程得到，令，用导数法证明即可；（2）由（1）知，当时，，令，转化为，再利用数列的裂项相消法求解.【详解】（1）函数的定义域为，.又∵，，∴该切线方程为，即.设，则.令，则.当时，，∴在上单调递增.又∵，∴，即在上单调递增，∴当时，，∴当时，.（2）由（1）知，当时，.令，则，∴，∴，化简得.【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是利用数列的知识，根据（1）的结论，构造而得解.22．已知函数，曲线在点处的切线方程为．（1）求实数的值，并证明：对，恒成立．（2）设函数，试判断函数在上零点的个数，并说明理由．【答案】（1）；证明见解析；（2）只有一个零点；答案见解析．【分析】（1）利用切线方程求出；把原不等式转化为只需证明，构造函数，利用导数求最小值，即可证明；（2）先设出，，根据函数和的图象的交点，研究出函数在上无零点，在上只有一个零点，即证.【详解】解：（1）根据题意，曲线在点处的切线方程为此时若要证明，对，恒成立，需证明故需证明，则令，；；函数在上单调递减；在上单调递增；故有当，，即对，恒成立恒成立．（2）根据题意可得，在同一个直角坐标系中作出函数和的图象如下：假设当时，函数和的相交，时，单调递增；时，单调递减；即得又综上可得，函数在上无零点，在上只有一个零点即函数在上只有一个零点．【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；（3）利用导数求参数的取值范围；（4）利用导数证明不等式；（5）利用导数研究零点问题等其本质是利用导数研究原函数的单调性，求极值或最值.