2023届高考数学二轮复习思想方法与解题技巧第27讲数形兼顾相互补充第28讲构造法是数形结合的桥梁含解析

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典型例题
已知, 试比较实数的大小关系.
【分析】
本例可转化为函数图像与不等式表示的区域，以形助数;然而光靠图形尚不能比较a,b,c的大小，还需要作差比较，即以数辅形.数形结合的思想方法的实质是将抽象的数学语言和直观图结合起来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支柱作用.通过对数与式的运算和变换,将图像的特征及几何关系刻画得更准确、更精细，这样就可以使抽象概念和具体形象相互联系、相互补充、相互转化、相互作用，最终解决问题.
【解析】
由, 则点是抛物线上的点, 由,可知是上方的点, 故满足的点应为阴影内的拋物线上除去的点,,这就是数到形的转变的结果(如图所示)。
而b,c的大小关系要用代数的方法解决。
【例2】
已知集合，
是否存在正整数和使得若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由。
【分析】
数形结合的思想简言之就是代数问题几何化、几何问题代数化，充分体现图形的直观性、代数推理的合理性，解题时注意不能用图形的直观代替严密的逻辑推理，本例的解题策略归结起来就是:数形兼顾求参数值.
【解析】
画出4x2+2x-2y+5=0和y2=x+1的图像, 它们分别与y轴正半轴相交于点0,52和(0,1) (如图5-31所示). 要使(A∪B)∩C=∅, 就是要直线与上述两条拋物线均无
交点, 这时b∈1,52,∵b∈N,∴b=2
而且方程组和均无实数解。
把①代入②得。把③代入④得。
由Δ1=4k2-8k+1<0,Δ2=k2-2k-3<0,得1-32因此存在正整数k=1,b=2满足(A∪B)∩C=∅.
【例3】已知f(x)是定义在区间(-∞,+∞)上以 2 为周期的函数,对k∈Z, 用Ik表示区间(2k-1,2k+1], 已知当x∈I0时, f(x)=x2.
(1) 求f(x)在Ik上的解析表达式;
(2) 对自然数k, 求集合Mk=a∣使方程f(x)=ax在Ik上有两个不相等的实数根}.
【分析】
在求出x∈Ik上的函数解析式f(x)=(x-2k)2之后与(x)=ax联立,得方程,即.此方程在(2k-1,2k+1 ]上有两个不相等的实根，若用纯代数方程，则原问题等价于
解此不等式组求得a的取值范围,但是运算量实在太大，故不能选择这种烦琐的解法，应考虑数形结合的解法,而实现数形结合的关键是构造.可把问题转化为求,,k∈N与y=ax有两个交点时a即直线y=ax斜率a的取值范围，也可以通过分离变量,将方程转化为另一类函数模型，寻求问题的几何意义，当然,若设,利用根的分布定理求解也是一种不错的选择.
【解析】
(1) ∵2是f(x)的周期,当k∈Z时, 2k也是f(x)的周期.
又∵当x∈Ik时, (x-2k)∈I0,∴f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2,
即对k∈Z, 当x∈Ik时, f(x)=(x-2k)2.
(2) 【解法一】
(转化为求直线y=ax斜率a的取值范围)
方程，即有两个不等实根，，。令，，，，如图5—32所示，在同一坐标系中分别作出，的图像，的图像是过原点，斜率为a的直线，方程有两个不等实根的充要条件是在图像有两个不同交点，见图5- 32，当时两图像有两个不同交点.从而，原方程有两不等实根时,
【解法二】
（分离变量,将方程转化为函数模型,寻求问题的几何意义）
联立得。令，，，作这两个函数的图像，如图5-33所示。图像有两个不同交点的充要条件是。即，
【解法三】
(用根的分布理论求解)
令,则问题转化为的图像在区间(2k-1,2k+1]上与x轴有两个不同的交点，如图5- 34所示,其充要条件是
解得即
【例4】过抛物线的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A,B两点,A,B在x轴上的正射影分别为C,D, 若梯形ABDC的面积为122, 则p=。
【分析】
本例是典型的圆锥曲线焦点弦问题，可以直接运用代数的方法解，即联立方程组与韦达定理结合是常规思路,但是也可以数形结合,这是因为焦点弦问题必须考虑圆锥曲线的几何特征，借助几何法解题较为简单，可起到事半功倍的效果.
【解析】
【解法一】
直线 AB 方程为 y=x+p2, 设 Ax1,y1,Bx2,y2.
由得
故
=
又得，又。
【解法二】
如图5-35所示,由几何关系,设直线AB的倾斜角为0,根据抛物线定义，
，，，，
又
∵ 直线 AB 斜率为 1.∴θ=π4, 将 θ=π4 代人得, S=12(4p-p)⋅22⋅2p12=
32p2=122, 得 p2=4. 又 p>0,∴p=2, 故填人 2.
第28讲“构造法”是数形结合的桥梁
实现数形结合,常与以下内容有关: (1)实数与数轴上的点的对应关系; (2)函数与图像的对应关系; (3)曲线与方程的对应关系; (4)以几何元素和几何条件为背景建立起来的数学概念,如三角函数、向量等; (5)所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义, 如斜率、截距、距离等. 数转化为形或形转化为数有时并非很容易,常常需要借助“构造法”,即通过对等式或代数式的分析构造出相匹配的几何图形,通过几何图形相应元素的关系使原问题解决,或从所给的形中提炼出数量关系, 通过运算或推理使原问题解决, 总而言之,“构造法”是数形结合的桥梁.
典型例题
【例1】在平面直角坐标系中, O为原点, A(-1,0),B(0,3),C(3,0), 动点D满足的最大值为。
【分析】
本题条件是给出3个定点和1个动点D.动点D满足=1可知其轨迹是确定的.求的最大值解题思路有两个方向.一是利用代数的方法,构造目标函数,而构造目标函数可以引入角为参数，由于点D在以C为圆心1为半径的圆上，可运用圆的参数方程利用三角函数求解，也可引进坐标参数求解.即求出向量模长的表达式,从而转化为求函数的最值;二是利用向量的几何意义.运用向量的几何性质即构造图形、利用不等式性质求解.构造的量模型无疑是一种具有创造性的解法.
【解析】
【解法一】
(引进角参数建立目标函数)由可知,点D 在以点C(3,0)为圆心,1为半径的圆上,设D(3+csθ,sinθ),θ∈[0,2π],则=(2+csθ,3+sinθ),故===，则
【解法二】
(引进坐标参数建立目标函数)由可知,点D 在以点C(3,0)为圆心,1为半径的圆上,设D(x,y),则=(x-1,3+y).故=,它表示圆C 上的点到点E(1,- 3)的距离,==.
【解法三】
(构建向量模型)由已知得=(-1,),如图5—36所示.论E(1,-);则==.由图5-36可知,==+1.
【解法四】
(运用向量的三角不等式)已知A(-1,0),B(0,3),C(3,0),故=(2,3).=.=≤+=,当且仅当向量与同向时等式成立.故的最大值为+1.
【例2】已知均为锐角,有,求证:tanα+tanβ+tanγ≥.
【分析】
由于题设正是长方体的一个重要性质:若长方体的一条体对角线与从一端点出发的三条棱所成角为,则.所以构造长方体,运用三角函数的定义,结合基本不等式问题迎刃而解.
【解析】
【证明】由已知条件作一长方体ABCD-A1B1C1D1, 使∠C1AD=α,∠C1AB=β, ∠C1AA1=γ, 如图5-37所示.
设 AD=a,AB=b,AA1=c, 则 tan⁡α=b2+c2atan⁡β=c2+a2b,tan⁡γ=a2+b2c. 由于 x2+y2-x+y22=12(x-y)2⩾0,
∴x2+y2⩾x+y22,∴x2+y2⩾x+y2(x,y⩾0), 从而有
tan⁡α+tan⁡β+tan⁡γ=b2+c2a+c2+a2b+a2+b2c⩾b+c2a+c+a2b+a+b2c=
12ba+ab+ca+ac+cb+bc⩾12(2+2+2)=32.
当且仅当a=b=c时取等号, 故tan⁡α+tan⁡β+tan⁡γ⩾32.
【例3】 (1) 试求函数 f(x)=x4-3x2+2x+5+x4+12x2+116 的最小值;
(2) 设a,b都是实数,试求: S=(a-b)2+3-a2+12b2-42的最小值.
【分析】
数形结合思想的核心是:“以形助数,以数解形”,使复杂问题简单化、抽象问题具体化,从而找到解题思路,使问题得到解决,以形助数常借助于数轴、函数图像、单位圆、数式的结构特征、解析几何方法、向量知识等;以数解形常借助于几何轨迹所遵循的数量关系、运算结果与几何定理的结合等.第(1)问粗看似乎无从入手,若能构造出抛物线方程,使问题转化为抛物线上动点到两个定点的距离之和,利用抛物线的定义、结合平面上两点距离的线段为最短,则问题可顺畅解出.第(2)问,根据数式的结构特征,S可看作两点距离的平方,而要求其最小值,则必须搞清这两个动点在何种曲线上,结合图形则其最小值轻松可得.正如宋朝诗人杨万里的诗句:“莫问早行奇绝处,四方八面野香来.”一旦掌握了数与形之间的辩证关系,就会消除解题过程中的心理障碍,不断提高解题能力.
【解析】
(1) f(x)=(x+1)2+x2-22+x2+x2-142. 构造动
点 Px,x2, 则 P 的轨迹方程为 y=x2, 设 A(-1,2),
F0,14, 则 F 正好为拋物线 x2=y 的焦点, 拋物线准线方程为 l:y=-14.
如图5-38所示, 过点P作PH⊥l于H, 过点A作于,交抛物线于,故有=2=.当且仅当P 在处时,f(x)取得最小值.
(2) 设Aa,3-a2,Bb,-12b2-4, 则S为A,B两点间距离的平方,而点A在圆x2+y2=3的x轴上部分, 点B在双曲线x24-y2=1的x轴下部分, 如图5-39所示. 要使|AB|2最小, 则点A,B分别位于点(3,0)、(2,0) 或点 (-3,0)、(-2,0), 即当 a=3,b=2 (或 a=-3,b=-2 )时Smin=(2-3)2=7-43.
【例4】对于具有相同定义域D的函数f(x)和g(x), 若存在函数h(x)=kx+b(k,b为常数), 对任意的正数m, 存在相应的x0∈D, 使得当x∈D且x>x0时, 总有01}的 4 组函数如下:
(1) f(x)=x2,g(x)=x;
(2) f(x)=10-x+2,g(x)=2x-3x;
(3) f(x)=x2+1x,g(x)=xln⁡x+1ln⁡x;
(4) f(x)=2x2x+1,g(x)=2x-1-e-x.
其中, 曲线y=f(x)与y=g(x)存在“分渐近线”的是( ).
A. (1)(4)B. (2) (3)C. (2)(4)D. (3)(4)
【分析】
本例是新概念题,主要考查对新概念的理解以及函数的图像与性质.直接运用新概念中的不等式组解,难度较大,借助于图像是解决问题的最好方法,同时考查学生思维能力及创新意识.本例突出了数形结合的思想,在运用图像之前,对解析式应作些变形(这也是一种“构造”),使之朝基本函数靠近,从而使函数图像容易作出.
【解析】
由题意知x→+∞时, f(x)与g(x)有相同的渐近线, 且f(x)与g(x)图像分别在渐近线的两侧.
(1) f(x)=x2,g(x)=x的图像如图5-40所示, 当x>1时,两图像无渐近线, 不合题意.
(2) f(x)=110x+2,g(x)=2-3x的图像如图5-41所示, f(x)与g(x)有相同的渐近线h(x)=2且f(x)与g(x)分别在渐近线两边,符合题意.
(3) f(x)=x2+1x=x+1x,g(x)=xln⁡x+1ln⁡x=x+1ln⁡x的图像如图5-42所示. 当x>1时f(x)与g(x)的图像有共同的渐近线h(x)=x, 但f(x)与g(x)的图像在渐近线同侧, 不合题意.
(4) f(x)=2x2x+1=2(x+1)+2x+1-4,g(x)=2x-1-1ex的图像如图5-43所示, 当x→+∞时,1ex→0.∴g(x)的渐近线为y=2(x-1).由图像知f(x)与g(x)有共同的渐近线h(x)=2(x-1), 且f(x)与g(x)的图像分别在渐近线两侧,符合题意, 故选 C.