2022-2023学年河南省洛阳市涧西区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年河南省洛阳市涧西区八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各式中，能与合并的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  下列二次根式中，最简二次根式为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

5.  下列选项中，平行四边形、矩形、菱形、正方形共同具有的性质是(    )

A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直
C. 对角线互相平分 D. 每条对角线平分一组对角

6.  在学习勾股定理时，甲同学用四个相同的直角三角形直角边长分别为，，斜边长为构成如图所示的正方形；乙同学用边长分别为，的两个正方形和长为，宽为的两个长方形构成如图所示的正方形，甲、乙两位同学给出的构图方案，可以证明勾股定理的是(    )
 

A. 甲 B. 乙 C. 甲，乙都可以 D. 甲，乙都不可以

7.  如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标分别为，，，则顶点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，在中，为斜边上的中线，点是上方一点，且，连接，若，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，在▱中，对角线与相交于点，点是的中点，连接，以点为圆心，的长为半径画弧交于点若，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在正方形中，点是对角线，的交点，过点作射线，分别交，于点，，且，与交于点下列结论中：
是等腰直角三角形；
四边形的面积为正方形面积的；
；
．
正确的有(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  使式子有意义的的取值范围是______ ．

12.  如图，▱的对角线，相交于点，请你添加一个条件使▱成为矩形，这个条件可以是______ ．

13.  对于任意正数，，定义运算“”如下：
，计算结果为______ ．

14.  如图，菱形的边长为，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，直线交于点，连接，则的长为______ ．

15.  如图，在矩形中，，，是边上一动点不与点，重合，先将沿直线翻折，点的对应点为再作点关于直线的对称点，连接，，当点恰好落在矩形的边上时，线段的长为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：
；
 

17.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

18.  本小题分
学过勾股定理后，某班兴趣小组来到操场上测量旗杆的高度，得到如下信息：
测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长米如图；
当将绳子拉直时，测得此时拉绳子另一端的手到地面的距离为米，到旗杆的距离为米如图．
根据以上信息，求旗杆的高度．

19.  本小题分
如图，在由边长为的正方形组成的的网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点，，，都在格点上，按下列要求画图，使得所画图形的顶点均在格点上．
在图中画以为直角顶点的等腰直角三角形；
在图中画线段，使得；
连接，判断的形状并说明理由．

20.  本小题分
如图，矩形的对角线，相交于点，过点作的平行线交的延长线于点求证：．

21.  本小题分
如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，点，分别从，两点同时出发，以相同的速度向终点运动．
当点与点不重合时，四边形是平行四边形吗？请说明理由．
若点，的运动速度都是，且，，当运动时间为______ 时，中的四边形是矩形．

22.  本小题分
如图，在四边形中，，，为对角线的中点，为边的中点，连接，．
求证：四边形为菱形；
连接交于点，若，，求四边形的面积．

23.  本小题分
如图，四边形是正方形，点在射线上，点在射线上，且，连接，点为线段的中点．
【感知】如图，当点在线段上时，
易证：≌不需要证明进而得到与的数量关系是______ ．
过点作于点，于点，易证：≌不需要证明进而得到与的位置关系是______ ．
【探究】如图，当点在线段上点不与点、重合时，请写出与的数量关系和位置关系，并说明理由．
【应用】当点在线段的延长线上时，直接写出当，时线段的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、不能与合并，本选项不符合题意；
B、，能与合并，本选项符合题意；
C、，不能与合并，本选项不符合题意；
D、，不能与合并，本选项不符合题意；
故选：．
先根据二次根式的性质把各个二次根式化简，再根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查的是同类二次根式的概念、二次根式的性质，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
 

2.【答案】 

【解析】解：．，所以选项不符合题意；
B.，所以选项不符合题意；
C.，所以选项不符合题意；
D.，所以选项符合题意．
故选：．
根据二次根式的性质对选项进行判断；根据二次根式的加法运算对选项和选项进行判断；根据二次根式的除法法则对选项进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、是最简二次根式，本选项符合题意；
B、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，本选项不符合题意；
C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，本选项不符合题意；
D、，被开方数含分母，不是最简二次根式，本选项不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，
不能组成三角形，
故A不符合题意；
B、，，
，
不能构成直角三角形，
故B不符合题意；
C、，，
，
能成直角三角形，
故C符合题意；
D、，，
，
不能构成直角三角形，
故D不符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、矩形和正方形的对角线相等，菱形和平行四边形的对角线不一定相等，故此选项不符合题意；
B、正方形和菱形的对角线垂直，平行四边形和矩形的对角线不一定垂直，故此选项不符合题意；
C、平行四边形，矩形，菱形，正方形的对角线都互相平分，故此选项符合题意；
D、菱形和正方形的对角线平分一组对角，矩形和平行四边形的对角线不一定平分一组对角，故此选项不符合题意；
故选：．
根据矩形，菱形，正方形都是特殊的平行四边形，平行四边形具有的性质，特殊平行四边形都肯定具有，可判断出正确选项．
本题考查了平行四边形的性质、菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质，熟练掌握并区分这些性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：甲同学的的方案：
大正方形的面积小正方形的面积直角三角形的面积，
，
，
，
因此甲同学的的方案可以证明勾股定理；
乙同学的的方案：
大正方形的面积矩形的面积两个小正方形的面积，
，
得不到，
因此乙同学的的方案不可以证明勾股定理．
故选：．
由图形中的面积关系，应用完全平方公式即可解决问题．
本题考查勾股定理的证明，关键是应用面积法，完全平方公式．
 

7.【答案】 

【解析】解：平行四边形中，，，
的长为，
，
，
点的坐标为，
故选A．
根据、的坐标确定线段的长，然后根据点的坐标确定点的坐标即可．
本题考查了平行四边形的性质及坐标与图形的性质，解题的关键是根据点和点的坐标确定线段的长，难度不大．
 

8.【答案】 

【解析】解：在中，为斜边上的中线，
，
，
，
在中，，
故选：．
先利用直角三角形斜边上的中线性质可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而在中，利用勾股定理进行计算即可解答．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线，以及等腰三角形的性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：在▱中，，即是的中点．
点是的中点，
是的中位线．
，
．
以点为圆心，的长为半径画弧交于点，，
，
．
故选：．
利用平行四边形的对角线互相平分得到是的中点，结合已知条件判定是的中位线，由此求得，则．
本题主要考查了三角形中位线定理和平行四边形的性质，解题过程中，利用“平行四边形的对角线互相平分”得到“是的中点”是解题的突破口．
 

10.【答案】 

【解析】解：在正方形中，，，，
，
，
，
≌，
，
是等腰直角三角形，故正确；
由全等可得四边形的面积与面积相等，
四边形的面积为正方形面积的，故正确；
当四边形是矩形时，，故不一定正确；
≌，
，
四边形为正方形，
，
，
在中，，
，故正确；
综上所述，正确的是，
故选：．
利用全等三角形的判定与性质，勾股定理逐一分析即可得出正确答案．
本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是证出≌．
 

11.【答案】 

【解析】解：使式子有意义，则，
解得：，
则的取值范围是：．
故答案为：．
直接利用二次根式有意义的条件，进而得出的取值范围．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
 

12.【答案】答案不唯一 

【解析】解：四边形为平行四边形，
当时，四边形为矩形．
故答案为：答案不唯一．
依据矩形的判定定理进行解答即可．
本题主要考查了矩形的判定与平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：


．
故答案为：．
根据题目已知的定义运算进行计算即可．
本题考查了实数的运算，理解题目已知的定义运算是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：延长交于点，交于点，如图，
四边形为菱形，
，，
，
由作法得垂直平分，
，，
，
在中，，
，
，
在中，
，
，
，
在中，．
故答案为：．
延长交于点，交于点，如图，根据菱形的性质得到，，利用作法得垂直平分，所以，，接着计算出，则，然后计算出，最后利用勾股定理计算的长．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和菱形的性质．
 

15.【答案】或 

【解析】解：如图，点在上，
沿直线翻折，点的对应点为，
，，，
关于的对称点是，，
、、共线，
，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图，点在上，
由以上解答可知：，
，
，
，
的长是或．
故答案为：或．
分两种情况，如图，由翻折变换的性质推出，即可求出的长，于是得到的长；如图，可以得到，由勾股定理求出的长，即可求出的长．
本题考查矩形的性质，翻折变换，勾股定理，关键是要分两种情况讨论，掌握翻折变换的性质．
 

16.【答案】解：原式


；
原式
． 

【解析】先根据二次根式除法法则和乘法法则运算，然后化简后进行有理数的加法运算；
先利用完全平方公式和平方差公式计算，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法、除法法则和乘法公式是解决问题的关键．
 

17.【答案】解：



，
当时，
原式

． 

【解析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

18.【答案】解：设米，
则，，
，
，
即：，
，
，
．
答：旗杆的高度为米． 

【解析】设，在中根据勾股定理列方程求解即可．
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的相关知识并在直角三角形中正确运用是解题的关键．
 

19.【答案】解：如图所示

如图所示
为直角三角形，理由如下：
，，
，
为直角三角形． 

【解析】根据等腰直角三角形的定义画出图形即可；
利用勾股定理数形结合的思想画出图形即可；
利用勾股定理逆定理证明即可．
本题考查作图应用与设计作图，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题．
 

20.【答案】证明：四边形是矩形，
，，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
． 

【解析】根据矩形的性质可以得到，根据平行四边形的判定和性质可以得到，从而可以得到．
本题考查矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，求出．
 

21.【答案】 

【解析】证明：四边形是平行四边形．
理由如下：
，分别从，两点同时出发，以相同的速度向终点运动，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
即：，
四边形是平行四边形；
解：四边形是平行四边形，
当时四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
、两边动点的速度都是，
，
当运动时间时，四边形是矩形．
根据平行四边形的性质得出，，求出、互相平分，根据平行四边形的判定得出即可；
根据矩形的性质求出，，，即可得出答案．
本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质和判定的应用，能熟记矩形和平行四边形的性质和判定是解此题的关键．
 

22.【答案】证明：为对角线的中点，为边的中点，
，，，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，且，
四边形为菱形；

解：如图，与交于点，

四边形为菱形，，
，，，
，
在中，，
，
四边形的面积为：． 

【解析】由三角形中位线定理可得，，，可得，，由菱形的判定可得结论；
由菱形的性质可得，，，由勾股定理可得，得到的长后，根据菱形的面积公式可得答案．
本题考查了菱形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理，熟练运用菱形的性质是本题的关键．
 

23.【答案】；  ； 

【解析】解：【感知】四边形是正方形，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
故答案为：；
过点作于点，于点，如图所示：
则，
四边形是正方形，
平分，，
四边形是矩形，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
即，
，
故答案为：；
【探究】
与的数量关系和位置关系分别为：
，，
理由如下：
设交于，如图所示：

四边形是正方形，
，，
为公共边，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
即，
四边形是正方形，


；
综上所述，，；
【应用】，
设交于，如图所示
四边形是正方形，
直线是正方形的对称轴，与是一对对应点，，，，
，
，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
即，
四边形是正方形，
，
，
是等腰直角三角形，
过点作于，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
．
【感知】证≌，得，再由，即可得出结论；
过点作于点，于点，证≌，得，再证，即可得出结论；
【探究】证≌，得，再证，然后由正方形的性质得，则，即可得出结论；
【应用】证≌，得，再证，然后证是等腰直角三角形，过点作于，则是等腰直角三角形，得，则，即可解决问题．
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．