2023年宁夏固原市西吉县中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2023年宁夏固原市西吉县中考数学一模试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列运算中，计算结果正确的是( )
A. x2⋅x3=x6B. x6÷x3=x2C. (x3)2=x6D. x3+x3=x6
2. 港珠澳大桥被英国《卫报》誉为“新世界七大奇迹”之一，它是世界总体跨度最长的跨海大桥，全长55000米．数字55000用科学记数法表示为( )
A. 5.5×104B. 55×104C. 5.5×105D. 0.55×106
3. 如图，这是一个机械模具，则它的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
4. 为了解学生课外阅读时间情况，随机收集了30名学生一天课外阅读时间，整理如下表：
则本次调查中阅读时间的中位数和众数分别是( )
A. 0.7和0.7B. 0.9和0.7C. 1和0.7D. 0.9和1.1
5. 将一个长方形纸片按如图所示折叠，若∠1=40∘，则∠2的度数是( )
A. 40∘B. 50∘C. 60∘D. 70∘
6. 如图，等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC= 2，以点C为圆心画弧与斜边AB相切于点D，交AC于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是( )
A. 1−π4
B. π−14
C. 2−π4
D. 1+π4
7. 函数y=kx和y=kx+2(k≠0)在同一直角坐标系中的大致图象是( )
A. B.
C. D.
8. 抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=−1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc>0；②b2−4ac>0；③9a−3b+c=0；④若点(−0.5,y1)，(−2,y2)均在抛物线上，则y1>y2；其中正确的个数有( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 分解因式：2a3−8a= ．
10. 计算：(−12)−1+|2− 2|=______．
11. 当a______时，分式1a+2有意义．
12. 不透明的布袋里有1个黄球、4个红球、5个白球，它们除颜色外其他都相同，那么从布袋中任意摸出一球恰好为红球的概率是______．
13. 若y= x−3+ 3−x+4，则x+y=______．
14. 若二次函数y=x2−2x+m的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是______ ．
15. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D.若∠A=30°，则S△BCDS△ABD=______．
16. 找规律．下列图中有大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第n幅图中共有______个．
三、解答题（本大题共10小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,−1)，B(3,−3)，C(0,−4)
(1)画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1；
(2)画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2．
18. (本小题6.0分)
先化简，再求值：当a=2时，求(3a+2+a−2)÷a2−2a+1a+2的值．
19. (本小题6.0分)
解不等式组：5−x≥3(x−1)①2x−13−5x+12<1②．
20. (本小题6.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，连接CE并延长，交BA的延长线于点F．
求证：FA=AB．
21. (本小题6.0分)
如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外取一点C，连接AC，BC，在AC上取点M，使AM=3MC，作MN//AB交BC于点N，量得MN=38m，求AB的长．
22. (本小题6.0分)
学校为了“弘扬传统文化，阅读经典名著”，计划给学校图书馆添置书籍，已知购买3本《论语》和5本《诗经》共需140元，购买8本《论语》和1本《诗经》共需176元．
(1)求每本《论语》和每本《诗经》各多少元？
(2)学校决定购买《论语》和《诗经》共200本，总费用不超过3500元，那么该学校最多可以购买多少本《论语》？
23. (本小题8.0分)
某校在一次大课间活动中，采用了四种活动形式：A、跑步，B、跳绳，C、做操，D、游戏．全校学生都选择了一种形式参与活动，小杰对同学们选用的活动形式进行了随机抽样调查，根据调查统计结果，绘制了不完整的统计图．
请结合统计图，回答下列问题：
(1)本次调查学生共______ 人，a=______，并将条形图补充完整；
(2)如果该校有学生2000人，请你估计该校选择“跑步”这种活动的学生约有多少人？
(3)学校让每班在A、B、C、D四种活动形式中，随机抽取两种开展活动，请用树状图或列表的方法，求每班抽取的两种形式恰好是“跑步”和“跳绳”的概率．
24. (本小题8.0分)
一艘船以40km/s的速度向正东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上继续航行1h.到达B处，这时测得灯塔C在北偏东30°方向上，已知在灯塔C的四周30km内有暗礁，问这船继续向东航行是否安全？
25. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，∠B=90°，点D为AC上一点，以CD为直径的⊙O交AB于点E，连接CE，且CE平分∠ACB．
(1)求证：AE是⊙O的切线；
(2)连接DE，若∠A=30°，求BEDE．
26. (本小题10.0分)
如图，△ABC的边BC在直线l上，AD是△ABC的高，∠ABC=45°，BC=6cm，AB=2 2cm.点P从点B出发沿BC方向以1cm/s速度向点C运动，当点P到点C时，停止运动．PQ⊥BC，PQ交AB或AC于点Q，以PQ为一边向右侧作矩形PQRS，PS=2PQ.矩形PQRS与△ABC的重叠部分的面积为S(cm2)，点P的运动时间为t(s).回答下列问题：

(1)AD= ______ cm；
(2)当点R在边AC上时，求t的值；
(3)求S与t之间的函数关系式．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、x2⋅x3=x5，故本选项错误；
B、x6÷x3=x3，故本选项错误；
C、(x3)2=x6，故本选项正确；
D、x3+x3=2x3，故本选项错误；
故选C．
根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、合并同类项的法则分别对每一项进行计算即可．
此题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方、合并同类项，能熟练掌握有关运算法则是解题的关键，是一道基础题．
2.【答案】A
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；
此题考查科学记数法．掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
【解答】
解：数字55000用科学记数法表示为5.5×104．
故选：A．
3.【答案】B
【解析】解：从左边看，得到的图形只有一列两层，第一层是正方形，第二层的正方形里面有实心的圆圈，
故选：B．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
4.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查众数、中位数，解答本题的关键是明确题意，会求一组数据的众数和中位数，属于基础题．
根据表格中的数据可知共有30人参与调查，从而可以得到全班学生平均每天阅读时间的中位数和众数，本题得以解决．
【解答】
解：由表格可得，30名学生平均每天阅读时间的中位数是：0.9+0.92=0.9，
众数的定义为一组数据中出现次数最多的数值，
则30名学生阅读时间的众数为0.7，
故选：B．
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．结合平行线的性质得出：∠1=∠3=∠4=40°，再利用翻折变换的性质得出答案．
【解答】
解：如图，
由题意根据平行线的性质可得：∠1=∠3=∠4=40°(两直线平行，内错角相等)，
则∠2=∠5=180°−40°2=70°．
故选D．
6.【答案】A
【解析】解：连接CD，如图，
∵AB是圆C的切线，
∴CD⊥AB，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB= 2AC= 2× 2=2，
∴CD=12AB=1，
∴图中阴影部分的面积=S△ABC−S扇形ECF
=12× 2× 2−90⋅π⋅12360
=1−π4．
故选：A．
连接CD，利用切线的性质和等腰直角三角形的性质求出CD的值，再分别计算出扇形ECF的面积和等腰三角形ACB的面积，用三角形的面积减去扇形的面积即可得到阴影部分的面积．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了扇形的面积和等腰直角三角形的性质．
7.【答案】B
【解析】解：在函数y=kx和y=kx+2(k≠0)中，
当k>0时，函数y=kx的图象在第一、三象限，函数y=kx+2的图象在第一、二、三象限，故选项A、D错误，选项B正确，
当k<0时，函数y=kx的图象在第二、四象限，函数y=kx+2的图象在第一、二、四象限，故选项C错误，
故选：B．
根据题目中函数的解析式，利用一次函数和反比例函数图象的特点，可以解答本题．
本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答．
8.【答案】B
【解析】解：由图象可知a>0，c<0，
∵对称轴为x=−1，
∴b=2a，
∴b>0，
∴abc<0，
∴①错误；
∵图象与x轴有两个不同的交点，
∴b2−4ac>0；
∴②正确；
∵图象与x轴的一个交点是(1,0)，
∴与x轴的另一个交点是(−3,0)，
∴9a−3b+c=0，
∴③正确；
∵(−2,y2)到对称轴x=−1的距离是1，(−0.5,y1)到对称轴x=−1的距离是0.5，
∴y1>y2；
∴④正确；
∴②③④正确，
故选：B．
由图象可知a>0，c<0，与x轴有两个不同的交点，所以b2−4ac>0；由于对称轴为x=−1，可求b=2a，即可确定b>0，所以abc<0；再由图象可知函数与x轴的一个交点是(1,0)，则另一个交点是(−3,0)，将点代入y=ax2+bx+c可得9a−3b+c=0；利用函数上的点与对称轴的距离之间的关系，确定y1>y2．
本题考查二次函数的图象及性质；能够从图象中获取信息，再结合函数的对称性解题是关键．
9.【答案】2a(a+2)(a−2)
【解析】
【分析】
此题考查了提公因式法与平方差的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
原式提取2a，再利用平方差公式分解即可．
【解答】
解：原式=2a(a2−4)=2a(a+2)(a−2)．
故答案为：2a(a+2)(a−2)．
10.【答案】− 2
【解析】解：(−12)−1+|2− 2|=−2+2− 2=− 2；
故答案为− 2；
分别化简每一项可得(−12)−1+|2− 2|=−2+2− 2；
本题考查实数的运算，负整数指数幂的运算；掌握实数的运算性质，负整数指数幂的运算法则是解题的关键．
11.【答案】≠−2
【解析】解：根据题意得，a+2≠0，
解得a≠−2．
故答案为：≠−2．
根据分母不等于0列式计算即可得解．
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0．
12.【答案】25
【解析】解：∵在不透明的袋中装有1个黄球、4个红球、5个白球，共10个球且它们除颜色外其它都相同，
∴从这不透明的袋里随机摸出一个球，所摸到的球恰好为红球的概率是410=25，
故答案为：25．
由在不透明的袋中装有1个黄球、4个红球、5个白球，它们除颜色外其它都相同，直接利用概率公式求解，即可得到任意摸出一球恰好为红球的概率
此题考查了概率公式的应用．解题时注意：概率=所求情况数与总情况数之比．
13.【答案】7
【解析】解：∵y= x−3+ 3−x+4中的二次根式有意义，
∴x−3≥0，3−x≥0，
∴x=3，
当x=3时，y=4，
∴x+y=7．
故答案为：7．
先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x、y的值，再代入x+y进行计算即可．
本题考查的是代数式求值以及二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．
14.【答案】m<1
【解析】解：∵二次函数y=x2−2x+m的图象与x轴有两个交点，
∴△>0，
∴(−2)²−4×1×m>0，
∴m<1．
故答案为：m<1．
根据△>0⇔抛物线与x轴有两个交点，列出不等式即可解决问题．
本题考查抛物线与x轴的交点问题，解题的关键是记住△=0⇔抛物线与x轴只有一个交点，△>0⇔抛物线与x轴有两个交点，△<0⇔抛物线与x轴没有交点，属于中考常考题型．
15.【答案】12
【解析】解：由作法得BD平分∠ABC，
∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∴∠ABD=∠CBD=30°，
∴DA=DB，
在Rt△BCD中，BD=2CD，
∴AD=2CD，
∴S△BCDS△ABD=12．
故答案为12．
利用基本作图得BD平分∠ABC，再计算出∠ABD=∠CBD=30°，所以DA=DB，利用BD=2CD得到AD=2CD，然后根据三角形面积公式可得到S△BCDS△ABD的值．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线)．
16.【答案】(2n−1)
【解析】解：分析可得：第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，…，
∵1=1×2−1，3=2×2−1，5=3×2−1，
∴故第n幅图中共有(2n−1)个．
故答案为：(2n−1)．
对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．
17.【答案】解：(1)△A1B1C1如图所示；
(2)△A2B2C2如图所示．

【解析】(1)根据网格结构找出点A、B、C关于原点对称的点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
(2)根据网格结构找出点A1、B1、C1关于y轴对称的点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可．
本题考查了利用旋转变换作图，利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
18.【答案】解：原式=[3a+2+(a−2)(a+2)a+2]⋅a+2(a−1)2
=(a+1)(a−1)a+2⋅a+2(a−1)2
=a+1a−1，
当a=2时，原式=3．
【解析】根据分式的混合运算进行化简，然后将a=2代入即可求解．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
19.【答案】解：由①得：x≤2，
由②得：x>−1，
所以，不等式组的解集是−1【解析】分别解出两个不等式的解集，然后确定解集的公共部分就可以求出不等式的解集．
本题考查了不等式组的解法，关键是求出两个不等式的解，然后根据口诀求出不等式组的解集．
20.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB//DC．
∴∠FEA=∠DEC，∠F=∠ECD．
又∵EA=ED，
∴△AFE≌△DCE．
∴AF=DC．
∴AF=AB．
【解析】在证明全等时常根据已知条件，分析还缺什么条件，然后用(SAS,ASA,SSS)来证明△AFE≌△DCE，根据全等的性质再证明AF=DC，从而证明AF=AB．
本题考查平行四边形的性质及全等三角形等知识，是比较基础的证明题．
21.【答案】解：∵MN//AB，AM=3MC，
∴△CMN∽△CAB，MCAC=14，
∴MCAC=MNAB，
即14=38AB，
∴AB=38×4=152(m)．
答：AB的长为152m．
【解析】先根据MN//AB可判断出△CMN∽△CAB，再根据相似三角形的对应边成比例列出方程解答即可．
本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
22.【答案】解：(1)设购买每本《论语》需要x元，购买每本《诗经》需要y元，
依题意，得：3x+5y=1408x+y=176，
解得：x=20y=16．
答：购买每本《论语》需要20元，购买每本《诗经》需要16元．
(2)设该学校购买m本《论语》，则购买(200−m)本《诗经》，
依题意，得：20m+16(200−m)≤3500，
解得：m≤75．
答：该学校最多可以购买75本《论语》．
【解析】(1)设购买每本《论语》需要x元，购买每本《诗经》需要y元，根据“购买3本《论语》和5本《诗经》共需140元，购买8本《论语》和1本《诗经》共需176元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设该学校购买m本《论语》，则购买(200−m)本《诗经》，根据总价=单价×数量结合总费用不超过3500元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23.【答案】解：(1)300，10；
图形如下：
(2)2000×40%=800(人)，
答：估计该校选择“跑步”这种活动的学生约有800人；
(3)画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中每班所抽到的两项方式恰好是“跑步”和“跳绳”的结果数为2，
所以每班所抽到的两项方式恰好是“跑步”和“跳绳”的概率=212=16．
【解析】
【分析】
本题考查的是统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
(1)用A类学生数除以它所占的百分比即可得到总人数，再用1分别减去A、C、D类的百分比即可得到a的值，然后用a%乘以总人数得到B类人数，再补全条形统计图；
(2)用2000乘以A类的百分比即可．
(3)画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出每班所抽到的两种方式恰好是“跑步”和“跳绳”的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】
解：(1)120÷40%=300，
a%=1−40%−30%−20%=10%，
∴a=10，
10%×300=30，
故答案为：300，10；
(2)，(3)见答案
24.【答案】解：过点C作CD⊥AB，垂足为D.如图所示：
根据题意可知∠BAC=90°−60°=30°，∠DBC=90°−30°=60°，
∵∠DBC=∠ACB+∠BAC，
∴∠BAC=30°=∠ACB，
∴BC=AB=40×1=40(km)，
在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠DBC=60°，sin∠DBC=CDBC，
∴CD=40×sin60°=40× 32=20 3(km)>30km，
∴这艘船继续向东航行安全．
【解析】过C作CD⊥AB于点D，根据方向角的定义及余角的性质求出∠BCA=30°，∠ACD=60°，证∠ACB=30°=∠BAC，根据等角对等边得出BC=AB=40海里，然后解Rt△BCD，求出CD即可．
本题考查了解直角三角形的应用以及等腰三角形的判定；熟练掌握等腰三角形的判定和锐角三角函数定义是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：连接OE，如图1所示：
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
又∵OE=OC，
∴∠ACE=∠OEC，
∴∠BCE=∠OEC，
∴OE//BC，
∴∠AEO=∠B，
又∵∠B=90°，
∴∠AEO=90°，
即OE⊥AE，
∵OE为⊙O的半径，
∴AE是⊙O的切线；
(2)解：连接DE，如图2所示：
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DEC=90°，
∴∠DEC=∠B，
又∵∠DCE=∠ECB，
∴△DCE∽△ECB，
∴BEDE=CECD，
∵∠A=30°，∠B=90°，
∴∠ACB=60°，
∴∠DCE=12∠ACB=12×60°=30°，
∴CECD=cs∠DCE=cs30°= 32，
∴BEDE= 32．
【解析】(1)连接OE，证明OE//BC，得∠AEO=∠B=90°，即可得出结论；
(2)连接DE，先证明△DCE∽△ECB，得出BEDE=CECD，易证∠ACB=60°，由角平分线定义得∠DCE=12∠ACB=12×60°=30°，由此可得CECD的值，即可得出结果．
本题考查了平行线的判定与性质、角平分线定义、切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识；结合题意灵活运用知识点是解题关键．
26.【答案】2
【解析】解：(1)∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABC=45°，
∴AD=BD，
∵AB=2 2cm，
∴AD=2cm，
(2)∵QR//BC，
∴△AQR∽△ABC，
∴QRBC=AEAD，即2t6=2−t2，
解得，t=65；
(3)①当0∴∠BQP=90°−45°=45°
∴PQ=BP=t
∴S=S矩形PQRS=2t⋅t=2t2．
②当65BD=AD=2cm
CD=6−2=4cm．
SF//AD
∴△FSC∽△ADC
∴SFAD=SCDC，即SF2=6−3t4，
SF=3−32t，
∴FR=t−(3−32t)=5t2−3，
∵ER//SC，
∴∠REF=∠C
又∠REF=∠ADC=90°
∴△ERF∽△CDA
∴ERDC=RFAD，
即ER4=5t2−32，
ER=5t−6，
∴S=S矩形PQRS−S△ERF=2t2−12(5t−6)(52t−3)
=−174t2+15t−9．
③当2≤t<6时(图3)
∵PQ//AD
∴△ERF∽△CDA，
∴QPAD=PCCD，
即QP2=6−t4，
∴QP=3−12t
∴S=S△QPC=12(3−12t)(6−t)
=14t2−3t+9．
(1)由AD是△ABC的高，∠ABC=45°，可得AD=BD，再由AB=2 2cm，即可得出AD的长；
(2)根据QR//BC，可证明△AQR∽△ABC，从而得出QRBC=AEAD，即2t6=2−t2，解得t即可；
(3)分三段进行讨论：
①当0②当65③当2≤t<6时(图3)，根据PQ//AD，得△ERF∽△CDA，则QPAD=PCCD，即QP2=6−t4，得出QP=3−12t，从而得出S与t之间的函数关系式．
本题考查了相似形的综合运用，以及勾股定理、函数的有关知识，解决这类综合性的题目，主要是掌握各知识点间的相互联系和分类讨论思想的运用．
阅读时间/小时
0.5及以下
0.7
0.9
1.1
1.3
1.5及以上
人数
2
9
6
5
4
4