2023年内地西藏初中班中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2023年内地西藏初中班中考数学一模试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −37的绝对值是( )
A. 37B. −37C. 73D. −73
2. 如图所示的几何体的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
3. 疫情管控放开，旅游行业触底反弹，文旅消费需求剧增.据云南省文化和旅游厅消息，2023年春节假日期间，云南省共接待游客4514.61万人次，实现旅游收入384.35亿元.其中数据4514.61用科学记数法可表示为( )
A. 4.51461×104B. 4.51461×103C. 45.1461×103D. 45.1461×102
4. 下列运算结果正确的是( )
A. 3x3+2x2=5x5B. x8÷x4=x2C. (2x3)3=6x9D. x3⋅2x=2x4
5. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛的成绩(平均数和方差)：
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，则选择______较适宜( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
6. 如图，把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=55°，则∠2=( )
A. 25°
B. 35°
C. 45°
D. 55°
7. 不等式组−x−1≤20.5x−1<0.5的解集，在数轴上表示正确的是( )
A. B. C. D.
8. 关于x的一元二次方程x2−3x−k+1=0有实数根，则k的取值范围是( )
A. k>−54B. k≥−54C. k<54D. k≤54
9. 如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA与x轴重合，AB⊥x轴，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过线段AB的中点C.若△OAB的面积为8，则k的值为( )
A. 4
B. −4
C. 8
D. −8
10. 点D是等边三角形ABC的边AB上的一点，且AD=1，BD=2，现将△ABC折叠，使点C与点D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，若BF=54，则CE的长为( )
A. 53
B. 75
C. 125
D. 35
11. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于12BD的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，连接DE，则下列结论：①AE平分∠BAC；②△ABD是等边三角形；③DE垂直平分线段AC；④△BCD是等腰三角形，其中正确的个数是( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
12. 下列表格中的四个数都是按照规律填写的，则表中x的值是( )
A. 135B. 170C. 209D. 252
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13. 要使式子 x−5有意义，则x的取值范围是 ．
14. 把多项式ax2−ay2分解因式的结果为______ ．
15. 有一个圆心角为120°，半径长为9cm的扇形，若将其围成一圆锥侧面，那么这个圆锥的底面圆的半径是______ cm．
16. 学校利用课后服务时间开展趣味运动项目训练.在直线跑道上，甲同学从A处匀速跑向B处，乙同学从B处匀速跑往A处，两人同时出发，到达各自终点后立即停止运动.设甲同学跑步的时间为x(秒)，甲、乙两人之间的距离为y(米)，y与x之间的函数关系如图所示，则图中t的值是 ．
17. 如图，等腰三角形ABC的底边BC的长为6，周长为16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC、BC边于E、F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上的一个动点，则△CDM的周长的最小值为______ ．
18. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x=1，有下列4个结论：①abc>0；②a+c>b；③4a+2b+c>0；④a+b≥am2+bm(m是任意实数).其中正确的结论是______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题5.0分)
计算：(−1)−2−(π−3)0+| 3−2|+tan60°．
20. (本小题5.0分)
先化简，再求值：x2x2−1÷(1x+1+x−1)；从−1，0，1，2中任选一个代入求值．
21. (本小题5.0分)
如图，已知E、F别是平行四边形ABCD的边AB、CD上的两点，且∠CBF=∠ADE，求证：AE=CF．
22. (本小题7.0分)
已知一次函数y=kx+4的图象经过点(−3,0)．
(1)求k的值；
(2)请在图中画出该函数的图象；
(3)已知A(2,0)，P为图象上的动点，连接AP，则AP的最小值为 ．
23. (本小题8.0分)
最近，胜利中学掀起了志愿服务的热潮，政教处也号召各班学生积极参与，为了解某年级学生一周服务情况，从这个年级中随机抽取若干名学生，分别对他们一周的志愿服务时长x(单位：分钟)进行收集、整理、分析，绘制出了这些学生一周的志愿服务时长的扇形统计图如图(数据分成6组)：A.20≤x<40，B.40≤x<60，C.60≤x<80，D.80≤x<100，E.100≤x<120，F.120≤x<140；其中这些学生一周志愿服务时长在C.60≤x<80这一组的是：78 60 66 72 75 62 78 73 69 75 60 73 64 75．

根据以上信息，回答下列问题：
(1)被随机抽取的学生人数为______ ，扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数为______ ．
(2)分别求出“C组”志愿服务时长的中位数、众数；
(3)小红和小丹两位同学都参加了富乐街道的志愿者服务项目，该街道志愿者服务工作一共设置了三个岗位，请用列表或画树状图的方法，求小红、小丹恰好被分配到同一岗位进行志愿者服务的概率．
24. (本小题8.0分)
2022年末因为“新冠病毒”的侵扰，黄桃罐头成为了人们的抢手物品，某商店用3000元购进第一批黄桃罐头很快售完；第二次购进时每箱的进价提高了20%，同样用3000元购进的数量比第一次少了10箱．
(1)求第一次购进时每箱的进价是多少？
(2)若两次购进的黄桃罐头每箱的售价均为70元，且全部售完，求两次的总利润是多少．
25. (本小题8.0分)
如图，小琪站在自家阳台的A处，看对面一栋楼顶部B处的仰角为45°，看这栋楼底部C处的俯角为37°，已知两楼之间的水平距离CD为30m，求这栋楼BC的高度(结果保留小数点后一位)．
参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75．
26. (本小题8.0分)
如图，△ABC中，∠ACB=90°，点O在边BC上，以点O为圆心，OB为半径的⊙O交AB于D，交BC于E，若CD=CA．
(1)求证：CD为⊙O的切线；
(2)若AC=3，BC=6 2，求BD的长．
27. (本小题12.0分)
如图，已知抛物线y=ax2+bx+3的图象与x轴交于点A(1,0)，B(−3,0)，与y轴的正半轴交于点C．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)点D是线段OB上一动点，过点D作y轴的平行线，与BC交于点E，与抛物线交于点F．
①连接CF、BF，当△FBC的面积最大时，求此时点F的坐标；
②探究是否存在点D使得△CEF为直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：−37的绝对值为37．
故选：A．
根据绝对值的定义直接计算即可解答．
本题主要考查绝对值的性质．绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2.【答案】A
【解析】解：由题意知，该图形的俯视图为，
故选：A．
根据三视图的知识得出结论即可．
本题主要考查组合图形的三视图，熟练掌握组合图形的三视图是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：4514.61=4.51461×103．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
本题考查了科学记数法表示绝对值较大的数的方法，掌握科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数是关键．
4.【答案】D
【解析】解：A.3x3与2x2不是同类项，不能合并，因此选项A不符合题意；
B.x8÷x4=x4，因此选项B不符合题意；
C.(2x3)3=8x9，因此选项C不符合题意；
D.x3⋅2x=2x4，因此选项D符合题意．
故选：D．
分别根据合并同类项法、同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方、单项式乘单项式法则逐项进行判断即可．
本题考查合并同类项法、同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方、单项式乘单项式法则，掌握这些法则是正确判断的前提．
5.【答案】D
【解析】
【分析】
此题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加比赛．
【解答】
解：∵乙和丁的平均数较大，
∴从乙和丁中选择一人参加竞赛，
∵丁的方差较小，
∴选择丁参加比赛，
故选：D．
6.【答案】B
【解析】解：如图，

解：∵AB//CD，
∴∠1=∠3=55°，
∵∠4=90°，
∴∠2=180°−90°−55°=35°，
故选：B．
利用平行线的性质可得∠3的度数，再利用平角定义可得答案．
此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等．
7.【答案】A
【解析】解：解不等式组−x−1≤20.5x−1<0.5
由−x−1≤2，得：x≥−3，
由0.5x−1<0.5，得：x<3，
则不等式组的解集为−3≤x<3，
故选：A．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：根据题意得：Δ=(−3)2−4×1×(−k+1)≥0，
解得k≥−54．
故选：B．
先根据判别式的意义得到Δ=(−3)2−4×1×(−k+1)≥0，然后解关于k的一元一次不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
9.【答案】C
【解析】解：连接OC，如图，

∵C为AB的中点，
∴AC=BC=12AB，
∵AB⊥x轴，△OAB的面积为8，
∴S△AOB=12OA⋅AB=8，
∴OA⋅AB=16，
∴S△AOC=12OA⋅AC=14OA⋅AB=4，
∴12|k|=4，即|k|=8，
∵反比例函数图象在第一象限，
∴k=8．
故选：C．
连接OC，根据线段中点定义得AC=BC=12AB，再由S△AOB=12OA⋅AB=8可得S△AOC=12OA⋅AC=14OA⋅AB=4，根据反比例函数系数k的几何意义得12|k|=4，以此即可求解．
本题主要考查反比例函数系数k的几何意义，熟知在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12|k|，且保持不变是解题关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵△ABC为等边三角形，
∴AC=AB=3，∠A=∠B=∠C=60°．
由翻折的性质可知：∠EDF=60°．
∴∠FDB+∠EDA=120°．
∵∠EDA+∠AED=120°，
∴∠AED=∠FDB．
∴△AED∽△BDF．
∴AEAD=BDFB，即AE1=21.25．
解得：AE=85．
∴CE=3−AE=3−85=75．
故选：B．
先求得AC=AB=3，由翻折的性质可知：EC=ED，然后证明△AED∽△BDF，利用相似三角形的性质可求得AE=53，然后可求得CE的长．
本题主要考查的是等边三角形的性质、翻折的性质、相似三角形的性质和判定，利用相似三角形的性质求得AE的长是解题的关键．
11.【答案】D
【解析】解：由作图可知AE平分∠BAC，故①正确，
∵∠ABC=90°，∠C=30°，
∴∠BAC=90°−30°=60°，
由作图可得：AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，故②正确，
∵AE平分∠BAC，
∴AE是BD的垂直平分线，
∴EB=ED，
而AE=AE，
∴△ABE≌△ADE，
∴∠ADE=∠ABE=90°，
∴∠C=∠CAE，
∴EA=EC，
∴AD=CD，
∴DE垂直平分线段AC；故③正确，
∵∠ABC=90°，∠ABD=60°，
∴∠DBC=30°=∠C，
∴△BCD是等腰三角形，故④正确；
故选：D．
由作图可判断①，由AB=AD，∠BAC=90°−30°=60°，可判断②，证明ED⊥AC，AD=CD，可判断③，证明∠DBC=∠C=30°，可判断④，从而可得答案．
本题考查的是作已知角的角平分线，等腰三角形与等边三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定，掌握等边三角形的性质是解题的关键．
12.【答案】C
【解析】解：根据表格可得规律：
第n个表格中，
左上数字为n，
左下数字为n+1，
右上数字为2(n+1)，
右下数字为2(n+1)(n+1)+n，
∴20=2(n+1)，
解得n=9，
∴a=9，b=10，x=10×20+9=209．
故选：C．
根据表格找出方格中每个对应数字的表示规律然后求解．
本题考查数字的变化规律，解题关键是通过表格找出每个位置的数字表示方法．
13.【答案】x≥5
【解析】解：∵式子 x−5有意义，
∴x−5≥0，
∴x≥5．
故答案为：x≥5．
根据 a(a≥0)，二次根式有意义，则被开方数是非负数，即可．
本题考查了二次根式的知识，掌握二次根式有意义，则被开方数是非负数是关键．
14.【答案】a(x+y)(x−y)
【解析】解：ax2−ay2
=a(x2−y2)
=a(x+y)(x−y)．
故答案为：a(x+y)(x−y)．
先提公因式，再用平方差公式．
本题考查因式分解，熟练掌握提公因式和公式法是关键．
15.【答案】3
【解析】解：设这个圆锥的底面圆的半径是r cm，
根据题意得2π⋅r=120π×9180，
解得r=3，
即这个圆锥的底面圆的半径是3cm．
故答案为3．
这个圆锥的底面圆的半径是rcm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到2π⋅r=120π×9180，然后解关于r的方程即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
16.【答案】403
【解析】解：由图象可得，
甲的速度为80÷20=4(米/秒)，
乙的速度为：80÷8−4=10−4=6(米/秒)，
则t=806=403，
故答案为：403．
根据题意和函数图象中的数据，可以得到甲20秒跑完80米，从而可以求得甲的速度，再根据图象中的数据，可知甲、乙跑8秒钟跑的路程之和为80米，从而可以求得乙的速度，然后用80除以乙的速度，即可得到t的值．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是求出甲、乙的速度．
17.【答案】7
【解析】解：连接AD，
∵等腰三角形ABC的底边BC的长为6，周长为16，
∴AB=AC=12×(16−6)=5，
∵点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，BD=12BC=3，
∴AD= AB2−BD2= 52−32=4，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短=CM+MD+CD=AD+12BC=4+3=7．
故答案为：7．
根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论．
本题考查的是轴对称−最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
18.【答案】③④
【解析】解：①∵该函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴相交于正半轴，
∴a<0，b>0，c>0，
∴abc<0，
故①不正确，不符合题意；
②把x=−1代入y=ax2+bx+c得y=a−b+c，
由图可知，当x=−1时，y<0，
∴a−b+c<0，
∴a+c故②不正确，不符合题意；
③把x=2代入y=ax2+bx+c得y=4a+2b+c，
∵函数对称轴为直线x=1，
∴当x=0时的函数值与x=2时的函数值相等，
∵该函数与y轴相交于正半轴，
∴4a+2b+c>0，
故③正确，符合题意；
④当x=1时，y=a+b+c，
当x=m时，y=am2+bm+c，
∵该函数对称轴为直线x=1，
∴该函数在x=1时取得最大值，
∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，
故④正确，符合题意．
故答案为：③④．
分别判断a、b、c的符号，即可判断①；把x=−1代入即可判断②；把x=2代入即可判断③；根据二次函数的对称轴得出最值，即可判断④．
本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的相关知识点，能够根据图象判断系数和式子的符号．
19.【答案】解：(−1)−2−(π−3)0+| 3−2|+tan60°
=1−1+2− 3+ 3
=2．
【解析】分别根据零指数幂及负整数指数幂的运算法则，绝对值的性质及特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
本题考查了实数的运算，涉及到零指数幂及负整数指数幂的运算法则，绝对值的性质及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20.【答案】解：x2x2−1÷(1x+1+x−1)
=x2(x+1)(x−1)÷[1x+1+(x+1)(x−1)x+1]
=x2(x+1)(x−1)÷(1+x2−1x+1)
=x2(x+1)(x−1)⋅x+1x2
=1x−1，
根据分式有意义的条件得x≠±1且x≠0，
∴x只能为2，
当x=2时，原式=12−1=1．
【解析】先根据分式的混合运算法则对式子进行化简，再根据分式有意义的条件得出x的值，再将其代入即可求解．
本题主要考查分式的化简求值、分式有意义的条件，分式化简求值时需注意的问题：①化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式=…”.②代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
21.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AD=BC，
∵∠CBF=∠ADE，
∴△ADE≌△CBF(ASA)，
∴AE=CF．
【解析】根据平行四边形的性质得出∠A=∠C，AD=BC，证明△ADE≌△CBF即可．
本题主要考查了平行四边形的性质，以及全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
22.【答案】4
【解析】解：(1)∵一次函数y=kx+4的图象经过点(−3,0)．
∴−3k+4=0，
∴k=43；
(2)由函数y=kx+4可知直线与y轴的交点为(0,4)，

(3)作AP⊥BC于P，此时AP是最小值，
∵A(2,0)，B(0,4)，C(3,0)，
∴BC=5，AC=5，
∵12CA⋅OB=12AB⋅AP，
∴5×4=5AP，
∴AP=4．
∴AP的最小值是4，
故答案为：4．
(1)根据待定系数法求得即可；
(2)利用两点画出函数的图象；
(3)线段OP的最小值，就是原点到已知直线的距离，可以根据所构建的三角形面积一样来求OP；
本题考查一次函数的图象，一次函数图象上点的坐标特征，熟练运用两点之间的距离公式以及面积法是解决本题的关键．
23.【答案】40人 126°
【解析】解：(1)由扇形图可知，C组所占比例为：1−5%−15%−22.5%−17.5%−5%=35%，
对应的圆心角的度数为：35%×360°=126°，
被随机抽取的学生人数为：14÷35%=40(人)，
故答案为：40人，126°；
(2)C组14个数据中75出现的次数最多，按从小到大顺序排列后，第7位和第8位分别是72、73，
因此中位数为72+732=72.5，众数为75；
(3)街道志愿者服务工作一共设置了三个岗位，分别记为A、B、C，画树状图如图：

由图可知，共有9种等可能的情况，两人被分配到同一岗位的情况有3种，
∴小红、小丹恰好被分配到同一岗位进行志愿者服务的概率为39=13．
(1)根据扇形图已知部分的数据求出C组所占比例，乘以360度即为对应的圆心角的度数，C组人数除以所占比例即为抽取的学生人数；
(2)根据中位数、众数的定义求解；
(3)利用画树状图法或列表法求解．
本题考查扇形统计图，中位数、众数，列表法或画树状图法求概率等，难度较小，解题的关键是理解题意，掌握中位数、众数的定义，以及概率计算公式．
24.【答案】解：(1)设第一次购进时每箱的进价是x元，
根据题意，有：3000x−10=3000x×(1+20%)，
解得：x=50，
经检验，x=50是原方程的解，
答：第一次购进时每箱的进价是50元；
(2)在(1)中已得第一次购进时每箱的进价是50元，
则第二次购进时每箱的进价是：50×(1+20%)=60(元)，
则第一次购进的箱数为：3000÷50=60(箱)，
第二次购进的箱数为：3000÷60=50(箱)，
总的销售额为：70×(60+50)=7700(元)，
则总利润为：7700−3000×2=1700(元)．
【解析】(1)设第一次购进时每箱的进价是x元，根据题意列出分式方程，解方程即可求解；
(2)先求出第一、二次购买的黄桃罐头箱数，用总的销售额减去总成本即可得总的利润．
本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，列出分式方程是解答本题的关键．
25.【答案】解：过点A作AE⊥BC于点E，
由题意得，AE=CD=30m，∠BAE=45°，∠CAE=37°，
在Rt△ABE中，tan45°=BEAE=BE30=1，
解得BE=30，
在Rt△ACE中，tan37°=CEAE=CE30≈0.75，
解得CE≈22.5，
∴BC=BE+CE=52.5(m)．
∴这栋楼BC的高度约为52.5m．
【解析】过点A作AE⊥BC于点E，在Rt△ABE中，可得BE=30m，在Rt△ACE中，tan37°=CEAE=CE30≈0.75，解得CE≈22.5，由BC=BE+CE可得答案．
本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
26.【答案】(1)证明：如图，连接OD，

∵CD=CA，
∴∠CAD=∠CDA，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAD+∠OBD=90°，
∴∠CDA+∠ODB=90°，
∴∠CDO=90°，
∵OD是半径，
∴CD为⊙O的切线；
(2)解：过点C作CM⊥AB于点M，

在Rt△ABC中，由勾股定理得AB= 32+(6 2)2=9，
∵CA=CD，
∴AM=DM，
∵csA=AMAC=ACAB=13，AC=3，
∴AM=1，AD=2AM=2，
∴BD=AB−AD=9−2=7．
【解析】(1)连接OD，由等腰三角形的性质可证∠CAD=∠CDA，∠OBD=∠ODB，根据∠ACB=90°，可证∠CDA+∠ODB=90°，进而得∠CDO=90°，根据切线的判定可知CD是⊙O切线；
(2)利用勾股定理求出AB的长，根据csA=AMAC=ACAB=13求出AM=1，进而可求出BD的长．
本题考查了切线的判定，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形三线合一，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形解答．
27.【答案】解：(1)将点A(1,0)、B(−3,0)代入y=ax2+bx+3，
得：a+b+3=09a−3b+3=0，解得：a=−1b=−2，
∴二次函数解析式为y=−x2−2x+3．
(2)①令x=0，代入y=−x2−2x+3，得：y=3，
∴C(0,3)，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B(−3,0)，C(0,3)，代入y=kx+b得，
3=b−3k+b=0，解得：k=1b=3，
∴直线BC的解析式为：y=x+3．
设F(x,−x2−2x+3)，则E(x,x+3)，
∴FE=−x2−2x+3−(x+3)=−x2−3x，
∴△FBC的面积=12⋅EF⋅BO=32(−x2−3x)=−32(x+32)2+278，
∴x=−32时，△FBC的面积最大，此时F(−32,154)；
②(Ⅰ)当∠CFE=90°时，如图：

∵DF//y轴，
∴DF⊥x轴，
∴∠ODF=∠CFE=90°，
∴CF//OB，
∴点F的纵坐标为3，
∴3=−x2−2x+3，
解得x1=0(舍去)，x2=−2，
∴F(−2,3)，
(Ⅱ)当∠ECF=90°时，过点C作CH⊥EF于H，

∵DF//y轴，
∴DF⊥x轴，
∴∠BDE=90°，
∵C(0,3)，B(−3,0)，
∴OC=OB=3，
∴∠OBC=45°，
∴∠OEB=∠CEH=45°，
∵∠ECF=90°，
∴CE=CF，
∵CH⊥EF，
∴EF=2CH，
设D(m,0)，则E(m,m+3)，F(m,−m2−2m+3)，
∴EF=−m2−2m+3−(m+3)=−m2−3m，CH=−m，
∴−m2−3m=−m，
∴m1=0(舍去)，m2=−1，
∴点D坐标为(−1,0)，
∴F(−1,4)，
综上，点F的坐标为(−2,3)或(−1,4)．
【解析】(1)根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式；
(2)①先求出直线BC的解析式为：y=x+3，设F(x,−x2−2x+3)，则E(x,x+3)，用含x的代数式表示△FBC的面积，进而即可求解；
②利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，由点B，C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的函数表达式，根据题意，需要分两种情况：①当点F为直角顶点时；②当点C为直角顶点时，分别画出图形，根据直角三角形的性质可求得结论．
本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、解一元二次方程以及三角形的面积，解题的关键是：(1)根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；(2)注意需要分类讨论．
成绩
选手
甲
乙
丙
丁
平均数(环)
9.4
9.5
9.4
9.5
方差
6.3
6.8
6.7
6.6