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2022-2023学年吉林省长春市中考数学专项突破仿真模拟试题（3月4月）含解析
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这是一份2022-2023学年吉林省长春市中考数学专项突破仿真模拟试题（3月4月）含解析，共55页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年吉林省长春市中考数学专项突破仿真模拟试题
（3月）
一、选一选（每小题3分，共36分）
1. 若3（a+1）的值与1互为倒数，则a的值为（ ）
A. ﹣ B. ﹣ C. 0 D.
2. 下列运算正确的是（ ）
A. （a+b）2=a2+b2 B. （﹣1+x）（﹣x﹣1）=1﹣x2
C. a4•a2=a8 D. （﹣2x）3=﹣6x 3
3. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A. x≠1 B. x≥0 C. x≠0 D. x≥0且x≠1
4. 某市测一周PM2.5月均值（单位：微克/立方米）如下：50，40，73，50，37，50，40，这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A. 50和50 B. 50和40 C. 40和50 D. 40和40
5. 已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sin A=，AC=，那么BC的值为（ ）
A. 2 B. 4 C. D. 6
6. 从1，2，3，4这四个数中随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的2倍的概率是（ ）
A. B. C. D.
7. 关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ）
A. B.
C. 且 D. 且
8. 圆锥的底面直径是80cm，母线长90cm，则它的侧面展开图的圆心角是（ ）
A. 320° B. 40° C. 160° D. 80°
9. 化简，其结果
A. B. C. D.
10. 有下列命题：
①若x2＝x，则x＝1；
②若a2＝b2，则a＝b；
③线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；
④相等的弧所对的圆周角相等；
其中原命题与逆命题都是真命题的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
11. 已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0），OB=4，点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短时，点P的坐标为（ ）
A. （0，0） B. （1，） C. D.
12. 抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为(﹣1，3)，与x轴的交点A在点(﹣3，0)和(﹣2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论，其中正确结论的个数为( )
①若点P(﹣3，m)，Q(3，n)在抛物线上，则m＜n；
②c＝a+3；
③a+b+c＜0；
④方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填 空 题（每小题3分，共24分）
13. 某种计算机完成基本运算的时间约为0.000000001s，把0.000000001用科学记数法表示为_____．
14. 若x=3﹣，则代数式x2﹣6x+9的值为_____．
15. 计算：2cos45°﹣（π+1）0+=______．
16. 如图，□ABCD的周长为20cm，AC与BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△CDE的周长为_________ cm.
17. 如图，AB为⊙O的直径，延长AB至点D，使BD＝OB，DC切⊙O于点C，点B是的中点，弦CF交AB于点E，若⊙O的半径为2，则CF＝________．
18. 已知双曲线Rt△OAB斜边OA中点D，与直角边AB相交于点C，若S△OAC=3，则k=______．
19. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，E为CD上一点，分别以EA，EB为折痕将两个角（∠D，∠C）向内折叠，点C，D恰好落在AB边的点F处．若AD=2，BC=3，则EF的长为____．
20. 菱形ABCD中，AE⊥BC于E，交BD于F点，下列结论：（1）BF为∠ABE的角平分线；（2）DF=2BF；（3）2AB2=DF•DB；（4）sin∠BAE=．其中正确的结论为___（填序号）
三、解 答 题（共6小题，满分60分）
21. 今年10月，某公司随机抽取所属的a家连锁店进行评估，将各连锁店按照评估成绩分成了A、B、C、D四个等级，绘制了如图尚没有完整的统计图表．
根据以上信息解答下列问题：
（1）求a的值；
（2）在扇形统计图中，求B等级所在扇形的圆心角的大小；（结果用度、分、秒表示）
（3）从评估成绩没有少于80分的连锁店中任选2家介绍营销，求其中至少有一家是A等级的概率．
22. 某市在新农村改造工程中需要修建一段东西方向全长1000米的道路（记作AB）．已知C点周围350米范围内有一电力设施区域．在A处测得C在A的北偏东60°方向上，在B处测得C在B的北偏西45°方向上．（≈1.732，≈1.414）
（1）道路AB是否穿过电力设施区域？为什么？
（2）在施工250米后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，加快了施工进度，实际工作效率变成了原计划工作效率的1.5倍，结果提前5天完成了修路任务，则原计划每天修路多少米？
23. 我市某电器商场根据民众健康需要，代理某种家用空气净化器，其进价是200元/台．市场后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价没有能低于300元/台，代理商每月要完成没有低于450台的任务．
（1）试确定月量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；
（2）求出售价x的范围；
（3）商场每月这种空气净化器所获得的利润为w（元），写出w关于x的关系？当售价x（元/台）定为多少时利润，是多少？
24. 如图，OA，OD是⊙O半径．过A作⊙O的切线，交∠AOD的平分线于点C，连接CD，延长AO交⊙O于点E，交CD的延长线于点B．
(1)求证：直线CD是⊙O的切线；
(2)如果D点是BC中点，⊙O的半径为 3cm，求的长度．(结果保留π)
25. 如图1，△ABC等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．
（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若没有成立，请说明理由．
（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．
①求证：BD⊥CF；
②当AB=4，AD=时，求线段BG的长．
26. 已知抛物线y＝ax2＋bx－3(－1，0)，(3，0)两点，与y轴交于点C，直线y＝kx与抛物线交于A，B两点．
（1）写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式；
（2）当原点O为线段AB的中点时，求k的值及A，B两点的坐标；
（3）是否存在实数k使得△ABC的面积为？若存在，求出k的值；若没有存在，请说明理由．
2022-2023学年吉林省长春市中考数学专项突破仿真模拟试题
（3月）
一、选一选（每小题3分，共36分）
1. 若3（a+1）的值与1互为倒数，则a的值为（ ）
A. ﹣ B. ﹣ C. 0 D.
【正确答案】A
【详解】解：由题意得：3（a+1）=1，解得：a=﹣．故选A．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. （a+b）2=a2+b2 B. （﹣1+x）（﹣x﹣1）=1﹣x2
C. a4•a2=a8 D. （﹣2x）3=﹣6x 3
【正确答案】B
【详解】解：A．（a+b）2=a2+2ab+b2，故本选项错误；
B．（﹣1+x）（﹣x﹣1）=1﹣x2，故本选项正确；
C．a4•a2=a4+2=a6，故本选项错误；
D．（﹣2x）3=（﹣2）3x3=﹣8x3，故本选项错误．
故选B．
3. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A. x≠1 B. x≥0 C. x≠0 D. x≥0且x≠1
【正确答案】D
【分析】先根据分式及二次根式有意义的条件：二次根式被开方数必须是非负数和分式分母没有为0的条件，要使在实数范围内有意义必须 ，据此列出关于x的没有等式组，求出x的取值范围即可．
【详解】解：∵代数式有意义，
∴，
解得x≥0且x≠1．
故选D．
本题考查的是二次根式及分式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
4. 某市测一周PM2.5的月均值（单位：微克/立方米）如下：50，40，73，50，37，50，40，这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A. 50和50 B. 50和40 C. 40和50 D. 40和40
【正确答案】A
【详解】试题分析：从小到大排列此数据为：37、40、40、50、50、50、75，数据50出现了三次至多，所以50为众数；50处在第4位是中位数．故选A．
考点：中位数；众数．
5. 已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sin A=，AC=，那么BC的值为（ ）
A. 2 B. 4 C. D. 6
【正确答案】A
【详解】解：∵sinA=，∴∠A=30°，∴tan30°==，∴BC=2．故选A．
6. 从1，2，3，4这四个数中随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的2倍的概率是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，其中一个数是另一个数两倍的有4种情况，∴其中一个数是另一个数2倍的概率是：=．故选A．
7. 关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ）
A. B.
C. 且 D. 且
【正确答案】D
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴且△≥0，即，
解得，
∴m的取值范围是且．
故选：D．
8. 圆锥的底面直径是80cm，母线长90cm，则它的侧面展开图的圆心角是（ ）
A. 320° B. 40° C. 160° D. 80°
【正确答案】C
【详解】解：∵圆锥的底面直径是80cm，∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：πd=80π，∵母线长90cm，∴圆锥的侧面展开扇形的面积为：lr= ×80π×90=3600π，∴=3600π，解得：n=160．故选C．
点睛：本题考查了圆锥的有关计算，解答此类题目的关键是明确圆锥的侧面展开扇形与圆锥的关系．
9. 化简，其结果
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】试题分析：利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，各分子分母因式分解后，约分即可得到结果：
．故选A．
10. 有下列命题：
①若x2＝x，则x＝1；
②若a2＝b2，则a＝b；
③线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；
④相等的弧所对的圆周角相等；
其中原命题与逆命题都是真命题的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】B
【详解】解：若x2=x，则x=1或x=0，所以①错误；
若a2=b2，则a=±b，所以②错误；
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以③正确；
相等弧所对的圆周角相等，所以④正确．四个命题的逆命题都是真命题．
故选B．
点睛：本题考查了命题与定理：命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论；命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
11. 已知菱形OABC在平面直角坐标系位置如图所示，顶点A（5，0），OB=4，点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短时，点P的坐标为（ ）
A. （0，0） B. （1，） C. D.
【正确答案】D
【详解】解：如图连接AC，AD，分别交OB于G、P，作BK⊥OA于K．
∵四边形OABC是菱形，∴AC⊥OB，GC=AG，OG=BG=，A、C关于直线OB对称，∴PC+PD=PA+PD=DA，∴此时PC+PD最短．在RT△AOG中，AG===，∴AC=．∵OA•BK=•AC•OB，∴BK=4，AK==3，∴点B坐标（8，4），∴直线OB解析式为，直线AD解析式为，由，解得：，∴点P坐标．故选D．
12. 抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为(﹣1，3)，与x轴的交点A在点(﹣3，0)和(﹣2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论，其中正确结论的个数为( )
①若点P(﹣3，m)，Q(3，n)在抛物线上，则m＜n；
②c＝a+3；
③a+b+c＜0；
④方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】C
【分析】通过比较点和到直线的距离大小可对①进行判断；利用对称轴方程得到，再利用时，可对②进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点在点和之间，则利用当时，可对③进行判断；根据抛物线的顶点为可对④进行判断．
【详解】解：抛物线的顶点为，
抛物线的对称轴为直线，
而点比到直线的距离小，
；所以①错误；
，
，
时，，
，
，即，所以②正确；
抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点在点和之间，
抛物线与轴的另一个交点在点和之间，
当时，，
即，所以③正确；
抛物线的顶点为，
方程有两个相等的实数根，所以④正确．
故选：C．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置． 当与同号时（即，对称轴在轴左； 当与异号时（即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于．抛物线与轴交点个数由△决定：△时，抛物线与轴有2个交点；△时，抛物线与轴有1个交点；△时，抛物线与轴没有交点．
二、填 空 题（每小题3分，共24分）
13. 某种计算机完成基本运算的时间约为0.000000001s，把0.000000001用科学记数法表示为_____．
【正确答案】1×10﹣9．
【详解】解：0.000000001=1×10﹣9．故答案为1×10﹣9．
14. 若x=3﹣，则代数式x2﹣6x+9的值为_____．
【正确答案】2.
【详解】根据完全平方公式可得x2﹣6x+9=（x﹣3）2，当x=3﹣时，原式=（3﹣﹣3）2=2.
15. 计算：2cos45°﹣（π+1）0+=______．
【正确答案】．
【详解】解：原式== ．故答案为．
16. 如图，□ABCD的周长为20cm，AC与BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△CDE的周长为_________ cm.
【正确答案】10
【分析】先由平行四边形的性质和周长求出AD+DC=10，再根据线段垂直平分线的性质得出AE=CE，即可得出△CDE的周长=AD+DC．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AD=BC，OA=OC，
∵ABCD的周长为20cm，
∴AD+DC=10cm，
又∵OE⊥AC，
∴AE=CE，
∴△CDE的周长=DE+CE+DC=DE+AE+DC=AD+DC=10cm；
故答案是：10．
本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质以及三角形周长的计算；熟练掌握平行四边形的性质，运用线段垂直平分线的性质得出AE=CE是解决问题的关键．
17. 如图，AB为⊙O的直径，延长AB至点D，使BD＝OB，DC切⊙O于点C，点B是的中点，弦CF交AB于点E，若⊙O的半径为2，则CF＝________．
【正确答案】
【详解】试题解析：连接OC，
∵DC切⊙O于点C，
∴∠OCD=90°，
∵BD=OB，
∴OB=OD，
∵OC=OB，
∴OC=OB，
∴∠D=30°，
∴∠COD=60°，
∵AB为⊙O的直径，点B是的中点，
∴CF⊥OB，CE=EF，
∴CE=OC•sin60°=2×=，
∴CF=2．
考点：1．切线的性质；2．含30度角的直角三角形；3．垂径定理．
18. 已知双曲线Rt△OAB斜边OA的中点D，与直角边AB相交于点C，若S△OAC=3，则k=______．
【正确答案】﹣2．
【详解】解：设D（m，）．∵双曲线Rt△OAB斜边OA的中点D，∴A（2m，）．∵S△OAC=3，∴•（﹣2m）• +k=3，∴k=﹣2．故答案为﹣2．
点睛：本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
19. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，E为CD上一点，分别以EA，EB为折痕将两个角（∠D，∠C）向内折叠，点C，D恰好落在AB边的点F处．若AD=2，BC=3，则EF的长为____．
【正确答案】．
【详解】试题分析：先根据折叠的性质得DE=EF，CE=EF，AF=AD=2，BF=CB=3，则DC=2EF，AB=5，再作AH⊥BC于H，由于AD∥BC，∠B=90°，则可判断四边形ADCH为矩形，所以AH=DC=2EF，HB=BC﹣CH=BC﹣AD=1，然后在Rt△ABH中，利用勾股定理计算出AH=2，所以EF=．
考点：翻折变换（折叠问题）．.
20. 菱形ABCD中，AE⊥BC于E，交BD于F点，下列结论：（1）BF为∠ABE的角平分线；（2）DF=2BF；（3）2AB2=DF•DB；（4）sin∠BAE=．其中正确的结论为___（填序号）
【正确答案】（1）（3）（4）
【详解】试题分析：（1）正确．根据菱形性质即可判定．
（2）错误．假设成立推出矛盾即可．
（3）正确．由△ADO∽△FDA，得，AD2=DO•DF，两边乘2即可得到证明
（4）正确．由AD∥BC，得==，又sin∠BAE=，由此即可证明．
故答案为（1）（3）（4）．
【考点】相似三角形的判定与性质；菱形的性质．
三、解 答 题（共6小题，满分60分）
21. 今年10月，某公司随机抽取所属的a家连锁店进行评估，将各连锁店按照评估成绩分成了A、B、C、D四个等级，绘制了如图尚没有完整的统计图表．
根据以上信息解答下列问题：
（1）求a的值；
（2）在扇形统计图中，求B等级所在扇形的圆心角的大小；（结果用度、分、秒表示）
（3）从评估成绩没有少于80分的连锁店中任选2家介绍营销，求其中至少有一家是A等级的概率．
【正确答案】（1）2；（2）28°48′；（3）．
【详解】试题分析：（1）利用扇形统计图得到C等级所占的百分比，再用C等级的频数除以它所占的百分比得到样本容量，然后用样本容量分别减去A、C、D等级的频数即可得到a的值；
（2）用B等级所占的百分比乘以360°可得到B等级所在扇形的圆心角的大小；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出至少有一家是A等级的结果数，然后根据概率公式求解．
试题解析：解：（1）15÷60%=25，所以a=25﹣2﹣15﹣6=2；
（2）B等级所在扇形的圆心角=×360°=28°48′；
（3）评估成绩没有少于80分的连锁店中A等级有2家，B等级有2家，画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中至少有一家是A等级的结果数为10，所以其中至少有一家是A等级的概率= =．
22. 某市在新农村改造工程中需要修建一段东西方向全长1000米的道路（记作AB）．已知C点周围350米范围内有一电力设施区域．在A处测得C在A的北偏东60°方向上，在B处测得C在B的北偏西45°方向上．（≈1.732，≈1.414）
（1）道路AB是否穿过电力设施区域？为什么？
（2）在施工250米后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，加快了施工进度，实际工作效率变成了原计划工作效率的1.5倍，结果提前5天完成了修路任务，则原计划每天修路多少米？
【正确答案】（1）没有穿过；（2）50．
【详解】试题分析：（1）首先过点C作CD⊥AB于点D，设CD=x米，然后利用三角函数，即可表示出AD与BD的长，继而可得方程x+x=1000，求得CD的长，与350米比较，即可得道路AB没有穿过电力设施区域；
（2）首先设原计划每天修路y米，根据题意即可得分式方程，解分式方程即可求得答案．
试题解析：解：（1）道路AB没有穿过电力设施区域．
如图，过点C作CD⊥AB于点D，设CD=x米．由题意得：∠CAD=90°﹣60°=30°，∠CBD=90°﹣45°=45°．在Rt△ACD中，AD== （米）．在Rt△BCD中，BD=CD=x（米）．∵AB=1000米，∴x+x=1000，解得：x=500﹣500≈366．∵366米＞350米，∴道路AB没有穿过电力设施区域；
（2）设原计划每天修路y米，依题意得：
解得：y=50，经检验，y=50是原分式方程的解．
答：原计划每天修路50米．
点睛：本题考查了方向角问题与分式方程的应用．注意构造直角三角形并利用解直角三角形的知识是解答本题的关键．
23. 我市某电器商场根据民众健康需要，代理某种家用空气净化器，其进价是200元/台．市场后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价没有能低于300元/台，代理商每月要完成没有低于450台的任务．
（1）试确定月量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；
（2）求出售价x的范围；
（3）商场每月这种空气净化器所获得的利润为w（元），写出w关于x的关系？当售价x（元/台）定为多少时利润，是多少？
【正确答案】（1）y=﹣5x+2200；（2）300≤x≤350；（3）W=﹣5（x﹣320）2+72000，当售价定为320元/台时，商场每月这种空气净化器所获得的利润w，利润是72000元．
【详解】试题分析：（1）根据题中条件价每降低10元，月量就可多售出50台，即可列出函数关系式；
（2）根据供货商规定这种空气净化器售价没有能低于300元/台，代理商每月要完成没有低于450台的即可求出x的取值．
（3）用x表示y，然后再用x来表示出w，根据函数关系式，即可求出w；
试题解析：解：（1）根据题中条件价每降低10元，月量就可多售出50台，则月量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式：y=200+50×，化简得：y=﹣5x+2200；
∴y与x之间函数关系式为：y=﹣5x+2200；
（2）供货商规定这种空气净化器售价没有能低于300元/台，代理商每月要完成没有低于450台，根据题意得：
，解得：300≤x≤350，∴售价x的范围为：300≤x≤350；
（2）W=（x﹣200）（﹣5x+2200），整理得：W=﹣5（x﹣320）2+72000．
∵x=320在300≤x≤350内，∴当x=320时，值为72000，即售价定为320元/台时，商场每月这种空气净化器所获得的利润w，利润是72000元．
点睛：本题主要考查了二次函数的应用，还应用到将函数变形求函数最值的知识．
24. 如图，OA，OD是⊙O半径．过A作⊙O的切线，交∠AOD的平分线于点C，连接CD，延长AO交⊙O于点E，交CD的延长线于点B．
(1)求证：直线CD是⊙O的切线；
(2)如果D点是BC的中点，⊙O的半径为 3cm，求的长度．(结果保留π)
【正确答案】（1）证明见解析；（2）的长度为π.
【详解】（1）证明：∵AC是⊙O切线，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC=90°，
∵CO平分∠AOD，
∴∠AOC=∠COD，
在△AOC和△DOC中，
∴△AOC≌△DOC，
∴∠ODC=∠OAC=90°，
∴OD⊥CD，
∴直线CD是⊙O的切线．
（2）∵OD⊥BC，DC=DB，
∴OC=OB，
∴∠OCD=∠B=∠ACO，
∵∠B+∠ACB=90°，
∴∠B=30°，∠DOE=60°，
∴的长度=π．
25. 如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．
（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若没有成立，请说明理由．
（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．
①求证：BD⊥CF；
②当AB=4，AD=时，求线段BG的长．
【正确答案】解：（1）BD=CF成立．理由见解析； （2）①证明见解析； ②
【分析】（1）△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，易证得△BAD≌△CAF，根据全等三角形的对应边相等，即可证得BD=CF；
（2）①由△BAD≌△CAF，可得∠ABM=∠GCM，又由对顶角相等，易证得△BMA∽△CMG，根据相似三角形的对应角相等，可得BGC=∠BAC=90°，即可证得BD⊥CF；
②首先过点F作FN⊥AC于点N，利用勾股定理即可求得AE，BC的长，继而求得AN，CN的长，又由等角的三角函数值相等，可求得，然后利用△BMA∽△CMG，求得CG的长，再由勾股定理即可求得线段BG的长．
【详解】解（1）BD=CF成立．
理由：∵△ABC等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，
∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，
∵∠BAD=∠BAC-∠DAC，∠CAF=∠DAF-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
∴△BAD≌△CAF（SAS）．
∴BD=CF．
（2）①证明：设BG交AC于点M．
∵△BAD≌△CAF（已证），
∴∠ABM=∠GCM．
∵∠BMA=∠CMG，
∴△BMA∽△CMG．
∴∠BGC=∠BAC=90°．
∴BD⊥CF．
②过点F作FN⊥AC于点N．
∵在正方形ADEF中，AD=DE=，
∵在等腰直角△ABC 中，AB=4，
∴CN=AC-AN=3，
∴在Rt△ABM中，
∴在Rt△ABM中，
∵△BMA∽△CMG，
∴在Rt△BGC中，
此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、矩形的性质、勾股定理以及三角函数等知识．此题综合性很强，难度较大，注意数形思想的应用，注意辅助线的作法．
26. 已知抛物线y＝ax2＋bx－3(－1，0)，(3，0)两点，与y轴交于点C，直线y＝kx与抛物线交于A，B两点．
（1）写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式；
（2）当原点O为线段AB的中点时，求k的值及A，B两点的坐标；
（3）是否存在实数k使得△ABC的面积为？若存在，求出k的值；若没有存在，请说明理由．
【正确答案】（1）y=x2﹣2x﹣3
（2）当原点O为线段AB的中点时，k的值为﹣2，点A的坐标为（﹣，2），点B的坐标为（，﹣2）
（3）没有存在，理由详见解析
【分析】（1）令x=0求出y值即可得出C点的坐标，又有点（﹣1，0）、（3，0），利用待定系数法求抛物线的解析式即可；
（2）将正比例函数解析式代入抛物线解析式中，找出关于x的一元二次方程，根据根与系数的关系即可得出“xA+xB=2+k，xA•xB=﹣3”，点O为线段AB的中点即可得出xA+xB=2+k=0，由此得出k的值，将k的值代入一元二次方程中求出xA、xB，在代入函数解析式中即可得出点A、B的坐标；
（3）假设存在，利用三角形的面积公式以及（2）中得到的“xA+xB=2+k，xA•xB=﹣3”，即可得出关于k的一元二次方程，方程无解即可得出假设没有成立，从而得出没有存在满足题意的k值．
【小问1详解】
解：令抛物线y=ax2+bx﹣3中x=0，
则y=﹣3，
∴点C的坐标为（0，﹣3），
∵抛物线y=ax2+bx﹣3（﹣1，0），（3，0）两点，
∴有，
解得：，
∴此抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3；
【小问2详解】
解：将y=kx代入y=x2﹣2x﹣3中，
得：kx=x2﹣2x﹣3，
整理得：x2﹣（2+k）x﹣3=0，
∴xA+xB=2+k，xA•xB=﹣3．
∵原点O为线段AB的中点，
∴xA+xB=2+k=0，
解得：k=﹣2，
当k=﹣2时，
x2﹣（2+k）x﹣3=x2﹣3=0，
解得：xA=﹣，xB=．
∴yA=﹣2xA=2，yB=﹣2xB=2．
故当原点O为线段AB的中点时，k的值为﹣2，
点A的坐标为（﹣，2），点B的坐标为（，﹣2）；
【小问3详解】
解：假设存在实数k使得△ABC的面积为，
由（2）可知：xA+xB=2+k，xA•xB=﹣3，
S△ABC=OC•|xA﹣xB|，
∴（2+k）2﹣4×（﹣3）=10，
即（2+k）2+2=0，
∵（2+k）2非负，无解，
故假设没有成立，
所以没有存在实数k使得△ABC的面积为．
本题考察了二次函数的应用，属于综合的题目，解题的关键是会求二次函数与坐标轴的交点，求直线与二次函数的交点．
2022-2023学年吉林省长春市中考数学专项突破仿真模拟试题
（4月）
一、选一选（每小题4分，共10题、共40分）
1. 下列运算正确的是（ ）
A a+a=a2 B. a2•a=2a3 C. a3÷a2=a D. （a2）3=a5
2. 某种细胞的直径是0.000067厘米,将0.000067用科学记数法表示为( )
A. 6.7×10−5 B. 0.67×10−6 C. 0.67×10−5 D. 6.7×10−6
3. 下列根式中是最简根式的是（ ）
A. B. C. D.
4. 某运动器材的形状如图所示，以箭头所指的方向为左视方向，则它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
5. 下列命题中正确的是（ ）
A. 平分弦直径垂直于弦；
B. 与直径垂直的直线是圆的切线；
C. 对角线互相垂直四边形是菱形；
D. 连接等腰梯形四边中点的四边形是菱形．
6. 如图，在宽度为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．如果设小路宽为xm，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A. （20+x）（32﹣x）＝540 B. （20﹣x）（32﹣x）＝100
C. （20﹣x）（32﹣x）＝540 D. （20+x）（32﹣x）＝540
7. 如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，下列说法没有正确的是（ ）．
A. △CDH的周长等于AD+CD B. FC平分∠BFD C. AC2+BF2=4CD2 D. DE2=EF.CE
8. 学校准备从甲、乙、丙、丁四个科技创新小组中选出一组代表学校参加青少年科技创新大赛，各组的平时成绩的平均数（单位：分）及方差如表所示：
甲
乙
丙
丁
7
8
8
7
1
1.2
1
1.8
如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
9. 如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标没有可能是
A. （6，0） B. （6，3） C. （6，5） D. （4，2）
10. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程数，“燃油效率”越高表示汽车每消耗1升汽油行驶的里程数越多；“燃油效率”越低表示汽车每消耗1升汽油行驶的里程数越少，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在没有同速度下的燃油效率情况，下列说法中，正确的是( )
A. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油至多
B. 以低于80 km/h的速度行驶时，行驶相同路程，三辆车中，乙车消耗汽油至少
C. 以高于80 km/h的速度行驶时，行驶相同路程，丙车比乙车省油
D. 以80 km/h的速度行驶时，行驶100公里，甲车消耗的汽油量约为10升
二、填 空 题（本大题共4小题每小题5分，共20分）
11. 掷一枚质地均匀的正方形骰子，骰子的六面分别标有1到6的点数，那么掷两次的点数之和等于5的概率是___________
12. 函数的定义域为：_________
13. 我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如表是两种运算对应关系的一组实例：
根据上表规律，某同学写出了三个式子：①，②，
③.其中正确的是_________.
14. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=9,co=，把△ABC绕着点C旋转，使点B与AB边上的点D重合，点A落在点E，则点A、E之间的距离为______.
三、计算题（本大题共3小题，每小题8分，满分24分）
15. 分解因式：（x﹣8）（x+2）+6x=_______________________．
16. 观察下列等式：
①sin30°=，cos60°=；
②sin45°=，cos45°=；
③sin60°=，cos30°=．
（1）根据上述规律，计算sin2α+sin2（90°-α）= ．
（2）计算：sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°．
17. 如图，点C在⊙O上，连接CO并延长交弦AB于点D，，连接AC、OB，若CD=40，AC=．
（1）求弦AB的长；
（2）求sin∠ABO的值．
四、解 答 题（本大题共6小题，共66分）
18. 为响应推进中小学生素质教育的号召，某校决定在下午15点至16点开设以下选修课：音乐史、管乐、篮球、健美操、油画．为了解同学们的选课情况，某班数学兴趣小组从全校三个年级中各一个班级，根据相关数据，绘制如下统计图．
（1）请根据以上信息，直接补全条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）；
（2）若初一年级有180人，请估算初一年级中有多少学生选修音乐史？
（3）若该校共有学生540人，请估算全校有多少学生选修篮球课？
19. 某校计划在暑假两个月内对现有的教学楼进行加固改造,经发现,甲、乙两个工程队都有能力承包这个项目,已知甲队单独完成工程所需要的时间是乙队的2倍,甲、乙两队合作12天可以完成工程的;甲队每天的工作费用为4500元,乙队每天的工作费用为10000元,根据以上信息,从按期完工和节约资金的角度考虑,学校应选择哪个工程队?应付工程队费用多少元?
20. 图①②③是三张形状、大小完全相同方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．
（1）图①中△MON面积=________；
（2）在图②③中以格点为顶点画出一个正方形ABCD，使正方形ABCD的面积等于（1）中△MON面积的4倍，并将正方形ABCD分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角形和一个正方形，且正方形ABCD的面积没有剩余（在图②、图③中画出的图形没有能是全等形）
21. 某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯AC，截面如图所示，一楼和二楼地面平行（即AB所在的直线与CD平行），层高AD为8米，∠ACD=20°，为使得顾客乘坐自动扶梯时没有至于碰头，A、B之间必须达到一定的距离．
（1）要使身高2.26米的姚明乘坐自动扶梯时没有碰头，那么A、B之间的距离至少要多少米？（到0.1米）
（2）如果自动扶梯改为由AE、EF、FC三段组成（如图中虚线所示），中间段EF为平台（即EF∥DC），AE段和FC段的坡度i=1：2，求平台EF的长度．（到0.1米）
（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
22. 直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点A关于直线x=-1的对称点为点C.
（1）求点C的坐标；
（2）若抛物线（m≠0）A、B、C三点，求抛物线的表达式；
（3）若抛物线（a≠0）A，B两点，且顶点在第二象限.抛物线与线段AC有两个公共点，求a的取值范围.
23. 在△ABC中,∠ACB=90°,点B的直线l(没有与直线AB重合)与直线BC的夹角等于∠ABC,分别过点C、点A作直线l的垂线,垂足分别为点D、点E.
(1)如图1,当点E与点B重合时,若AE=4,判断以C点为圆心CD长为半径的圆C与直线AB的位置关系并说明理由;
(2)如图2,当点E在DB延长线上时,求证:AE=2CD;
(3)记直线CE与直线AB相交于点F,若,,CD=4,求BD的长.
2022-2023学年吉林省长春市中考数学专项突破仿真模拟试题
（4月）
一、选一选（每小题4分，共10题、共40分）
1. 下列运算正确的是（ ）
A. a+a=a2 B. a2•a=2a3 C. a3÷a2=a D. （a2）3=a5
【正确答案】C
【详解】分析：
按“整式的加法法则”和“幂的相关运算法则”进行计算判断即可.
详解：
A选项中，因为，所以本选项中计算错误；
B选项中，因为，所以本选项中计算错误；
C选项中，因为，所以本选项中计算正确；
D选项中，因为，所以本选项中计算错误.
故选C.
点睛：熟记“整式的加法法则和幂的相关运算法则”是正确解答本题的关键.
2. 某种细胞的直径是0.000067厘米,将0.000067用科学记数法表示为( )
A. 6.7×10−5 B. 0.67×10−6 C. 0.67×10−5 D. 6.7×10−6
【正确答案】A
【分析】按照“科学记数法的定义”进行解答即可.
【详解】.
在把一个值小于1的数用科学记数法表示为的形式时，我们要注意两点：①必须满足：；②等于原来的数中从左至右第1个非0数字前面0的个数（包括小数点前面的0）的相反数.
3. 下列根式中是最简根式的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】试题解析：A选项中，被开方数中含b2，所以它没有是最简二次根式，故本选项错误；
B选项中，的被开方数没有能因式分解，没有含开方开的尽的因式，是最简二次根式，故本选项正确；
C选项中，被开方数含分母，所以它没有是最简二次根式，故本选项错误；
D选项中，被开方数含能开得尽方的因数，所以它没有是最简二次根式，故本选项错误.
故选B.
4. 某运动器材的形状如图所示，以箭头所指的方向为左视方向，则它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】试题分析：从上面看是一个圆环，故选D．
考点：简单组合体的三视图．
5. 下列命题中正确的是（ ）
A. 平分弦的直径垂直于弦；
B. 与直径垂直的直线是圆的切线；
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形；
D. 连接等腰梯形四边中点的四边形是菱形．
【正确答案】D
【详解】试题分析：根据平面图形的基本概念依次分析各选项即可作出判断.
A．在同圆中，平分弦的直径垂直于弦，B．与直径垂直的直线没有一定是圆的切线，C．对角线互相垂直的四边形没有一定是菱形，故错误；
D．连接等腰梯形四边中点的四边形是菱形，本选项正确.
考点：平面图形的基本概念
点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握平面图形的基本概念，即可完成．
6. 如图，在宽度为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．如果设小路宽为xm，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A. （20+x）（32﹣x）＝540 B. （20﹣x）（32﹣x）＝100
C. （20﹣x）（32﹣x）＝540 D. （20+x）（32﹣x）＝540
【正确答案】C
【分析】设小路宽为x米，利用平移把没有规则的图形变为规则图形，如此一来，所有草坪面积之和就变为了（32﹣x）（20﹣x）米2，进而即可列出方程，求出答案．
【详解】解：利用平移，原图可转化为右图，设小路宽为x米，
根据题意得：（20﹣x）（32﹣x）＝540．
故选：C．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，这类题目体现了数形的思想，需利用平移把没有规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程，求出答案．另外还要注意解的合理性，从而确定取舍．
7. 如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，下列说法没有正确的是（ ）．
A. △CDH的周长等于AD+CD B. FC平分∠BFD C. AC2+BF2=4CD2 D. DE2=EF.CE
【正确答案】B
【详解】试题分析：首先由正五边形的性质可得AB=BC=CD=DE=AE，BA∥CE，AD∥BC，AC∥DE，AC=AD=CE，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证得四边形ABCF为菱形，得CF=AF，即△CDF的周长等于AD+CD，由菱形的性质和勾股定理得出AC2+BF2=4CD2，可证明△CDE∽△DFE，即可得出DE2=EF•CE．
解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB=BC=CD=DE=AE，BA∥CE，AD∥BC，AC∥DE，AC=AD=CE，
∴四边形ABCF是菱形，
∴CF=AF，
∴△CDF的周长等于CF+DF+CD，
即△CDF的周长等于AD+CD，
故A选项正确；
∵四边形ABCF是菱形，
∴AC⊥BF，
设AC与BF交于点O，
由勾股定理得OB2+OC2=BC2，
∴AC2+BF2=（2OC）2+（2OB）2=4OC2+4OB2=4BC2，
∴AC2+BF2=4CD2．
故C选项正确；
由正五边形的性质得，△ADE≌△CDE，
∴∠DCE=∠EDF，
∴△CDE∽△DFE，
∴=，
∴DE2=EF•CE，
故D选项正确；
故选B．
点评：本题考查了正五边形的性质，全等三角形的判定，综合考察的知识点较多，解答本题注意已经证明的结论，可以直接拿来使用．
8. 学校准备从甲、乙、丙、丁四个科技创新小组中选出一组代表学校参加青少年科技创新大赛，各组的平时成绩的平均数（单位：分）及方差如表所示：
甲
乙
丙
丁
7
8
8
7
1
1.2
1
1.8
如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【正确答案】C
【分析】先比较平均数得到乙组和丙组成绩较好，然后比较方差得到丙组的状态稳定，于是可决定选丙组去参赛．
【详解】因为乙组、丙组的平均数比甲组、丁组大，
而丙组的方差比乙组的小，
所以丙组的成绩比较稳定，
所以丙组的成绩较好且状态稳定，应选的组是丙组．
故选：C．
本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数的意义．
9. 如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标没有可能是
A. （6，0） B. （6，3） C. （6，5） D. （4，2）
【正确答案】B
【详解】试题分析：△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=2．
A、当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC，故本选项没有符合题意；
B、当点E的坐标为（6，3）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=2，则AB：BC≠CD：DE，△CDE与△ABC没有相似，故本选项符合题意；
C、当点E坐标为（6，5）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=4，则AB：BC=DE：CD，△EDC∽△ABC，故本选项没有符合题意；
D、当点E的坐标为（4，2）时，∠ECD=90°，CD=2，CE=1，则AB：BC=CD：CE，△DCE∽△ABC，故本选项没有符合题意．
故选B．
10. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程数，“燃油效率”越高表示汽车每消耗1升汽油行驶的里程数越多；“燃油效率”越低表示汽车每消耗1升汽油行驶的里程数越少，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在没有同速度下的燃油效率情况，下列说法中，正确的是( )
A. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油至多
B. 以低于80 km/h的速度行驶时，行驶相同路程，三辆车中，乙车消耗汽油至少
C. 以高于80 km/h的速度行驶时，行驶相同路程，丙车比乙车省油
D. 以80 km/h的速度行驶时，行驶100公里，甲车消耗的汽油量约为10升
【正确答案】D
【详解】解：A. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车燃油效率，甲车消耗汽油至少，此选项错误；
B. 以低于80km/h的速度行驶时，行驶相同路程，三辆车中，甲车燃油效率，甲车消耗汽油至少，此选项错误；
C. 以高于80km/h速度行驶时，行驶相同路程，乙车燃油效率大于丙车燃油效率，乙车比丙车省油，此选项错误；
D. 由图象可知当速度为80km/h时，甲车的燃油效率为10km/L，即甲车行驶10km时，耗油1L，行驶100km时耗油10L，此选项正确；
故选D．
本题主要考查折线统计图，理解燃油效率的定义并从折线统计图中得出解题所需要的数据时解题的关键．
二、填 空 题（本大题共4小题每小题5分，共20分）
11. 掷一枚质地均匀的正方形骰子，骰子的六面分别标有1到6的点数，那么掷两次的点数之和等于5的概率是___________
【正确答案】
【详解】分析：
通过列表，得到所有等可能结果，由此即可求得所求概率.
详解：
根据题意，将两次抛掷骰子产生的情况列表如下：
1
2
3
4
5
6
1
1+1=2
1+2=3
1+3=4
1+4=5
1+5=6
1+6=7
2
2+1=3
2+2=4
2+3=5
2+4=6
2+5=7
2+6=8
3
3+1=4
3+2=5
3+3=6
3+4=7
3+5=8
3+6=9
4
4+1=5
4+2=6
4+3=7
4+4=8
4+5=9
4+6=10
5
5+1=6
5+2=7
5+3=8
5+4=9
5+5=10
5+6=11
6
6+1=7
6+2=8
6+3=9
6+4=10
6+5=11
6+6=12
由表中数据可知，共有36个等可能结果出现，其中和为5的有4次，
∴P（掷两次点数之和为5）=.
故答案为.
点睛：读懂题意，通过列表的方式找到所有的等可能结果是正确解答本题的关键.
12. 函数的定义域为：_________
【正确答案】
【详解】分析：
根据“使分式和二次根式有意义的条件”进行分析解答即可.
详解：
∵要使有意义，
∴ ，解得：且.
故且.
点睛：（1）分式有意义的条件是：字母的取值要使分母的值没有为0；（2）二次根式有意义的条件是：字母的取值要使被开方数是非负数.
13. 我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如表是两种运算对应关系的一组实例：
根据上表规律，某同学写出了三个式子：①，②，
③.其中正确的是_________.
【正确答案】①③
【详解】分析：
根据题中所描述的“新运算”与“指数运算”的关系进行分析判断即可.
详解：
（1）∵24=16，
∴由题意可得：log216=4，故①正确；
（2）∵52=25，
∴由题意可得：log525=2，故②错误；
（3）∵，
∴由题意可得：log2=，故③正确.
故①③.
点睛：读懂题意，知道“若ab=n，则logan=b”是正确解答本题的关键.
14. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=9,co=，把△ABC绕着点C旋转，使点B与AB边上的点D重合，点A落在点E，则点A、E之间的距离为______.
【正确答案】4
【详解】试题分析：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AB=9，co=，
∴BC=AB•co=9×=6，AC==3．
∵把△ABC绕着点C旋转，使点B与AB边上的点D重合，点A落在点E，
∴△ABC≌△EDC，BC=DC=6，AC=EC=3，∠BCD=∠ACE，
∴∠B=∠CAE．
作CM⊥BD于M，作CN⊥AE于N，则∠BCM=∠BCD，∠ACN=∠ACE，
∴∠BCM=∠ACN．
∵在△ANC中，∠ANC=90°，AC=3，cos∠CAN=co=，
∴AN=AC•cos∠CAN=3×=2，
∴AE=2AN=4．
考点：旋转的性质；解直角三角形．
三、计算题（本大题共3小题，每小题8分，满分24分）
15. 分解因式：（x﹣8）（x+2）+6x=_______________________．
【正确答案】（x+4）（x﹣4）
【详解】解：原式===（x+4）（x﹣4）．
故答案为（x+4）（x﹣4）．
16. 观察下列等式：
①sin30°=，cos60°=；
②sin45°=，cos45°=；
③sin60°=，cos30°=．
（1）根据上述规律，计算sin2α+sin2（90°-α）= ．
（2）计算：sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°．
【正确答案】（1）1（2）
【详解】分析：
（1）观察、分析所给等式可得：，即可求得本题的答案为1；
（2）把原式化为（sin21°+sin289）+（sin22°+sin288°）+…+sin245°，再（1）中所得结论进行计算即可求得本题答案.
详解：
（1）∵根据已知的式子可以得到sin（90°-α）=cosα，
∴sin2α+sin2（90°-α）= sin2α+cos2α=1；
（2）由（1）中结论可得：
sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°
=（sin21°+sin289）+（sin22°+sin288°）+…+sin245°
=1+1+…1+
=44+
=．
点睛：本题的解题要点是：（1）；（2）.
17. 如图，点C在⊙O上，连接CO并延长交弦AB于点D，，连接AC、OB，若CD=40，AC=．
（1）求弦AB的长；
（2）求sin∠ABO的值．
【正确答案】（1）40；（2）
【分析】（1）由CD过圆心O，可得CD⊥AB，AB=2AD=2BD，CD=40，AC=由勾股定理可得AD=20，由此可得AB=2AD=40；
（2）设⊙O的半径为r，在Rt△BDO中由勾股定理建立关于r的方程，解方程求得r的值，即可在Rt△BDO中，由sin∠ABO=求得sin∠ABO的值．
【详解】解：（1）∵CD过圆心O，，
∴CD⊥AB，AB=2AD=2BD，
∴∠ADC=90°，
又∵CD=40，AC=，
∴AD=，
∴AB=2AD=40；
（2）设圆O的半径为r，则OD=CD-OC=40-r，
∵BD=AD=20，∠ODB=90°，
∴BD2+OD2=OB2，
∴，
解得：，
∴DO=40-25=15，
∴sin∠ABO=
本题考查的是圆周角定理、锐角三角函数的定义，掌握圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及正弦的定义是解题的关键．
四、解 答 题（本大题共6小题，共66分）
18. 为响应推进中小学生素质教育的号召，某校决定在下午15点至16点开设以下选修课：音乐史、管乐、篮球、健美操、油画．为了解同学们的选课情况，某班数学兴趣小组从全校三个年级中各一个班级，根据相关数据，绘制如下统计图．
（1）请根据以上信息，直接补全条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）；
（2）若初一年级有180人，请估算初一年级中有多少学生选修音乐史？
（3）若该校共有学生540人，请估算全校有多少学生选修篮球课？
【正确答案】（1）补图见解析．（2）48人．（3）135人．
【详解】试题分析：（1）初二（5）班选篮球的有6人，用6除以20%得到全班人数为30，然后用30减去其他四类选修的人数得到选修管乐的人数为6，再用6除以30即可得到管乐所占的百分比；
（2）用180乘以选修音乐史所占的百分比即可估计初一年级中选修音乐史的人数；
（3）用540乘以三个班中选修篮球课所占的百分比．
试题解析：（1）如图；
（2）180× =48（人），
所以初一年级有180人，估算初一年级中有48人选修音乐史；
（3）540×=135（人），
所以估算全校有135修篮球课．
考点：1．条形统计图；`2．用样本估计总体；3．扇形统计图．
19. 某校计划在暑假两个月内对现有的教学楼进行加固改造,经发现,甲、乙两个工程队都有能力承包这个项目,已知甲队单独完成工程所需要的时间是乙队的2倍,甲、乙两队合作12天可以完成工程的;甲队每天的工作费用为4500元,乙队每天的工作费用为10000元,根据以上信息,从按期完工和节约资金的角度考虑,学校应选择哪个工程队?应付工程队费用多少元?
【正确答案】学校应选择甲工程队，应付工程费用243000元
【详解】分析：
设乙队完成全部工程所需时间为x天，由此可得甲队单独完成全部工程所需时间为2x天，两队的工作效率分别为：乙为，甲为，根据“甲、乙两队合作12天可以完成工程的”列出方程，解方程求得两队各自所需时间，再由此求出各自所需工程费用进行比较即可得到结论.
详解：
设乙队单独完成需x天，则甲队单独完成需要2x天，根据题意得
,
解得，
经检验是原方程的解，
且，都符合题意.
∴应付甲队54×4500=243000（元）
应付乙队27×10000=270000（元）
∵243000＜270000，所以公司应选择甲工程队.
答：学校应选择甲工程队，应付工程费用243000元.
点睛：读懂题意，找到等量关系：甲队12天完成的工程量+乙队12天完成的工程量=总工程量的，并由此设出未知数，列出方程是正确解答本题的关键.
20. 图①②③是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．
（1）图①中△MON的面积=________；
（2）在图②③中以格点为顶点画出一个正方形ABCD，使正方形ABCD的面积等于（1）中△MON面积的4倍，并将正方形ABCD分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角形和一个正方形，且正方形ABCD的面积没有剩余（在图②、图③中画出的图形没有能是全等形）
【正确答案】（1）5（2）见解析
【详解】分析：
（1）如下图1，由S△MON=S矩形ABCN-S△AON-S△BOM-S△MCN题目中所给数据计算即可得到△MON的面积；
（2）由（1）可知所画正方形的面积为20，由此可得其边长为，由勾股定理可知，两直角边长分别为2和4的直角三角形的斜边长为，由此即可画出符合题意的正方形，如下图2、3所示，再按要求进行分割即可.
详解：
（1）如下图1，由条件可得：
S△MON=S矩形ABCN-S△AON-S△BOM-S△MCN=，
故答案为5．
（2）由（1）可知，所求正方形的面积为：5×4=20，
∴所求正方形的边长为，
由勾股定理可知：两直角边长分别为2和4的直角三角形的斜边长为，由此即可画出符合题意的正方形，如下图2、3所示：
点睛：（1）解第1小题时，作出如图所示的矩形ABCN，把求S△MON的值转化为S△MON=S矩形ABCN-S△AON-S△BOM-S△MCN来求是解答本小题的关键；（2）解第2小题时，由勾股定理知道：“两直角边长分别为2和4的直角三角形的斜边长为”是画出所求正方形的关键.
21. 某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯AC，截面如图所示，一楼和二楼地面平行（即AB所在的直线与CD平行），层高AD为8米，∠ACD=20°，为使得顾客乘坐自动扶梯时没有至于碰头，A、B之间必须达到一定的距离．
（1）要使身高2.26米的姚明乘坐自动扶梯时没有碰头，那么A、B之间的距离至少要多少米？（到0.1米）
（2）如果自动扶梯改为由AE、EF、FC三段组成（如图中虚线所示），中间段EF为平台（即EF∥DC），AE段和FC段的坡度i=1：2，求平台EF的长度．（到0.1米）
（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
【正确答案】（1）6.3；（2）6.2
【详解】试题分析：（1）连接AB，作BG⊥AB交AC于点G，在Rt△ABG中，利用已知条件求出AB的长即可；
（2）设直线EF交AD于点P，作CQ⊥EF于点Q，设AP=x，则PE=2x，PD=8﹣x，在Rt△ACD中利用已知数据可求出CD的长，进而可求出台EF的长度．
试题解析：（1）连接AB，作BG⊥AB交AC于点G，则∠ABG=90°
∵AB∥CD，∴∠BAG=∠ACD=20°，
在Rt△ABG中，，
∵BG=2.26，tan20°≈0.36，
∴，
∴AB≈6.3，
答：A、B之间的距离至少要6.3米．
（2）设直线EF交AD于点P，作CQ⊥EF于点Q，
∵AE和FC的坡度为1：2，
∴，
设AP=x，则PE=2x，PD=8﹣x，
∵EF∥DC，
∴CQ=PD=8﹣x，
∴FQ=2（8﹣x）=16﹣2x，
在Rt△ACD中，，
∵AD=8，∠ACD=20°，
∴CD≈22.22
∵PE+EF+FQ=CD，
∴2x+EF+16﹣2x=22.22，
∴EF=6.22≈6.2
答：平台EF的长度约为6.2米．
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
22. 直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点A关于直线x=-1的对称点为点C.
（1）求点C坐标；
（2）若抛物线（m≠0）A、B、C三点，求抛物线的表达式；
（3）若抛物线（a≠0）A，B两点，且顶点在第二象限.抛物线与线段AC有两个公共点，求a的取值范围.
【正确答案】（1）（-3，0）（2） （3）a＜-3
【详解】试题分析：（1）把y=0，代入函数解析式，求出点A的坐标，根据对称得出C点的坐标即可；（2）先求出B点坐标，再把点A、B三点的坐标分别代入，解得m、n的值即可；（3）根据题意抛物线开口向下，所以当图像A点的关于原点对称的点时a取值，当点C时开口，a的值最小.
试题解析：解：（1）令y=0，得x=1．
∴点A的坐标为（1,0）．
∵点A关于直线x=﹣1对称点为点C，
∴点C的坐标为（﹣3,0）．
（2）令x=0，得y=3．
∴点B的坐标为（0,3）．
∵抛物线点B，
∴﹣3m=3，解得m=﹣1．
∵抛物线点A，
∴m+n﹣3m=0，解得n=﹣2．
∴抛物线表达式为．
（3）由题意可知，a<0．
根据抛物线的对称性，当抛物线（﹣1,0）时，开口最小，a=﹣3，
此时抛物线顶点在y轴上，没有符合题意.
当抛物线（﹣3,0）时，开口，a=﹣1.
函数图像可知，a取值范围为.
23. 在△ABC中,∠ACB=90°,点B的直线l(没有与直线AB重合)与直线BC的夹角等于∠ABC,分别过点C、点A作直线l的垂线,垂足分别为点D、点E.
(1)如图1,当点E与点B重合时,若AE=4,判断以C点为圆心CD长为半径的圆C与直线AB的位置关系并说明理由;
(2)如图2,当点E在DB延长线上时,求证:AE=2CD;
(3)记直线CE与直线AB相交于点F,若,,CD=4,求BD的长.
【正确答案】(1)以C点为圆心CD长为半径的圆C与直线AB的位置关系是相切 (2)证明见解析(3) BD的长为2或8.
【详解】分析：
（1）如图1，过点C作CF⊥AB于点F，由已知条件易证此时四边形DBFC是正方形，由此可得CF=CD，从而可得此时以点C为圆心，CD长为半径的圆C与直线AB的位置关系是相切；
（2）如图2，延长AC交直线l于点G，由∠ACB=90°，∠ABC=∠GBC“三角形内角和定理”可得∠BAC=∠BGC，由此可得AB=GB，BC⊥AG可得AC=GC，由CD⊥l，AE⊥l可得CD∥AE，由此即可得到CD：AE=GC：GA=1：2，从而可得结论AE=2CD；
（3）如图3和图4，分点E在线段DB的延长线上和线段DB上两种情况作出符合要求的图形，并过点C作CG∥l交AB于点H，交AE于点G，然后已知条件和（2）中所得结论进行分析计算即可.
详解：
(1)以C点为圆心CD长为半径的圆C与直线AB的位置关系是相切,
理由如下：
如图1，过点C作CF⊥AB,垂足为点F，
∵CD⊥l，AB⊥l，CF⊥AB，
∴∠CDB=∠DBA=∠CFB=90°，
∴四边形DBFC是矩形，
∵∠ABD=90°，∠ABC=∠CBD，
∴ ∠ABC=∠CBD=45°,
∵∠ACB=90°，∠ABC=45°,
∴ ∠BCF=∠ABC=45°，
∴CF=BF，
∴四边形DBFC是正方形，
∴CF=CD=2，
∴圆C与直线AB相切；
(2)如图2，延长AC交直线l于点G,
∵∠ACB=90°,∠ABC=∠GBC
∴∠BAC=∠BGC
∴ AB=GB
∴ AC=GC,
∵ AE⊥l，CD⊥l，
∴ AE∥CD
∴ ,
∴AE=2CD
(3)由题意分以下两种情况解答：
(I)如图3,当点E在DB延长线上时:
过点C作CG∥l交AB于点H交AE于点G,则∠CBD=∠HCB,
∵∠ABC=∠CBD,
∴∠ABC=∠HCB,
∴CH=BH,
∵∠ACB=90°,
∴∠ABC+∠BAC=∠HCB+∠HCA=90°
∴∠BAC=∠HCA
∴CH=AH=BH,
∵CG∥l,
∴ ,
设CH=5x,则BE=6x,AB=10x
在Rt△ABE中,
由(2)知AE=2CD=8,
∴8x=8,得x=1
∴CH=5,BE=6,AB=10
∵ CG∥l,
∴ ,
∴HG=3,
∴CG=CH+HG=8,
∵四边形CDEG是矩形,
∴DE=CG=8
∴BD=DE-BE=2;
(Π)如图4,当点E在DB上时:
同理可得CH=5,BE=6,HG=3,
∴DE=CG=GH-HG=2
∴BD=DE+BE=8,
综上所述,BD的长为2或8.
点睛：（1）解第1小题的关键是：作出CF⊥AB于点F，计算出CF的长度并和CD的大小进行比较；（2）解第2小题的关键是：作出如图所示的辅助线，并证明点C是线段AG的中点；（3）第3小题存在两种情况：①点E在线段DB的延长线上；②点E在线段DB上；解题时需分两种情况画出符合要求的图形，再图形和已知条件分析解答，没有要忽略了其中任何一种情况.
2022-2023学年吉林省长春市中考数学专项突破仿真模拟试题
（3月）
一、选一选（每小题3分，共36分）
1. 若3（a+1）的值与1互为倒数，则a的值为（ ）
A. ﹣ B. ﹣ C. 0 D.
2. 下列运算正确的是（ ）
A. （a+b）2=a2+b2 B. （﹣1+x）（﹣x﹣1）=1﹣x2
C. a4•a2=a8 D. （﹣2x）3=﹣6x 3
3. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A. x≠1 B. x≥0 C. x≠0 D. x≥0且x≠1
4. 某市测一周PM2.5月均值（单位：微克/立方米）如下：50，40，73，50，37，50，40，这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A. 50和50 B. 50和40 C. 40和50 D. 40和40
5. 已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sin A=，AC=，那么BC的值为（ ）
A. 2 B. 4 C. D. 6
6. 从1，2，3，4这四个数中随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的2倍的概率是（ ）
A. B. C. D.
7. 关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ）
A. B.
C. 且 D. 且
8. 圆锥的底面直径是80cm，母线长90cm，则它的侧面展开图的圆心角是（ ）
A. 320° B. 40° C. 160° D. 80°
9. 化简，其结果
A. B. C. D.
10. 有下列命题：
①若x2＝x，则x＝1；
②若a2＝b2，则a＝b；
③线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；
④相等的弧所对的圆周角相等；
其中原命题与逆命题都是真命题的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
11. 已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0），OB=4，点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短时，点P的坐标为（ ）
A. （0，0） B. （1，） C. D.
12. 抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为(﹣1，3)，与x轴的交点A在点(﹣3，0)和(﹣2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论，其中正确结论的个数为( )
①若点P(﹣3，m)，Q(3，n)在抛物线上，则m＜n；
②c＝a+3；
③a+b+c＜0；
④方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填 空 题（每小题3分，共24分）
13. 某种计算机完成基本运算的时间约为0.000000001s，把0.000000001用科学记数法表示为_____．
14. 若x=3﹣，则代数式x2﹣6x+9的值为_____．
15. 计算：2cos45°﹣（π+1）0+=______．
16. 如图，□ABCD的周长为20cm，AC与BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△CDE的周长为_________ cm.
17. 如图，AB为⊙O的直径，延长AB至点D，使BD＝OB，DC切⊙O于点C，点B是的中点，弦CF交AB于点E，若⊙O的半径为2，则CF＝________．
18. 已知双曲线Rt△OAB斜边OA中点D，与直角边AB相交于点C，若S△OAC=3，则k=______．
19. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，E为CD上一点，分别以EA，EB为折痕将两个角（∠D，∠C）向内折叠，点C，D恰好落在AB边的点F处．若AD=2，BC=3，则EF的长为____．
20. 菱形ABCD中，AE⊥BC于E，交BD于F点，下列结论：（1）BF为∠ABE的角平分线；（2）DF=2BF；（3）2AB2=DF•DB；（4）sin∠BAE=．其中正确的结论为___（填序号）
三、解 答 题（共6小题，满分60分）
21. 今年10月，某公司随机抽取所属的a家连锁店进行评估，将各连锁店按照评估成绩分成了A、B、C、D四个等级，绘制了如图尚没有完整的统计图表．
根据以上信息解答下列问题：
（1）求a的值；
（2）在扇形统计图中，求B等级所在扇形的圆心角的大小；（结果用度、分、秒表示）
（3）从评估成绩没有少于80分的连锁店中任选2家介绍营销，求其中至少有一家是A等级的概率．
22. 某市在新农村改造工程中需要修建一段东西方向全长1000米的道路（记作AB）．已知C点周围350米范围内有一电力设施区域．在A处测得C在A的北偏东60°方向上，在B处测得C在B的北偏西45°方向上．（≈1.732，≈1.414）
（1）道路AB是否穿过电力设施区域？为什么？
（2）在施工250米后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，加快了施工进度，实际工作效率变成了原计划工作效率的1.5倍，结果提前5天完成了修路任务，则原计划每天修路多少米？
23. 我市某电器商场根据民众健康需要，代理某种家用空气净化器，其进价是200元/台．市场后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价没有能低于300元/台，代理商每月要完成没有低于450台的任务．
（1）试确定月量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；
（2）求出售价x的范围；
（3）商场每月这种空气净化器所获得的利润为w（元），写出w关于x的关系？当售价x（元/台）定为多少时利润，是多少？
24. 如图，OA，OD是⊙O半径．过A作⊙O的切线，交∠AOD的平分线于点C，连接CD，延长AO交⊙O于点E，交CD的延长线于点B．
(1)求证：直线CD是⊙O的切线；
(2)如果D点是BC中点，⊙O的半径为 3cm，求的长度．(结果保留π)
25. 如图1，△ABC等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．
（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若没有成立，请说明理由．
（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．
①求证：BD⊥CF；
②当AB=4，AD=时，求线段BG的长．
26. 已知抛物线y＝ax2＋bx－3(－1，0)，(3，0)两点，与y轴交于点C，直线y＝kx与抛物线交于A，B两点．
（1）写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式；
（2）当原点O为线段AB的中点时，求k的值及A，B两点的坐标；
（3）是否存在实数k使得△ABC的面积为？若存在，求出k的值；若没有存在，请说明理由．
2022-2023学年吉林省长春市中考数学专项突破仿真模拟试题
（3月）
一、选一选（每小题3分，共36分）
1. 若3（a+1）的值与1互为倒数，则a的值为（ ）
A. ﹣ B. ﹣ C. 0 D.
【正确答案】A
【详解】解：由题意得：3（a+1）=1，解得：a=﹣．故选A．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. （a+b）2=a2+b2 B. （﹣1+x）（﹣x﹣1）=1﹣x2
C. a4•a2=a8 D. （﹣2x）3=﹣6x 3
【正确答案】B
【详解】解：A．（a+b）2=a2+2ab+b2，故本选项错误；
B．（﹣1+x）（﹣x﹣1）=1﹣x2，故本选项正确；
C．a4•a2=a4+2=a6，故本选项错误；
D．（﹣2x）3=（﹣2）3x3=﹣8x3，故本选项错误．
故选B．
3. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A. x≠1 B. x≥0 C. x≠0 D. x≥0且x≠1
【正确答案】D
【分析】先根据分式及二次根式有意义的条件：二次根式被开方数必须是非负数和分式分母没有为0的条件，要使在实数范围内有意义必须 ，据此列出关于x的没有等式组，求出x的取值范围即可．
【详解】解：∵代数式有意义，
∴，
解得x≥0且x≠1．
故选D．
本题考查的是二次根式及分式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
4. 某市测一周PM2.5的月均值（单位：微克/立方米）如下：50，40，73，50，37，50，40，这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A. 50和50 B. 50和40 C. 40和50 D. 40和40
【正确答案】A
【详解】试题分析：从小到大排列此数据为：37、40、40、50、50、50、75，数据50出现了三次至多，所以50为众数；50处在第4位是中位数．故选A．
考点：中位数；众数．
5. 已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sin A=，AC=，那么BC的值为（ ）
A. 2 B. 4 C. D. 6
【正确答案】A
【详解】解：∵sinA=，∴∠A=30°，∴tan30°==，∴BC=2．故选A．
6. 从1，2，3，4这四个数中随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的2倍的概率是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，其中一个数是另一个数两倍的有4种情况，∴其中一个数是另一个数2倍的概率是：=．故选A．
7. 关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ）
A. B.
C. 且 D. 且
【正确答案】D
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴且△≥0，即，
解得，
∴m的取值范围是且．
故选：D．
8. 圆锥的底面直径是80cm，母线长90cm，则它的侧面展开图的圆心角是（ ）
A. 320° B. 40° C. 160° D. 80°
【正确答案】C
【详解】解：∵圆锥的底面直径是80cm，∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：πd=80π，∵母线长90cm，∴圆锥的侧面展开扇形的面积为：lr= ×80π×90=3600π，∴=3600π，解得：n=160．故选C．
点睛：本题考查了圆锥的有关计算，解答此类题目的关键是明确圆锥的侧面展开扇形与圆锥的关系．
9. 化简，其结果
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】试题分析：利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，各分子分母因式分解后，约分即可得到结果：
．故选A．
10. 有下列命题：
①若x2＝x，则x＝1；
②若a2＝b2，则a＝b；
③线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；
④相等的弧所对的圆周角相等；
其中原命题与逆命题都是真命题的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】B
【详解】解：若x2=x，则x=1或x=0，所以①错误；
若a2=b2，则a=±b，所以②错误；
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以③正确；
相等弧所对的圆周角相等，所以④正确．四个命题的逆命题都是真命题．
故选B．
点睛：本题考查了命题与定理：命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论；命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
11. 已知菱形OABC在平面直角坐标系位置如图所示，顶点A（5，0），OB=4，点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短时，点P的坐标为（ ）
A. （0，0） B. （1，） C. D.
【正确答案】D
【详解】解：如图连接AC，AD，分别交OB于G、P，作BK⊥OA于K．
∵四边形OABC是菱形，∴AC⊥OB，GC=AG，OG=BG=，A、C关于直线OB对称，∴PC+PD=PA+PD=DA，∴此时PC+PD最短．在RT△AOG中，AG===，∴AC=．∵OA•BK=•AC•OB，∴BK=4，AK==3，∴点B坐标（8，4），∴直线OB解析式为，直线AD解析式为，由，解得：，∴点P坐标．故选D．
12. 抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为(﹣1，3)，与x轴的交点A在点(﹣3，0)和(﹣2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论，其中正确结论的个数为( )
①若点P(﹣3，m)，Q(3，n)在抛物线上，则m＜n；
②c＝a+3；
③a+b+c＜0；
④方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】C
【分析】通过比较点和到直线的距离大小可对①进行判断；利用对称轴方程得到，再利用时，可对②进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点在点和之间，则利用当时，可对③进行判断；根据抛物线的顶点为可对④进行判断．
【详解】解：抛物线的顶点为，
抛物线的对称轴为直线，
而点比到直线的距离小，
；所以①错误；
，
，
时，，
，
，即，所以②正确；
抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点在点和之间，
抛物线与轴的另一个交点在点和之间，
当时，，
即，所以③正确；
抛物线的顶点为，
方程有两个相等的实数根，所以④正确．
故选：C．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置． 当与同号时（即，对称轴在轴左； 当与异号时（即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于．抛物线与轴交点个数由△决定：△时，抛物线与轴有2个交点；△时，抛物线与轴有1个交点；△时，抛物线与轴没有交点．
二、填 空 题（每小题3分，共24分）
13. 某种计算机完成基本运算的时间约为0.000000001s，把0.000000001用科学记数法表示为_____．
【正确答案】1×10﹣9．
【详解】解：0.000000001=1×10﹣9．故答案为1×10﹣9．
14. 若x=3﹣，则代数式x2﹣6x+9的值为_____．
【正确答案】2.
【详解】根据完全平方公式可得x2﹣6x+9=（x﹣3）2，当x=3﹣时，原式=（3﹣﹣3）2=2.
15. 计算：2cos45°﹣（π+1）0+=______．
【正确答案】．
【详解】解：原式== ．故答案为．
16. 如图，□ABCD的周长为20cm，AC与BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△CDE的周长为_________ cm.
【正确答案】10
【分析】先由平行四边形的性质和周长求出AD+DC=10，再根据线段垂直平分线的性质得出AE=CE，即可得出△CDE的周长=AD+DC．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AD=BC，OA=OC，
∵ABCD的周长为20cm，
∴AD+DC=10cm，
又∵OE⊥AC，
∴AE=CE，
∴△CDE的周长=DE+CE+DC=DE+AE+DC=AD+DC=10cm；
故答案是：10．
本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质以及三角形周长的计算；熟练掌握平行四边形的性质，运用线段垂直平分线的性质得出AE=CE是解决问题的关键．
17. 如图，AB为⊙O的直径，延长AB至点D，使BD＝OB，DC切⊙O于点C，点B是的中点，弦CF交AB于点E，若⊙O的半径为2，则CF＝________．
【正确答案】
【详解】试题解析：连接OC，
∵DC切⊙O于点C，
∴∠OCD=90°，
∵BD=OB，
∴OB=OD，
∵OC=OB，
∴OC=OB，
∴∠D=30°，
∴∠COD=60°，
∵AB为⊙O的直径，点B是的中点，
∴CF⊥OB，CE=EF，
∴CE=OC•sin60°=2×=，
∴CF=2．
考点：1．切线的性质；2．含30度角的直角三角形；3．垂径定理．
18. 已知双曲线Rt△OAB斜边OA的中点D，与直角边AB相交于点C，若S△OAC=3，则k=______．
【正确答案】﹣2．
【详解】解：设D（m，）．∵双曲线Rt△OAB斜边OA的中点D，∴A（2m，）．∵S△OAC=3，∴•（﹣2m）• +k=3，∴k=﹣2．故答案为﹣2．
点睛：本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
19. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，E为CD上一点，分别以EA，EB为折痕将两个角（∠D，∠C）向内折叠，点C，D恰好落在AB边的点F处．若AD=2，BC=3，则EF的长为____．
【正确答案】．
【详解】试题分析：先根据折叠的性质得DE=EF，CE=EF，AF=AD=2，BF=CB=3，则DC=2EF，AB=5，再作AH⊥BC于H，由于AD∥BC，∠B=90°，则可判断四边形ADCH为矩形，所以AH=DC=2EF，HB=BC﹣CH=BC﹣AD=1，然后在Rt△ABH中，利用勾股定理计算出AH=2，所以EF=．
考点：翻折变换（折叠问题）．.
20. 菱形ABCD中，AE⊥BC于E，交BD于F点，下列结论：（1）BF为∠ABE的角平分线；（2）DF=2BF；（3）2AB2=DF•DB；（4）sin∠BAE=．其中正确的结论为___（填序号）
【正确答案】（1）（3）（4）
【详解】试题分析：（1）正确．根据菱形性质即可判定．
（2）错误．假设成立推出矛盾即可．
（3）正确．由△ADO∽△FDA，得，AD2=DO•DF，两边乘2即可得到证明
（4）正确．由AD∥BC，得==，又sin∠BAE=，由此即可证明．
故答案为（1）（3）（4）．
【考点】相似三角形的判定与性质；菱形的性质．
三、解 答 题（共6小题，满分60分）
21. 今年10月，某公司随机抽取所属的a家连锁店进行评估，将各连锁店按照评估成绩分成了A、B、C、D四个等级，绘制了如图尚没有完整的统计图表．
根据以上信息解答下列问题：
（1）求a的值；
（2）在扇形统计图中，求B等级所在扇形的圆心角的大小；（结果用度、分、秒表示）
（3）从评估成绩没有少于80分的连锁店中任选2家介绍营销，求其中至少有一家是A等级的概率．
【正确答案】（1）2；（2）28°48′；（3）．
【详解】试题分析：（1）利用扇形统计图得到C等级所占的百分比，再用C等级的频数除以它所占的百分比得到样本容量，然后用样本容量分别减去A、C、D等级的频数即可得到a的值；
（2）用B等级所占的百分比乘以360°可得到B等级所在扇形的圆心角的大小；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出至少有一家是A等级的结果数，然后根据概率公式求解．
试题解析：解：（1）15÷60%=25，所以a=25﹣2﹣15﹣6=2；
（2）B等级所在扇形的圆心角=×360°=28°48′；
（3）评估成绩没有少于80分的连锁店中A等级有2家，B等级有2家，画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中至少有一家是A等级的结果数为10，所以其中至少有一家是A等级的概率= =．
22. 某市在新农村改造工程中需要修建一段东西方向全长1000米的道路（记作AB）．已知C点周围350米范围内有一电力设施区域．在A处测得C在A的北偏东60°方向上，在B处测得C在B的北偏西45°方向上．（≈1.732，≈1.414）
（1）道路AB是否穿过电力设施区域？为什么？
（2）在施工250米后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，加快了施工进度，实际工作效率变成了原计划工作效率的1.5倍，结果提前5天完成了修路任务，则原计划每天修路多少米？
【正确答案】（1）没有穿过；（2）50．
【详解】试题分析：（1）首先过点C作CD⊥AB于点D，设CD=x米，然后利用三角函数，即可表示出AD与BD的长，继而可得方程x+x=1000，求得CD的长，与350米比较，即可得道路AB没有穿过电力设施区域；
（2）首先设原计划每天修路y米，根据题意即可得分式方程，解分式方程即可求得答案．
试题解析：解：（1）道路AB没有穿过电力设施区域．
如图，过点C作CD⊥AB于点D，设CD=x米．由题意得：∠CAD=90°﹣60°=30°，∠CBD=90°﹣45°=45°．在Rt△ACD中，AD== （米）．在Rt△BCD中，BD=CD=x（米）．∵AB=1000米，∴x+x=1000，解得：x=500﹣500≈366．∵366米＞350米，∴道路AB没有穿过电力设施区域；
（2）设原计划每天修路y米，依题意得：
解得：y=50，经检验，y=50是原分式方程的解．
答：原计划每天修路50米．
点睛：本题考查了方向角问题与分式方程的应用．注意构造直角三角形并利用解直角三角形的知识是解答本题的关键．
23. 我市某电器商场根据民众健康需要，代理某种家用空气净化器，其进价是200元/台．市场后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价没有能低于300元/台，代理商每月要完成没有低于450台的任务．
（1）试确定月量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；
（2）求出售价x的范围；
（3）商场每月这种空气净化器所获得的利润为w（元），写出w关于x的关系？当售价x（元/台）定为多少时利润，是多少？
【正确答案】（1）y=﹣5x+2200；（2）300≤x≤350；（3）W=﹣5（x﹣320）2+72000，当售价定为320元/台时，商场每月这种空气净化器所获得的利润w，利润是72000元．
【详解】试题分析：（1）根据题中条件价每降低10元，月量就可多售出50台，即可列出函数关系式；
（2）根据供货商规定这种空气净化器售价没有能低于300元/台，代理商每月要完成没有低于450台的即可求出x的取值．
（3）用x表示y，然后再用x来表示出w，根据函数关系式，即可求出w；
试题解析：解：（1）根据题中条件价每降低10元，月量就可多售出50台，则月量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式：y=200+50×，化简得：y=﹣5x+2200；
∴y与x之间函数关系式为：y=﹣5x+2200；
（2）供货商规定这种空气净化器售价没有能低于300元/台，代理商每月要完成没有低于450台，根据题意得：
，解得：300≤x≤350，∴售价x的范围为：300≤x≤350；
（2）W=（x﹣200）（﹣5x+2200），整理得：W=﹣5（x﹣320）2+72000．
∵x=320在300≤x≤350内，∴当x=320时，值为72000，即售价定为320元/台时，商场每月这种空气净化器所获得的利润w，利润是72000元．
点睛：本题主要考查了二次函数的应用，还应用到将函数变形求函数最值的知识．
24. 如图，OA，OD是⊙O半径．过A作⊙O的切线，交∠AOD的平分线于点C，连接CD，延长AO交⊙O于点E，交CD的延长线于点B．
(1)求证：直线CD是⊙O的切线；
(2)如果D点是BC的中点，⊙O的半径为 3cm，求的长度．(结果保留π)
【正确答案】（1）证明见解析；（2）的长度为π.
【详解】（1）证明：∵AC是⊙O切线，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC=90°，
∵CO平分∠AOD，
∴∠AOC=∠COD，
在△AOC和△DOC中，
∴△AOC≌△DOC，
∴∠ODC=∠OAC=90°，
∴OD⊥CD，
∴直线CD是⊙O的切线．
（2）∵OD⊥BC，DC=DB，
∴OC=OB，
∴∠OCD=∠B=∠ACO，
∵∠B+∠ACB=90°，
∴∠B=30°，∠DOE=60°，
∴的长度=π．
25. 如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．
（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若没有成立，请说明理由．
（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．
①求证：BD⊥CF；
②当AB=4，AD=时，求线段BG的长．
【正确答案】解：（1）BD=CF成立．理由见解析； （2）①证明见解析； ②
【分析】（1）△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，易证得△BAD≌△CAF，根据全等三角形的对应边相等，即可证得BD=CF；
（2）①由△BAD≌△CAF，可得∠ABM=∠GCM，又由对顶角相等，易证得△BMA∽△CMG，根据相似三角形的对应角相等，可得BGC=∠BAC=90°，即可证得BD⊥CF；
②首先过点F作FN⊥AC于点N，利用勾股定理即可求得AE，BC的长，继而求得AN，CN的长，又由等角的三角函数值相等，可求得，然后利用△BMA∽△CMG，求得CG的长，再由勾股定理即可求得线段BG的长．
【详解】解（1）BD=CF成立．
理由：∵△ABC等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，
∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，
∵∠BAD=∠BAC-∠DAC，∠CAF=∠DAF-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
∴△BAD≌△CAF（SAS）．
∴BD=CF．
（2）①证明：设BG交AC于点M．
∵△BAD≌△CAF（已证），
∴∠ABM=∠GCM．
∵∠BMA=∠CMG，
∴△BMA∽△CMG．
∴∠BGC=∠BAC=90°．
∴BD⊥CF．
②过点F作FN⊥AC于点N．
∵在正方形ADEF中，AD=DE=，
∵在等腰直角△ABC 中，AB=4，
∴CN=AC-AN=3，
∴在Rt△ABM中，
∴在Rt△ABM中，
∵△BMA∽△CMG，
∴在Rt△BGC中，
此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、矩形的性质、勾股定理以及三角函数等知识．此题综合性很强，难度较大，注意数形思想的应用，注意辅助线的作法．
26. 已知抛物线y＝ax2＋bx－3(－1，0)，(3，0)两点，与y轴交于点C，直线y＝kx与抛物线交于A，B两点．
（1）写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式；
（2）当原点O为线段AB的中点时，求k的值及A，B两点的坐标；
（3）是否存在实数k使得△ABC的面积为？若存在，求出k的值；若没有存在，请说明理由．
【正确答案】（1）y=x2﹣2x﹣3
（2）当原点O为线段AB的中点时，k的值为﹣2，点A的坐标为（﹣，2），点B的坐标为（，﹣2）
（3）没有存在，理由详见解析
【分析】（1）令x=0求出y值即可得出C点的坐标，又有点（﹣1，0）、（3，0），利用待定系数法求抛物线的解析式即可；
（2）将正比例函数解析式代入抛物线解析式中，找出关于x的一元二次方程，根据根与系数的关系即可得出“xA+xB=2+k，xA•xB=﹣3”，点O为线段AB的中点即可得出xA+xB=2+k=0，由此得出k的值，将k的值代入一元二次方程中求出xA、xB，在代入函数解析式中即可得出点A、B的坐标；
（3）假设存在，利用三角形的面积公式以及（2）中得到的“xA+xB=2+k，xA•xB=﹣3”，即可得出关于k的一元二次方程，方程无解即可得出假设没有成立，从而得出没有存在满足题意的k值．
【小问1详解】
解：令抛物线y=ax2+bx﹣3中x=0，
则y=﹣3，
∴点C的坐标为（0，﹣3），
∵抛物线y=ax2+bx﹣3（﹣1，0），（3，0）两点，
∴有，
解得：，
∴此抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3；
【小问2详解】
解：将y=kx代入y=x2﹣2x﹣3中，
得：kx=x2﹣2x﹣3，
整理得：x2﹣（2+k）x﹣3=0，
∴xA+xB=2+k，xA•xB=﹣3．
∵原点O为线段AB的中点，
∴xA+xB=2+k=0，
解得：k=﹣2，
当k=﹣2时，
x2﹣（2+k）x﹣3=x2﹣3=0，
解得：xA=﹣，xB=．
∴yA=﹣2xA=2，yB=﹣2xB=2．
故当原点O为线段AB的中点时，k的值为﹣2，
点A的坐标为（﹣，2），点B的坐标为（，﹣2）；
【小问3详解】
解：假设存在实数k使得△ABC的面积为，
由（2）可知：xA+xB=2+k，xA•xB=﹣3，
S△ABC=OC•|xA﹣xB|，
∴（2+k）2﹣4×（﹣3）=10，
即（2+k）2+2=0，
∵（2+k）2非负，无解，
故假设没有成立，
所以没有存在实数k使得△ABC的面积为．
本题考察了二次函数的应用，属于综合的题目，解题的关键是会求二次函数与坐标轴的交点，求直线与二次函数的交点．
2022-2023学年吉林省长春市中考数学专项突破仿真模拟试题
（4月）
一、选一选（每小题4分，共10题、共40分）
1. 下列运算正确的是（ ）
A a+a=a2 B. a2•a=2a3 C. a3÷a2=a D. （a2）3=a5
2. 某种细胞的直径是0.000067厘米,将0.000067用科学记数法表示为( )
A. 6.7×10−5 B. 0.67×10−6 C. 0.67×10−5 D. 6.7×10−6
3. 下列根式中是最简根式的是（ ）
A. B. C. D.
4. 某运动器材的形状如图所示，以箭头所指的方向为左视方向，则它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
5. 下列命题中正确的是（ ）
A. 平分弦直径垂直于弦；
B. 与直径垂直的直线是圆的切线；
C. 对角线互相垂直四边形是菱形；
D. 连接等腰梯形四边中点的四边形是菱形．
6. 如图，在宽度为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．如果设小路宽为xm，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A. （20+x）（32﹣x）＝540 B. （20﹣x）（32﹣x）＝100
C. （20﹣x）（32﹣x）＝540 D. （20+x）（32﹣x）＝540
7. 如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，下列说法没有正确的是（ ）．
A. △CDH的周长等于AD+CD B. FC平分∠BFD C. AC2+BF2=4CD2 D. DE2=EF.CE
8. 学校准备从甲、乙、丙、丁四个科技创新小组中选出一组代表学校参加青少年科技创新大赛，各组的平时成绩的平均数（单位：分）及方差如表所示：
甲
乙
丙
丁
7
8
8
7
1
1.2
1
1.8
如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
9. 如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标没有可能是
A. （6，0） B. （6，3） C. （6，5） D. （4，2）
10. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程数，“燃油效率”越高表示汽车每消耗1升汽油行驶的里程数越多；“燃油效率”越低表示汽车每消耗1升汽油行驶的里程数越少，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在没有同速度下的燃油效率情况，下列说法中，正确的是( )
A. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油至多
B. 以低于80 km/h的速度行驶时，行驶相同路程，三辆车中，乙车消耗汽油至少
C. 以高于80 km/h的速度行驶时，行驶相同路程，丙车比乙车省油
D. 以80 km/h的速度行驶时，行驶100公里，甲车消耗的汽油量约为10升
二、填 空 题（本大题共4小题每小题5分，共20分）
11. 掷一枚质地均匀的正方形骰子，骰子的六面分别标有1到6的点数，那么掷两次的点数之和等于5的概率是___________
12. 函数的定义域为：_________
13. 我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如表是两种运算对应关系的一组实例：
根据上表规律，某同学写出了三个式子：①，②，
③.其中正确的是_________.
14. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=9,co=，把△ABC绕着点C旋转，使点B与AB边上的点D重合，点A落在点E，则点A、E之间的距离为______.
三、计算题（本大题共3小题，每小题8分，满分24分）
15. 分解因式：（x﹣8）（x+2）+6x=_______________________．
16. 观察下列等式：
①sin30°=，cos60°=；
②sin45°=，cos45°=；
③sin60°=，cos30°=．
（1）根据上述规律，计算sin2α+sin2（90°-α）= ．
（2）计算：sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°．
17. 如图，点C在⊙O上，连接CO并延长交弦AB于点D，，连接AC、OB，若CD=40，AC=．
（1）求弦AB的长；
（2）求sin∠ABO的值．
四、解 答 题（本大题共6小题，共66分）
18. 为响应推进中小学生素质教育的号召，某校决定在下午15点至16点开设以下选修课：音乐史、管乐、篮球、健美操、油画．为了解同学们的选课情况，某班数学兴趣小组从全校三个年级中各一个班级，根据相关数据，绘制如下统计图．
（1）请根据以上信息，直接补全条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）；
（2）若初一年级有180人，请估算初一年级中有多少学生选修音乐史？
（3）若该校共有学生540人，请估算全校有多少学生选修篮球课？
19. 某校计划在暑假两个月内对现有的教学楼进行加固改造,经发现,甲、乙两个工程队都有能力承包这个项目,已知甲队单独完成工程所需要的时间是乙队的2倍,甲、乙两队合作12天可以完成工程的;甲队每天的工作费用为4500元,乙队每天的工作费用为10000元,根据以上信息,从按期完工和节约资金的角度考虑,学校应选择哪个工程队?应付工程队费用多少元?
20. 图①②③是三张形状、大小完全相同方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．
（1）图①中△MON面积=________；
（2）在图②③中以格点为顶点画出一个正方形ABCD，使正方形ABCD的面积等于（1）中△MON面积的4倍，并将正方形ABCD分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角形和一个正方形，且正方形ABCD的面积没有剩余（在图②、图③中画出的图形没有能是全等形）
21. 某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯AC，截面如图所示，一楼和二楼地面平行（即AB所在的直线与CD平行），层高AD为8米，∠ACD=20°，为使得顾客乘坐自动扶梯时没有至于碰头，A、B之间必须达到一定的距离．
（1）要使身高2.26米的姚明乘坐自动扶梯时没有碰头，那么A、B之间的距离至少要多少米？（到0.1米）
（2）如果自动扶梯改为由AE、EF、FC三段组成（如图中虚线所示），中间段EF为平台（即EF∥DC），AE段和FC段的坡度i=1：2，求平台EF的长度．（到0.1米）
（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
22. 直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点A关于直线x=-1的对称点为点C.
（1）求点C的坐标；
（2）若抛物线（m≠0）A、B、C三点，求抛物线的表达式；
（3）若抛物线（a≠0）A，B两点，且顶点在第二象限.抛物线与线段AC有两个公共点，求a的取值范围.
23. 在△ABC中,∠ACB=90°,点B的直线l(没有与直线AB重合)与直线BC的夹角等于∠ABC,分别过点C、点A作直线l的垂线,垂足分别为点D、点E.
(1)如图1,当点E与点B重合时,若AE=4,判断以C点为圆心CD长为半径的圆C与直线AB的位置关系并说明理由;
(2)如图2,当点E在DB延长线上时,求证:AE=2CD;
(3)记直线CE与直线AB相交于点F,若,,CD=4,求BD的长.
2022-2023学年吉林省长春市中考数学专项突破仿真模拟试题
（4月）
一、选一选（每小题4分，共10题、共40分）
1. 下列运算正确的是（ ）
A. a+a=a2 B. a2•a=2a3 C. a3÷a2=a D. （a2）3=a5
【正确答案】C
【详解】分析：
按“整式的加法法则”和“幂的相关运算法则”进行计算判断即可.
详解：
A选项中，因为，所以本选项中计算错误；
B选项中，因为，所以本选项中计算错误；
C选项中，因为，所以本选项中计算正确；
D选项中，因为，所以本选项中计算错误.
故选C.
点睛：熟记“整式的加法法则和幂的相关运算法则”是正确解答本题的关键.
2. 某种细胞的直径是0.000067厘米,将0.000067用科学记数法表示为( )
A. 6.7×10−5 B. 0.67×10−6 C. 0.67×10−5 D. 6.7×10−6
【正确答案】A
【分析】按照“科学记数法的定义”进行解答即可.
【详解】.
在把一个值小于1的数用科学记数法表示为的形式时，我们要注意两点：①必须满足：；②等于原来的数中从左至右第1个非0数字前面0的个数（包括小数点前面的0）的相反数.
3. 下列根式中是最简根式的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】试题解析：A选项中，被开方数中含b2，所以它没有是最简二次根式，故本选项错误；
B选项中，的被开方数没有能因式分解，没有含开方开的尽的因式，是最简二次根式，故本选项正确；
C选项中，被开方数含分母，所以它没有是最简二次根式，故本选项错误；
D选项中，被开方数含能开得尽方的因数，所以它没有是最简二次根式，故本选项错误.
故选B.
4. 某运动器材的形状如图所示，以箭头所指的方向为左视方向，则它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】试题分析：从上面看是一个圆环，故选D．
考点：简单组合体的三视图．
5. 下列命题中正确的是（ ）
A. 平分弦的直径垂直于弦；
B. 与直径垂直的直线是圆的切线；
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形；
D. 连接等腰梯形四边中点的四边形是菱形．
【正确答案】D
【详解】试题分析：根据平面图形的基本概念依次分析各选项即可作出判断.
A．在同圆中，平分弦的直径垂直于弦，B．与直径垂直的直线没有一定是圆的切线，C．对角线互相垂直的四边形没有一定是菱形，故错误；
D．连接等腰梯形四边中点的四边形是菱形，本选项正确.
考点：平面图形的基本概念
点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握平面图形的基本概念，即可完成．
6. 如图，在宽度为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．如果设小路宽为xm，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A. （20+x）（32﹣x）＝540 B. （20﹣x）（32﹣x）＝100
C. （20﹣x）（32﹣x）＝540 D. （20+x）（32﹣x）＝540
【正确答案】C
【分析】设小路宽为x米，利用平移把没有规则的图形变为规则图形，如此一来，所有草坪面积之和就变为了（32﹣x）（20﹣x）米2，进而即可列出方程，求出答案．
【详解】解：利用平移，原图可转化为右图，设小路宽为x米，
根据题意得：（20﹣x）（32﹣x）＝540．
故选：C．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，这类题目体现了数形的思想，需利用平移把没有规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程，求出答案．另外还要注意解的合理性，从而确定取舍．
7. 如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，下列说法没有正确的是（ ）．
A. △CDH的周长等于AD+CD B. FC平分∠BFD C. AC2+BF2=4CD2 D. DE2=EF.CE
【正确答案】B
【详解】试题分析：首先由正五边形的性质可得AB=BC=CD=DE=AE，BA∥CE，AD∥BC，AC∥DE，AC=AD=CE，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证得四边形ABCF为菱形，得CF=AF，即△CDF的周长等于AD+CD，由菱形的性质和勾股定理得出AC2+BF2=4CD2，可证明△CDE∽△DFE，即可得出DE2=EF•CE．
解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB=BC=CD=DE=AE，BA∥CE，AD∥BC，AC∥DE，AC=AD=CE，
∴四边形ABCF是菱形，
∴CF=AF，
∴△CDF的周长等于CF+DF+CD，
即△CDF的周长等于AD+CD，
故A选项正确；
∵四边形ABCF是菱形，
∴AC⊥BF，
设AC与BF交于点O，
由勾股定理得OB2+OC2=BC2，
∴AC2+BF2=（2OC）2+（2OB）2=4OC2+4OB2=4BC2，
∴AC2+BF2=4CD2．
故C选项正确；
由正五边形的性质得，△ADE≌△CDE，
∴∠DCE=∠EDF，
∴△CDE∽△DFE，
∴=，
∴DE2=EF•CE，
故D选项正确；
故选B．
点评：本题考查了正五边形的性质，全等三角形的判定，综合考察的知识点较多，解答本题注意已经证明的结论，可以直接拿来使用．
8. 学校准备从甲、乙、丙、丁四个科技创新小组中选出一组代表学校参加青少年科技创新大赛，各组的平时成绩的平均数（单位：分）及方差如表所示：
甲
乙
丙
丁
7
8
8
7
1
1.2
1
1.8
如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【正确答案】C
【分析】先比较平均数得到乙组和丙组成绩较好，然后比较方差得到丙组的状态稳定，于是可决定选丙组去参赛．
【详解】因为乙组、丙组的平均数比甲组、丁组大，
而丙组的方差比乙组的小，
所以丙组的成绩比较稳定，
所以丙组的成绩较好且状态稳定，应选的组是丙组．
故选：C．
本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数的意义．
9. 如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标没有可能是
A. （6，0） B. （6，3） C. （6，5） D. （4，2）
【正确答案】B
【详解】试题分析：△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=2．
A、当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC，故本选项没有符合题意；
B、当点E的坐标为（6，3）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=2，则AB：BC≠CD：DE，△CDE与△ABC没有相似，故本选项符合题意；
C、当点E坐标为（6，5）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=4，则AB：BC=DE：CD，△EDC∽△ABC，故本选项没有符合题意；
D、当点E的坐标为（4，2）时，∠ECD=90°，CD=2，CE=1，则AB：BC=CD：CE，△DCE∽△ABC，故本选项没有符合题意．
故选B．
10. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程数，“燃油效率”越高表示汽车每消耗1升汽油行驶的里程数越多；“燃油效率”越低表示汽车每消耗1升汽油行驶的里程数越少，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在没有同速度下的燃油效率情况，下列说法中，正确的是( )
A. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油至多
B. 以低于80 km/h的速度行驶时，行驶相同路程，三辆车中，乙车消耗汽油至少
C. 以高于80 km/h的速度行驶时，行驶相同路程，丙车比乙车省油
D. 以80 km/h的速度行驶时，行驶100公里，甲车消耗的汽油量约为10升
【正确答案】D
【详解】解：A. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车燃油效率，甲车消耗汽油至少，此选项错误；
B. 以低于80km/h的速度行驶时，行驶相同路程，三辆车中，甲车燃油效率，甲车消耗汽油至少，此选项错误；
C. 以高于80km/h速度行驶时，行驶相同路程，乙车燃油效率大于丙车燃油效率，乙车比丙车省油，此选项错误；
D. 由图象可知当速度为80km/h时，甲车的燃油效率为10km/L，即甲车行驶10km时，耗油1L，行驶100km时耗油10L，此选项正确；
故选D．
本题主要考查折线统计图，理解燃油效率的定义并从折线统计图中得出解题所需要的数据时解题的关键．
二、填 空 题（本大题共4小题每小题5分，共20分）
11. 掷一枚质地均匀的正方形骰子，骰子的六面分别标有1到6的点数，那么掷两次的点数之和等于5的概率是___________
【正确答案】
【详解】分析：
通过列表，得到所有等可能结果，由此即可求得所求概率.
详解：
根据题意，将两次抛掷骰子产生的情况列表如下：
1
2
3
4
5
6
1
1+1=2
1+2=3
1+3=4
1+4=5
1+5=6
1+6=7
2
2+1=3
2+2=4
2+3=5
2+4=6
2+5=7
2+6=8
3
3+1=4
3+2=5
3+3=6
3+4=7
3+5=8
3+6=9
4
4+1=5
4+2=6
4+3=7
4+4=8
4+5=9
4+6=10
5
5+1=6
5+2=7
5+3=8
5+4=9
5+5=10
5+6=11
6
6+1=7
6+2=8
6+3=9
6+4=10
6+5=11
6+6=12
由表中数据可知，共有36个等可能结果出现，其中和为5的有4次，
∴P（掷两次点数之和为5）=.
故答案为.
点睛：读懂题意，通过列表的方式找到所有的等可能结果是正确解答本题的关键.
12. 函数的定义域为：_________
【正确答案】
【详解】分析：
根据“使分式和二次根式有意义的条件”进行分析解答即可.
详解：
∵要使有意义，
∴ ，解得：且.
故且.
点睛：（1）分式有意义的条件是：字母的取值要使分母的值没有为0；（2）二次根式有意义的条件是：字母的取值要使被开方数是非负数.
13. 我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如表是两种运算对应关系的一组实例：
根据上表规律，某同学写出了三个式子：①，②，
③.其中正确的是_________.
【正确答案】①③
【详解】分析：
根据题中所描述的“新运算”与“指数运算”的关系进行分析判断即可.
详解：
（1）∵24=16，
∴由题意可得：log216=4，故①正确；
（2）∵52=25，
∴由题意可得：log525=2，故②错误；
（3）∵，
∴由题意可得：log2=，故③正确.
故①③.
点睛：读懂题意，知道“若ab=n，则logan=b”是正确解答本题的关键.
14. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=9,co=，把△ABC绕着点C旋转，使点B与AB边上的点D重合，点A落在点E，则点A、E之间的距离为______.
【正确答案】4
【详解】试题分析：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AB=9，co=，
∴BC=AB•co=9×=6，AC==3．
∵把△ABC绕着点C旋转，使点B与AB边上的点D重合，点A落在点E，
∴△ABC≌△EDC，BC=DC=6，AC=EC=3，∠BCD=∠ACE，
∴∠B=∠CAE．
作CM⊥BD于M，作CN⊥AE于N，则∠BCM=∠BCD，∠ACN=∠ACE，
∴∠BCM=∠ACN．
∵在△ANC中，∠ANC=90°，AC=3，cos∠CAN=co=，
∴AN=AC•cos∠CAN=3×=2，
∴AE=2AN=4．
考点：旋转的性质；解直角三角形．
三、计算题（本大题共3小题，每小题8分，满分24分）
15. 分解因式：（x﹣8）（x+2）+6x=_______________________．
【正确答案】（x+4）（x﹣4）
【详解】解：原式===（x+4）（x﹣4）．
故答案为（x+4）（x﹣4）．
16. 观察下列等式：
①sin30°=，cos60°=；
②sin45°=，cos45°=；
③sin60°=，cos30°=．
（1）根据上述规律，计算sin2α+sin2（90°-α）= ．
（2）计算：sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°．
【正确答案】（1）1（2）
【详解】分析：
（1）观察、分析所给等式可得：，即可求得本题的答案为1；
（2）把原式化为（sin21°+sin289）+（sin22°+sin288°）+…+sin245°，再（1）中所得结论进行计算即可求得本题答案.
详解：
（1）∵根据已知的式子可以得到sin（90°-α）=cosα，
∴sin2α+sin2（90°-α）= sin2α+cos2α=1；
（2）由（1）中结论可得：
sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°
=（sin21°+sin289）+（sin22°+sin288°）+…+sin245°
=1+1+…1+
=44+
=．
点睛：本题的解题要点是：（1）；（2）.
17. 如图，点C在⊙O上，连接CO并延长交弦AB于点D，，连接AC、OB，若CD=40，AC=．
（1）求弦AB的长；
（2）求sin∠ABO的值．
【正确答案】（1）40；（2）
【分析】（1）由CD过圆心O，可得CD⊥AB，AB=2AD=2BD，CD=40，AC=由勾股定理可得AD=20，由此可得AB=2AD=40；
（2）设⊙O的半径为r，在Rt△BDO中由勾股定理建立关于r的方程，解方程求得r的值，即可在Rt△BDO中，由sin∠ABO=求得sin∠ABO的值．
【详解】解：（1）∵CD过圆心O，，
∴CD⊥AB，AB=2AD=2BD，
∴∠ADC=90°，
又∵CD=40，AC=，
∴AD=，
∴AB=2AD=40；
（2）设圆O的半径为r，则OD=CD-OC=40-r，
∵BD=AD=20，∠ODB=90°，
∴BD2+OD2=OB2，
∴，
解得：，
∴DO=40-25=15，
∴sin∠ABO=
本题考查的是圆周角定理、锐角三角函数的定义，掌握圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及正弦的定义是解题的关键．
四、解 答 题（本大题共6小题，共66分）
18. 为响应推进中小学生素质教育的号召，某校决定在下午15点至16点开设以下选修课：音乐史、管乐、篮球、健美操、油画．为了解同学们的选课情况，某班数学兴趣小组从全校三个年级中各一个班级，根据相关数据，绘制如下统计图．
（1）请根据以上信息，直接补全条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）；
（2）若初一年级有180人，请估算初一年级中有多少学生选修音乐史？
（3）若该校共有学生540人，请估算全校有多少学生选修篮球课？
【正确答案】（1）补图见解析．（2）48人．（3）135人．
【详解】试题分析：（1）初二（5）班选篮球的有6人，用6除以20%得到全班人数为30，然后用30减去其他四类选修的人数得到选修管乐的人数为6，再用6除以30即可得到管乐所占的百分比；
（2）用180乘以选修音乐史所占的百分比即可估计初一年级中选修音乐史的人数；
（3）用540乘以三个班中选修篮球课所占的百分比．
试题解析：（1）如图；
（2）180× =48（人），
所以初一年级有180人，估算初一年级中有48人选修音乐史；
（3）540×=135（人），
所以估算全校有135修篮球课．
考点：1．条形统计图；`2．用样本估计总体；3．扇形统计图．
19. 某校计划在暑假两个月内对现有的教学楼进行加固改造,经发现,甲、乙两个工程队都有能力承包这个项目,已知甲队单独完成工程所需要的时间是乙队的2倍,甲、乙两队合作12天可以完成工程的;甲队每天的工作费用为4500元,乙队每天的工作费用为10000元,根据以上信息,从按期完工和节约资金的角度考虑,学校应选择哪个工程队?应付工程队费用多少元?
【正确答案】学校应选择甲工程队，应付工程费用243000元
【详解】分析：
设乙队完成全部工程所需时间为x天，由此可得甲队单独完成全部工程所需时间为2x天，两队的工作效率分别为：乙为，甲为，根据“甲、乙两队合作12天可以完成工程的”列出方程，解方程求得两队各自所需时间，再由此求出各自所需工程费用进行比较即可得到结论.
详解：
设乙队单独完成需x天，则甲队单独完成需要2x天，根据题意得
,
解得，
经检验是原方程的解，
且，都符合题意.
∴应付甲队54×4500=243000（元）
应付乙队27×10000=270000（元）
∵243000＜270000，所以公司应选择甲工程队.
答：学校应选择甲工程队，应付工程费用243000元.
点睛：读懂题意，找到等量关系：甲队12天完成的工程量+乙队12天完成的工程量=总工程量的，并由此设出未知数，列出方程是正确解答本题的关键.
20. 图①②③是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．
（1）图①中△MON的面积=________；
（2）在图②③中以格点为顶点画出一个正方形ABCD，使正方形ABCD的面积等于（1）中△MON面积的4倍，并将正方形ABCD分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角形和一个正方形，且正方形ABCD的面积没有剩余（在图②、图③中画出的图形没有能是全等形）
【正确答案】（1）5（2）见解析
【详解】分析：
（1）如下图1，由S△MON=S矩形ABCN-S△AON-S△BOM-S△MCN题目中所给数据计算即可得到△MON的面积；
（2）由（1）可知所画正方形的面积为20，由此可得其边长为，由勾股定理可知，两直角边长分别为2和4的直角三角形的斜边长为，由此即可画出符合题意的正方形，如下图2、3所示，再按要求进行分割即可.
详解：
（1）如下图1，由条件可得：
S△MON=S矩形ABCN-S△AON-S△BOM-S△MCN=，
故答案为5．
（2）由（1）可知，所求正方形的面积为：5×4=20，
∴所求正方形的边长为，
由勾股定理可知：两直角边长分别为2和4的直角三角形的斜边长为，由此即可画出符合题意的正方形，如下图2、3所示：
点睛：（1）解第1小题时，作出如图所示的矩形ABCN，把求S△MON的值转化为S△MON=S矩形ABCN-S△AON-S△BOM-S△MCN来求是解答本小题的关键；（2）解第2小题时，由勾股定理知道：“两直角边长分别为2和4的直角三角形的斜边长为”是画出所求正方形的关键.
21. 某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯AC，截面如图所示，一楼和二楼地面平行（即AB所在的直线与CD平行），层高AD为8米，∠ACD=20°，为使得顾客乘坐自动扶梯时没有至于碰头，A、B之间必须达到一定的距离．
（1）要使身高2.26米的姚明乘坐自动扶梯时没有碰头，那么A、B之间的距离至少要多少米？（到0.1米）
（2）如果自动扶梯改为由AE、EF、FC三段组成（如图中虚线所示），中间段EF为平台（即EF∥DC），AE段和FC段的坡度i=1：2，求平台EF的长度．（到0.1米）
（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
【正确答案】（1）6.3；（2）6.2
【详解】试题分析：（1）连接AB，作BG⊥AB交AC于点G，在Rt△ABG中，利用已知条件求出AB的长即可；
（2）设直线EF交AD于点P，作CQ⊥EF于点Q，设AP=x，则PE=2x，PD=8﹣x，在Rt△ACD中利用已知数据可求出CD的长，进而可求出台EF的长度．
试题解析：（1）连接AB，作BG⊥AB交AC于点G，则∠ABG=90°
∵AB∥CD，∴∠BAG=∠ACD=20°，
在Rt△ABG中，，
∵BG=2.26，tan20°≈0.36，
∴，
∴AB≈6.3，
答：A、B之间的距离至少要6.3米．
（2）设直线EF交AD于点P，作CQ⊥EF于点Q，
∵AE和FC的坡度为1：2，
∴，
设AP=x，则PE=2x，PD=8﹣x，
∵EF∥DC，
∴CQ=PD=8﹣x，
∴FQ=2（8﹣x）=16﹣2x，
在Rt△ACD中，，
∵AD=8，∠ACD=20°，
∴CD≈22.22
∵PE+EF+FQ=CD，
∴2x+EF+16﹣2x=22.22，
∴EF=6.22≈6.2
答：平台EF的长度约为6.2米．
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
22. 直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点A关于直线x=-1的对称点为点C.
（1）求点C坐标；
（2）若抛物线（m≠0）A、B、C三点，求抛物线的表达式；
（3）若抛物线（a≠0）A，B两点，且顶点在第二象限.抛物线与线段AC有两个公共点，求a的取值范围.
【正确答案】（1）（-3，0）（2） （3）a＜-3
【详解】试题分析：（1）把y=0，代入函数解析式，求出点A的坐标，根据对称得出C点的坐标即可；（2）先求出B点坐标，再把点A、B三点的坐标分别代入，解得m、n的值即可；（3）根据题意抛物线开口向下，所以当图像A点的关于原点对称的点时a取值，当点C时开口，a的值最小.
试题解析：解：（1）令y=0，得x=1．
∴点A的坐标为（1,0）．
∵点A关于直线x=﹣1对称点为点C，
∴点C的坐标为（﹣3,0）．
（2）令x=0，得y=3．
∴点B的坐标为（0,3）．
∵抛物线点B，
∴﹣3m=3，解得m=﹣1．
∵抛物线点A，
∴m+n﹣3m=0，解得n=﹣2．
∴抛物线表达式为．
（3）由题意可知，a<0．
根据抛物线的对称性，当抛物线（﹣1,0）时，开口最小，a=﹣3，
此时抛物线顶点在y轴上，没有符合题意.
当抛物线（﹣3,0）时，开口，a=﹣1.
函数图像可知，a取值范围为.
23. 在△ABC中,∠ACB=90°,点B的直线l(没有与直线AB重合)与直线BC的夹角等于∠ABC,分别过点C、点A作直线l的垂线,垂足分别为点D、点E.
(1)如图1,当点E与点B重合时,若AE=4,判断以C点为圆心CD长为半径的圆C与直线AB的位置关系并说明理由;
(2)如图2,当点E在DB延长线上时,求证:AE=2CD;
(3)记直线CE与直线AB相交于点F,若,,CD=4,求BD的长.
【正确答案】(1)以C点为圆心CD长为半径的圆C与直线AB的位置关系是相切 (2)证明见解析(3) BD的长为2或8.
【详解】分析：
（1）如图1，过点C作CF⊥AB于点F，由已知条件易证此时四边形DBFC是正方形，由此可得CF=CD，从而可得此时以点C为圆心，CD长为半径的圆C与直线AB的位置关系是相切；
（2）如图2，延长AC交直线l于点G，由∠ACB=90°，∠ABC=∠GBC“三角形内角和定理”可得∠BAC=∠BGC，由此可得AB=GB，BC⊥AG可得AC=GC，由CD⊥l，AE⊥l可得CD∥AE，由此即可得到CD：AE=GC：GA=1：2，从而可得结论AE=2CD；
（3）如图3和图4，分点E在线段DB的延长线上和线段DB上两种情况作出符合要求的图形，并过点C作CG∥l交AB于点H，交AE于点G，然后已知条件和（2）中所得结论进行分析计算即可.
详解：
(1)以C点为圆心CD长为半径的圆C与直线AB的位置关系是相切,
理由如下：
如图1，过点C作CF⊥AB,垂足为点F，
∵CD⊥l，AB⊥l，CF⊥AB，
∴∠CDB=∠DBA=∠CFB=90°，
∴四边形DBFC是矩形，
∵∠ABD=90°，∠ABC=∠CBD，
∴ ∠ABC=∠CBD=45°,
∵∠ACB=90°，∠ABC=45°,
∴ ∠BCF=∠ABC=45°，
∴CF=BF，
∴四边形DBFC是正方形，
∴CF=CD=2，
∴圆C与直线AB相切；
(2)如图2，延长AC交直线l于点G,
∵∠ACB=90°,∠ABC=∠GBC
∴∠BAC=∠BGC
∴ AB=GB
∴ AC=GC,
∵ AE⊥l，CD⊥l，
∴ AE∥CD
∴ ,
∴AE=2CD
(3)由题意分以下两种情况解答：
(I)如图3,当点E在DB延长线上时:
过点C作CG∥l交AB于点H交AE于点G,则∠CBD=∠HCB,
∵∠ABC=∠CBD,
∴∠ABC=∠HCB,
∴CH=BH,
∵∠ACB=90°,
∴∠ABC+∠BAC=∠HCB+∠HCA=90°
∴∠BAC=∠HCA
∴CH=AH=BH,
∵CG∥l,
∴ ,
设CH=5x,则BE=6x,AB=10x
在Rt△ABE中,
由(2)知AE=2CD=8,
∴8x=8,得x=1
∴CH=5,BE=6,AB=10
∵ CG∥l,
∴ ,
∴HG=3,
∴CG=CH+HG=8,
∵四边形CDEG是矩形,
∴DE=CG=8
∴BD=DE-BE=2;
(Π)如图4,当点E在DB上时:
同理可得CH=5,BE=6,HG=3,
∴DE=CG=GH-HG=2
∴BD=DE+BE=8,
综上所述,BD的长为2或8.
点睛：（1）解第1小题的关键是：作出CF⊥AB于点F，计算出CF的长度并和CD的大小进行比较；（2）解第2小题的关键是：作出如图所示的辅助线，并证明点C是线段AG的中点；（3）第3小题存在两种情况：①点E在线段DB的延长线上；②点E在线段DB上；解题时需分两种情况画出符合要求的图形，再图形和已知条件分析解答，没有要忽略了其中任何一种情况.
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