湖北省部分名校2023届高考适应性考试数学试题及答案

湖北省部分名校2023年高考适应性考试

数学

本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.用表示非空集合中的元素个数，定义若，且，设实数的所有可能取值组成的集合是，则等于（    ）

A.1    B.3    C.5    D.7

2.已知等差数列的前项和为，则（    ）

A.63    B.92    C.117    D.145

3.已知点与直线，且直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ）

A.或    B.或

C.    D.

4.设是实系数一元二次方程的两个根，若是虚数，是实数，则（    ）

A.0    B.-1    C.-2    D.1

5.秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从阳，开平方得积.”如果把以上这段文字写成公式就是，其中a，b，c是的内角A，B，C的对边，若，且，则面积S的最大值为（    ）

A.    B.    C.    D.

6.函数是定义在R上的奇函数，当时，，则函数在上的所有零点之和为（    ）

A.-32    B.32    C.16    D.8

7.在平面直角坐标系中，若抛物线的焦点为，直线抛物线交于两点，，圆为的外接圆，直线与圆切于点，点在圆上，则的取值范围是（    ）

A.    B.    C.    D..

8.若实数a，b，，且满足，，，则a，b，c的大小关系是（    ）

A.c>b>a    B.b>a>c    C.a>b>c    D.b>c>a

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知正实数满足，则（    ）

A.的最大值为2

B.的最小值为4

C.的最小值为

D.的最小值为

10.若函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，下列说法错误的是（    ）

A.数的图象关于直线对称

B.函数的图象关于点对称

C.函数的单调递增区间为

D.函数是偶函数

11.如图，有一列曲线，，，，，且是边长为6的等边三角形，是对进行如下操作而得到：将曲线的每条边进行三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到，记曲线的边长为，周长为，则下列说法正确的是（    ）

A.    B.

C.在中    D.在中

12.已知椭圆：的左､右焦点分别为，右顶点为A，点M为椭圆上一点，点I是的内心，延长MI交线段于N，抛物线（其中c为椭圆下的半焦距）与椭圆交于B，C两点，若四边形是菱形，则（    ）

A.    B.椭圆的离心率是

C.的最小值为    D.的值为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.对于n∈N*，将n表示为n=a0×2k+a1×2k﹣1+a2×2k﹣2+…+ak﹣1×21+ak×20，i=0时，ai=1，当1≤i≤k时，ai为0或1，记I（n）为上述表示中ai为0的个数；例如4=1×22+0×21+0×20，11=1×23+0×22+1×21+1×20，故I（4）=2，I（11）=1；则2I（1）+2I（2）+…+2I（254）+2I（255）=_____.

14.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子，古称“角黍”“裹蒸”“包米”“简粽”等，早在春秋时期就已出现，到了晋代成为了端午节庆食物.将宽为1的矩形纸片沿虚线折起来，可以得到粽子形状的六面体，则该六面体的体积为__________；若该六面体内有一球，当该球体积最大时，球的表面积为__________.

15.若双曲线上存在一点满足以为边长的正三角形的内切圆的面积等于（其中为坐标原点，为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率的取值范围是__________.

16.在正项数列中，，记.数满足，则数列的前项和为__________.

四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（10分）

在中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足.

（1）求角A；

（2）若，，求的面积.

18.已知如图，在多面体中，，，为的中点，，，平面.

（1）证明：四边形为矩形；

（2）当三棱锥体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值.

19.设是公差不为零的等差数列，满足，，设正项数列的前n项和为，且.

（1）求数列和的通项公式；

（2）在和之间插入1个数，使､､成等差数列；在和之间插入2个数､，使､､､成等差数列；…，在和之间插入n个数､､…､，使､､､…､､成等差数列，求；

（3）对于（2）中求得的，是否存在正整数m､n，使得成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由.

20.已知椭圆经过点，其右焦点为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）椭圆的右顶点为，若点在椭圆上，且满足直线与的斜率之积为，求面积的最大值.

21.某区域中的物种拥有两个亚种（分别记为A种和种）.为了调查该区域中这两个亚种的数目，某生物研究小组计划在该区域中捕捉个物种，统计其中A种的数目后，将捕获的生物全部放回，作为一次试验结果.重复进行这个试验共次，记第次试验中A种的数目为随机变量.设该区域中A种的数目为，种的数目为，每一次试验均相互独立.

（1）求的分布列；

（2）记随机变量.已知，；

（i）证明：，；

（ii）该小组完成所有试验后，得到的实际取值分别为.数据的平均值，方差.采用和分别代替和，给出，的估计值.

22.已知函数（e为自然对数的底数）有两个零点.

（1）若，求在处的切线方程；

（2）若的两个零点分别为，证明：.

湖北省部分名校2023年高考适应性考试

数学试题参考答案

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

1.B    2.B    3.A    4.C   

5.B    6.D    7.B    8.B

二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.BCD    10.ABC    11.ACD    12.ACD

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.3280    14.；    15.    16.

四、解答题：本题共6小题，共70分.

17.（1）由及正弦定理可知：，

所以，

所以，即，

又，

所以.

（2）由余弦定理，得，

所以，

所以舍去，

从而.

18.（1）解：因为，，为的中点，

所以，且，

又因为，所以，因为，

所以四边形为平行四边形，

因为平面，平面，所以，所以，

因为，平面，所以平面，平面，

所以，所以四边形为矩形.

（2）解：由（1）可知，平面，平面，平面，所以，，

所以三棱锥的体积

，

当且仅当时等号成立，此时，

据（1），以为坐标原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系如图所示.

由已知可得下列点的坐标：，，，，

所以，，

设平面的法向量为，则，

即，取，则，，

所以平面的一个法向量为，

因为是平面的法向量，

设平面与平面夹角为，则，

故平面与平面夹角的余弦值为.

19.（1）设等差数列的公差为d，（d≠0），

则由，得，

因为，所以，

所以；

由，①

当时，，②

①﹣②，得，

∴，

又当时，，解得：，

∴是首项为，公比为的等比数列，

∴.

（2）在和之间插入n个数､､…､，使､､､…､､成等差数列，设公差为，

∴，

则，

∴，

∴，①

则，②

①﹣②得，

∴.

（3）假设存在正整数m，n，使成立，

.

，

当时，不合题意，

当n=2时，，

当n=3时，，

下证，当时，有，即证，

设，，则，

∴在上单调递增，

故时，，

∴，

∴时，m不是整数，

∴所有的正整数对为及.

20.（1）依题可得解得

所以椭圆的方程为；

（2）易知直线与的斜率同号，所以直线不垂直于轴，

故可设，

由可得，，

所以，即，

而，即，

化简可得，

，

化简得，

所以或，

所以直线或，

因为直线不经过点，

所以直线经过定点.

所以直线的方程为，易知，

设定点

，

因为，且，

所以，所以，

设，

所以，

当且仅当，即时取等号，即面积的最大值为.

21.（1）依题意，均服从完全相同的超几何分布，故的分布列为.

（2）（i）由题可知

，

，

故，

（ii）由（i）可知的均值

先计算的方差

所以

依题意有

解得，.

所以可以估计，.

22.（1）当时，，.

又，所以切点坐标为，切线的斜率为，

所以切线的方程为，即.

（2）由已知得有两个不等的正实根，

所以方程有两个不等的正实根，

即有两个不等的正实根，①.

要证，只需证，

即证，

令，，所以只需证.

由①得，，

所以，，

消去得，

只需证.

设，令，则，所以只需证.

令，，则，

所以，即当时，成立.

所以，即，即.