辽宁省沈阳市2023届高三三模数学试题及答案

2023年沈阳市高中三年级教学质量监测（三）

数学

命题：沈阳市第一二〇中学  潘戈

沈阳市第二中学  王晓冬

沈阳市第十一中学  师宁宁

主审：沈阳市教育研究院  王孝宇

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。考生作答时，将答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上．并将条码粘贴在答题卡指定的区域内．

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效．

3．考试结束后，考生将答题卡交回．

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，，则（    ）

A． B． C． D．

2．在复平面内，复数，对应的点分别是，，则的虚部是（    ）

A．i B．-i C．1 D．-1

3．不等式的解集为（    ）

A．  B．

C． D．

4．的展开式中，含项的系数为（    ）

A．430 B．435 C．245 D．240

5．若圆截直线所得弦长为2，则（    ）

A．-1  B．0 C．1 D．2

6．已知函数，若的值域是R，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

7．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，它将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭．如图，现有一方亭ABCD-EFHG，其中上底面与下底面的面积之比为1：4，方亭的高，，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭的体积为，则该方亭的表面积为（    ）

A． B． C． D．

8．已知，，，则下列判断正确的是（    ）

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得５分，部分选对的得２分，有选错的得０分。

9．下列命题中正确的是（    ）

A．已知一组数据6，6，7，8，10，12则这组数据的50%分位数是7.5

B．已知随机变量，且，则

C．已知随机变量，则

D．已知线性回归方程，则y与x具有负线性相关关系

10．已知空间中的两条直线m，n和两个平面α，β，则的充分条件是（    ）

A．，  B．，，

C．，， D．，，

11．对于函数，下列结论正确的是（    ）

A．

B．的单调递减区间为

C．的最大值为1

D．若关于x的方程在上有四个实数解，则

12．已知等比数列首项，公比为q，前n项和为，前n项积为，函数，若，则下列结论正确的是（    ）

A．为单调递增的等差数列 B．

C．为单调递增的等比数列 D．使得成立的n的最大值为6

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知，，若与的夹角是锐角，则实数x的取值范围是______．

14．在中，AD为的角平分线，，，，则______，若，则______．

15．已知A，B，P为双曲线上不同的三点，且满足（O为坐标原点），直线PA，PB的斜率记为m，n，则的最小值为______．

16．已知对任意的，不等式恒成立，则k的取值范围是______．

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本题满分10分）已知数列满足，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和．

18．（本题满分12分）已知函数，．

（1）求的单调递增区间；

（2）若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围．

19．（本题满分12分）如图，在三棱锥中，，，，，点D为BC中点．

（1）求二面角的余弦值；

（2）在直线AB上是否存在点M，使得PM与平面PAD所成角的正弦值为，若存在，求出点M的位置；若不存在，说明理由．

20．（本题满分12分）甲、乙两人进行抛掷骰子游戏，两人轮流抛掷一枚质地均匀的骰子．规定：先掷出点数6的人获胜，此时游戏结束．

（1）记两人抛掷骰子的总次数为X，若每人最多抛掷两次骰子，求比赛结束时，X的分布列和期望；

（2）已知甲先掷，求甲恰好抛掷N次骰子并获得胜利的概率．

21．（本题满分12分）已知椭圆C：的离心率为，其左焦点为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）如图，过椭圆C的上顶点P，作以为圆心的动圆D的切线，两条切线分别交椭圆于M，N两点，请判断是否存在圆D使得是以PN为斜边的直角三角形？若存在，求出圆D的半径；若不存在，请说明理由．

22．（本题满分12分）已知函数在点处的切线方程为．

（1）求a，b；

（2）函数图像与x轴负半轴的交点为P，且在点P处的切线方程为，函数，，求的最小值；

（3）关于x的方程有两个实数根，，且，证明．

2023年沈阳市高三质量检测（三）

参考答案

1-5．ADABC    6-8．BAC    9．ABD    10．ACD    11．AD    12．BCD

13．    14．7或；（第一个空全对2分，第二个空3分）

15．    16．

部分选填题详解：

6．B

根据题意可得，在同一坐标系下分别画出函数和的图象如下图所示：

由图可知，当或时，两图象相交，

若的值域是R，以实数a为分界点，可进行如下分类讨论：

当时，显然两图象之间不连续，即值域不为R；

同理当，值域也不是R；

当时，两图象相接或者有重合的部分，此时值域是R；

综上可知，实数a的取值范围是．

故选：B

8．C

∵，∴，

∵，∴，则．

∵，∴

∵，∴，，即，则．

故选：C．

11．AD

因为，

所以当，即，时，，

当，即，时，，

所以，A正确；

因为函数在，上单调递减，

函数在，上单调递增，

函数在，上单调递增，

函数在，上单调递减，

又当，时，，

当，时，，

所以函数的单调递减区间为（）和（），B错误；

当，时，，

当，时，，

当且仅当，时取等号；

所以的最大值为，C错误；

因为方程在上有四个实数解，

所以函数的图象与函数的图象有四个交点，

作函数在上的图象如下，

观察可得，D正确；

故选：AD．

12．BCD

函数，

则，

因为，所以，

由等比数列的性质可得，

所以，所以，

由，可得，故B正确；

因为等比数列首项，公比为q，所以，

则，故为单调递减的等差数列，故A错误；设

，则为常数，

因为，所以，单调递减，

所以为单调递增的等比数列，故C正确；

因为，且，所以，，

所以使得成立的n的最大值为6，故D正确．

16．

解：对任意的，不等式恒成立，

即，显然，

所以，

令，，

则，，

设，所以，

当时，，所以在单调递增，

所以，所以在单调递增，

因为①式可化为，所以，所以，

令，，则，

当时，，当时，，

所以在单调递增，在单调递减，所以，所以，

故答案为：．

17．（1）因为，所以，

所以

，

又，所以，

又当时也适合上式，所以．

（2）因为，所以，

，①

，②

-②得，

所以，所以，

故．

18．（1）

．

由，，

可得，．再由，可得，

故的单调递增区间．

（2）不等式，即．

而时，，∴，．

∵不等式在上恒成立，

∴且，解得，

故实数m的取值范围为．

19．解：（1）∵PC⊥AC，∴∠PCA=90°，

∵AC=BC，PA=PB，PC=PC，

∴，∴∠PCA=∠PCB=90°，即，

又，AC、平面ACB，

∴平面ACB，∴PC，CA，CB两两垂直，

故以C点为坐标原点，分别以CB，CA，CP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，

则，，，，

，，

设平面PAD的一个法向量，

则，取，得，

易知平面PDB的一个法向量为，

∴，

设二面角的平面角为，

∵是钝角，∴．

（2）存在，M是AB的中点或A是MB的中点．

设，则，

∵，

解得或，

∴M是AB的中点或A是MB的中点．

20．解：（1）X的所有可能取值为：1，2，3，4，

则，，

，；

所以X的分布列为

所以X的数学期望为．

（2）（法一）设事件“甲掷第n次且不获胜”的概率为，

由题可知：，且（且），

所以数列是以为首项，为公比的等比数列，则，

所以甲恰好抛掷第n次且赢得比赛的概率（且），

当时符合，所以．

（法二）甲抛了n次，乙抛了次，共抛了次，则甲抛n次获胜的概率为

．

21．（1）由题意得得，所以椭圆的方程为．

（2）若切线的斜率不存在，则圆的半径为2，此时另一条切线与椭圆无交点，所以切线斜率存在．

设切线PM：，联立，即，

即，，解得，，

当，，则，

同理设切线PN：，则，

则

，

则由，即，即，

即，即（*）．

设圆：，过点P切线为，

即，则，即，

即，由，为方程的两根，则

由，从而，故直线MN斜率确实存在，代入（*）式，

则，矛盾，从而不存在．

22．【解答】解：（1）将代入切线方程中，得，

所以，又，解得或，

又，所以

若，则（舍去）；所以，则；

（2）由（1）可知，，，所以，

令，有或，

故曲线与x轴负半轴的唯一交点P为，

曲线在点处的切线方程为，则，

因为，所以，

所以，

若，，

若，，，所以，，

若，，，，，所以在上单调递增，∴，∴函数在上单调递增．

所以；

（3）证明：，设的根为，则，

又单调递减，由（2）知恒成立．

又，所以，

设曲线在点处的切线方程为，则，

令，，

当时，，当时，，

故函数在上单调递增，又，

所以当时，，当时，，

所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以，即，

设的根为，则，

又函数单调递增，故，故

又，所以．