重庆市广益中学2022-2023学年高二数学下学期期末复习检测（二）试题（Word版附解析）

重庆市广益中学2023届高二下期末

复习检测题（二）

一、单选题

1．如图，用，，三类不同的元件连接成一个系统，当正常工作且，至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知，，正常工作的概率依次是，，，已知在系统正常工作的前提下，则只有和正常工作的概率是（    ）

A． B． C． D．

2．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴在y轴的左侧，其中a、b、c∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝“|a－b|的取值”，则ξ的数学期望E(ξ)为(　　)

A． B． C． D．

3．甲乙两人进行乒乓球赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若，则（    ）

A． B． C． D．

4．已知函数存在两个零点，则实数t的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

5．若任意两个不等正实数，，满足，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

6．在数学王国中有许多例如，等美妙的常数，我们记常数为的零点，若曲线与存在公切线，则实数的取值范围是（    ）

A． B．   C． D．

7．设函数的定义域为，是其导函数，若，，则的解集是（    ）

A． B． C． D．

8．若曲线有三条过点的切线，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

10．已知事件A，B满足，，则（    ）

A．若，则          B．若A与B互斥，则

C．若，则A与B相互独立   D．若A与B相互独立，则

11．4个不同的小球随机投入4个不同的盒子，设随机变量为空盒的个数，下列说法正确的是（    ）

A．随机变量的取值为   B．   C．   D．

12．已知函数，下列结论正确的是（    ）

A．在处的切线方程为

B．在区间单调递减，在区间单调递增

C．设，若对任意，都存在，使成立，则

D．

三、填空题

13．一组数据按照从小到大顺序排列为1，2，3，4，5，8，记这组数据的上四分位数（第75百分位数）为，则展开式中的常数项为______.

14．为庆祝中国共产党成立100周年，某志愿者协会开展“党史下乡”宣讲活动，准备派遣8名志愿者去三个乡村开展宣讲，每名志愿者只去一个乡村，每个乡村至少安排2个志愿者，则不同的安排方法共有______种.（用数字作答）

15．的展开式中的常数项为______．

16．如图给出的三角形数阵，图中虚线上的数、、、、，依次构成数列，则___________.

17．2023年2月22日，中国花样滑冰协会发布公告，宣布2023中国杯世界花样滑冰大奖赛落地重庆．重庆市体育局计划从某高校的4名男志愿者和4名女志愿者中选派6人参加志愿者培训，事件A表示选派的6人中至少有3名男志愿者，事件B表示选派的6人中恰好有3名女志愿者，则______．

18．在排球比赛的小组循环赛中，每场比赛采用五局三胜制．甲、乙两队小组赛中相见，积分规则如下：以或获胜的球队积3分，落败的球队积0分；以获胜的球队积2分，落败的球队积1分．若甲队每局比赛获胜的概率为0.6，则在甲队本场比赛所得积分为3分的条件下，甲队前2局比赛都获胜的概率是________．(用分数表示)

19．有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为____________.

20．一个盒子中装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：，，，，，．现从盒子中逐一抽取卡片并判函数的奇偶性，每次抽出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，设抽取次数为X，则的概率为___________．

21．若不等式对任意成立，则实数的取值范围为__________．

四、解答题

22．（1）四件不同的装饰品要装进包装盒里，有三个不同形状的精美盒子选择，问一共有多少种包装方法？

（2）四件不同的装饰品要装进包装盒里，有三个不同形状的精美盒子选择，每个盒子至少有一件装饰品，问一共有多少种包装方法？

（3）四件不同的装饰品要装进包装盒里，有三个大小、形状、图案等完全相同的精美盒子选择，每个盒子至少有一件装饰品，问一共有多少种包装方法？

（4）四件不同的装饰品要装进包装盒里，有三个大小、形状、图案等完全相同的精美盒子选择，问一共有多少种包装方法？

23．甲、乙、丙3台车床加工同一型号的零件，甲加工的次品率为6%，乙、丙加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知甲、乙、丙加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.

(1)任取一个零件，求它是次品的概率；

(2)如果取到的零件是次品，求它是丙车床加工的概率.

24．在高考结束后，程浩同学回初中母校看望数学老师，顺便帮老师整理初三年级学生期中考试的数学成绩，并进行统计分析，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为，，，，，，共6组，得到如图所示的频率分布直方图，记分数不低于90分为优秀．

(1)从样本中随机选取一名学生，已知这名学生的分数不低于70分，问这名学生数学成绩为优秀的概率；

(2)在样本中，采取分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取13名，再从这13名学生中随机抽取3名，记这3名学生中成绩为优秀的人数为X，求X的分布列与数学期望．

25．安全教育越来越受到社会的关注和重视．为了普及安全教育，学校组织了一次学生安全知识竞赛，学校设置项目A“地震逃生知识问答”和项目B“火灾逃生知识问答”．甲、乙两班每班分成两组，每组参加一个项目，进行班级对抗赛．每一个比赛项目均采取五局三胜制（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束），假设在项目A中甲班每一局获胜的概率为，在项目B中甲班每一局获胜的概率为，且每一局之间没有影响．

(1)求乙班在项目A中获胜的概率；

(2)设乙班获胜的项目个数为X．求X的分布列及数学期望．

26．某中学以学生为主体，以学生的兴趣为导向，注重培育学生广泛的兴趣爱好，开展了丰富多彩的社团活动，其中一项社团活动为《奇妙的化学》，注重培养学生的创新精神和实践能力.本社团在选拔赛阶段，共设两轮比赛．第一轮是实验操作，第二轮是基础知识抢答赛．第一轮给每个小组提供5个实验操作的题目，小组代表从中抽取2个题目，若每个题目的实验流程操作规范可得10分，否则得0分．

(1)已知某小组会5个实验操作题目中的3个，求该小组在第一轮得20分的概率；

(2)已知恰有甲、乙、丙、丁四个小组参加化学基础知识的抢答比赛，每一次由四个小组中的一个回答问题，无论答题对错，该小组回答后由其他小组抢答下一问题，且其他小组有相同的机会抢答下一问题．记第次回答的是甲的概率是，若．

①求和；

②写出与之间的关系式，并比较第9次回答的是甲和第10次回答的是甲的可能性的大小．

参考答案：

1．C

【详解】设事件A为系统正常工作，事件B为只有M和正常工作，

因为并联元件、能正常工作的概率为，

所以，又，

所以．

即只有M和正常工作的概率为.

故选：C．

2．A

【详解】由于对称轴在轴左侧，故，故同号，基本事件有.的可能性有三种，，，.故期望值为.故选.

3．D

【详解】随机变量可能的取值为.

.

，

故的分布列为：

故

因为，故，而，故A、B错误.

而，

令，因为，

故，此时，

必成立，故C错误，D正确.

故选：D.

4．C

【详解】存在两个零点，则有两个不同的实数根，

当时，只有一个零点，不符合题意，故，

即有两个不同的实数根，

记，

当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，故当时，取极大值也是最大值，

又当时，，如图为的图象

5．D

【详解】因为对任意两个不等正实数，，满足，

不妨令，则，所以，

即，所以，

令，则，

即在上单调递减，

由，当时，当时，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，即的最小值为.

6．A

【详解】由题意可知，曲线与存在公切线，设切点分别为，，则公切线为，即，

而切线斜率，，

则，而点由在公切线上，故代入切线方程得，，化简得

，其中，

令，其中，

，由复合函数的单调性可知，在上单调递减，而为的零点，

当时，，单调递增；当时，，单调递减；

故

，即

故选：A.

7．B

【详解】令，则，

因为，所以，所以，

所以函数在上单调递增，

而可化为，又

即，解得，

所以不等式的解集是．

故选：B

8．B

【详解】设该切线的切点为，则切线的斜率为，

所以切线方程为，

又切线过点，则，整理得.

要使过点的切线有3条，需方程有3个不同的解，

即函数图象与直线在R上有3个交点，

设，则，

令，令或，

所以函数在上单调递增，在和上单调递减，

且极小值、极大值分别为，如图，

由图可知，当时，函数图象与直线在R上有3个交点，

即过点的切线有3条.

所以实数a的取值范围为.

故选：B.

10．BD

【详解】解：对于A，因为，，，所以，故A错误；

对于B，因为与互斥，所以，故B正确；

对于C，因为，即，所以，又因为，所以，故C错误；

对于D，因为与相互独立，所以与相互独立；因为，所以，所以，故D正确.

故选：BD

11．BD

【详解】4个不同的小球随机投入4个不同的盒子，

则随机变量可取，故A错误；

则，，

，，

故B正确，C错误；

，故D正确.

故选：BD.

12．ACD

【详解】，则，，

当和时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增.

对选项A：，，故切线方程为，正确；

对选项B：函数定义域为，错误；

对选项C：当时，，，故，正确；

对选项D：根据幂函数的单调性知，，，即，

故，即，故，正确.

故选：ACD

13．10

【详解】由题设，则，

所以，展开式通项为，

当，则，即常数项为.

故答案为：

14．

【详解】依题意，①先将8名志愿者分成（3,3,2）一组，再分配到三个乡村，

则有种安排方法.

②先将8名志愿者分成（2,2,4）一组，再分配到三个乡村，

则有种安排方法.

所以共有：种方法.

故答案为：.

15．

【详解】的展开式的通项公式为.

令，令.

则的展开式中的常数项为.

故答案为：

16．

【详解】由杨辉三角与二项式系数的关系可知，，，，

所以，，所以，，

所以，.

故答案为：.

17．

【详解】解法一  从4名男志愿者和4名女志愿者中选派6人，至少有3名男志愿者的概率．

又，根据条件概率的计算公式可知，．

故答案为：.

解法二  从4名男志愿者和4名女志愿者中选派6人，至少有3名男志愿者有种情况，其中有3名女志愿者有种情况．

根据古典概型的概率计算公式可知，．

故答案为：.

18．

【详解】甲队以获胜，即三局都是甲胜，概率是，

甲队以获胜，即前三局有两局甲胜，第四局甲胜，概率是，

设“甲队本场比赛所得积分为3分”为事件，“甲队前2局比赛都获胜”为事件，

甲队以获胜，即前2局都是甲胜，第4局甲胜，概率是，

则，，

则在甲队本场比赛所得积分为3分的条件下，

甲队前2局比赛都获胜的概率.

故答案为：.

19．

【详解】设事件为“一瓶是蓝色”，事件为“另一瓶是红色”，事件为“另一瓶是黑色”，事件为“另一瓶是红色或黑色”，则，且与互斥，

又，，，

故.

故答案为：.

20．/0.8

【分析】由题可知X的取值范围是，而，分别求出概率，即可求出答案.

【详解】易判断，，为偶函数，所以写有偶函数的卡片有3张，的取值范围是．

 ，，

所以．

故答案为：

21．

【详解】因为对任意成立，

不等式可变形为:，

即，

即对任意成立，

记，则，

所以在上单调递增，

则可写为，

根据单调性可知，只需对任意成立即可，

即成立，记，即只需，

因为，故在上，，单调递增，

在上，，单调递减，

所以，

所以只需即可，解得.

故答案为:.

【点睛】方法点睛：关于恒成立问题的思路如下:

(1)若，恒成立，则只需;

(2) 若，恒成立，则只需;

(3) 若，恒成立，则只需;

(4) 若，恒成立，则只需;

(5) 若，恒成立，则只需;

(6) 若，恒成立，则只需;

(7) 若，恒成立，则只需;

(8) 若，恒成立，则只需.

22．（1）81；（2）36；（3）6种；（4）14.

【详解】（1）由分步计数原理可得包装方法的总数为.

（2）因为每个盒子至少有一件装饰品，故有且只有两个装饰品放到同一个盒子中，

故不同的包装方法为.

（4）将四件不同的装饰品分成3堆（每堆放一个盒子），不同的分法为，

故有6种不同的包装方法.

（5）四件不同的装饰品分成一堆（每堆放一个盒子），有1种分法，

四件不同的装饰品分成两堆（每堆放一个盒子），有种分法，

由（4）可得四件不同的装饰品分成三堆（每堆放一个盒子），有种分法，

故共有14种不同的包装方法.

23．(1)0.0525    (2)

【详解】（1）设B=“任取一个零件是次品”，A甲=“零件为甲车床加工”，

A乙=“零件为乙车床加工”，A丙=“零件为丙车床加工”，

则，且A甲，A乙，A丙，两两互斥，

根据题意得

.           

由全概率公式得

（2）由题意知“如果取到的零件是次品，它是丙车床加工的概率”

就是计算在B发生的条件下事件A丙发生的概率.

24．(1)(2)分布列见解析；

【详解】（1）依题意，得，解得，

则不低于70分的人数为，

成绩在内的，即优秀的人数为；

故这名学生成绩是优秀的概率为；

（2）成绩在内的有（人）；

成绩在内的有（人）；成绩在内的有人；

故采用分层抽样抽取的13名学生中，成绩在内的有6人，在内的有5人，在内的有2人，

所以由题可知，X的可能取值为0，1，2，

则，，，

所以X的分布列为：

故．

25．(1)    (2)分布列见解析，

【详解】（1）记“乙班在项目A中获胜”为事件A，

由事件的对立性知，乙班在项目A中每局获胜的概率为，负的概率为，

则，

所以乙班在项目A中获胜的概率为；

（2）记“乙班在项目B中获胜”为事件B，

则，

X的可能取值为0，1，2，由事件对立性和独立性知，

则，

，

.

所以X的分布列为

所以乙班获胜的项目个数的数学期望为

26．(1)(2)①，；②，甲的可能性的大

【详解】（1）该小组抽中会操作的实验题目的情况有种，

该小组抽取实验题目的所有情况有种，

故该小组在第一轮得20分的概率为．

（2）①由题意知，第一次是甲回答，第二次甲不回答，

所以，则，

；

②由第次回答的是甲的概率是，得当时，第次回答的是甲的概率为，

第次回答的不是甲的概率为，

则，

则与之间的关系式，

以上关系式可化为，且，

所以是以为首项，为公比的等比数列，

所以，，

， ，

所以，

所以第9次回答的是甲的可能性比第10次回答的是甲的可能性的大．