2023年山东省威海市文登区中考数学一模试卷（含解析）

2023年山东省威海市文登区中考数学一模试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  粮食是人类赖以生存的重要物质基础，年我国粮食总产量再创新高，达亿吨“亿”用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  利用科学计算器计算，下列按键顺序正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  计算的结果为，那么“”所表示的数字是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是(    )

 

A.  B.  C.  D.

6.  下列运算，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，将线段平移，使其经过点，得到线段下列各点中，直线不经过的是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，在中，，，以点为圆心、以的长为半径画弧，分别交，于点，，则图中阴影部分的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在中，，点为上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点为点，连接下列结论错误的是(    )

A.
B.
C.
D. 当时，

10.  已知抛物线均为常数，且经过点，下列结论：；；当时，随的增大而增大；关于的方程有两个不相等的实数根其中正确结论的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  因式分解：______．

12.  计算： ______ ．

13.  小明和小亮同一年出生，那一年是天，则小明和小亮的生日是同一天的概率为______ ．

14.  已知，是方程的两个实数根，则 ______ ．

15.  平行四边形在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点在轴的正半轴上，点，在第一象限反比例函数与的图象分别过点和点若，则的值为______ ．

16.  如图，在菱形中，，点是边的中点，连接，，点是的中点，连接交于点，则的长为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
先化简，再求值：，其中．

18.  本小题分
某学校开展劳动教育，同学们积极参与数学社团的同学设计了一份调查问卷，并在活动前、后实施两次调查活动前随机抽取名同学，调查他们一周的课外劳动时间单位：，并分组整理，绘制成如下的条形统计图其中组，组，组，组，组活动开展一个月后，数学社团再次随机抽取名同学，调查他们一周的课外劳动时间单位：，按照同样的分组方法绘制成如下扇形统计图，发现活动后调查的数据组人数与活动前组人数相同请根据图中信息解答下列问题：

请将条形统计图补充完整；
扇形统计图中组所对的圆心角的度数为______ ；
活动前调查数据的中位数落在______ 组，活动后调查数据的中位数落在______ 组；
若该校共有名学生，请根据活动后调查结果，估计该校学生一周课外劳动时间不小于小时的人数．

19.  本小题分
随着科技的发展，无人机在实际生活中运用广泛如图，小明利用无人机测量两栋大楼，之间的距离，无人机在空中点处，测得大楼的底部点的俯角为，测得大楼的顶部点和底部点的俯角分别为和其中点，，，，均在同一平面内已知大楼共层，每层高度为，请根据以上数据计算两栋大楼之间的距离的长结果精确到，参考数据：，，，

20.  本小题分
已知反比例函数的图象经过三个点，，，其中，．
当时，求的值；
在的条件下，若经过、两点的直线表达式为，直接写出不等式的解集______ ．

21.  本小题分
某学校为了绿化环境，需要采购，两种树苗据了解，市场上每棵种树苗的价格比苗埔基地的价格高，用元在市场上购买的种树苗比在苗埔基地购买的少棵．
求苗埔基地每棵种树苗的价格为多少元：
苗埔基地每棵种树苗的价格为元，学校决定在苗埔基地购买两种树苗共棵，且种树苗的数量不超过种树苗的数量苗埔基地为支持学校，对两种树苗均提供折优惠求本次购买最少花费多少元．

22.  本小题分
如图，四边形内接于，，为的直径过点作的切线交的延长线于点．
求证：；
若，的半径为，求的长．

23.  本小题分
如图，抛物线与轴分别交于点，点，与轴交于点，点为抛物线的顶点，连接，若点，点，点点为线段上一点，过点作，交于点．
求抛物线的表达式；
当的面积最大时，求点的坐标．

24.  本小题分
如图，在中，，过点作，垂足为以点为顶点作，使上，，连接，，延长分别交，于点，．

求证：；
求证：．
如图，在中，，过点作，垂足为以点为顶点作，使，，连接，，延长分别交，于点，．
猜想与的数量关系并证明；
猜想与的位置关系并证明．
中，，过点作，垂足为．
如图，在以点为顶点作，使，连接，，延长分别交，于点，，则与的数量关系为______ ；与的位置关系为______ ．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为．
所以的倒数是，
故选：．
根据倒数的定义，乘积是的两个数互为倒数解答即可．
本题主要考查倒数的定义，解决本题的关键是熟记乘积是的两个数互为倒数．
 

2.【答案】 

【解析】解：亿．
故选：．
绝对值大于的数可以用科学记数法表示，一般形式为，，为正整数，且比原数的整数位数少，据此可以解答．
本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为，其中，是正整数，正确确定的值和的值是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：利用该型号计算器计算，按键顺序正确的是：
故选：．
简单的电子计算器工作顺序是先输入者先算，根据按键顺序写出式子，再根据开方运算即可求出显示的结果．
本题主要考查了计算器三角函数，要求学生对计算器上的各个功能键熟练掌握，会根据按键顺序列出所要计算的式子．借助计算器这样的工具做题既锻炼了学生动手能力，又提高了学生学习的兴趣．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意列出等式，
所以，，即，
故选：．
根据题意列出等式，计算化简即可．
本题主要考查的是一元一次方程等知识内容，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意知，题中几何体的左视图为：

故选：．
根据左视图的方法直接得出结论即可．
本题主要考查三视图的知识，熟练掌握三视图的方法是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、，原式计算正确，符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：．
根据单项式乘以单项式，同底数幂除法，幂的乘方和合并同类项等计算法则求解判断即可．
本题主要考查了单项式乘以单项式，同底数幂除法，幂的乘方和合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
将线段平移，使其经过点，得到线段，
可设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，
在中，当时，；当时，；当时，；当时，；
点，，都在直线上，点不在直线上．
故选：．
先求出直线的解析式为，进而可设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式为，再根据在直线上的点一定满足其对应的直线解析式进行求解即可．
本题主要考查了一次函数图象的平移，一次函数图象上点的坐标特点，正确求出直线的解析式是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图所示，过点作于，连接，
，，，
，，，
以的长为半径画弧，分别交，于点，，
，
是等边三角形，
，
，
在中，，



．
故选：．
如图所示，过点作于，连接，先解得到，，再证明是等边三角形得到，；解求出，最后根据进行求解即可．
本题主要考查了扇形面积的计算，解直角三角形，等边三角形的性质等，正确作出辅助线是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由旋转的性质可得，，，故A结论正确，不符合题意；
，，
，，
又，，
，
，故B结论正确，不符合题意；
当时，则是等边三角形，

，故D结论正确，不符合题意；
由旋转的性质可得，
若，则，则此时为的中点，
又点不一定是的中点，
不一定成立，故C结论错误，符合题意；
故选：．
由旋转的性质可得，，，即可判断；根据三角形内角和定理和等边对等角即可证明，进而得到，即可判定；当时，可证明是等边三角形，得到，即可判定；若，则，则此时为的中点，由此即可判断．
本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等边三角形的性质与判定，平行线的判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛物线经过点，
，
，
，即，故正确；
，，
，
，故正确；
，
对称轴，
当时，随的增大而增大，故正确；
，
，
对于方程，，
方程有两个不相等的实数根，故正确；
故选：．
根据抛物线经过点、结合题意判断；根据抛物线的对称性判断；根据一元二次方程根的判别式判断．
本题考查的是二次函数图象与系数的关系、一元二次方程根的判别式、抛物线与轴的交点，熟记二次函数的对称轴、增减性以及一元二次方程根的判别式是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】
解：，
，
．
故答案为．  

12.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
原式运用零指数幂，负指数次幂，开平方分别计算即可得到结果．
本题主要考查了实数的运算，掌握零指数幂，算术平方根和负指数次幂的运算法则是解本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，
一年以天计算，两人可能的出生日期有个数，那么共有种情况，
满足条件的事件是出生在同一天，共有种情况，
他们生日相同的概率是．
故答案为：．
一年以天计算，两人可能的出生日期都有个数，那么共有种情况，满足条件的事件是出生在同一天，共有种情况，根据等可能事件的概率公式可计算得到结果．
本题考查等可能事件的概率公式，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率，本题是一个基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，是方程的两个实数根，
，，
，
，
故答案为：．
根据，所以先计算的值以及的值即可．
本题主要考查的是一元二次方程的根与系数的关系等知识内容，正确掌握根与系数的关系是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图所示，过点作轴于，过点作轴于，
四边形是平行四边形，
，，
，
又，，
≌，
，，
设，
，
，，
，
，
，
点在反比例函数的图象上，
，
故答案为：．

如图所示，过点作轴于，过点作轴于，先根据平行四边形的性质得到，，再证明≌得到，，设，则，由三线合一定理得到，则，再由点在反比例函数的图象上，即可得到．
本题主要考查了反比例函数与几何综合，平行四边形的性质，三线合一定理，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：过点作交延长线于，连接，如图所示：

四边形为菱形，
，，
为的中点，
，
，，
，
，
，
，
为的中点，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
延长，过点作于点，连接，根据，，得出，根据三角函数求出，，根据中位线定理求出，，根据勾股定理求出．
本题主要考查了菱形的性质，三角形中位线定理，解直角三角形，勾股定理，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握菱形的性质．
 

17.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为：．
在数轴上表示解集为：





当时，原式． 

【解析】先分别解一元一次不等式，然后求不等式组的解集并表示在数轴上；
先去括号，然后约分化简分式，然后代入值计算即可．
本题考查一元一次不等式组的解法和分式的化简求值，掌握运算顺序和运算法则是解题的关键．
 

18.【答案】     

【解析】解：人，
活动前组人数为人，
活动前组人数为人，
补全统计图如下所示：

，
扇形统计图中组所对的圆心角的度数为，
故答案为：；
，，
活动前一共调查了人，将这人的课外劳动时长从低到高排列，处在第名和第名的时长都落在组，
活动前调查数据的中位数落在组；
活动前一共调查了人，将这人的课外劳动时长从低到高排列，处在第名和第名的时长都落在组，
活动后调查数据的中位数落组
故答案为：、；
人，
估计该校学生一周课外劳动时间不小于小时的人数为人．
活动后调查的数据组人数与活动前组人数相同求出活动前组的人数，进而求出活动前组的人数，再补全统计图即可；
用乘以扇形统计图中组的占比即可得到答案；
根据中位线的定义求解即可；
用乘以活动后一周课外劳动时间不小于小时的人数占比即可得到答案．
本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，用样本估计总体，求中位数等等，正确读懂统计图是解题的关键．
 

19.【答案】解：如图所示，分别延长、分别交过点且与地面平行的直线于、，则四边形是矩形，
，，，
由题意得，，，，
，
，
，
在中，，，
，
在中，，
，
两栋大楼之间的距离的长约为． 

【解析】如图所示，分别延长、分别交过点且与地面平行的直线于、，则四边形是矩形，证明得到，解求出，，则，解求出，则，即两栋大楼之间的距离的长约为．
本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判断，等腰三角形的判定等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
 

20.【答案】或 

【解析】解：把代入，则，
把，代入，
得，，
又，
所以，即，
把代入中，得，即，
因为，所以；
由得，，
因为经过、两点的直线表达式为，且，
结合图象直接得到满足的解集为或．
把代入，则，把，代入，且，即可得到值；
根据，则满足条件是在的左边且在轴的右边或者点的右边即可；
此题主要考查了反比例函数与一次函数等知识内容，灵活运用数形结合的方法是是解决问题的关键．
 

21.【答案】解：设苗埔基地每棵种树苗的价格为元，那市场上每棵种树苗的价格为，
根据题意得：，
解得：，经检验：是原分式方程的解，
答：苗埔基地每棵种树苗的价格为元；
设购买种树苗棵，那么种树苗棵，设花费元，
根据题意得：，
因为种树苗的数量不超过种树苗的数量，
所以，即，
因为，随增大而减小，
要使最小，那么当时，最小且为元，
答：本次购买最少花费元． 

【解析】设苗埔基地每棵种树苗的价格为元，那市场上每棵种树苗的价格为，根据题意进行列式即可；
设购买种树苗棵，那么种树苗棵，种树苗的数量不超过种树苗的数量，即，设花费元，根据题意进行列式即可．
本题主要考查的是分式方程的实际应用以及不等式等知识内容，正确列出式子是解题的关键．
 

22.【答案】证明：如图所示，连接，

，是的外接圆，
平分，
，
，
，
，
，
又，
，
，
是的切线，
，
，即；

解：，，
，
是直径，
，
在中，，
设，则，
，
，
解得或舍去，
，，
，
是的切线，
，
，
，
，
在中，． 

【解析】如图所示，连接，先证明平分，得到，再证明，即可证明，则，由是的切线，得到，则，即；
解，得到，设，则，由勾股定理得，解得负值舍去，则，，即可得到，证明，则在中，．
本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，圆周角定理，平行线的性质与判定，勾股定理，等边对等角等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
 

23.【答案】解：抛物线经过点，点，点，
把点，点，点代入得：，
解得：，
抛物线的解析式为：；
，
点的坐标为：，
设直线的解析式为：，
直线经过点、点，
把、代入得，，
解得：，
直线的解析式为：，
设直线的解析式为：，
直线经过点、点，
把、代入得，，
解得：，
直线的解析式为：，
设点的坐标为：，
，
直线的解析式为：，
当时，，即，
点的坐标为：，
，
，
点为线段上一点，
，即，
当时，的面积最大，此时点的坐标为：．
 

【解析】利用待定系数法求函数解析式即可；
分别利用待定系数法求出直线的解析式、直线的解析式，设，根据，可求得直线的解析式为，从而求得，再利用，可知当时，的面积最大，即可求得结果．
本题考查用待定系数法求二次函数和一次函数解析式，二次函数最值、两平行直线的一次函数解析式的关系，熟练掌握用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
 

24.【答案】   

【解析】证明：，，
是等腰直角三角形，
，
，，即，
，
，即，
，
，则，
在和中，
，
≌，
；
在中，知道≌，则，
，
，，
即，
；
解：，证明如下：
，
，
即，即，
在中，，
，
在中，，
，
∽，
，即；
，证明如下：
在中，知道∽，
则，
，
，，
即，
；
解：，证明如下：
，
，
即，即，
在中，，
，
在中，，
，
∽，
，即，
，
证明如下：
∽，
则，
，
，，
即，
．
由，，得是等腰直角三角形，再由，得，，从而证明≌即可；在≌下得知，根据三角形内角和为以及对顶角相等即可得证；
根据两边成比例，夹角相等证明∽即可；在∽下得知，根据三角形内角和为以及对顶角相等即可得证；
根据两边成比例，夹角相等证明∽即可；在∽下得知，根据三角形内角和为以及对顶角相等即可得证．
本题主要考查的是全等三角形以及相似三角形等综合知识，灵活掌握全等三角形以及相似三角形的判定是解题的关键．