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2023年广东省深圳市南山外国语集团联考中考数学模拟试卷（含答案）
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这是一份2023年广东省深圳市南山外国语集团联考中考数学模拟试卷（含答案），共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年广东省深圳市南山外国语集团联考中考数学模拟试卷
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．（3分）（2022•湖北）在1，﹣2，0，这四个数中，最大的数是（ ）
A．1 B．﹣2 C．0 D．
2．（3分）（2022•郴州）下列运算正确的是（ ）
A．a3+a2＝a5 B．a6÷a3＝a2
C．（a+b）2＝a2+b2 D．＝5
3．（3分）（2022•大庆）地球上的陆地面积约为149000000km2，数字149000000用科学记数法表示为（ ）
A．1.49×107 B．1.49×108 C．1.49×109 D．1.49×1010
4．（3分）（2021•怀化）“成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．下列成语：①“水中捞月”，②“守株待兔”，③“百步穿杨”，④“瓮中捉鳖”描述的事件是不可能事件的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
5．（3分）（2023•南山区模拟）图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，S主＝x2+3x，S左＝x2+x，则S俯＝（ ）
A．x2+4x+3 B．x2+3x+2 C．x2+2x+1 D．2x2+4x
6．（3分）（2022•苏州）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是其最高的代数成就．《九章算术》中有这样一个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步为长度单位）”设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可列出的方程是（ ）
A．x＝100﹣x B．x＝100+x
C．x＝100+x D．x＝100﹣x
7．（3分）（2022•河北）五名同学捐款数分别是5，3，6，5，10（单位：元），捐10元的同学后来又追加了10元．追加后的5个数据与之前的5个数据相比，集中趋势相同的是（ ）
A．只有平均数 B．只有中位数
C．只有众数 D．中位数和众数
8．（3分）（2022•绥化）小王同学从家出发，步行到离家a米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离y（单位：米）与出发时间x（单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为（ ）
A．2.7分钟 B．2.8分钟 C．3分钟 D．3.2分钟
9．（3分）（2022•赤峰）如图，AB是⊙O的直径，将弦AC绕点A顺时针旋转30°得到AD，此时点C的对应点D落在AB上，延长CD，交⊙O于点E，若CE＝4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2π B．2 C．2π﹣4 D．2π﹣2
10．（3分）（2023•南山区模拟）如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，对角线AC、BD的长度分别是一元二次方程x2﹣mx﹣x+2m＝0的两实数根，DH是AB边上的高，则DH值为（ ）
A． B． C． D．3
二、填空题（每小题3分共15分）
11．（3分）（2023•南山区模拟）因式分解：2x3﹣4x2+2x＝ ．
12．（3分）（2023•南山区校级模拟）“幻方”最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为 ．
13．（3分）（2020•自贡）如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB．BC长6米，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，则AD长为 米（结果保留根号）．
14．（3分）（2023•南山区模拟）如图，一次函数y＝2x与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，点M在以C（4，0）为圆心，半径为2的⊙C上，N是线段BM的中点，已知ON长的最大值为3，则k的值是 ．
15．（3分）（2021•无锡）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝6，点E在线段AC上，且AE＝1，D是线段BC上的一点，连接DE，将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，当点G恰好落在线段AC上时，AF＝ ．
三、解答题（共55分）
16．（5分）（2022•北京）计算：（π﹣1）0+4sin45°﹣+|﹣3|．
17．（5分）（2022•武汉）解不等式组请按下列步骤完成解答．
（1）解不等式①，得 ；
（2）解不等式②，得 ；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集是 ．
18．（8分）（2022•郴州）某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）①此次调查一共随机抽取了 名学生；
②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
③扇形统计图中圆心角α＝ 度；
（2）若该校有3200名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数；
（3）刘老师计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．
19．（8分）（2022•福建）如图，BD是矩形ABCD的对角线．
（1）求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF与⊙A相切于点G，求tan∠ADB的值．
20．（8分）（2021•荆门）某公司电商平台，在2021年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，如表仅列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W（元）的三组对应值数据．
x
40
70
90
y
180
90
30
W
3600
4500
2100
（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若该商品进价a（元/件），售价x为多少时，周销售利润W最大？并求出此时的最大利润；
（3）因疫情期间，该商品进价提高了m（元/件）（m＞0），公司为回馈消费者，规定该商品售价x不得超过55（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是4050元，求m的值．
21．（10分）（2023•南山区模拟）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点 D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接BE，点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点．
（1）观察猜想：
图1中，线段MN与NP的数量关系是 ，∠MNP的大小是 ；
（2）探究证明：
把△ADE绕点A顺时针方向旋转到图2的位置，连接MP、BD、CE，判断△MNP的形状，试说明理由；
（3）拓展延伸：
把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝1，AB＝3，请直接写出△MNP面积的最大值．
22．（11分）（2023•南山区校级模拟）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与二次函数y＝（x+2）2﹣2的图象相交于点A（1，m），B（﹣2，n）．
（1）求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；
（2）根据函数图象，直接写出不等式kx+b＜（x+2）2﹣2的解集；
（3）当﹣3≤x≤1时，直线y＝（x+2）2﹣2与直线y＝n只有一个交点，求n的取值范围；
（4）把二次函数y＝（x+2）2﹣2的图象左右平移得到抛物线G：y＝（x﹣m）2﹣2，直接写出当抛物线G与线段AB只有一个交点时m的取值范围．
2023年广东省深圳市南山外国语集团联考中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．（3分）（2022•湖北）在1，﹣2，0，这四个数中，最大的数是（ ）
A．1 B．﹣2 C．0 D．
【分析】实数的比较，正数大于零，零大于负数，两个正数，绝对值大的数也较大．
【解答】解：∵＞1＞0＞﹣2，
∴最大的数是．
故选：D．
【点评】此题主要考查了实数的比较大小，关键是掌握实数比较大小的原则．
2．（3分）（2022•郴州）下列运算正确的是（ ）
A．a3+a2＝a5 B．a6÷a3＝a2
C．（a+b）2＝a2+b2 D．＝5
【分析】分别应用整式的加法法则，同底数幂相除，完全平方公式及二次根式的性质．
【解答】解：A：不是同类项不能合并，故A不符合题意；
B：同底数幂相除，底数不变，指数相减，故B不符合题意；
C：完全平方公式的结果是三项式，故C不符合题意；
D：.＝5．故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了整式的基本运算，熟练掌握基础知识是解题的关键．
3．（3分）（2022•大庆）地球上的陆地面积约为149000000km2，数字149000000用科学记数法表示为（ ）
A．1.49×107 B．1.49×108 C．1.49×109 D．1.49×1010
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：149000000＝1.49×108，
故选：B．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）（2021•怀化）“成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．下列成语：①“水中捞月”，②“守株待兔”，③“百步穿杨”，④“瓮中捉鳖”描述的事件是不可能事件的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
【解答】解：①“水中捞月”是不可能事件，符合题意；
②“守株待兔”是随机事件，不合题意；
③“百步穿杨”，是随机事件，不合题意；
④“瓮中捉鳖”是必然事件，不合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5．（3分）（2023•南山区模拟）图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，S主＝x2+3x，S左＝x2+x，则S俯＝（ ）
A．x2+4x+3 B．x2+3x+2 C．x2+2x+1 D．2x2+4x
【分析】直接利用已知视图的边长结合其面积得出另一边长，即可得出俯视图的边长进而得出答案．
【解答】解：∵S主＝x2+3x＝x（x+3），S左＝x2+x＝x（x+1），
∴S俯＝（x+3）（x+1）＝x2+4x+3．
故选：A．
【点评】此题主要考查了由三视图判断几何体，正确得出俯视图的边长是解题关键．
6．（3分）（2022•苏州）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是其最高的代数成就．《九章算术》中有这样一个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步为长度单位）”设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可列出的方程是（ ）
A．x＝100﹣x B．x＝100+x
C．x＝100+x D．x＝100﹣x
【分析】设走路快的人要走x步才能追上，由走路快的人走x步所用时间内比走路慢的人多行100步，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：设走路快的人要走x步才能追上，则走路慢的人走×60，
依题意，得：×60+100＝x．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
7．（3分）（2022•河北）五名同学捐款数分别是5，3，6，5，10（单位：元），捐10元的同学后来又追加了10元．追加后的5个数据与之前的5个数据相比，集中趋势相同的是（ ）
A．只有平均数 B．只有中位数
C．只有众数 D．中位数和众数
【分析】根据中位数和众数的概念做出判断即可．
【解答】解：根据题意知，追加前5个数据的中位数是5，众数是5，
追加后5个数据的中位数是5，众数为5，
∵数据追加后平均数会变大，
∴集中趋势相同的只有中位数和众数，
故选：D．
【点评】本题主要考查平均数、中位数和众数的知识，熟练掌握平均数、中位数和众数的基本概念是解题的关键．
8．（3分）（2022•绥化）小王同学从家出发，步行到离家a米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离y（单位：米）与出发时间x（单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为（ ）
A．2.7分钟 B．2.8分钟 C．3分钟 D．3.2分钟
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以先表示出两人的速度，然后即可计算出两人第一次和第二次相遇的时间，然后作差即可．
【解答】解：由图象可得，
小王的速度为米/分钟，
爸爸的速度为：＝（米/分钟），
设小王出发m分钟两人第一次相遇，出发n分钟两人第二次相遇，
m＝（m﹣4）•，n+[n﹣4﹣（12﹣4）÷2]＝a，
解得m＝6，n＝9，
n﹣m＝9﹣6＝3，
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出两人相遇的时间．
9．（3分）（2022•赤峰）如图，AB是⊙O的直径，将弦AC绕点A顺时针旋转30°得到AD，此时点C的对应点D落在AB上，延长CD，交⊙O于点E，若CE＝4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2π B．2 C．2π﹣4 D．2π﹣2
【分析】连接OE，OC，BC，推出△EOC是等腰直角三角形，根据扇形面积减三角形面积计算即可．
【解答】解：连接OE，OC，BC，
由旋转知AC＝AD，∠CAD＝30°，
∴∠BOC＝60°，∠ACE＝（180°﹣30°）÷2＝75°，
∴∠BCE＝90°﹣∠ACE＝15°，
∴∠BOE＝2∠BCE＝30°，
∴∠EOC＝90°，
即△EOC为等腰直角三角形，
∵CE＝4，
∴OE＝OC＝2，
∴S阴影＝S扇形OEC﹣S△OEC＝﹣×＝2π﹣4，
故选：C．
【点评】本题主要考查旋转的性质及扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算是解题的关键．
10．（3分）（2023•南山区模拟）如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，对角线AC、BD的长度分别是一元二次方程x2﹣mx﹣x+2m＝0的两实数根，DH是AB边上的高，则DH值为（ ）
A． B． C． D．3
【分析】根据菱形的性质得出AB＝4，AC⊥BD，AC＝2AO，BD＝2BO，求出∠AOB＝90°，根据勾股定理得出AO2+BO2＝16，根据根与系数的关系得出2AO+2BO＝m+1，2AO•2BO＝2m，变形后代入求出m的值，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝4，AC⊥BD，AC＝2AO，BD＝2BO，
∴∠AOB＝90°，
∴AO2+BO2＝AB2＝42＝16，
∵对角线AC，BD的长度分别是一元二次方程x2﹣（m+1）x+2m＝0的两实数根，
∴2AO+2BO＝m+1，2AO•2BO＝2m，
∴AO+BO＝（m+1），AO•BO＝m，
∴AO2+BO2＝（AO+BO）2﹣2AO×BO＝16，
∴（m+1）2﹣m＝16，
解得：m1＝9，m2＝﹣7，
∴当m＝﹣7时，AO•BO＝﹣3.5＜0，不符合题意，舍去，
即m＝9，
则AO•BO＝4.5，AC•BD＝2AO•2BO＝4AO•BO＝18，
∵DH是AB边上的高，
∴S菱形ABCD＝AB•DH＝AC•BD，
∴4DH＝×18，
∴DH＝．
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的性质和面积，勾股定理，根与系数的关系的应用，能得出关于m的方程是解此题的关键，注意：菱形的对角线互相平分且垂直．
二、填空题（每小题3分共15分）
11．（3分）（2023•南山区模拟）因式分解：2x3﹣4x2+2x＝ 2x（x﹣1）2 ．
【分析】先提取公因式2x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：2x3﹣4x2+2x
＝2x（x2﹣2x+1）
＝2x（x﹣1）2．
故答案为2x（x﹣1）2．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12．（3分）（2023•南山区校级模拟）“幻方”最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为 ﹣2 ．
【分析】先计算出行的和，得各行各列以及对角线上的三个数字之和均为﹣6，则﹣7+a+3＝﹣6，即可得．
【解答】解：∵0+（﹣1）+（﹣5）＝﹣6，
∴﹣7+a+3＝﹣6，
解得：a＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了有理数的加减，解题的关键是理解题意和掌握有理数加减运算的法则．
13．（3分）（2020•自贡）如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB．BC长6米，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，则AD长为 6 米（结果保留根号）．
【分析】过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥AB于F．首先证明DE＝CF，解直角三角形求出CF，再根据直角三角形30度角的性质即可解决问题．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥AB于F．
∵CD∥AB，DE⊥AB，CF⊥AB，
∴DE＝CF，
在Rt△CFB中，CF＝BC•sin45°＝3（米），
∴DE＝CF＝3（米），
在Rt△ADE中，∵∠A＝30°，∠AED＝90°，
∴AD＝2DE＝6（米），
故答案为：6．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
14．（3分）（2023•南山区模拟）如图，一次函数y＝2x与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，点M在以C（4，0）为圆心，半径为2的⊙C上，N是线段BM的中点，已知ON长的最大值为3，则k的值是 ．
【分析】由反比例函数性质可以得到，A，B两点关于原点O对称，所以O是线段AB的中点，又N是线段BM的中点，所以ON是△ABM的中位线，当ON取得最大值时，AM也取得最大值，由于M在⊙C上运动，所以当A，C，M三点共线时，AM最大值为6，此时BC＝2，根据BC＝2列出方程即可求解．
【解答】解：方法一、联立，
∴，
∴，
∴A（），B（），
∴A与B关于原点O对称，
∴O是线段AB的中点，
∵N是线段BM的中点，
连接AM，则ON∥AM，且ON＝AM，
∵ON的最大值为3，
∴AM的最大值为6，
∵M在⊙C上运动，
∴当A，C，M三点共线时，AM最大，
此时BC＝AM﹣CM＝2，
∴，
∴k＝0或，
∵k＞0，
∴，
方法二、设点B（a，2a），
∵一次函数y＝2x与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，
∴A与B关于原点O对称，
∴O是线段AB的中点，
∵N是线段BM的中点，
连接BM，则ON∥BM，且ON＝AM，
∵ON的最大值为3，
∴AM的最大值为6，
∵M在⊙C上运动，
∴当A，C，M三点共线时，AM最大，
此时BC＝AM﹣CM＝2，
∴＝2，
∴a1＝或a2＝0（不合题意舍去），
∴点B（，），
∴k＝，
故答案为：．
【点评】此题考查反比例和一次函数的交点问题，考查了点到圆上一点的最值问题，对此类模型结论要非常熟悉才可解决问题．
15．（3分）（2021•无锡）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝6，点E在线段AC上，且AE＝1，D是线段BC上的一点，连接DE，将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，当点G恰好落在线段AC上时，AF＝ ．
【分析】由折叠的性质可得AB＝FG＝2，AE＝EF＝1，∠BAC＝∠EFG＝90°，在Rt△EFG中，由勾股定理可求EG＝3，由锐角三角函数可求EH，HF的长，在Rt△AHF中，由勾股定理可求AF．
【解答】解：如图，过点F作FH⊥AC于H，
∵将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，
∴AB＝FG＝2，AE＝EF＝1，∠BAC＝∠EFG＝90°，
∴EG＝＝＝3，
∵sin∠FEG＝，
∴，
∴HF＝，
∵cos∠FEG＝，
∴，
∴EH＝，
∴AH＝AE+EH＝，
∴AF＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了翻折变换，考查了折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数，构造直角三角形是解题的关键．
三、解答题（共55分）
16．（5分）（2022•北京）计算：（π﹣1）0+4sin45°﹣+|﹣3|．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、二次根式的性质、绝对值的性质分别化简，进而合并得出答案．
【解答】解：原式＝1+4×﹣2+3
＝1+2﹣2+3
＝4．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
17．（5分）（2022•武汉）解不等式组请按下列步骤完成解答．
（1）解不等式①，得 x≥﹣3 ；
（2）解不等式②，得 x＜1 ；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集是 ﹣3≤x＜1 ．
【分析】分别解这两个不等式，把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，找到解集的公共部分即可得到原不等式组的解集．
【解答】解：（1）解不等式①，得：x≥﹣3；
（2）解不等式②，得：x＜1；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来为：
（4）原不等式组的解集为：﹣3≤x＜1．
故答案为：（1）x≥﹣3；
（2）x＜1；
（4）﹣3≤x＜1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，体现了数形结合的思想，在数轴上找到解集的公共部分是解题的关键．
18．（8分）（2022•郴州）某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）①此次调查一共随机抽取了 200 名学生；
②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
③扇形统计图中圆心角α＝ 54 度；
（2）若该校有3200名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数；
（3）刘老师计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．
【分析】（1）①由B组的人数除以所占百分比即可；
②求出C组的人数，补全条形统计图即可；
③由360°乘以C组所占的比例即可；
（2）由该校共有学生人数乘以参加D组（阅读）的学生人数所占的比例即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽中甲、乙两人的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）①此次调查一共随机抽取的学生人数为：50÷25%＝200（名），
故答案为：200；
②C组的人数为：200﹣30﹣50﹣70﹣20＝30（名），
补全条形统计图如下：
③扇形统计图中圆心角α＝360°×＝54°，
故答案为：54；
（2）3200×＝1120（名），
答：估计该校参加D组（阅读）的学生人数为1120名；
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽中甲、乙两人的结果有2种，
∴恰好抽中甲、乙两人的概率为＝．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．（8分）（2022•福建）如图，BD是矩形ABCD的对角线．
（1）求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF与⊙A相切于点G，求tan∠ADB的值．
【分析】（1）以A为圆心AB长为半径画弧交BD与M，作BM的垂直平分线，交BD与N，以A为圆心AN为半径画圆即为所求；
（2）设∠ADB＝α，⊙A的半径为r，证四边形AEFG是正方形，根据AAS证△ABE≌△CDF，得出BE＝DF＝r•tanα，DE＝DF+EF＝r•tanα+r，根据等量关系列出关系式求出tanα的值即可．
【解答】解：（1）根据题意作图如下：
（2）设∠ADB＝α，⊙A的半径为r，
∵BD与⊙A相切于点E，CF与⊙A相切于点G，
∴AE⊥BD，AG⊥CG，
即∠AEF＝∠AGF＝90°，
∵CF⊥BD，
∴∠EFG＝90°，
∴四边形AEFG是矩形，
又AE＝AG＝r，
∴四边形AEFG是正方形，
∴EF＝AE＝r，
在Rt△AEB和Rt△DAB中，∠BAE+∠ABD＝90°，∠ADB+∠ABD＝90°，
∴∠BAE＝∠ADB＝α，
在Rt△ABE中，tan∠BAE＝，
∴BE＝r•tanα，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
又∠AEB＝∠CFD＝90°，
∴△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF＝r•tanα，
∴DE＝DF+EF＝r•tanα+r，
在Rt△ADE中，tan∠ADE＝，
即DE•tanα＝AE，
∴（r•tanα+r）•tanα＝r，
即tan2α+tanα﹣1＝0，
∵tanα＞0，
∴tanα＝，
即tan∠ADB的值为．
【点评】本小题考查直角三角形的性质，特殊平行四边形的判定与性质，圆的概念与性质，锐角三角函数、一元二次方程等基础知识，考查尺规作图技能，考查函数与方程、化归与转化等数学思想方法，考查推理能力，运算能力、空间观念与几何直观、创新意识等数学素养，渗透数学文化．
20．（8分）（2021•荆门）某公司电商平台，在2021年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，如表仅列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W（元）的三组对应值数据．
x
40
70
90
y
180
90
30
W
3600
4500
2100
（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若该商品进价a（元/件），售价x为多少时，周销售利润W最大？并求出此时的最大利润；
（3）因疫情期间，该商品进价提高了m（元/件）（m＞0），公司为回馈消费者，规定该商品售价x不得超过55（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是4050元，求m的值．
【分析】（1）设y＝kx+b，把x＝40，y＝180和x＝70，y＝90，代入可得解析式．
（2）根据利润＝（售价﹣进价）×数量，得W＝（﹣3x+300）（x﹣a），把x＝40，W＝3600，代入上式可得关系式W＝﹣3（x﹣60）2+4800，顶点的纵坐标是有最大值．
（3）根据利润＝（售价﹣进价）×数量，得W＝﹣3（x﹣100）（x﹣20﹣m）（x≤55），其对称轴x＝60+＞60，0＜x≤55时，函数单调递增，只有x＝55时周销售利润最大，即可得m＝5．
【解答】解：（1）设y＝kx+b，由题意有：
，
解得，
所以y关于x的函数解析式为y＝﹣3x+300；
（2）由（1）W＝（﹣3x+300）（x﹣a），
又由表知，把x＝40，W＝3600，代入上式可得关系式
得：3600＝（﹣3×40+300）（40﹣a），
∴a＝20，
∴W＝（﹣3x+300）（x﹣20）＝﹣3x2+360x﹣6000＝﹣3（x﹣60）2+4800，
所以售价x＝60时，周销售利润W最大，最大利润为4800；
（3）由题意W＝﹣3（x﹣100）（x﹣20﹣m）（x≤55），
其对称轴x＝60+＞60，
∴0＜x≤55时，W的值随x增大而增大，
∴只有x＝55时周销售利润最大，
∴4050＝﹣3（55﹣100）（55﹣20﹣m），
∴m＝5．
【点评】本题考查二次函数的应用，解本题的关键理解题意，掌握二次函数的性质和销售问题中利润公式，
21．（10分）（2023•南山区模拟）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点 D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接BE，点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点．
（1）观察猜想：
图1中，线段MN与NP的数量关系是 MN＝NP ，∠MNP的大小是 90° ；
（2）探究证明：
把△ADE绕点A顺时针方向旋转到图2的位置，连接MP、BD、CE，判断△MNP的形状，试说明理由；
（3）拓展延伸：
把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝1，AB＝3，请直接写出△MNP面积的最大值．
【分析】（1）根据AB＝AC，AD＝AE，得BD＝CE，再根据三角形中位线定理可知MN＝BD，PN＝CE，MN∥AB，PN∥AC，利用平行线的性质可证得∠MNP＝90°；
（2）先通过SAS证明△ABD≌△ACE，得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，再由（1）同理可证；
（3）由三角形三边关系可知：BD≤8，由（2）知：△MNP是等边三角形，MN＝BD，则MN最大值为4，即可求得△MNP的最大面积．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BD＝CE，
∵点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点，
∴MN＝BD，PN＝CE，MN∥AB，PN∥AC，
∴MN＝PN，∠ENM＝∠EBA，∠ENP＝∠AEB，
∴∠MNE+∠ENP＝∠ABE+∠AEB，
∵∠ABE+∠AEB＝180°﹣∠BAE＝90°，
∴∠MNP＝90°，
故答案为：MN＝NP，90°．
（2）△MNP是等腰直角三角形，理由如下：
由旋转得：∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点，
∴MN＝BD，PN＝CE，MN∥BD，PN∥CE，
∴MN＝PN，∠ENM＝∠EBD，∠BPN＝∠BCE，
∴∠ENP＝∠NBP+∠NPB＝∠NBP+∠ECB，
∵∠EBD＝∠ABD+∠ABE＝∠ACE+∠ABE，
∴∠MNP＝∠MNE+∠ENP＝∠ACE+∠ABE+∠EBC+∠EBC﹣∠ECB＝180°﹣∠BAC＝90°，
∴△MNP是等腰直角三角形；
（3）由三角形三边关系可知：BD≤AB+AD，
即BD≤4，
∴BD的最大值为4，
由（2）知：△MNP是等边三角形，MN＝BD，
∴MN＝2时，S△MNP最大，
S△MNP最大为：×2×2＝2．
【点评】本题是三角形综合题，主要了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，等边三角形的判定，等腰直角三角形的判定等知识，利用平行线的性质证明∠MNP＝60°是解题的关键．
22．（11分）（2023•南山区校级模拟）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与二次函数y＝（x+2）2﹣2的图象相交于点A（1，m），B（﹣2，n）．
（1）求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；
（2）根据函数图象，直接写出不等式kx+b＜（x+2）2﹣2的解集；
（3）当﹣3≤x≤1时，直线y＝（x+2）2﹣2与直线y＝n只有一个交点，求n的取值范围；
（4）把二次函数y＝（x+2）2﹣2的图象左右平移得到抛物线G：y＝（x﹣m）2﹣2，直接写出当抛物线G与线段AB只有一个交点时m的取值范围．
【分析】（1）根据二次函数解析式求出A点和B点的坐标，然后用待定系数法求出一次函数的表达式即可；
（2）根据图象直接得出不等式的解集即可；
（3）求得x＝﹣3时的函数值，结合A、B的坐标，根据函数图象即可求得n的取值；
（4）分三种情况求出m的值，再结合图象求m的取值范围．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝（x+2）2﹣2的图像过点A（1，m），B（﹣2，n），
∴m＝×（1+2）2﹣2＝，n＝×（﹣2+2）2﹣2＝﹣2；
∴A（1，），B（﹣2，﹣2），
∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过A点和B点，
∴，
解得
∴一次函数的表达式为y＝x+1，
描点作图如下：
（2）由（1）中的图象可得，
不等式kx+b＜（x+2）2﹣2的解集为：x＜﹣2或x＞1；
（3）把x＝﹣3代入y＝（x+2）2﹣2得y＝﹣
∵A（1，），B（﹣2，﹣2），
由图象可知，当﹣3≤x≤1时，直线y＝（x+2）2﹣2与直线y＝n只有一个交点，则n的取值范围是﹣＜n≤或n＝﹣2；
（4）①当过点A时，
即（1﹣m）2﹣2＝，
解得m＝4或m＝﹣2，
当m＝﹣2时，抛物线与元二次函数重合，与线段AB有两个交点A，B，故舍去，
∴m＝4；
②当过点B时，
即（﹣2﹣m）2﹣2＝﹣2，
解得m1＝m2＝﹣2（舍去）；
③当与直线AB只有一个交点时，
令＝x+1，
整理得：x2﹣（2m+3）+m2﹣6＝0，
则Δ＝[﹣（2m+3）]2﹣4（m2﹣6）＝4m2+12m+9﹣4m2+24＝12m+33＝0，
解得：m＝﹣，
综上，﹣≤m＜﹣2或﹣2＜m≤4．
【点评】本题考查二次函数与不等式（组），待定系数法求函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征等，数形结合是解题的关键．
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2023年广东省深圳市南山外国语集团联考中考数学模拟试卷
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．（3分）（2022•湖北）在1，﹣2，0，这四个数中，最大的数是（ ）
A．1 B．﹣2 C．0 D．
2．（3分）（2022•郴州）下列运算正确的是（ ）
A．a3+a2＝a5 B．a6÷a3＝a2
C．（a+b）2＝a2+b2 D．＝5
3．（3分）（2022•大庆）地球上的陆地面积约为149000000km2，数字149000000用科学记数法表示为（ ）
A．1.49×107 B．1.49×108 C．1.49×109 D．1.49×1010
4．（3分）（2021•怀化）“成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．下列成语：①“水中捞月”，②“守株待兔”，③“百步穿杨”，④“瓮中捉鳖”描述的事件是不可能事件的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
5．（3分）（2023•南山区模拟）图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，S主＝x2+3x，S左＝x2+x，则S俯＝（ ）
A．x2+4x+3 B．x2+3x+2 C．x2+2x+1 D．2x2+4x
6．（3分）（2022•苏州）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是其最高的代数成就．《九章算术》中有这样一个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步为长度单位）”设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可列出的方程是（ ）
A．x＝100﹣x B．x＝100+x
C．x＝100+x D．x＝100﹣x
7．（3分）（2022•河北）五名同学捐款数分别是5，3，6，5，10（单位：元），捐10元的同学后来又追加了10元．追加后的5个数据与之前的5个数据相比，集中趋势相同的是（ ）
A．只有平均数 B．只有中位数
C．只有众数 D．中位数和众数
8．（3分）（2022•绥化）小王同学从家出发，步行到离家a米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离y（单位：米）与出发时间x（单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为（ ）
A．2.7分钟 B．2.8分钟 C．3分钟 D．3.2分钟
9．（3分）（2022•赤峰）如图，AB是⊙O的直径，将弦AC绕点A顺时针旋转30°得到AD，此时点C的对应点D落在AB上，延长CD，交⊙O于点E，若CE＝4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2π B．2 C．2π﹣4 D．2π﹣2
10．（3分）（2023•南山区模拟）如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，对角线AC、BD的长度分别是一元二次方程x2﹣mx﹣x+2m＝0的两实数根，DH是AB边上的高，则DH值为（ ）
A． B． C． D．3
二、填空题（每小题3分共15分）
11．（3分）（2023•南山区模拟）因式分解：2x3﹣4x2+2x＝ ．
12．（3分）（2023•南山区校级模拟）“幻方”最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为 ．
13．（3分）（2020•自贡）如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB．BC长6米，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，则AD长为 米（结果保留根号）．
14．（3分）（2023•南山区模拟）如图，一次函数y＝2x与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，点M在以C（4，0）为圆心，半径为2的⊙C上，N是线段BM的中点，已知ON长的最大值为3，则k的值是 ．
15．（3分）（2021•无锡）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝6，点E在线段AC上，且AE＝1，D是线段BC上的一点，连接DE，将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，当点G恰好落在线段AC上时，AF＝ ．
三、解答题（共55分）
16．（5分）（2022•北京）计算：（π﹣1）0+4sin45°﹣+|﹣3|．
17．（5分）（2022•武汉）解不等式组请按下列步骤完成解答．
（1）解不等式①，得 ；
（2）解不等式②，得 ；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集是 ．
18．（8分）（2022•郴州）某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）①此次调查一共随机抽取了 名学生；
②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
③扇形统计图中圆心角α＝ 度；
（2）若该校有3200名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数；
（3）刘老师计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．
19．（8分）（2022•福建）如图，BD是矩形ABCD的对角线．
（1）求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF与⊙A相切于点G，求tan∠ADB的值．
20．（8分）（2021•荆门）某公司电商平台，在2021年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，如表仅列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W（元）的三组对应值数据．
x
40
70
90
y
180
90
30
W
3600
4500
2100
（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若该商品进价a（元/件），售价x为多少时，周销售利润W最大？并求出此时的最大利润；
（3）因疫情期间，该商品进价提高了m（元/件）（m＞0），公司为回馈消费者，规定该商品售价x不得超过55（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是4050元，求m的值．
21．（10分）（2023•南山区模拟）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点 D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接BE，点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点．
（1）观察猜想：
图1中，线段MN与NP的数量关系是 ，∠MNP的大小是 ；
（2）探究证明：
把△ADE绕点A顺时针方向旋转到图2的位置，连接MP、BD、CE，判断△MNP的形状，试说明理由；
（3）拓展延伸：
把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝1，AB＝3，请直接写出△MNP面积的最大值．
22．（11分）（2023•南山区校级模拟）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与二次函数y＝（x+2）2﹣2的图象相交于点A（1，m），B（﹣2，n）．
（1）求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；
（2）根据函数图象，直接写出不等式kx+b＜（x+2）2﹣2的解集；
（3）当﹣3≤x≤1时，直线y＝（x+2）2﹣2与直线y＝n只有一个交点，求n的取值范围；
（4）把二次函数y＝（x+2）2﹣2的图象左右平移得到抛物线G：y＝（x﹣m）2﹣2，直接写出当抛物线G与线段AB只有一个交点时m的取值范围．
2023年广东省深圳市南山外国语集团联考中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．（3分）（2022•湖北）在1，﹣2，0，这四个数中，最大的数是（ ）
A．1 B．﹣2 C．0 D．
【分析】实数的比较，正数大于零，零大于负数，两个正数，绝对值大的数也较大．
【解答】解：∵＞1＞0＞﹣2，
∴最大的数是．
故选：D．
【点评】此题主要考查了实数的比较大小，关键是掌握实数比较大小的原则．
2．（3分）（2022•郴州）下列运算正确的是（ ）
A．a3+a2＝a5 B．a6÷a3＝a2
C．（a+b）2＝a2+b2 D．＝5
【分析】分别应用整式的加法法则，同底数幂相除，完全平方公式及二次根式的性质．
【解答】解：A：不是同类项不能合并，故A不符合题意；
B：同底数幂相除，底数不变，指数相减，故B不符合题意；
C：完全平方公式的结果是三项式，故C不符合题意；
D：.＝5．故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了整式的基本运算，熟练掌握基础知识是解题的关键．
3．（3分）（2022•大庆）地球上的陆地面积约为149000000km2，数字149000000用科学记数法表示为（ ）
A．1.49×107 B．1.49×108 C．1.49×109 D．1.49×1010
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：149000000＝1.49×108，
故选：B．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）（2021•怀化）“成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．下列成语：①“水中捞月”，②“守株待兔”，③“百步穿杨”，④“瓮中捉鳖”描述的事件是不可能事件的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
【解答】解：①“水中捞月”是不可能事件，符合题意；
②“守株待兔”是随机事件，不合题意；
③“百步穿杨”，是随机事件，不合题意；
④“瓮中捉鳖”是必然事件，不合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5．（3分）（2023•南山区模拟）图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，S主＝x2+3x，S左＝x2+x，则S俯＝（ ）
A．x2+4x+3 B．x2+3x+2 C．x2+2x+1 D．2x2+4x
【分析】直接利用已知视图的边长结合其面积得出另一边长，即可得出俯视图的边长进而得出答案．
【解答】解：∵S主＝x2+3x＝x（x+3），S左＝x2+x＝x（x+1），
∴S俯＝（x+3）（x+1）＝x2+4x+3．
故选：A．
【点评】此题主要考查了由三视图判断几何体，正确得出俯视图的边长是解题关键．
6．（3分）（2022•苏州）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是其最高的代数成就．《九章算术》中有这样一个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步为长度单位）”设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可列出的方程是（ ）
A．x＝100﹣x B．x＝100+x
C．x＝100+x D．x＝100﹣x
【分析】设走路快的人要走x步才能追上，由走路快的人走x步所用时间内比走路慢的人多行100步，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：设走路快的人要走x步才能追上，则走路慢的人走×60，
依题意，得：×60+100＝x．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
7．（3分）（2022•河北）五名同学捐款数分别是5，3，6，5，10（单位：元），捐10元的同学后来又追加了10元．追加后的5个数据与之前的5个数据相比，集中趋势相同的是（ ）
A．只有平均数 B．只有中位数
C．只有众数 D．中位数和众数
【分析】根据中位数和众数的概念做出判断即可．
【解答】解：根据题意知，追加前5个数据的中位数是5，众数是5，
追加后5个数据的中位数是5，众数为5，
∵数据追加后平均数会变大，
∴集中趋势相同的只有中位数和众数，
故选：D．
【点评】本题主要考查平均数、中位数和众数的知识，熟练掌握平均数、中位数和众数的基本概念是解题的关键．
8．（3分）（2022•绥化）小王同学从家出发，步行到离家a米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离y（单位：米）与出发时间x（单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为（ ）
A．2.7分钟 B．2.8分钟 C．3分钟 D．3.2分钟
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以先表示出两人的速度，然后即可计算出两人第一次和第二次相遇的时间，然后作差即可．
【解答】解：由图象可得，
小王的速度为米/分钟，
爸爸的速度为：＝（米/分钟），
设小王出发m分钟两人第一次相遇，出发n分钟两人第二次相遇，
m＝（m﹣4）•，n+[n﹣4﹣（12﹣4）÷2]＝a，
解得m＝6，n＝9，
n﹣m＝9﹣6＝3，
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出两人相遇的时间．
9．（3分）（2022•赤峰）如图，AB是⊙O的直径，将弦AC绕点A顺时针旋转30°得到AD，此时点C的对应点D落在AB上，延长CD，交⊙O于点E，若CE＝4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2π B．2 C．2π﹣4 D．2π﹣2
【分析】连接OE，OC，BC，推出△EOC是等腰直角三角形，根据扇形面积减三角形面积计算即可．
【解答】解：连接OE，OC，BC，
由旋转知AC＝AD，∠CAD＝30°，
∴∠BOC＝60°，∠ACE＝（180°﹣30°）÷2＝75°，
∴∠BCE＝90°﹣∠ACE＝15°，
∴∠BOE＝2∠BCE＝30°，
∴∠EOC＝90°，
即△EOC为等腰直角三角形，
∵CE＝4，
∴OE＝OC＝2，
∴S阴影＝S扇形OEC﹣S△OEC＝﹣×＝2π﹣4，
故选：C．
【点评】本题主要考查旋转的性质及扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算是解题的关键．
10．（3分）（2023•南山区模拟）如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，对角线AC、BD的长度分别是一元二次方程x2﹣mx﹣x+2m＝0的两实数根，DH是AB边上的高，则DH值为（ ）
A． B． C． D．3
【分析】根据菱形的性质得出AB＝4，AC⊥BD，AC＝2AO，BD＝2BO，求出∠AOB＝90°，根据勾股定理得出AO2+BO2＝16，根据根与系数的关系得出2AO+2BO＝m+1，2AO•2BO＝2m，变形后代入求出m的值，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝4，AC⊥BD，AC＝2AO，BD＝2BO，
∴∠AOB＝90°，
∴AO2+BO2＝AB2＝42＝16，
∵对角线AC，BD的长度分别是一元二次方程x2﹣（m+1）x+2m＝0的两实数根，
∴2AO+2BO＝m+1，2AO•2BO＝2m，
∴AO+BO＝（m+1），AO•BO＝m，
∴AO2+BO2＝（AO+BO）2﹣2AO×BO＝16，
∴（m+1）2﹣m＝16，
解得：m1＝9，m2＝﹣7，
∴当m＝﹣7时，AO•BO＝﹣3.5＜0，不符合题意，舍去，
即m＝9，
则AO•BO＝4.5，AC•BD＝2AO•2BO＝4AO•BO＝18，
∵DH是AB边上的高，
∴S菱形ABCD＝AB•DH＝AC•BD，
∴4DH＝×18，
∴DH＝．
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的性质和面积，勾股定理，根与系数的关系的应用，能得出关于m的方程是解此题的关键，注意：菱形的对角线互相平分且垂直．
二、填空题（每小题3分共15分）
11．（3分）（2023•南山区模拟）因式分解：2x3﹣4x2+2x＝ 2x（x﹣1）2 ．
【分析】先提取公因式2x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：2x3﹣4x2+2x
＝2x（x2﹣2x+1）
＝2x（x﹣1）2．
故答案为2x（x﹣1）2．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12．（3分）（2023•南山区校级模拟）“幻方”最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为 ﹣2 ．
【分析】先计算出行的和，得各行各列以及对角线上的三个数字之和均为﹣6，则﹣7+a+3＝﹣6，即可得．
【解答】解：∵0+（﹣1）+（﹣5）＝﹣6，
∴﹣7+a+3＝﹣6，
解得：a＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了有理数的加减，解题的关键是理解题意和掌握有理数加减运算的法则．
13．（3分）（2020•自贡）如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB．BC长6米，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，则AD长为 6 米（结果保留根号）．
【分析】过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥AB于F．首先证明DE＝CF，解直角三角形求出CF，再根据直角三角形30度角的性质即可解决问题．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥AB于F．
∵CD∥AB，DE⊥AB，CF⊥AB，
∴DE＝CF，
在Rt△CFB中，CF＝BC•sin45°＝3（米），
∴DE＝CF＝3（米），
在Rt△ADE中，∵∠A＝30°，∠AED＝90°，
∴AD＝2DE＝6（米），
故答案为：6．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
14．（3分）（2023•南山区模拟）如图，一次函数y＝2x与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，点M在以C（4，0）为圆心，半径为2的⊙C上，N是线段BM的中点，已知ON长的最大值为3，则k的值是 ．
【分析】由反比例函数性质可以得到，A，B两点关于原点O对称，所以O是线段AB的中点，又N是线段BM的中点，所以ON是△ABM的中位线，当ON取得最大值时，AM也取得最大值，由于M在⊙C上运动，所以当A，C，M三点共线时，AM最大值为6，此时BC＝2，根据BC＝2列出方程即可求解．
【解答】解：方法一、联立，
∴，
∴，
∴A（），B（），
∴A与B关于原点O对称，
∴O是线段AB的中点，
∵N是线段BM的中点，
连接AM，则ON∥AM，且ON＝AM，
∵ON的最大值为3，
∴AM的最大值为6，
∵M在⊙C上运动，
∴当A，C，M三点共线时，AM最大，
此时BC＝AM﹣CM＝2，
∴，
∴k＝0或，
∵k＞0，
∴，
方法二、设点B（a，2a），
∵一次函数y＝2x与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，
∴A与B关于原点O对称，
∴O是线段AB的中点，
∵N是线段BM的中点，
连接BM，则ON∥BM，且ON＝AM，
∵ON的最大值为3，
∴AM的最大值为6，
∵M在⊙C上运动，
∴当A，C，M三点共线时，AM最大，
此时BC＝AM﹣CM＝2，
∴＝2，
∴a1＝或a2＝0（不合题意舍去），
∴点B（，），
∴k＝，
故答案为：．
【点评】此题考查反比例和一次函数的交点问题，考查了点到圆上一点的最值问题，对此类模型结论要非常熟悉才可解决问题．
15．（3分）（2021•无锡）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝6，点E在线段AC上，且AE＝1，D是线段BC上的一点，连接DE，将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，当点G恰好落在线段AC上时，AF＝ ．
【分析】由折叠的性质可得AB＝FG＝2，AE＝EF＝1，∠BAC＝∠EFG＝90°，在Rt△EFG中，由勾股定理可求EG＝3，由锐角三角函数可求EH，HF的长，在Rt△AHF中，由勾股定理可求AF．
【解答】解：如图，过点F作FH⊥AC于H，
∵将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，
∴AB＝FG＝2，AE＝EF＝1，∠BAC＝∠EFG＝90°，
∴EG＝＝＝3，
∵sin∠FEG＝，
∴，
∴HF＝，
∵cos∠FEG＝，
∴，
∴EH＝，
∴AH＝AE+EH＝，
∴AF＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了翻折变换，考查了折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数，构造直角三角形是解题的关键．
三、解答题（共55分）
16．（5分）（2022•北京）计算：（π﹣1）0+4sin45°﹣+|﹣3|．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、二次根式的性质、绝对值的性质分别化简，进而合并得出答案．
【解答】解：原式＝1+4×﹣2+3
＝1+2﹣2+3
＝4．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
17．（5分）（2022•武汉）解不等式组请按下列步骤完成解答．
（1）解不等式①，得 x≥﹣3 ；
（2）解不等式②，得 x＜1 ；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集是 ﹣3≤x＜1 ．
【分析】分别解这两个不等式，把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，找到解集的公共部分即可得到原不等式组的解集．
【解答】解：（1）解不等式①，得：x≥﹣3；
（2）解不等式②，得：x＜1；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来为：
（4）原不等式组的解集为：﹣3≤x＜1．
故答案为：（1）x≥﹣3；
（2）x＜1；
（4）﹣3≤x＜1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，体现了数形结合的思想，在数轴上找到解集的公共部分是解题的关键．
18．（8分）（2022•郴州）某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）①此次调查一共随机抽取了 200 名学生；
②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
③扇形统计图中圆心角α＝ 54 度；
（2）若该校有3200名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数；
（3）刘老师计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．
【分析】（1）①由B组的人数除以所占百分比即可；
②求出C组的人数，补全条形统计图即可；
③由360°乘以C组所占的比例即可；
（2）由该校共有学生人数乘以参加D组（阅读）的学生人数所占的比例即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽中甲、乙两人的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）①此次调查一共随机抽取的学生人数为：50÷25%＝200（名），
故答案为：200；
②C组的人数为：200﹣30﹣50﹣70﹣20＝30（名），
补全条形统计图如下：
③扇形统计图中圆心角α＝360°×＝54°，
故答案为：54；
（2）3200×＝1120（名），
答：估计该校参加D组（阅读）的学生人数为1120名；
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽中甲、乙两人的结果有2种，
∴恰好抽中甲、乙两人的概率为＝．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．（8分）（2022•福建）如图，BD是矩形ABCD的对角线．
（1）求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF与⊙A相切于点G，求tan∠ADB的值．
【分析】（1）以A为圆心AB长为半径画弧交BD与M，作BM的垂直平分线，交BD与N，以A为圆心AN为半径画圆即为所求；
（2）设∠ADB＝α，⊙A的半径为r，证四边形AEFG是正方形，根据AAS证△ABE≌△CDF，得出BE＝DF＝r•tanα，DE＝DF+EF＝r•tanα+r，根据等量关系列出关系式求出tanα的值即可．
【解答】解：（1）根据题意作图如下：
（2）设∠ADB＝α，⊙A的半径为r，
∵BD与⊙A相切于点E，CF与⊙A相切于点G，
∴AE⊥BD，AG⊥CG，
即∠AEF＝∠AGF＝90°，
∵CF⊥BD，
∴∠EFG＝90°，
∴四边形AEFG是矩形，
又AE＝AG＝r，
∴四边形AEFG是正方形，
∴EF＝AE＝r，
在Rt△AEB和Rt△DAB中，∠BAE+∠ABD＝90°，∠ADB+∠ABD＝90°，
∴∠BAE＝∠ADB＝α，
在Rt△ABE中，tan∠BAE＝，
∴BE＝r•tanα，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
又∠AEB＝∠CFD＝90°，
∴△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF＝r•tanα，
∴DE＝DF+EF＝r•tanα+r，
在Rt△ADE中，tan∠ADE＝，
即DE•tanα＝AE，
∴（r•tanα+r）•tanα＝r，
即tan2α+tanα﹣1＝0，
∵tanα＞0，
∴tanα＝，
即tan∠ADB的值为．
【点评】本小题考查直角三角形的性质，特殊平行四边形的判定与性质，圆的概念与性质，锐角三角函数、一元二次方程等基础知识，考查尺规作图技能，考查函数与方程、化归与转化等数学思想方法，考查推理能力，运算能力、空间观念与几何直观、创新意识等数学素养，渗透数学文化．
20．（8分）（2021•荆门）某公司电商平台，在2021年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，如表仅列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W（元）的三组对应值数据．
x
40
70
90
y
180
90
30
W
3600
4500
2100
（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若该商品进价a（元/件），售价x为多少时，周销售利润W最大？并求出此时的最大利润；
（3）因疫情期间，该商品进价提高了m（元/件）（m＞0），公司为回馈消费者，规定该商品售价x不得超过55（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是4050元，求m的值．
【分析】（1）设y＝kx+b，把x＝40，y＝180和x＝70，y＝90，代入可得解析式．
（2）根据利润＝（售价﹣进价）×数量，得W＝（﹣3x+300）（x﹣a），把x＝40，W＝3600，代入上式可得关系式W＝﹣3（x﹣60）2+4800，顶点的纵坐标是有最大值．
（3）根据利润＝（售价﹣进价）×数量，得W＝﹣3（x﹣100）（x﹣20﹣m）（x≤55），其对称轴x＝60+＞60，0＜x≤55时，函数单调递增，只有x＝55时周销售利润最大，即可得m＝5．
【解答】解：（1）设y＝kx+b，由题意有：
，
解得，
所以y关于x的函数解析式为y＝﹣3x+300；
（2）由（1）W＝（﹣3x+300）（x﹣a），
又由表知，把x＝40，W＝3600，代入上式可得关系式
得：3600＝（﹣3×40+300）（40﹣a），
∴a＝20，
∴W＝（﹣3x+300）（x﹣20）＝﹣3x2+360x﹣6000＝﹣3（x﹣60）2+4800，
所以售价x＝60时，周销售利润W最大，最大利润为4800；
（3）由题意W＝﹣3（x﹣100）（x﹣20﹣m）（x≤55），
其对称轴x＝60+＞60，
∴0＜x≤55时，W的值随x增大而增大，
∴只有x＝55时周销售利润最大，
∴4050＝﹣3（55﹣100）（55﹣20﹣m），
∴m＝5．
【点评】本题考查二次函数的应用，解本题的关键理解题意，掌握二次函数的性质和销售问题中利润公式，
21．（10分）（2023•南山区模拟）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点 D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接BE，点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点．
（1）观察猜想：
图1中，线段MN与NP的数量关系是 MN＝NP ，∠MNP的大小是 90° ；
（2）探究证明：
把△ADE绕点A顺时针方向旋转到图2的位置，连接MP、BD、CE，判断△MNP的形状，试说明理由；
（3）拓展延伸：
把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝1，AB＝3，请直接写出△MNP面积的最大值．
【分析】（1）根据AB＝AC，AD＝AE，得BD＝CE，再根据三角形中位线定理可知MN＝BD，PN＝CE，MN∥AB，PN∥AC，利用平行线的性质可证得∠MNP＝90°；
（2）先通过SAS证明△ABD≌△ACE，得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，再由（1）同理可证；
（3）由三角形三边关系可知：BD≤8，由（2）知：△MNP是等边三角形，MN＝BD，则MN最大值为4，即可求得△MNP的最大面积．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BD＝CE，
∵点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点，
∴MN＝BD，PN＝CE，MN∥AB，PN∥AC，
∴MN＝PN，∠ENM＝∠EBA，∠ENP＝∠AEB，
∴∠MNE+∠ENP＝∠ABE+∠AEB，
∵∠ABE+∠AEB＝180°﹣∠BAE＝90°，
∴∠MNP＝90°，
故答案为：MN＝NP，90°．
（2）△MNP是等腰直角三角形，理由如下：
由旋转得：∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点，
∴MN＝BD，PN＝CE，MN∥BD，PN∥CE，
∴MN＝PN，∠ENM＝∠EBD，∠BPN＝∠BCE，
∴∠ENP＝∠NBP+∠NPB＝∠NBP+∠ECB，
∵∠EBD＝∠ABD+∠ABE＝∠ACE+∠ABE，
∴∠MNP＝∠MNE+∠ENP＝∠ACE+∠ABE+∠EBC+∠EBC﹣∠ECB＝180°﹣∠BAC＝90°，
∴△MNP是等腰直角三角形；
（3）由三角形三边关系可知：BD≤AB+AD，
即BD≤4，
∴BD的最大值为4，
由（2）知：△MNP是等边三角形，MN＝BD，
∴MN＝2时，S△MNP最大，
S△MNP最大为：×2×2＝2．
【点评】本题是三角形综合题，主要了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，等边三角形的判定，等腰直角三角形的判定等知识，利用平行线的性质证明∠MNP＝60°是解题的关键．
22．（11分）（2023•南山区校级模拟）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与二次函数y＝（x+2）2﹣2的图象相交于点A（1，m），B（﹣2，n）．
（1）求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；
（2）根据函数图象，直接写出不等式kx+b＜（x+2）2﹣2的解集；
（3）当﹣3≤x≤1时，直线y＝（x+2）2﹣2与直线y＝n只有一个交点，求n的取值范围；
（4）把二次函数y＝（x+2）2﹣2的图象左右平移得到抛物线G：y＝（x﹣m）2﹣2，直接写出当抛物线G与线段AB只有一个交点时m的取值范围．
【分析】（1）根据二次函数解析式求出A点和B点的坐标，然后用待定系数法求出一次函数的表达式即可；
（2）根据图象直接得出不等式的解集即可；
（3）求得x＝﹣3时的函数值，结合A、B的坐标，根据函数图象即可求得n的取值；
（4）分三种情况求出m的值，再结合图象求m的取值范围．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝（x+2）2﹣2的图像过点A（1，m），B（﹣2，n），
∴m＝×（1+2）2﹣2＝，n＝×（﹣2+2）2﹣2＝﹣2；
∴A（1，），B（﹣2，﹣2），
∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过A点和B点，
∴，
解得
∴一次函数的表达式为y＝x+1，
描点作图如下：
（2）由（1）中的图象可得，
不等式kx+b＜（x+2）2﹣2的解集为：x＜﹣2或x＞1；
（3）把x＝﹣3代入y＝（x+2）2﹣2得y＝﹣
∵A（1，），B（﹣2，﹣2），
由图象可知，当﹣3≤x≤1时，直线y＝（x+2）2﹣2与直线y＝n只有一个交点，则n的取值范围是﹣＜n≤或n＝﹣2；
（4）①当过点A时，
即（1﹣m）2﹣2＝，
解得m＝4或m＝﹣2，
当m＝﹣2时，抛物线与元二次函数重合，与线段AB有两个交点A，B，故舍去，
∴m＝4；
②当过点B时，
即（﹣2﹣m）2﹣2＝﹣2，
解得m1＝m2＝﹣2（舍去）；
③当与直线AB只有一个交点时，
令＝x+1，
整理得：x2﹣（2m+3）+m2﹣6＝0，
则Δ＝[﹣（2m+3）]2﹣4（m2﹣6）＝4m2+12m+9﹣4m2+24＝12m+33＝0，
解得：m＝﹣，
综上，﹣≤m＜﹣2或﹣2＜m≤4．
【点评】本题考查二次函数与不等式（组），待定系数法求函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征等，数形结合是解题的关键．
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