2023年广东省深圳市南山外国语集团联考中考数学模拟试卷及答案

2023年广东省深圳市南山外国语集团联考中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共9小题，共27.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  地球上的陆地面积约为，数字用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  “成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观下列成语：“水中捞月”，“守株待兔”，“百步穿杨”，“瓮中捉鳖”描述的事件是不可能事件的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  图是图中长方体的三视图，若用表示面积，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  九章算术是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是其最高的代数成就．九章算术中有这样一个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走步，走路慢的人只走步．若走路慢的人先走步，走路快的人要走多少步才能追上？注：步为长度单位”设走路快的人要走步才能追上，根据题意可列出的方程是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  五名同学捐款数分别是，，，，单位：元，捐元的同学后来又追加了元．追加后的个数据与之前的个数据相比，集中趋势相同的是(    )

A. 只有平均数 B. 只有中位数 C. 只有众数 D. 中位数和众数

7.  小王同学从家出发，步行到离家米的公园晨练，分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离单位：米与出发时间单位：分钟的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为(    )

A. 分钟 B. 分钟 C. 分钟 D. 分钟

8.  如图，是的直径，将弦绕点顺时针旋转得到，此时点的对应点落在上，延长，交于点，若，则图中阴影部分的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，四边形是边长为的菱形，对角线、的长度分别是一元二次方程的两实数根，是边上的高，则值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

10.  因式分解：______．

11.  “幻方”最早源于我国，古人称之为纵横图如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中的值为        ．

12.  如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形，长米，坡角为，的坡角为，则长为______米结果保留根号．
 

13.  如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，点在以为圆心，半径为的上，是线段的中点，已知长的最大值为，则的值是        ．

14.  如图，在中，，，，点在线段上，且，是线段上的一点，连接，将四边形沿直线翻折，得到四边形，当点恰好落在线段上时， ______ ．

三、解答题（本大题共6小题，共50.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
计算：．

16.  本小题分
某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了个活动小组每位学生只能参加一个活动小组：音乐；体育；美术；阅读；人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．

根据图中信息，解答下列问题：
此次调查一共随机抽取了______名学生；
补全条形统计图要求在条形图上方注明人数；
扇形统计图中圆心角______度；
若该校有名学生，估计该校参加组阅读的学生人数；
刘老师计划从组人工智能的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．

17.  本小题分
如图，是矩形的对角线．
求作，使得与相切要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；
在的条件下，设与相切于点，，垂足为若直线与相切于点，求的值．

18.  本小题分
某公司电商平台，在年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量件是关于售价元件的一次函数，如表仅列出了该商品的售价，周销售量，周销售利润元的三组对应值数据．

求关于的函数解析式不要求写出自变量的取值范围；
若该商品进价元件，售价为多少时，周销售利润最大？并求出此时的最大利润；
因疫情期间，该商品进价提高了元件，公司为回馈消费者，规定该商品售价不得超过元件，且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足中的函数关系，若周销售最大利润是元，求的值．

19.  本小题分
如图，在等腰直角三角形中，，，点 、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点．
观察猜想：
图中，线段与的数量关系是        ，的大小是        ；
探究证明：
把绕点顺时针方向旋转到图的位置，连接、、，判断的形状，试说明理由；
拓展延伸：
把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．
 

20.  本小题分
已知一次函数的图象与二次函数的图象相交于点，．
求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；
根据函数图象，直接写出不等式的解集；
当时，直线与直线只有一个交点，求的取值范围；
把二次函数的图象左右平移得到抛物线：，直接写出当抛物线与线段只有一个交点时的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：：不是同类项不能合并，故A不符合题意；
：同底数幂相除，底数不变，指数相减，故B不符合题意；
：完全平方公式的结果是三项式，故C不符合题意；
：故D符合题意；
故选：．
分别应用整式的加法法则，同底数幂相除，完全平方公式及二次根式的性质．
本题考查了整式的基本运算，熟练掌握基础知识是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件，一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的，而在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件为不确定事件，即随机事件．
本题考查的是随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．
【解答】
解：“水中捞月”是不可能事件，符合题意；
“守株待兔”是随机事件，不合题意；
“百步穿杨”，是随机事件，不合题意；
“瓮中捉鳖”是必然事件，不合题意；
故选：．  

4.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了由三视图判断几何体，正确得出俯视图的边长是解题关键．
直接利用已知视图的边长结合其面积得出另一边长，即可得出俯视图的边长进而得出答案．
【解答】
解：，，
．
故选：．  

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
设走路快的人要走步才能追上，由走路快的人走步所用时间内比走路慢的人多行步，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
【解答】
解：设走路快的人要走步才能追上，则走路慢的人走，
依题意，得：．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：根据题意知，追加前个数据的中位数是，众数是，
追加后个数据的中位数是，众数为，
数据追加后平均数会变大，
不变的只有中位数和众数，
故选：．
根据中位数和众数的概念做出判断即可．
本题主要考查平均数、中位数和众数的知识，熟练掌握平均数、中位数和众数的基本概念是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由图象可得，
小明的速度为米分钟，
爸爸的速度为：米分钟，
设小明出发分钟两人第一次相遇，出发分钟两人第二次相遇，
，，
解得，，
，
故选：．
根据题意和函数图象中的数据，可以先表示出两人的速度，然后即可计算出两人第一次和第二次相遇的时间，然后作差即可．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出两人相遇的时间．
 

8.【答案】 

【解析】解：连接，，，

由旋转知，，
，，
，
，
，
即为等腰直角三角形，
，
，
，
故选：．
连接，，，推出是等腰直角三角形，根据扇形面积减三角形面积计算即可．
本题主要考查旋转的性质及扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，，，
，
，
对角线，的长度分别是一元二次方程的两实数根，
，，
，，
，
，
解得：，，
当时，，不符合题意，舍去，
即，
则，，
是边上的高，
，
，
．
故选：．
根据菱形的性质得出，，，，求出，根据勾股定理得出，根据根与系数的关系得出，，变形后代入求出的值，即可得出答案．
本题考查了菱形的性质和面积，勾股定理，根与系数的关系的应用，能得出关于的方程是解此题的关键，注意：菱形的对角线互相平分且垂直．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】
解：
．
故答案为．  

11.【答案】 

【解析】解：，
，
解得：，
故答案为：．
先计算出行的和，得各行各列以及对角线上的三个数字之和均为，则，即可得．
本题考查了有理数的加减，解题的关键是理解题意和掌握有理数加减运算的法则．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
过点作于，过点作于首先证明，解直角三角形求出，再根据直角三角形度角的性质即可解决问题．
【解答】
解：过点作于，过点作于．

，，，
，
在中，米，
米，
在中，，，
米，
故答案为．  

13.【答案】 

【解析】解：方法一、联立，
，
，
，，
与关于原点对称，
是线段的中点，
是线段的中点，
连接，则，且，
的最大值为，
的最大值为，
在上运动，
当，，三点共线时，最大，
此时，
，
或，
，
，
方法二、设点，
一次函数与反比例函数的图象交于，两点，
与关于原点对称，
是线段的中点，
是线段的中点，
连接，则，且，
的最大值为，
的最大值为，
在上运动，
当，，三点共线时，最大，
此时，
，
或不合题意舍去，
点，
，
故答案为：．
由反比例函数性质可以得到，，两点关于原点对称，所以是线段的中点，又是线段的中点，所以是的中位线，当取得最大值时，也取得最大值，由于在上运动，所以当，，三点共线时，最大值为，此时，根据列出方程即可求解．
此题考查反比例和一次函数的交点问题，考查了点到圆上一点的最值问题，对此类模型结论要非常熟悉才可解决问题．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，

将四边形沿直线翻折，得到四边形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
由折叠的性质可得，，，在中，由勾股定理可求，由锐角三角函数可求，的长，在中，由勾股定理可求．
本题考查了翻折变换，考查了折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数，构造直角三角形是解题的关键．
 

15.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、二次根式的性质、绝对值的性质分别化简，进而合并得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

16.【答案】解：；
组的人数为：名，
补全条形统计图如下：

；
名，
答：估计该校参加组阅读的学生人数为名；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中恰好抽中甲、乙两人的结果有种，
恰好抽中甲、乙两人的概率为． 

【解析】解：此次调查一共随机抽取的学生人数为：名，
故答案为：；
组的人数为：名，
补全条形统计图如下：

扇形统计图中圆心角，
故答案为：；
名，
答：估计该校参加组阅读的学生人数为名；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中恰好抽中甲、乙两人的结果有种，
恰好抽中甲、乙两人的概率为．
由组的人数除以所占百分比即可；
求出组的人数，补全条形统计图即可；
由乘以组所占的比例即可；
由该校共有学生人数乘以参加组阅读的学生人数所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中恰好抽中甲、乙两人的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

17.【答案】解：根据题意作图如下：

设，的半径为，

与相切于点，与相切于点，
，，
即，
，
，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形，
，
在和中，，，
，
在中，，
，
四边形是矩形，
，，
，
又，
≌，
，
，
在中，，
即，
，
即，
，
，
即的值为． 

【解析】以为圆心长为半径画弧交与，作的垂直平分线，交与，以为圆心为半径画圆即为所求；
设，的半径为，证四边形是正方形，根据证≌，得出，，根据等量关系列出关系式求出的值即可．
本小题考查直角三角形的性质，特殊平行四边形的判定与性质，圆的概念与性质，锐角三角函数、一元二次方程等基础知识，考查尺规作图技能，考查函数与方程、化归与转化等数学思想方法，考查推理能力，运算能力、空间观念与几何直观、创新意识等数学素养，渗透数学文化．
 

18.【答案】解：设，由题意有：
，
解得，
所以，关于的函数解析式为；
由，
又由表知，把，，代入上式可得关系式
得：，
，
，
所以售价时，周销售利润最大，最大利润为；
由题意，
其对称轴，
时，随的增大而增大，
只有时周销售利润最大，
，
． 

【解析】设，把，和，，代入可得解析式．
根据利润售价进价数量，得，把，，代入上式可得关系式，顶点的纵坐标是有最大值．
根据根据利润售价进价数量，得，其对称轴，时，随的增大而增大，只有时周销售利润最大，即可得．
本题考查二次函数的应用，解本题的关键理解题意，掌握二次函数的性质和销售问题中利润公式，
 

19.【答案】   

【解析】解：，，
，
点、、分别为、、的中点，
，，，，
，，，
，
，
，
故答案为：，．
是等边三角形，理由如下：
由旋转得：，
又，，
≌，
，，
点、、分别为、、的中点，
，，，，
，，，
，
，
，
是等边三角形；
由三角形三边关系可知：，
即，
的最大值为，
由知：是等边三角形，，
时，最大，
最大为：．
根据，，得，再根据三角形中位线定理可知，，，，利用平行线的性质可证得；
先通过证明≌，得，，再由同理可证；
由三角形三边关系可知：，由知：是等边三角形，，则最大值为，即可求得的最大面积．
本题是三角形综合题，主要了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，等边三角形的判定，等腰直角三角形的判定等知识，利用平行线的性质证明是解题的关键．
 

20.【答案】解：二次函数的图像过点，，
，；
，，
一次函数的图象过点和点，
，
解得
一次函数的表达式为，
描点作图如下：

由中的图象可得，
不等式的解集为：或；
把代入得
，，
由图象可知，当时，直线与直线只有一个交点，则的取值范围是或；
当过点时，
即，
解得或，
当时，抛物线与元二次函数重合，与线段有两个交点，，故舍去，
；
当过点时，
即，
解得舍去；
当与直线只有一个交点时，
令，
整理得：，
则，
解得：，
综上，或． 

【解析】根据二次函数解析式求出点和点的坐标，然后用待定系数法求出一次函数的表达式即可；
根据图象直接得出不等式的解集即可；
求得时的函数值，结合、的坐标，根据函数图象即可求得的取值；
分三种情况求出的值，再结合图象求的取值范围．
本题考查二次函数与不等式组，待定系数法求函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征等，数形结合是解题的关键．