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2021年黑龙江省鸡西市中考数学一模试卷（含答案）
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这是一份2021年黑龙江省鸡西市中考数学一模试卷（含答案），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年黑龙江省鸡西市中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1. 下列各式计算正确的是( )
A. -8-5=-3 B. 4a+3b=7ab C. 3x2-x2=3 D. -2-(-6)=4
2. 下列汽车标志中，不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 如图，空心圆柱在指定方向上的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
4. 为了解某班学生每天使用零花钱的情况，小明随机调查了15名同学，结果如表：
每天使用零花钱(单位：元)
0
2
3
4
5
人数
1
4
5
3
2
关于这15名同学每天使用零花钱的情况，下列说法正确的是( )
A. 中位数是3元 B. 众数是5元 C. 平均数是2.5元 D. 方差是4
5. 把一个正方形的一边增加2cm，另一边增加1cm，所得的长方形的面积比正方形面积增加14cm2，那么原来正方形的边长是( )
A. 3cm B. 5cm C. 4cm D. 6cm
6. 已知关于x、y的方程组x-y=62x+y=6a的解满足不等式x+y
A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种
8. 如图，点A在反比例函数y=4x(x>0)的图象上，点B在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，AB//x轴，BC⊥x轴，垂足为C，连接AC，若△ABC的面积是6，则k的值为( )
A. 10
B. 12
C. 14
D. 16
9. 如图，平行四边形AOBC中，对角线交于点E，双曲线y=kx(k>0)经过A、E两点，若平行四边形AOBC的面积为12，则k的值是( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
10. 如图所示，长方形ABCD中，AB=4，BC=8，点E是折线段A—D—C上的一个动点，点P是点A关于BE的对称点，在点E运动的过程中，能使⊿PCB为等腰三角形的点E的位置共有( )个。
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
11. “互联网+”已全面进入人们的日常生活．据有关部门统计，目前全国4G用户数达到468000000，则数字468000000用科学记数法表示为______．
12. 若分式x+ab-2x在x=2时无意义，在x=-3时值为0，则a+b=______．
13. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AB：AD=1：2，将它沿BC翻折得到四边形BCEF，若四边形ADEF是正方形，则∠ABC的度数是______ ．
14. 在数-1、1、2中任取两个数(不重复)作为点的坐标，则该点刚好在一次函数y=x-2图象上的概率是______ ．
15. 不等式组x-2<03+x>0的解集为______．
16. 如图，CB切⊙O于点B，CA交⊙O于点D且AB为⊙O的直径，点E是ABD上异于点A、D的一点，若∠C=50°，则∠E的度数为______ ．
17. 一个底面直径是60 cm，母线长为90 cm的圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为 ．
18. 如图，周长为16的菱形ABCD中，点E，F分别在AB，AD边上，AE=1，AF=3，P为BD上一动点，则线段EP+FP的长最短为______ ．
19. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点(点E不与点B重合)，沿DE翻折△DBE，使点B落在点F处，连接AF，则当线段AF的长取最小值时，sin∠FBD是______．
20. 菱形ABCD中，∠A=60°，其周长为24cm，则菱形的面积为______cm2．
三、解答题（本大题共8小题，共60.0分）
21. 计算：cos30°+tan60°-2sin45°．
22. 如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1.每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点都在格点上，完成如下作图．
(1)画出将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到的△A'B'C，点A、B的对应点分别是点A'、B'；
(2)在(1)的基础上，连接AA'，则AA'=______．
23. 如图所示，抛物线坐标轴交于A、B、C(0,3)，其顶点是D(-1,4)．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)试判断△BCD的形状，并说明理由；
(3)探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
24. 为落实我市关于开展中小学课后服务工作的要求，某学校开设了四门校本课程供学生选择：A.趣味数学；B.博乐阅读；C.快乐英语；D.硬笔书法.某年级共有100名学生选择了A课程，为了解本年级选择A课程学生的学习情况，从这100名学生中随机抽取了30名学生进行测试，将他们的成绩(百分制)分成六组，绘制成频数分布直方图．
(1)已知70≤x<80这组的数据为：72，73，75，74，79，76，76，则这组数据的中位数是______ ，众数是______ ；
(2)根据题中信息，估计该年级选择A课程学生成绩在80≤x<90的总人数；
(3)该年级每名学生选两门不同的课程，小张同时选择课程A和课程B的概率是多少？请用列表法或树状图的方法加以说明．
25. 某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜产品需要装入某一规格的纸箱．供应这种纸箱有两种方案可供选择：
方案一：从纸箱厂定制购买，每个纸箱价格为4元；
方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取．工厂需要一次性投入机器安装等费用16000元，每加工一个纸箱还需成本费2.4元．假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案？并说明理由．
26. 已知：如图1，△ABC中，AB=6，AC=33，BC=3，过边AC上的动点E(点E不与点A、C重合)作EF⊥AB于点F，将△AEF沿EF所在的直线折叠得到△A'EF，设CE=x，折叠后的△A'EF与四边形BCEF重叠部分的面积记为S．
(1)如图2，当点A'与顶点B重合时，求AE的长；
(2)如图3，当点A'落在△ABC的外部时，A'E与BC相交于点D，求证：△A'BD是等腰三角形；
(3)试用含x的式子表示S，并求S的最大值．
27. 新房装修后，某居民购买家用品的清单如下表，因污水导致部分信息无法识别，根据下表解决问题：
家居用品名称
单价(元)
数量(个)
金额(元)
垃圾桶
15
鞋架
40
字画
a
2
90
合计
5
185
(1)居民购买垃圾桶，鞋架各几个？
(2)若居民再次购买字画和垃圾桶两种家居用品共花费150元，则有哪几种不同的购买方案？
28. 我们定义：有一条对角线平分一个角，且有一组对角互补的凸四边形叫做“分补四边形”．
概念理解
(1)根据我们所学的四边形知识，举一个分补四边形的例子：______；如图1正六边形ABCDEF中，连接BD，BE，DF，请写出图中所有的分补四边形______；
性质探索
(2)如图2，在分补四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，BD平分∠ABC，且AB>BC．
求证：AD=CD；
探究运用
(3)如图3，在△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，BC=4，分别在AB，BC上取点P，Q，将∠B沿着PQ翻折，使点B的对应点为E.当点E落在△ABC内部时，是否存在四边形PBCE为分补四边形，且∠PCB=15°的情况？如果存在；求BQ的长；如果不存在，说明理由．
【答案与解析】
1.答案：D
解析：解：(A)原式=-13，故A错误；
(B)原式=4a+3b，故B错误；
(C)原式=2x2，故C错误；
故选：D．
根据合并同类项的法则即可求出答案．
本题考查合并同类项，解题的关键是熟练运用合并同类项法则，本题属于基础题型．
2.答案：B
解析：
本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．根据轴对称图形的知识求解．
解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
3.答案：C
解析：解：圆柱的主视图是矩形，里面有两条用虚线表示的看不到的棱，
故选：C．
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的棱都应表现在主视图中．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图；注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线．
4.答案：A
解析：解：∵一共有15人，
∴中位数为第8人所花钱数，
∴中位数为3元，故A正确；
∵每天使用3元零花钱的有5人，最多，
∴众数为3元，故B错误；
平均数为：0×1+2×4+3×5+4×3+5×215=3，故C错误；
方差为：115×[1×(0-3)2+4×(2-3)2+5×(3-3)2+3×(4-3)2+2×(5-3)2]=1.6，故D错误．
故选：A．
分别计算该组数据的众数、平均数、方差及中位数后找到正确答案即可．
本题考查了方差、加权平均数、中位数及众数，在解决此类题目的时候一定要细心，特别是求中位数的时候，首先排序，然后确定数据总个数．
5.答案：C
解析：
本题主要考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，长方形的面积=长×宽，正方形的面积=边长×边长．
本题的等量关系是：长方形的面积=正方形面积+14cm2，根据这个等量关系列出方程即可得到结果．
解：设原来正方形的边长为xcm．
根据题意，可列方程为(x+2)(x+1)=x2+14，
经解和检验后得x=4．
即：原来正方形的边长为4cm．
故选：C．
6.答案：D
解析：解：x-y=6①2x+y=6a②，
①+②得：x=2a+2，
把x=2a+2代入①得：y=2a-4，
∴x+y=4a-2，
∴4a-2
∴2
首先解关于x，y的方程组，求得x，y的值，代入x+y
7.答案：B
解析：解：设安排女生x人，安排男生y人，
依题意得：4x+5y=56，
则x=56-5y4．
当y=4时，x=9．
当y=8时，x=4．
即安排女生9人，安排男生4人；
安排女生4人，安排男生8人．
共有2种方案．
故选：B．
设安排女生x人，安排男生y人，由“累计56个小时的工作时间”列出方程求得正整数解．
考查了二元一次方程的应用．注意：根据未知数的实际意义求其整数解．
8.答案：D
解析：
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，明确图中矩形的面积为即为比例系数k的绝对值．延长BA，交y轴于M，作AN⊥x轴于N，根据反比例函数系数k的几何意义得出S四边形ANCB=S四边形OMBC-S四边形OMAN=k-4=2S△ABC，由已知条件得出k-4=2×6，解得k=16．
解：延长BA，交y轴于M，作AN⊥x轴于N，
∵点A在反比例函数y=4x(x>0)的图象上，AB//x轴，BC⊥x轴，
∴S四边形OMAN=4，
∵点B在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，
∴S四边形OMBC=k，
∵S四边形ANCB=S四边形OMBC-S四边形OMAN=k-4=2S△ABC，
∴k-4=2×6，
解得k=16，
故选：D．
9.答案：B
解析：解：过A作AD⊥OB于D，过E作EF⊥OB于F，如图，
设A(x,y=kx)，B(a,0)，
∵四边形AOBC为平行四边形，
∴AE=BE，
∴EF为△BAD的中位线，
∴EF=12AD=k2x，
∴DF=12(a-x)，
OF=OD+DF=a+x2，
∴E(a+x2,k2x)，
∵E点在双曲线上，
∴a+x2⋅k2x=k，
∴a=3x，
∵平行四边形的面积是12，
∴AD⋅OB=12，
即kx⋅a=12，
∴kx⋅3x=12，
∴k=4．
故选：B．
过A作AD⊥OB于D，过E作EF⊥OB于F，如图，设A(x,y=kx)，B(a,0)，根据平行四边形的性质得到AE=BE，根据三角形的中位线得到EF=12AD=k2x，得到DF=12(a-x)，根据平行四边形的面积是12，于是得到结论．
本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|.也考查了平行四边形的性质．
10.答案：C
解析：试题分析：首先，点P的运动轨迹为以B为圆心，BA为半径的一个半圆弧，情况如下：①BP等腰三角形一腰长时，符合点E的位置有2个，是BC的垂直平分线与以B为圆心BA为半径的圆的交点即是点P；
②BP为底边时，C为顶点时，符合点E的位置有2个，是以B为圆心BA为半径的圆与以C为圆心BC为半径的圆的交点即是点P；
③以PC为底边，B为顶点时，这样的等腰三角形不存在，因为是以B为圆心BA为半径的圆与以B为圆心BC为半径的圆没有交点．故选 C。
考点：图形与证明>三角形
11.答案：4.68×108
解析：解：将468000000用科学记数法表示为：4.68×108．
故答案为：4.68×108．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12.答案：7
解析：解：∵x=2时无意义，
∴b-2x=0，
解得：b=2x=4，
∵x=-3时值为0，
∴x+a=0，且b-2x≠0，
∴a=3，
∴a+b=7，
故答案为：7．
根据分式无意义的条件和有意义的条件可得a、b的值，从而可得答案．
此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
13.答案：45°
解析：解：∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，
又∵AB：AD=1：2，
∴AB：AF=1：2，
由折叠可得，AB=FB，∠ABC=∠FBC，
设AB=BF=a，则AF=2a，
∵AB2+BF2=2a2=AF2，
∴△ABF是Rt△，且∠ABF=90°，
∴∠ABC=12∠ABF=45°，
故答案为：45°．
设AB=BF=a，则AF=2a，依据勾股定理的逆定理得出△ABF是Rt△，且∠ABF=90°，即可得到∠ABC=12∠ABF=45°．
本题主要考查了正方形的性质以及翻折变换的运用，关键是掌握翻折变换(折叠问题)实质上就是轴对称变换．折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
14.答案：16
解析：解：列表得：
-1
1
2
-1
---
(1,-1)
(2,-1)
1
(-1,1)
---
(2,1)
2
(-1,2)
(1,2)
---
所有等可能的情况有6种，其中该点刚好在一次函数y=x-2图象上的情况有：(1,-1)共1种，
则P=16．
故答案为：16．
列表得出所有等可能的情况数，找出刚好在一次函数y=x-2图象上的点个数，即可求出所求的概率．
此题考查了列表法与树状图法，以及一次函数图象上点的坐标特征，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
15.答案：-3
解①得：x<2，
解②得：x>-3，
则不等式组的解集是：-3
本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x>较小的数、<较大的数，那么解集为x介于两数之间．
16.答案：50°
解析：解：如图：连接BD，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∵BC切⊙O于点B，
∴∠ABC=90°，
∵∠C=50°，
∴∠BAC=50°，
∴∠ABD=50°，
∴∠E=∠ABD=50°．
故答案为：50°．
连接BD，根据直径所对的圆周角是直角，利用切线的性质得到∠ABD的度数，然后用同弧所对的圆周角相等，求出∠E的度数
本题考查的是切线的性质，利用切线的性质和圆周角定理求出∠E的度数是解题的关键．
17.答案：120 º．
解析：本题主要考查圆锥的侧面展开图面积的计算.根据圆锥的底面直径求得圆锥的侧面展开扇形的弧长，再利用告诉的母线长求得圆锥的侧面展开扇形的面积，再利用扇形的另一种面积的计算方法求得圆锥的侧面展开图的圆心角即可：
解：∵圆锥的底面直径是60cm，
∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：πd=60π．
∵母线长90cm，
∴圆锥的侧面展开扇形的面积为：lr=×60π×90=2700π.
∴，
解得：n=120．
故答案为120º．
18.答案：4
解析：解：在DC上截取DG=FD=AD-AF=4-3=1，连接EG，则EG与BD的交点就是P．
∵AE=DG，且AE//DG，
∴四边形ADGE是平行四边形，
∴EG=AD=4．
故答案为：4．
在DC上截取DG=FD=AD-AF=4-3=1，连接EG，则EG与BD的交点就是P.EG的长就是EP+FP的最小值，据此即可求解．
本题考查了轴对称，理解菱形的性质，对角线所在的直线是菱形的对称轴是关键．
19.答案：55
解析：解：由题意得：DF=DB，
∴点F在以D为圆心，BD为半径的圆上，作⊙D； 连接AD交⊙D于点F，此时AF值最小，
∵点D是边BC的中点，
∴CD=BD=3，
由勾股定理得：AD2=AC2+CD2
∴AD=5，
又∵FD=3，
∴FA=5-3=2，
即线段AF长的最小值是2，
连接BF，过F作FH⊥BC于H，
∵∠ACB=90°，
∴FH//AC，
∴△DFH∽△ADC，
∴DFAD=DHCD=HFAC，
∴HF=125，DH=95，
∴BH=245，
∴BF=BH2+HF2=1255，
∴sin∠FBD=FHBF=15=55，
故答案为：55．
由题意得：DF=DB，得到点F在以D为圆心，BD为半径的圆上，作⊙D； 连接AD交⊙D于点F，此时AF值最小，由点D是边BC的中点，得到CD=BD=3；而AC=4，由勾股定理得到AD=5，求得线段AF长的最小值是2，连接BF，过F作FH⊥BC于H，根据相似三角形的性质可求FH，BF的长，即可求解．
本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，最值问题等几何知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线，从整体上把握题意，准确找出图形中数量关系．
20.答案：183
解析：解：如图所示：过点B作BE⊥DA于点E
∵菱形ABCD中，其周长为24cm，
∴AB=AD=6cm，
∴BE=AB⋅sin60°=33cm，
∴菱形ABCD的面积S=AD⋅BE=183cm2．
故答案为：183．
根据菱形的性质以及锐角三角函数关系得出BE的长，即可得出菱形的面积．
此题主要考查了菱形的面积以及其性质，得出AE的长是解题关键．
21.答案：解：原式=32+3-2×22
=332-2．
解析：直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
22.答案：32
解析：解：(1)如图，△A'B'C为所作；
(2)∵△ABC绕点C顺时针旋转90°得到的△A'B'C，
∴∠ACA'=90°，CA=CA'，
∴△CAA'为等腰直角三角形，
∴AA'=2CA=32．
故答案为32．
(1)利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点A'、B'即可；
(2)先证明△CAA'为等腰直角三角形，然后利用等腰直角三角形的性质求解．
本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
23.答案：解：(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)2+4
∴a+4=3a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3；
(2)△BCD是直角三角形，理由如下：
过点D作DF⊥y轴于点F．
在Rt△BOC中，∵OB=3，OC=3
∴OB=OC，
∴∠OCB=45°
∵在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1，
∴DF=CF，
∴∠DCF=45°，
∴∠BCD=180°-∠DCF-∠OCB=90°，
∴△BCD为直角三角形；
(3)存在，理由：
由(2)知BC=32，CD=2，BD=25，
①∵CDBC=232=13，OAOC=13，故当P是原点O时，△ACP∽△DBC；
②当AC是直角边时，若AC与CD是对应边，
设P的坐标是(0,a)，则PC=3-a，
∴ACCD=PCBD，即102=3-a25，解得：a=-9，
则P的坐标是(0,-9)，三角形ACP不是直角三角形，则△ACP∽△CBD不成立；
③当AC是直角边，若AC与BC是对应边时，
设P的坐标是(0,b)，则PC=3-b，
则ACBC=PCBD，即1032=3-b25，
解得：b=-13，故P是(0,-13)时，则△ACP∽△CBD一定成立；
④当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是(d,0)．
则AP=1-d，当AC与CD是对应边时，
则ACCD=APBC，即102=1- d32，
解得：d=1-310，此时，两个三角形不相似；
⑤当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是(e,0)．
则AP=1-e，当AC与DC是对应边时，
则ACCD=APBD，即102=1-e25，
解得：e=-9，符合条件．
总之，符合条件的点P的坐标为：(0,0)或(0,-13)或(-9,0)．
解析：(1)利用待定系数法即可求得函数的解析式；
(2)利用勾股定理求得△BCD的三边的长，然后根据勾股定理的逆定理即可作出判断；
(3)分P在x轴和y轴两种情况讨论，设出P的坐标，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解．
本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理以及其逆定理．
24.答案：75 76
解析：解：(1)把70≤x<80这组的数据排序为：72，73，74，75，76，76，79，
则这组数据的中位数是75，众数是76，
故答案为：75 76；
(2)观察频数分布直方图，抽取的30名学生成绩在80≤x<90范围内的共有9人，所占比例为930，
则估计该年级100名选择A课程的学生中成绩在80≤x<90范围内的总人数为100×930=30(人)；
(3)画树状图如图所示：
由树状图可知，等可能的结果共有12种，小张同时选择课程A和课程B的情况共有2种，
∴小张同时选择课程A和课程B的概率是212=16．
(1)由中位数和众数的定义求解即可；
(2)由该年级总人数乘以选择A课程学生成绩在80≤x<90所占的比例即可；
(3)画树状图，可能的结果共有12种，小张同时选择课程A和课程B的情况共有2种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及频数分布直方图、众数、中位数等知识；树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
25.答案：解：从纸箱厂定制购买纸箱费用：y1=4x，
蔬菜加工厂自己加工纸箱费用：y2=2.4x+16000，
y2-y1=2.4x+16000-4x=-1.6x+16000，
由y2=y1，得：-1.6x+16000=0，
解得：x=10000．
当x<10000时，y1
当x>10000时，y1>y2，
选择方案二，蔬菜加工厂自己加工纸箱所需的费用低．
当x=10000时，y1=y2，
两种方案都可以，两种方案所需的费用相同．
综上所述，纸箱数>10000个时，按方案二合算；
纸箱数等于10000个时，按方案一、方案二都一样；
纸箱数<10000个时，按方案一合算．
解析：选择哪一种方案，主要和纸箱的数量有关，用函数关系分别表示出两种方案的费用与纸箱数的关系，然后再分类讨论．
解答这类问题时，先建立函数关系式，然后再分类讨论．
26.答案：解：(1)如图2中，
∵AC2+BC2=(33)2+32=36，AB2=36，
∴△ABC是直角三角形，∠C=90°，
当点A'与顶点B重合时，AF=FB=3，
cosA=ACAB=32，
∴∠A=30°，
∴AE=AFcos30∘=23．
(2)如图3中，
由(1)可知∠A=30°，∠C=90°，
∴∠ABC=60°，
∵∠ABC=∠A'+∠BDA'，∠A'=∠A=30°，
∴∠A'=∠A'DB=30°，
∴BD=BA'，
∴△BDA'是等腰三角形．
(3)①如图3中，当0
=12⋅12(33-x)⋅3(33-x)-12⋅[23(33-x)-6]×32[23(33-x)-6]
=-1134x2+632x-11734，
∴S最大值=4×1134×11734-(632)2-113=36311
②如图1中，3
S=34(x-33)2，
S最大值=33，
33<36311，
∴S的最大值为36311．
解析：(1)首先证明∠A=30°，在Rt△AEF中，解直角三角形即可解决问题；
(2)想办法证明∠A'=∠A'DB=30°，可得BD=BA'；
(3)分两种情形分别求解，①如图3中，当0
27.答案：解：(1)设居民购买垃圾桶x个，鞋架y个，
则15x+40y=185-90x+y=5-2，
解得：x=1，y=2，
答：居民购买垃圾桶1个，鞋架2个；
(2)设购买字画a个，购买垃圾桶b个，
字画单价为90÷2=45，
则15b+45a=150，
b=10-3a，
当a=1时，b=7，
当a=2时，b=4，
当a=3时，b=1，
即有三种不同的购买方案：
第一种方案是：购买字画1个，购买垃圾桶7个；
第二种方案是：购买字画2个，购买垃圾桶4个；
第三种方案是：购买字画3个，购买垃圾桶1个．
解析：(1)设居民购买垃圾桶x个，鞋架y个，根据表格中的数据列出方程组，求出方程组的解即可；
(2)购买字画a个，购买垃圾桶b个，根据题意列出方程15b+45a=150，求出正整数解即可．
本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，解此题的关键是弄懂题意，找出合适的等量关系，并列出方程组．
28.答案：正方形 四边形ABDF，四边形ABEF，四边形BCDE；
解析：解：(1)正方形是分补四边形，图中的分补四边形有：四边形ABDF，四边形ABEF，四边形BCDE；
故答案为：正方形；四边形ABDF，四边形ABEF，四边形BCDE；
(2)如图2中，作DE⊥BC于E，DF⊥AB于F．
∵DB平分∠ABC，DE⊥BC于E，DF⊥AB于F，
∴DE=DF，
∵∠A+∠BCD=180°，∠BCD+∠DCE=180°，
∴∠A=∠DCE，∵∠DFA=∠DEC=90°，
∴△DFA≌△DEC，
∴AD=DC．
(3)如图3中，
观察图象可知，∵四边形PBCE是分补四边形，
∴只有∠PCE=∠PCQ=15°，
∴∠BCE=30°，∠BPE=150°，
∴∠QPE=∠QPB=75°，
∵∠B=60°，
∴∠PQB=45°，
∵∠PQB=∠PQE，
∴∠EQB=90°，
∴BQ=QE，QC=3EQ，
∴4=BQ+3BQ，
∴BQ=23-2．
(1)根据分补四边形的定义即可判断；
(2)如图2中，作DE⊥BC于E，DF⊥AB于F.只要证明△DFA≌△DEC即可解决问题；
(3)观察图象可知，由四边形PBCE是分补四边形，推出只有∠PCE=∠PCQ=15°，推出∠BCE=30°，∠BPE=150°，推出∠QPE=∠QPB=75°，推出∠PQB=45°，推出∠EQB=90°，推出BQ=QE，QC=3EQ，可得4=BQ+3BQ，求出BQ即可解决问题；
本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、直角三角形30度角的性质、翻折变换等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
2021年黑龙江省鸡西市中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1. 下列各式计算正确的是( )
A. -8-5=-3 B. 4a+3b=7ab C. 3x2-x2=3 D. -2-(-6)=4
2. 下列汽车标志中，不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 如图，空心圆柱在指定方向上的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
4. 为了解某班学生每天使用零花钱的情况，小明随机调查了15名同学，结果如表：
每天使用零花钱(单位：元)
0
2
3
4
5
人数
1
4
5
3
2
关于这15名同学每天使用零花钱的情况，下列说法正确的是( )
A. 中位数是3元 B. 众数是5元 C. 平均数是2.5元 D. 方差是4
5. 把一个正方形的一边增加2cm，另一边增加1cm，所得的长方形的面积比正方形面积增加14cm2，那么原来正方形的边长是( )
A. 3cm B. 5cm C. 4cm D. 6cm
6. 已知关于x、y的方程组x-y=62x+y=6a的解满足不等式x+y
A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种
8. 如图，点A在反比例函数y=4x(x>0)的图象上，点B在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，AB//x轴，BC⊥x轴，垂足为C，连接AC，若△ABC的面积是6，则k的值为( )
A. 10
B. 12
C. 14
D. 16
9. 如图，平行四边形AOBC中，对角线交于点E，双曲线y=kx(k>0)经过A、E两点，若平行四边形AOBC的面积为12，则k的值是( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
10. 如图所示，长方形ABCD中，AB=4，BC=8，点E是折线段A—D—C上的一个动点，点P是点A关于BE的对称点，在点E运动的过程中，能使⊿PCB为等腰三角形的点E的位置共有( )个。
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
11. “互联网+”已全面进入人们的日常生活．据有关部门统计，目前全国4G用户数达到468000000，则数字468000000用科学记数法表示为______．
12. 若分式x+ab-2x在x=2时无意义，在x=-3时值为0，则a+b=______．
13. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AB：AD=1：2，将它沿BC翻折得到四边形BCEF，若四边形ADEF是正方形，则∠ABC的度数是______ ．
14. 在数-1、1、2中任取两个数(不重复)作为点的坐标，则该点刚好在一次函数y=x-2图象上的概率是______ ．
15. 不等式组x-2<03+x>0的解集为______．
16. 如图，CB切⊙O于点B，CA交⊙O于点D且AB为⊙O的直径，点E是ABD上异于点A、D的一点，若∠C=50°，则∠E的度数为______ ．
17. 一个底面直径是60 cm，母线长为90 cm的圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为 ．
18. 如图，周长为16的菱形ABCD中，点E，F分别在AB，AD边上，AE=1，AF=3，P为BD上一动点，则线段EP+FP的长最短为______ ．
19. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点(点E不与点B重合)，沿DE翻折△DBE，使点B落在点F处，连接AF，则当线段AF的长取最小值时，sin∠FBD是______．
20. 菱形ABCD中，∠A=60°，其周长为24cm，则菱形的面积为______cm2．
三、解答题（本大题共8小题，共60.0分）
21. 计算：cos30°+tan60°-2sin45°．
22. 如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1.每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点都在格点上，完成如下作图．
(1)画出将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到的△A'B'C，点A、B的对应点分别是点A'、B'；
(2)在(1)的基础上，连接AA'，则AA'=______．
23. 如图所示，抛物线坐标轴交于A、B、C(0,3)，其顶点是D(-1,4)．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)试判断△BCD的形状，并说明理由；
(3)探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
24. 为落实我市关于开展中小学课后服务工作的要求，某学校开设了四门校本课程供学生选择：A.趣味数学；B.博乐阅读；C.快乐英语；D.硬笔书法.某年级共有100名学生选择了A课程，为了解本年级选择A课程学生的学习情况，从这100名学生中随机抽取了30名学生进行测试，将他们的成绩(百分制)分成六组，绘制成频数分布直方图．
(1)已知70≤x<80这组的数据为：72，73，75，74，79，76，76，则这组数据的中位数是______ ，众数是______ ；
(2)根据题中信息，估计该年级选择A课程学生成绩在80≤x<90的总人数；
(3)该年级每名学生选两门不同的课程，小张同时选择课程A和课程B的概率是多少？请用列表法或树状图的方法加以说明．
25. 某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜产品需要装入某一规格的纸箱．供应这种纸箱有两种方案可供选择：
方案一：从纸箱厂定制购买，每个纸箱价格为4元；
方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取．工厂需要一次性投入机器安装等费用16000元，每加工一个纸箱还需成本费2.4元．假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案？并说明理由．
26. 已知：如图1，△ABC中，AB=6，AC=33，BC=3，过边AC上的动点E(点E不与点A、C重合)作EF⊥AB于点F，将△AEF沿EF所在的直线折叠得到△A'EF，设CE=x，折叠后的△A'EF与四边形BCEF重叠部分的面积记为S．
(1)如图2，当点A'与顶点B重合时，求AE的长；
(2)如图3，当点A'落在△ABC的外部时，A'E与BC相交于点D，求证：△A'BD是等腰三角形；
(3)试用含x的式子表示S，并求S的最大值．
27. 新房装修后，某居民购买家用品的清单如下表，因污水导致部分信息无法识别，根据下表解决问题：
家居用品名称
单价(元)
数量(个)
金额(元)
垃圾桶
15
鞋架
40
字画
a
2
90
合计
5
185
(1)居民购买垃圾桶，鞋架各几个？
(2)若居民再次购买字画和垃圾桶两种家居用品共花费150元，则有哪几种不同的购买方案？
28. 我们定义：有一条对角线平分一个角，且有一组对角互补的凸四边形叫做“分补四边形”．
概念理解
(1)根据我们所学的四边形知识，举一个分补四边形的例子：______；如图1正六边形ABCDEF中，连接BD，BE，DF，请写出图中所有的分补四边形______；
性质探索
(2)如图2，在分补四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，BD平分∠ABC，且AB>BC．
求证：AD=CD；
探究运用
(3)如图3，在△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，BC=4，分别在AB，BC上取点P，Q，将∠B沿着PQ翻折，使点B的对应点为E.当点E落在△ABC内部时，是否存在四边形PBCE为分补四边形，且∠PCB=15°的情况？如果存在；求BQ的长；如果不存在，说明理由．
【答案与解析】
1.答案：D
解析：解：(A)原式=-13，故A错误；
(B)原式=4a+3b，故B错误；
(C)原式=2x2，故C错误；
故选：D．
根据合并同类项的法则即可求出答案．
本题考查合并同类项，解题的关键是熟练运用合并同类项法则，本题属于基础题型．
2.答案：B
解析：
本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．根据轴对称图形的知识求解．
解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
3.答案：C
解析：解：圆柱的主视图是矩形，里面有两条用虚线表示的看不到的棱，
故选：C．
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的棱都应表现在主视图中．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图；注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线．
4.答案：A
解析：解：∵一共有15人，
∴中位数为第8人所花钱数，
∴中位数为3元，故A正确；
∵每天使用3元零花钱的有5人，最多，
∴众数为3元，故B错误；
平均数为：0×1+2×4+3×5+4×3+5×215=3，故C错误；
方差为：115×[1×(0-3)2+4×(2-3)2+5×(3-3)2+3×(4-3)2+2×(5-3)2]=1.6，故D错误．
故选：A．
分别计算该组数据的众数、平均数、方差及中位数后找到正确答案即可．
本题考查了方差、加权平均数、中位数及众数，在解决此类题目的时候一定要细心，特别是求中位数的时候，首先排序，然后确定数据总个数．
5.答案：C
解析：
本题主要考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，长方形的面积=长×宽，正方形的面积=边长×边长．
本题的等量关系是：长方形的面积=正方形面积+14cm2，根据这个等量关系列出方程即可得到结果．
解：设原来正方形的边长为xcm．
根据题意，可列方程为(x+2)(x+1)=x2+14，
经解和检验后得x=4．
即：原来正方形的边长为4cm．
故选：C．
6.答案：D
解析：解：x-y=6①2x+y=6a②，
①+②得：x=2a+2，
把x=2a+2代入①得：y=2a-4，
∴x+y=4a-2，
∴4a-2
∴2
首先解关于x，y的方程组，求得x，y的值，代入x+y
7.答案：B
解析：解：设安排女生x人，安排男生y人，
依题意得：4x+5y=56，
则x=56-5y4．
当y=4时，x=9．
当y=8时，x=4．
即安排女生9人，安排男生4人；
安排女生4人，安排男生8人．
共有2种方案．
故选：B．
设安排女生x人，安排男生y人，由“累计56个小时的工作时间”列出方程求得正整数解．
考查了二元一次方程的应用．注意：根据未知数的实际意义求其整数解．
8.答案：D
解析：
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，明确图中矩形的面积为即为比例系数k的绝对值．延长BA，交y轴于M，作AN⊥x轴于N，根据反比例函数系数k的几何意义得出S四边形ANCB=S四边形OMBC-S四边形OMAN=k-4=2S△ABC，由已知条件得出k-4=2×6，解得k=16．
解：延长BA，交y轴于M，作AN⊥x轴于N，
∵点A在反比例函数y=4x(x>0)的图象上，AB//x轴，BC⊥x轴，
∴S四边形OMAN=4，
∵点B在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，
∴S四边形OMBC=k，
∵S四边形ANCB=S四边形OMBC-S四边形OMAN=k-4=2S△ABC，
∴k-4=2×6，
解得k=16，
故选：D．
9.答案：B
解析：解：过A作AD⊥OB于D，过E作EF⊥OB于F，如图，
设A(x,y=kx)，B(a,0)，
∵四边形AOBC为平行四边形，
∴AE=BE，
∴EF为△BAD的中位线，
∴EF=12AD=k2x，
∴DF=12(a-x)，
OF=OD+DF=a+x2，
∴E(a+x2,k2x)，
∵E点在双曲线上，
∴a+x2⋅k2x=k，
∴a=3x，
∵平行四边形的面积是12，
∴AD⋅OB=12，
即kx⋅a=12，
∴kx⋅3x=12，
∴k=4．
故选：B．
过A作AD⊥OB于D，过E作EF⊥OB于F，如图，设A(x,y=kx)，B(a,0)，根据平行四边形的性质得到AE=BE，根据三角形的中位线得到EF=12AD=k2x，得到DF=12(a-x)，根据平行四边形的面积是12，于是得到结论．
本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|.也考查了平行四边形的性质．
10.答案：C
解析：试题分析：首先，点P的运动轨迹为以B为圆心，BA为半径的一个半圆弧，情况如下：①BP等腰三角形一腰长时，符合点E的位置有2个，是BC的垂直平分线与以B为圆心BA为半径的圆的交点即是点P；
②BP为底边时，C为顶点时，符合点E的位置有2个，是以B为圆心BA为半径的圆与以C为圆心BC为半径的圆的交点即是点P；
③以PC为底边，B为顶点时，这样的等腰三角形不存在，因为是以B为圆心BA为半径的圆与以B为圆心BC为半径的圆没有交点．故选 C。
考点：图形与证明>三角形
11.答案：4.68×108
解析：解：将468000000用科学记数法表示为：4.68×108．
故答案为：4.68×108．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12.答案：7
解析：解：∵x=2时无意义，
∴b-2x=0，
解得：b=2x=4，
∵x=-3时值为0，
∴x+a=0，且b-2x≠0，
∴a=3，
∴a+b=7，
故答案为：7．
根据分式无意义的条件和有意义的条件可得a、b的值，从而可得答案．
此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
13.答案：45°
解析：解：∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，
又∵AB：AD=1：2，
∴AB：AF=1：2，
由折叠可得，AB=FB，∠ABC=∠FBC，
设AB=BF=a，则AF=2a，
∵AB2+BF2=2a2=AF2，
∴△ABF是Rt△，且∠ABF=90°，
∴∠ABC=12∠ABF=45°，
故答案为：45°．
设AB=BF=a，则AF=2a，依据勾股定理的逆定理得出△ABF是Rt△，且∠ABF=90°，即可得到∠ABC=12∠ABF=45°．
本题主要考查了正方形的性质以及翻折变换的运用，关键是掌握翻折变换(折叠问题)实质上就是轴对称变换．折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
14.答案：16
解析：解：列表得：
-1
1
2
-1
---
(1,-1)
(2,-1)
1
(-1,1)
---
(2,1)
2
(-1,2)
(1,2)
---
所有等可能的情况有6种，其中该点刚好在一次函数y=x-2图象上的情况有：(1,-1)共1种，
则P=16．
故答案为：16．
列表得出所有等可能的情况数，找出刚好在一次函数y=x-2图象上的点个数，即可求出所求的概率．
此题考查了列表法与树状图法，以及一次函数图象上点的坐标特征，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
15.答案：-3
解①得：x<2，
解②得：x>-3，
则不等式组的解集是：-3
本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x>较小的数、<较大的数，那么解集为x介于两数之间．
16.答案：50°
解析：解：如图：连接BD，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∵BC切⊙O于点B，
∴∠ABC=90°，
∵∠C=50°，
∴∠BAC=50°，
∴∠ABD=50°，
∴∠E=∠ABD=50°．
故答案为：50°．
连接BD，根据直径所对的圆周角是直角，利用切线的性质得到∠ABD的度数，然后用同弧所对的圆周角相等，求出∠E的度数
本题考查的是切线的性质，利用切线的性质和圆周角定理求出∠E的度数是解题的关键．
17.答案：120 º．
解析：本题主要考查圆锥的侧面展开图面积的计算.根据圆锥的底面直径求得圆锥的侧面展开扇形的弧长，再利用告诉的母线长求得圆锥的侧面展开扇形的面积，再利用扇形的另一种面积的计算方法求得圆锥的侧面展开图的圆心角即可：
解：∵圆锥的底面直径是60cm，
∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：πd=60π．
∵母线长90cm，
∴圆锥的侧面展开扇形的面积为：lr=×60π×90=2700π.
∴，
解得：n=120．
故答案为120º．
18.答案：4
解析：解：在DC上截取DG=FD=AD-AF=4-3=1，连接EG，则EG与BD的交点就是P．
∵AE=DG，且AE//DG，
∴四边形ADGE是平行四边形，
∴EG=AD=4．
故答案为：4．
在DC上截取DG=FD=AD-AF=4-3=1，连接EG，则EG与BD的交点就是P.EG的长就是EP+FP的最小值，据此即可求解．
本题考查了轴对称，理解菱形的性质，对角线所在的直线是菱形的对称轴是关键．
19.答案：55
解析：解：由题意得：DF=DB，
∴点F在以D为圆心，BD为半径的圆上，作⊙D； 连接AD交⊙D于点F，此时AF值最小，
∵点D是边BC的中点，
∴CD=BD=3，
由勾股定理得：AD2=AC2+CD2
∴AD=5，
又∵FD=3，
∴FA=5-3=2，
即线段AF长的最小值是2，
连接BF，过F作FH⊥BC于H，
∵∠ACB=90°，
∴FH//AC，
∴△DFH∽△ADC，
∴DFAD=DHCD=HFAC，
∴HF=125，DH=95，
∴BH=245，
∴BF=BH2+HF2=1255，
∴sin∠FBD=FHBF=15=55，
故答案为：55．
由题意得：DF=DB，得到点F在以D为圆心，BD为半径的圆上，作⊙D； 连接AD交⊙D于点F，此时AF值最小，由点D是边BC的中点，得到CD=BD=3；而AC=4，由勾股定理得到AD=5，求得线段AF长的最小值是2，连接BF，过F作FH⊥BC于H，根据相似三角形的性质可求FH，BF的长，即可求解．
本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，最值问题等几何知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线，从整体上把握题意，准确找出图形中数量关系．
20.答案：183
解析：解：如图所示：过点B作BE⊥DA于点E
∵菱形ABCD中，其周长为24cm，
∴AB=AD=6cm，
∴BE=AB⋅sin60°=33cm，
∴菱形ABCD的面积S=AD⋅BE=183cm2．
故答案为：183．
根据菱形的性质以及锐角三角函数关系得出BE的长，即可得出菱形的面积．
此题主要考查了菱形的面积以及其性质，得出AE的长是解题关键．
21.答案：解：原式=32+3-2×22
=332-2．
解析：直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
22.答案：32
解析：解：(1)如图，△A'B'C为所作；
(2)∵△ABC绕点C顺时针旋转90°得到的△A'B'C，
∴∠ACA'=90°，CA=CA'，
∴△CAA'为等腰直角三角形，
∴AA'=2CA=32．
故答案为32．
(1)利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点A'、B'即可；
(2)先证明△CAA'为等腰直角三角形，然后利用等腰直角三角形的性质求解．
本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
23.答案：解：(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)2+4
∴a+4=3a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3；
(2)△BCD是直角三角形，理由如下：
过点D作DF⊥y轴于点F．
在Rt△BOC中，∵OB=3，OC=3
∴OB=OC，
∴∠OCB=45°
∵在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1，
∴DF=CF，
∴∠DCF=45°，
∴∠BCD=180°-∠DCF-∠OCB=90°，
∴△BCD为直角三角形；
(3)存在，理由：
由(2)知BC=32，CD=2，BD=25，
①∵CDBC=232=13，OAOC=13，故当P是原点O时，△ACP∽△DBC；
②当AC是直角边时，若AC与CD是对应边，
设P的坐标是(0,a)，则PC=3-a，
∴ACCD=PCBD，即102=3-a25，解得：a=-9，
则P的坐标是(0,-9)，三角形ACP不是直角三角形，则△ACP∽△CBD不成立；
③当AC是直角边，若AC与BC是对应边时，
设P的坐标是(0,b)，则PC=3-b，
则ACBC=PCBD，即1032=3-b25，
解得：b=-13，故P是(0,-13)时，则△ACP∽△CBD一定成立；
④当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是(d,0)．
则AP=1-d，当AC与CD是对应边时，
则ACCD=APBC，即102=1- d32，
解得：d=1-310，此时，两个三角形不相似；
⑤当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是(e,0)．
则AP=1-e，当AC与DC是对应边时，
则ACCD=APBD，即102=1-e25，
解得：e=-9，符合条件．
总之，符合条件的点P的坐标为：(0,0)或(0,-13)或(-9,0)．
解析：(1)利用待定系数法即可求得函数的解析式；
(2)利用勾股定理求得△BCD的三边的长，然后根据勾股定理的逆定理即可作出判断；
(3)分P在x轴和y轴两种情况讨论，设出P的坐标，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解．
本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理以及其逆定理．
24.答案：75 76
解析：解：(1)把70≤x<80这组的数据排序为：72，73，74，75，76，76，79，
则这组数据的中位数是75，众数是76，
故答案为：75 76；
(2)观察频数分布直方图，抽取的30名学生成绩在80≤x<90范围内的共有9人，所占比例为930，
则估计该年级100名选择A课程的学生中成绩在80≤x<90范围内的总人数为100×930=30(人)；
(3)画树状图如图所示：
由树状图可知，等可能的结果共有12种，小张同时选择课程A和课程B的情况共有2种，
∴小张同时选择课程A和课程B的概率是212=16．
(1)由中位数和众数的定义求解即可；
(2)由该年级总人数乘以选择A课程学生成绩在80≤x<90所占的比例即可；
(3)画树状图，可能的结果共有12种，小张同时选择课程A和课程B的情况共有2种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及频数分布直方图、众数、中位数等知识；树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
25.答案：解：从纸箱厂定制购买纸箱费用：y1=4x，
蔬菜加工厂自己加工纸箱费用：y2=2.4x+16000，
y2-y1=2.4x+16000-4x=-1.6x+16000，
由y2=y1，得：-1.6x+16000=0，
解得：x=10000．
当x<10000时，y1
当x>10000时，y1>y2，
选择方案二，蔬菜加工厂自己加工纸箱所需的费用低．
当x=10000时，y1=y2，
两种方案都可以，两种方案所需的费用相同．
综上所述，纸箱数>10000个时，按方案二合算；
纸箱数等于10000个时，按方案一、方案二都一样；
纸箱数<10000个时，按方案一合算．
解析：选择哪一种方案，主要和纸箱的数量有关，用函数关系分别表示出两种方案的费用与纸箱数的关系，然后再分类讨论．
解答这类问题时，先建立函数关系式，然后再分类讨论．
26.答案：解：(1)如图2中，
∵AC2+BC2=(33)2+32=36，AB2=36，
∴△ABC是直角三角形，∠C=90°，
当点A'与顶点B重合时，AF=FB=3，
cosA=ACAB=32，
∴∠A=30°，
∴AE=AFcos30∘=23．
(2)如图3中，
由(1)可知∠A=30°，∠C=90°，
∴∠ABC=60°，
∵∠ABC=∠A'+∠BDA'，∠A'=∠A=30°，
∴∠A'=∠A'DB=30°，
∴BD=BA'，
∴△BDA'是等腰三角形．
(3)①如图3中，当0
=12⋅12(33-x)⋅3(33-x)-12⋅[23(33-x)-6]×32[23(33-x)-6]
=-1134x2+632x-11734，
∴S最大值=4×1134×11734-(632)2-113=36311
②如图1中，3
S=34(x-33)2，
S最大值=33，
33<36311，
∴S的最大值为36311．
解析：(1)首先证明∠A=30°，在Rt△AEF中，解直角三角形即可解决问题；
(2)想办法证明∠A'=∠A'DB=30°，可得BD=BA'；
(3)分两种情形分别求解，①如图3中，当0
27.答案：解：(1)设居民购买垃圾桶x个，鞋架y个，
则15x+40y=185-90x+y=5-2，
解得：x=1，y=2，
答：居民购买垃圾桶1个，鞋架2个；
(2)设购买字画a个，购买垃圾桶b个，
字画单价为90÷2=45，
则15b+45a=150，
b=10-3a，
当a=1时，b=7，
当a=2时，b=4，
当a=3时，b=1，
即有三种不同的购买方案：
第一种方案是：购买字画1个，购买垃圾桶7个；
第二种方案是：购买字画2个，购买垃圾桶4个；
第三种方案是：购买字画3个，购买垃圾桶1个．
解析：(1)设居民购买垃圾桶x个，鞋架y个，根据表格中的数据列出方程组，求出方程组的解即可；
(2)购买字画a个，购买垃圾桶b个，根据题意列出方程15b+45a=150，求出正整数解即可．
本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，解此题的关键是弄懂题意，找出合适的等量关系，并列出方程组．
28.答案：正方形 四边形ABDF，四边形ABEF，四边形BCDE；
解析：解：(1)正方形是分补四边形，图中的分补四边形有：四边形ABDF，四边形ABEF，四边形BCDE；
故答案为：正方形；四边形ABDF，四边形ABEF，四边形BCDE；
(2)如图2中，作DE⊥BC于E，DF⊥AB于F．
∵DB平分∠ABC，DE⊥BC于E，DF⊥AB于F，
∴DE=DF，
∵∠A+∠BCD=180°，∠BCD+∠DCE=180°，
∴∠A=∠DCE，∵∠DFA=∠DEC=90°，
∴△DFA≌△DEC，
∴AD=DC．
(3)如图3中，
观察图象可知，∵四边形PBCE是分补四边形，
∴只有∠PCE=∠PCQ=15°，
∴∠BCE=30°，∠BPE=150°，
∴∠QPE=∠QPB=75°，
∵∠B=60°，
∴∠PQB=45°，
∵∠PQB=∠PQE，
∴∠EQB=90°，
∴BQ=QE，QC=3EQ，
∴4=BQ+3BQ，
∴BQ=23-2．
(1)根据分补四边形的定义即可判断；
(2)如图2中，作DE⊥BC于E，DF⊥AB于F.只要证明△DFA≌△DEC即可解决问题；
(3)观察图象可知，由四边形PBCE是分补四边形，推出只有∠PCE=∠PCQ=15°，推出∠BCE=30°，∠BPE=150°，推出∠QPE=∠QPB=75°，推出∠PQB=45°，推出∠EQB=90°，推出BQ=QE，QC=3EQ，可得4=BQ+3BQ，求出BQ即可解决问题；
本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、直角三角形30度角的性质、翻折变换等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
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