湖北省黄冈中学2023届高三数学5月二模试卷（Word版附答案）

湖北省黄冈中学2023届高三5月第二次模拟考试

数学试卷

考试时间：2023年5月17日下午15：00-17：00试卷满分：150分

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，则（    ）

A.    B.    C.    D.

2.已知复数满足，则（为虚数单位）的最大值为（    ）

A.4    B.5    C.6    D.7

3.在一组样本数据（互不相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为（    ）

A.    B.    C.-1    D.1

4.已知等差数列的前项和为，若，则取最大值时的值为（    ）

A.10    B.11    C.12    D.13

5.甲､乙､丙､丁､戊五名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗喊，你和乙都没有得到冠军.”对乙说“你当然不会是最差.”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况？（    ）

A.27种    B.36种    C.54种    D.72种

6.设抛物线的焦点为，过的直线交于两点，分别以为切点作的切线，若与交于点，且满足，则（    ）

A.5    B.6    C.7    D.8

7.若函数在其定义域内存在实数满足，则称函数为“局部奇函数”.已知函数是定义在上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是（    ）

A.    B.    C.    D.

8.已知三棱锥的四个顶点都在半径为2的外接球上，分别是和的中点，，，当取得最大值时，三棱锥的体积为（    ）

A.    B.    C.    D.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（    ）

A.圆柱的侧面积为

B.圆锥的侧面积为

C.圆柱的侧面积与球的表面积相等

D.圆柱､圆锥､球的体积之比为

10.如图，正方形中，为中点，为线段上的动点，则下列结论正确的是（    ）

A.当为线段上的中点时，

B.的最大值为

C.的取值范围为

D.的取值范围为

11.声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则当，时，函数一定有（    ）

A.三个不同零点

B.在上单调递增

C.极大值，且极大值为

D.一条切线为

12.1990年9月，Craig F·Whitaker给《Parade》杂志“Ask Marilyn”专栏提了一个问题（著名的蒙提霍尔问题，也称三门问题），在蒙提霍尔游戏节目中，事先在三扇关着的门背后放置好奖品，然后让游戏参与者在三扇关着的门中选择一扇门并赢得所选门后的奖品，游戏参与者知道其中一扇门背后是豪车，其余两扇门背后是山羊，作为游戏参与者当然希望选中并赢得豪车，主持人知道豪车在哪扇门后面.假定你初次选择的是1号门，接着主持人会从号门中打开一道后面是山羊的门.则以下说法正确的是（    ）

A.你获得豪车的概率为

B.主持人打开3号门的概率为

C.在主持人打开3号门的条件下，2号门有豪车的概率为

D.在主持人打开3号门的条件下，若主持人询问你是否改选号码，则改选2号门比保持原选择获得豪车的概率更大

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.展开式中含项的系数为__________.

14.记为等比数列的前项和.若，则__________.

15.已知中，为的角平分线交于点，且，则的长为__________.

16.已知为坐标原点，动直线与椭圆相切，与圆相交于两点，若的面积的最大值为，则椭圆离心率的取值范围为__________.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（10分）已知函数在区间单调，其中为正整数，，且.

（1）求图像的一条对称轴；

（2）若，求.

18.（12分）已知数列为非零数列，且满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

19.（12分）甲､乙足球爱好者为了提高球技，两人轮流进行点球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲､乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得-1分；两人都进球或都不进球，两人均得0分，设甲､乙每次踢球命中球门的概率均为，甲扑到乙踢出球的概率为，乙扑到甲踢出球的概率为，且各次踢球互不影响.

（1）经过1轮踢球，记甲的得分为，求的分布列及数学期望；

（2）求经过3轮踢球累计得分后，甲得分高于乙得分的概率.

20.（12分）如图，已知四棱锥的底面为菱形，且是棱上的点，且四面体的体积为.

（1）证明：；

（2）若过点的平面与平行，且交于点，求平面与平面夹角的余弦值.

21.（12分）如图，已知双曲线的一条渐近线与轴夹角为，点在上，过的两条直线的斜率分别为，且交于交于，线段与的中点分别为

（1）求双曲线的方程；

（2）求证：存在点，使为定值.

22.（12分）已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，设两实数，其中，且.证明：.

湖北省黄冈中学2023届高三5月第二次模拟考试

数学试卷

命题教师：张智 席建颖 魏小军 审题教师：席建颖

考试时间：2023年5月17日下午15：00-17：00试卷满分：150分

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.【答案】A

【解析】由，即，所以，所以，由，得，所以，解得，所以，所以.故选：.

2.【答案】C

【解析】圆心与点的距离（为虚数单位）的最大值为.故选：.

3.【答案】D

【解析】根据回归直线方程，可得这两个变量是正相关，又因为所有样本点都在直线上，所以，故选：.

4.【答案】A

【解析】等差数列，则取最大值时，.故选：.

5.【答案】C

【解析】根据题意，甲乙都没有得到冠军，而乙不是最后一名，分2种情况讨论：

①甲是最后一名，则乙可以为第二､三､四名，即乙有3种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况，此时有种名次排列情况；

②甲不是最后一名，甲乙需要排在第二､三､四名，有种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况，此时有种名次排列情况；则一共有种不同的名次情况，故选：.

6.【答案】D

【解析】设，则，可得切线，①

切线，②联立①②可得，设直线的方程为，联立抛物线，可得，即有，故，由，可得，所以，故选：.

7.【答案】B

【解析】根据“局部奇函数”的定义可知，函数有解即可，即，即有，即有解即可.设，

则方程等价为在时有解.设，对称轴为，

①若，则，满足方程有解；

②若，要使在时有解，

则，解得.综上得实数的取值范围为.故选：.

8.【答案】D

【解析】依题意，当为外接球直径时，最大，为的中位线，，又平面.又，

平面为直角三角形，，.故选：.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.【答案】CD

【解析】选项，圆柱的侧面积为，故选项错误.选项，圆锥的母线长为，圆锥的侧面积为，故选项错误.选项，球的表面积为，所以圆柱的侧面积与球的表面积相等，故选项正确.选项，圆柱的体积为，

圆锥的体积为，球的体积为，所以圆柱､圆锥､球的体积之比为，故选项正确.故选：CD.

10.【答案】ABC

【解析】根据题意建立平面直角坐标系，如图所示：

设，所以，设，则，由于，所以，整理得，则，

对于：当为上的中点时，则，故，故正确；

对于，由于，当时的最大

值为，故正确；

对于：由于，所以，故的取值范围为，故正确；

对于，故的取值范围为，故错误.故选：.

11.【答案】BC

【解析】对于，由得：，即或，

，解得或错误；

对于，，且当时，，则在上单调递增，正确；对于，由选项知，当时，单调递增；当时，，单调递减，因此当时，取得极大值正确；对于，显然函数过原点，，且，因此的图象在原点处的切线方程为，因为直线过原点，因此直线不是图象在原点处的切线，

令，即函数在上单调递增，当时，，即，于是函数在上的图象总在直线的下方，所以直线不可能为图象的切线，错误.故选：BC.

12.【答案】ABD

【解析】设分别表示号门里有豪车，用分别表示主持人打开号门.

如上所述，你初次选择了1号门，因为你在做选择的时候不知道豪车在哪个门里，你的选择不影响豪车在三个门中的概率分配，所以事件发生的概率仍然为，即正确；

主持人打开1号门外的一个门有以下几种可能的情况：

豪车在1号门里，主持人打开2，3号门，故，

豪车在2号门里，主持人只能打开3号门，故，

豪车在3号门里，主持人只能打开2号门，故，

由全概率公式，即正确；

再由贝叶斯公式，在3号门打开的条件下，1号门和2号门里有豪车的条件概率为，故选2号门会使获得豪车的概率更大，是正确的决策，即错误，正确.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13【答案】-26

【解析】整个式子中项可由的展开式的常数项与二次项､一次项与一次项相乘得到：故所求为：.故答案为：-26.

14.【答案】

【解析】在等比数列中，由，得，即，则，故答案为：

15.【答案】

【解析】由角平分线的定义可得，所以，即，又因为，

所以，

则，又因为，所以，整理可得，即，因为，所以，则，故答案为：.

16.【答案】

【解析】法一：的面积最大值为存在直线使到直线的距离为，设，则①

与椭圆相切，，所以②

联立①②得

有解，.

法二：转化同法一，

设，则为，

到的距离为有解，

平方整理得，即①，又②

两式相减得，所以有解，

又，即，所以.

法三：转化同法一，设中点为，切线除了切点外，其它点均在椭圆外，则，则.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.【解析】（1）因为，所以图像的一条对称轴为.

（2）因为函数在区间单调，所以最小正周期，

所以，即，又为正整数，所以，由（1）知，在处取得最值，所以，即，

①当时，，由，知，所以，

所以，不符合题意；

②当时，，由，知，所以，

所以，符合题意；

③当时，，由，知，所以，

所以，不符合题意.

综上所述，.

18.【解析】（1）当时，，解得，当时，，两式相除得，即，当时，满足上式，

（2）由（1）得，则，

令①，

②

由①-②得，

.

19.【解析】（1）记一轮踢球，甲进球为事件，乙进球为事件相互独立，由题意得：，甲的得分的可能取值为，

，，

所以的分布列为：

.

（2）经过三轮踢球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得-1分；甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分，

甲3轮各得1分的概率为，

甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分的概率为，

甲3轮中有2轮各得1分，1轮得-1分的概率为，

甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分的概率为，

所以经过三轮踢球，甲累计得分高于乙的概率.

20.【解析】（1）如图，取中点，连接.因为，

所以.又因为是菱形，，

所以.因为，所以，

所以.又因为平面平面，

所以平面.因为平面平面，

所以平面，

所以.因为，

所以点到平面的距离是点到平面的距离的，所以.

（2）由（1）知，，如图，以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，

则，

所以

.设平面的法向量为，

则，即.

取，得到平面的一个法向量.因为，设，则，因为，所以，所以，

设平面的法向量为，则，即.取，得到平面的一个法向量.设平面与平面夹角是，又因为是平面的一个法向量，则，所以，故平面与平面的夹角是.

21.【解析】（1）依题意，则，

的方程为.

（2）设的方程为，

的方程为，

联立，得，

，从而，的斜率，直线的方程为，即直线恒过定点.又的轨迹为以为直径的圆.取中点，则，故存在定点使为定值.

22.【解析】（1）的定义域为

若，则在单调递增；

若，令，解得（舍去）单调递增；在

单调递增，在单调递减.

（2）.若，由（1）知在单调递增，在单调递减.，又在单调递减，要证，即证即证，由的单调性可知.