2023届河南省开封高级中学高考模拟数学（理科）试卷（一）（含答案）

2023年河南省开封高级中学高考数学模拟试卷（理科）（一）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知复数满足，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知全集，集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知平面向量，满足，与的夹角为，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  在倡导“节能环保”“低碳生活”的今天，新能源逐渐被人们所接受，进而青睐新能源汽车作为新能源产业中的重要支柱产业之一取得了长足的发展为预测某省未来新能源汽车的保有量，采用阻滞型模型进行估计，其中为第年底新能源汽车的保有量，为年增长率，为饱和量，为初始值单位：万辆若该省年底的新能源汽车拥有量为万辆，以此作为初始值，若以后每年的增长率为，饱和量为万辆，那么年底该省新能源汽车的保有量为精确到万辆参考数据：，(    )

A. 万 B. 万 C. 万 D. 万

5.  有男女共名大学毕业生被分配到，，三个工厂实习，每人必须去一个工厂且每个工厂至少去人，且工厂只接收女生，则不同的分配方法种数为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  在如图所示的程序框图中，若输入的，，分别为，，，执行该程序框图，输出的结果用原来数据表示为(    )

A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，

7.  已知双曲线：的实轴为，对上任意一点，在上都存在点，使得，则的离心率的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  在和中，若，，，则(    )

A. 与均是锐角三角形
B. 与均是钝角三角形
C. 是钝角三角形，是锐角三角形
D. 是锐角三角形，是钝角三角形

9.  已知，：，，恒成立；：，则是的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

10.  在如图所示的圆台中，四边形为其轴截面，，母线长为为底面圆周上一点，异面直线与为底面圆心所成的角为，则的大小为(    )

A.  B. 或
C.  D. 或

11.  已知将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若在上有个极值点，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

12.  若存在，使得关于的不等式成立，则实数的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知函数，无论取何值，曲线均存在一条固定的切线，则该切线方程为        ．

14.  年春节到来之前，某市物价部门对本市家商场的某种商品一天的销售量及其价格进行调查，家商场这种商品的售价单位：元与销售量单位：件之间的一组数据如下表所示：

经分析知，销售量件与价格元之间有较强的线性关系，其线性回归直线方程为，且，则        ．

15.  已知抛物线：，，是上的两动点，且，则弦的中点的横坐标的最小值为        ．

16.  如图，在三棱锥中，，，为等边三角形，三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积为        ．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
在各项均为正数的数列中，，
求的通项公式；
若，的前项和为，证明：．

18.  本小题分
在节日里为了促销各大商场八仙过海各显神通，推出了花样繁多的促销活动，某大超市为了拉升节日的喜庆气氛和提升销售业绩，举行了购物抽奖促销活动，购物满元可获得一次抽奖机会，抽奖方法如下：在盒子里放着除颜色外其他均相同的个小球红球和黑球各个，白球个，不放回地摸球，每次摸球，摸到黑球就停止摸奖，摸到红球奖励元，摸到白球奖励元，摸到黑球不奖励．
求名顾客摸球次停止摸奖的概率；
记为名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量的分布列及数学期望．

19.  本小题分
如图，在直角梯形中，，，四边形为平行四边形，平面平面，，．
证明：平面；
若，，求二面角的正弦值．
 

20.  本小题分
已知，分别为椭圆的左、右焦点，，，分别为的上、下顶点，为上在第一象限内的一点，直线，的斜率之积为．
求的方程；
设的右顶点为，过的直线与交于另外一点，与垂直的直线与交于点，与轴交于点，若，且为坐标原点，求直线的斜率的取值范围．

21.  本小题分
已知函数．
当时，求函数在区间上的值域；
若函数有三个零点，分别为，，，求实数的取值范围，并求的值．

22.  本小题分
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
为上一点，过作曲线的两条切线，切点分别为，，若，求点横坐标的取值范围．

23.  本小题分
已知．
若，解不等式；
当时，的最小值为，若正数，满足，证明：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
则，即．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：或，
，
又，
，
故选：．
化简集合，，再求及即可．
本题考查了集合的化简与运算，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，
，
，解得或舍去．
故选：．
根据条件对两边平方即可得出关于的方程，解方程即可求出的值．
本题考查了向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意得，且，，，
，
，
，，
，
故选：．
由题意得，且，，，代入，即可得出答案．
本题考查根据实际问题选择函数类型，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据题意，将男女分为三组，有男男、女、女、男、男、女女、男女、男、女三种情况，
由此分种情况讨论：
分为男男、女、女的三组，男男这一组只能安排在或工厂，有种安排方法；
分为男、男、女女的三组，女女这一组只能安排在工厂，有种安排方法；
分为男女、男、女的三组，有种安排方法；
则有种安排方法，
故选：．
根据题意，先分析将男女分为三组的可能情况，由此分种情况讨论，由加法原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：由程序框图可知，该程序的功能为从大到小输出原来输入的数据，
，
，即，
故输出的结果用原来数据表示为，，．
故选：．
该程序的功能为从大到小输出原来输入的数据，再通过比较输入数据的大小，即可求解．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：对上任意一点，在上都存在点，使得，
，，即，
，
故选：．
对上任意一点，在上都存在点，使得，可得，进而得出结论．
本题考查了双曲线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：在和中，若，，，
对于：当为锐角三角形时，，，，所以、、都为锐角，即为锐角三角形，另一方面，，可得，或，即，所以为锐角或钝角，同理，为锐角或钝角，但是，，中必然有一个钝角，否则不成立，所以是钝角三角形，故A错误；
对于：当为钝角三角形时，假设为钝角，则，故，由于，不满足条件，故B错误；
对于：当为钝角三角形时，假设为钝角，则，故，由于，不满足条件，故C错误；
对于：当为锐角三角形时，则，，，所以、、都为锐角，即为锐角三角形，另一方面，，可得，或，即，所以为锐角或钝角，同理，为锐角或钝角，但是，，中必然有一个钝角，否则不成立，所以是钝角三角形，故D正确；
故选：．
直接利用三角函数的值判断、、、的结论．
本题考查的知识要点：三角函数的值，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．
 

9.【答案】 

【解析】解：因为对任意，，有，
而对任意，，，
所以，
因为是的真子集，
所以“对任意，，”是““的充分不必要条件，
即是成立的充分不必要条件，
故选：．
利用充分条件和必要条件的定义，结合分析判断即可．
本题考查了充分必要条件的判断，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：以为原点，为轴，过点作轴，圆台的轴为轴，
建立如图所示坐标系：

作，交于点，，
中，，
则，，，，
为底面圆周上一点，其半径为，设，，
，
由于异面直线与为底面圆心所成的角为，
则，，
，，
．
故选：．
建立空间直角坐标系，设，由异面直线与为底面圆心所成的角为，可得的值，则可求的大小．
本题考查利用空间向量表示异面直线所成的角，表示长度，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：因为，
又因为，
又因为，当时，，
又因为有个极值点，
由余弦函数的性质可得：，
解得：．
故选：．
利用三角恒等变化得，由图象的变化得，结合题意和余弦函数的图象列出不等式组求解即可．
本题考查了三角恒等变化、图象的变化及余弦函数的性质，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：由两边取对数可得，
令，则，
因为，所以，
则不等式可转化为，
又因为，
所以，因为存在，使得关于的不等式成立，
所以存在，成立，故求的最小值即可，
令，，
所以，
令，，
所以，
令，，
所以，
所以在上单调递减，所以，
所以，所以在上单调递减，
所以，
所以，
所以在上单调递减，
所以，
所以，
所以实数的最小值为．
故选：．
由两边取对数可得，令，则不等式可转化为，即，故根据题意可得求的最小值即可，令，，通过求导可得的最小值即可得答案．
本题考查了导数的综合运用，转化思想，属于难题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，则，
，，此时这两个值均与无关，
无论取何值，曲线均存在一条固定的切线，
此时切点为，
故切线方程为，即，
故答案为：．
由题意得，求出，，此时这两个值均与无关，可得切点为，即可得出答案．
本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由表中数据，计算，
，
因为线性回归直线方程过点，
即，
即，所以，
又因为，所以，．
故答案为：．
由表中数据计算、，根据线性回归直线方程过点，代入化简求解即可．
本题考查了线性回归直线方程过样本中心点的应用问题，是基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：设，弦的中点，
抛物线的准线方程为，
，，，
，
当且仅当，，三点共线时取等号，
弦的中点的横坐标的最小值为．
故答案为：．
先设出，的坐标，根据抛物线的定义结合两边之和大于第三边，当，，三点共线时可求弦的中点的横坐标的最小值．
本题主要考查抛物线的简单性质、利用不等式求最值等基础知识，考查运算求解能力，属中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图所示，过作底面，垂足点为，
分别取，的中点，，连接，，
则根据题意可得，，又，
平面，又底面，
平面底面，
在底面内的射影点在直线上，
三棱锥的体积为，
，又易知，，
又，，
过作底面的垂线，在垂线上取点，使得，
则根据对称性易得：即为三棱锥外接球的球心，
设外接球的半径为，则，
延长至点，使，连接，则易得四边形为矩形，
，设，则，又易知，
在与中，由勾股定理可得：
，
，
，
解得，
，
三棱锥外接球的表面积为，
故答案为：．
分别取，的中点，，连接，，则根据题意易证平面底面，从而可得在底面内的射影点在直线上，又根据三棱锥的体积易得，从而可得，进而可得，过作底面的垂线，在垂线上取点，使得，则根据对称性易得：即为三棱锥外接球的球心，延长至点，使，连接，则易得四边形为矩形，接着在与中，由勾股定理建立方程组，从而可求出外接球的半径，最后代入球的表面积公式，即可得解．
本题考查三棱锥的外接球的问题，三棱锥的体积问题，线面垂直判定定理，面面垂直的判定定理，勾股定理的应用，球的表面积公式，方程思想，化归转化思想，属难题．
 

17.【答案】解：，
，
又，，
，
数列为等比数列，公比为，首项为，
．
证明：，
的前项和，
可得数列单调递增，
，
即成立． 

【解析】由，因式分解为，根据，，即可得出，利用等比数列的通项公式即可得出．
：，利用裂项求和方法可得的前项和，利用数列的单调性，即可证明结论．
本题考查了等比数列的通项公式、裂项求和方法、数列的单调性、对数运算性质、方程思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：设事件为名顾客摸球次停止摸奖，事件可能出现红白黑，白红黑，白白黑种情况，
所以；
随机变量的可能取值为，，，，，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
则随机变量的分布列为：

． 

【解析】列出事件可能出现的情况，进而计算概率；
列出随机变量的可能取值，分别计算，从而求得分布列，利用数学期望的计算公式求解．
本题考查了离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．
 

19.【答案】解：证明：连接交于，取中点，连接，
四边形为平行四边形，为的中点，
，，
，，
，，
四边形为平行四边形，，即，
又平面，平面，平面；
平面平面，，．
以为原点，，为，轴，过作平面的垂线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，
，，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，，
平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
，令，则，，
平面的一个法向量为，
，．
二面角的正弦值为． 

【解析】连接交于，取中点，连接，证明四边形为平行四边形，可得，进而可证平面；
以为原点，，为，轴，过作平面的垂线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得两平面的一个法向量，利用向量法可求二面角的余弦值，可求正弦值．
本题考查线面平行的证明，考查面面角的求法，属中档题．
 

20.【答案】解：，则，，
又，，为上在第一象限内的一点，
设，则，即，
，，则，
，，
代入，可得，即，
即，则，又，解得，故，
椭圆的方程为；
由知椭圆的方程为，可得，，
设直线的方程为，设，
联立，得，
，
，，
由于，设，则则，又，
，
由，则，
，
直线：，
设，联立，得，
在中，，，
，即，，
即，
，或．
直线的斜率的取值范围为． 

【解析】，，设，由已知可得，又，可求椭圆的方程为；
可得，，设直线的方程为，设，联立方组可求得，进而可得，求得的坐标，可得，可求直线的斜率的取值范围．
本题考查求椭圆的方程，考查求直线的斜率的范围，属难题．
 

21.【答案】解：当时，，，
所以在上单调递增，
所以，当时，取得最小值，最小值为，当时，取得最大值，最大值为，
所以函数在区间上的值域；
由，，
当时，，所以在上单调递增，
当时，令，则，
设，，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取最小值，最小值为，
显然，当时，，有两个零点，
当时，，单调递增，显然不成立，
所以有三个零点，则的取值范围为，
所以的取值范围，
函数有三个零点，，，且，
因为，
即，
所以，
由，
又，
则，
所以，
所以． 

【解析】当时，求导，可得，所以在上单调递增，即可求得在上的值域；
求导，当时，，在上单调递增，因此不存在三个零点；
当时，令，可得，构造函数，求导，根据函数的单调性，可得函数在上单调递减，在上单调递增，因此的最小值为，因此可得的取值范围，进而可得函数的一个零点为，且满足，因此可得，进而可得．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：由曲线的参数方程为为参数，
可得，
由，得，
，即，
曲线的普通方程为，直线的直角坐标方程为；
设，若，则，
，，，
，两边平方得，
解得，
点横坐标的取值范围为 

【解析】把曲线的方程两边平方相加可求曲线的普通方程，利用两角和的余弦公式可求直线的直角坐标方程；
设，由题意可得，计算可求点横坐标的取值范围．
本题考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，普通方程与参数方程的互化，考查运算求解能力，属中档题．
 

23.【答案】解：当时，，
当时，即为，解得，
当时，即为，即，不成立，
当时，即为，解得，
综上，不等式的解集为；
证明：，当且仅当时等号成立，
所以，解得舍或，
则，
所以由柯西不等式有，，则，
当且仅当，即，时等号成立，即得证． 

【解析】将代入函数，然后分，以及讨论即可；
利用绝对值不等式的性质可知，，再由柯西不等式即可得证．
本题考查绝对值不等式的解法以及柯西不等式的运用，考查分类讨论思想以及逻辑推理能力，运算求解能力，属于中档题．