2023年山东省济南市历城区中考三模数学试卷

2023年九年级学业水平模拟考试(三)

数学试题

一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1.2023的绝对值是(         )

3.黄河是中华民族的母亲河，发源于巴颜喀拉山脉北麓，注入渤海，流域面积为750000km²，将数750000用科学记数法表示为(         )

6.下列运算正确的是(         )

A. a²+2a²=3a⁴        B.( 2a²)³=8a  ⁶         C. a³·a²=a  ⁶       D.( a-b)²= a²-b²

7.小冰和小雪自愿参加学校组织的课后托管服务活动，随机选择自主阅读、体育活动、科普活动三项中的某一项，那么小冰和小雪同时选择“体育活动”的概率为(         )

A.              B.                   C.                 D.   

8.一次函数y=ax+1与反比例函数            在同一坐标系中的大致图象是(         )

10.在平面直角坐标系xOy中,点(1,m),(3,n),(x₀,m)(x₀≠1)在抛物线.                  y=ax²+bx+c (a>0)上.若m<n<c,则x₀的取值范围(      )

A. x₀>2              B.1<x₀<3            C.2<x₀<3                

二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

11.因式分解:      a²-a=               .

12.比较大小:                 5(填“>”“<”或“=”).

13.若x=-2是方程       x²+x+m =0      的一个根,则此方程的另一个根是               .

14.将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，飞镖落在白色区域的概率为         .

15.我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，认为圆内接正多边形边数无限增加时，周长就越接近圆周长，由此求得了圆周率π的近似值，设半径为r的圆内接正n边形的周长为L，圆的直径为d，如图所示，当n=6时，    那么当n=15时,  (结果精确到0.01,参考数据:sin12°=cos78°≈0.208)

16.如图,在矩形ABCD中,AB=2,在BC上取一点E,连接AE、ED,将△ABE沿AE翻折,使点B落在B'处,线段EB'交AD于点F,将△ECD沿DE 翻折,使点C的对应点C'落在线段EB'上,若点C'恰好为EB'的中点,则线段EF的长为                  .

数学试题第2页   (共8页)

三、解答题(本大题共10个小题，共76分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.(6分)计算:      

18.(6分)解不等式组:     并写出它的所有正整数解.

19.(6分)如图,四边形ABCD是菱形,点E,F分别在AB,AD上,AE=AF.求证:CE=CF.

数学试题第3页   (共8页)

20.(8分)为了解八年级学生的体育运动水平，某校对全体八年级同学进行了体能测试，老师随机抽取20名男生和20名女生的测试成绩(满分100)作为样本进行整理和分析(成绩共分成五组:A.50≤x<60,B.60≤x<70,C.70≤x<80,D.80≤x<90,E.90≤x≤100),并绘制了不完整的统计图表.

收集、整理数据：20名男生的体能测试成绩分别为：

50,57,65,76,77,78,79,87,87,88,88,88,89,89,92,93,95,97,98,99女生体能测试成绩在C组和D组的分别为:73,74,74,74,74,78,84,88,89.

分析数据：

两组样本数据的平均数、中位数和众数如表所示：男生体能测试成绩频数分布直方图    女生体能测试成绩扇形统计图

(2)填空:a=         ,b=            .

(3)女生体能测试扇形统计图中，表示90≤x≤100这组数据的扇形圆心角的度数是            .

(4)如果我校八年级有男生480名，女生460名，请估计八年级体能测试成绩不低于80分的学生人数.

21.(8分)脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活.如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为35°，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走8m到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为63.4°，房屋的顶层横梁EF=12m,EF∥CB,AB交EF于点G(点C,D,B在同一水平线上).(参考数据:sin35°≈0.6,cos35°≈0.8,tan35°≈0.7,sin63.4°≈0.89,cos63.4°≈0.45,tan63.4°      ≈2.00))

(1)求屋顶到横梁的距离AG；

(2)求房屋的高AB(结果精确到1m).

数学试题第4页   (共8页)

22.(8 分)如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上的一点,连接AC,作OD垂直于AB交AC于点E，交过点C的切线于点D.

23.(10分)为了创建文明典范城市，某小区积极响应号召，准备购买两种类型的分类垃圾桶，在市场上了解到A种类型的垃圾桶比B种类型的垃圾桶贵20元，用600元购买A种类型的垃圾桶数量和用500元购买B种类型的垃圾桶数量相同.

(1)求购买一个A种类型的垃圾桶和购买一个B种类型的垃圾桶各需要多少元?

(2)若该小区计划共采购8个分类垃圾桶(两种都买)，且总费用低于880元，请列出所有的购买方案.

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24.(10分)如图1,一次函数  的图象与y轴交于点B，与反比例函数   的图象交于点A(8，   ),点C是线段AB上一点，点C的横坐标为3，过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，与x轴交于点H，连接OC、OD.

(1)求m、k的值

(2)在线段CD上是否存在点E，使点E到OD的距离等于它到x轴的距离?若存在，求点E的坐标，若不存在，请说明理由；

(3)将△OCD沿射线BA方向平移一定的距离后，得到△O'C'D'，如图2，在平移过程中，射线O'C'与x轴交于点F，点Q是平面内任意一点，若以A、B、F、Q为顶点的四边形是以AB为一边的矩形时，请求出点O'的坐标.

数学试题第6页   (共8页)

25.(12分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,点D在射线AC上,连接BD,将DB绕点D逆时针旋转α,得到线段DE,连接BE,CE.

(1)当点D落在线段AC上时，

①如图1,当α=60°时,请直接写出线段CE与线段AD的数量关系是         ,∠DCE=      °;

②如图2，当α=90°时，请判断线段CE与AD的数量关系，并给出证明；

(2)当α=90°时,过点A作AN∥DE交BD于点N,若AD=2CD,猜想CE与AN的数量关系并说明理由.

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26.(12分)如图1,抛物线     y= -x²+bx+c  与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A的横坐标为-1，点C的纵坐标为3.

(1)求该抛物线的解析式，并写出其对称轴；

(2)设点P是抛物线对称轴第一象限部分上一点，连接PA，将线段PA绕点P顺时针旋转90°，点A 的对应点为D，若点D恰好落在该抛物线上，求点P的坐标；

(3)如图2，连接CB，若点Q是直线BC上方抛物线上一点，点M为y轴上一点，当△QBC 面积最大时，求   的最小值.

数学试题第8页   (共8页)

2023年历城区三模数学参考答案及评分标准2023.05

一、选择题

二、填空题

1 1 . a( a- 1 ) ;1 2 .<  ;1 3 .1  ;                  15.3.12;          

三、解答题

17.原式      ……………………………………………………………………………………4分

=1-1+4

=4 …………………………………………………………………………………………………………6分

18.∵解不等式①得:x≥-2,……………………………………………………………………………………2分

解不等式②得:x<3,………………………………………………………………………………………4分

∴不等式组的解集为-2≤x<3 ………………………………………………………………………………………5分

∴正整数解为:1,2 ………………………………………………………………………………………………6分

19.证明:如图,连接AC,

∵四边形ABCD是菱形,

∴∠B=∠D,BC=CD=AB=AD ……………………………………………………………………………………3分

∵AE=AF

∴AB-AE=AD-AF

即BE=DF ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分

在△ACE和△ACF中,

∴△BCE≌△DCF ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分

∴CE=CF ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分

20.(1)20名男生的体能测试成绩80~90分的人数为20-(1+2+4+6)=7(人),男生体能测试成绩频数分布直方图

(2)男生成绩的众数b=88，女生成绩的中位数                  

故答案为:81、88;(中位数2分,众数1分)………………………………………………………………………4分

(3)E组人数=20-2-2-9=7人,∴所占圆心角度数                 ………………………………………6分

(4)∵样本中女生A、B组人数为20×(10%+10%)=4(名),C组人数为6人,

∴女生体能测试成绩不低于80分的学生人数为10人，

所以估计七年级体能测试成估计八年级体能测试成绩不低于80分的学生人数为：    (名).

答:估计八年级体能测试成绩不低于80分的学生人数为542人………………………………………………………8分

21.解：(1)∵房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，EF∥BC，

 …………………………………………………………………1分

在Rt△AGE中,∠AGE=90°,∠AEG=35°,

∴AG=6×0.7=4.2(米);………………………………………………………………………………………3分

答：屋顶到横梁的距离AG约为4.2米；

(2)过E作EH⊥CB于H,

设EH=x,

在Rt△EDH中,∠EHD=90°,∠EDH=63.4°,

   …………………………………………………………4分

在Rt△ECH中,∠EHC=90°,∠ECH=35°,

      ………………………………………………………………5分

∵CH-DH=CD=8,

    ………………………………………………………………………………………6分

解得:x≈8.6,………………………………………………………………………………………………7分

∴AB=AG+BG=8.6+4.2≈13(米),

答:房屋的高AB约为13米…………………………………………………………………………………8分

22.(1)证明:连接OC,

∵DC是⊙O的切线

∴OC⊥DC,

∴∠DCO=90°……………………………………………………………………………………………1分

∴∠OCA+∠DCE=90°

∵DO⊥AB,∴∠AOD=90° ,

∴∠EAO+∠AEO=90°,…………………………………………………………………………………2分

∵OA=OC,

∴∠EAO=∠OCA,………………………………………………………………………………………………3分

∴∠AEO=∠DCE,

∵∠DEC=∠AEO,

∴∠DEC=∠DCE,……………………………………………………………………………………………4分

∴DE=DC

(2)解:       

 …………………………………………………………………………5分

设CD=x,则DE=x,DO=DE+OE=x+2,

在Rt△OCD中,          ∵OD²=OC²+DC²,OC=4,

即  ( x+2) ²=4²+x²,       …………………………………………………………………………………………7分

解得x=3,

∴DC=3,……………………………………………………………………………………………………8分

23.解：(   1)设购买一个B种类型的垃圾桶需要x元，则购买一个A种类型的垃圾桶需要(x+20)元，

……………………………………………………………1分

依题意得：          ………………………………………………………………………………………………3分

解得:x=100,……………………………………………………………………………………………………4分

经检验,x=100是原方程的解,且符合题意,…………………………………………………………………………5分

∴x+20=100+20=120.

答：购买一个A种类型的垃圾桶需要120元，购买一个B种类型的垃圾桶需要100元………………………6分

(2)设该小区购买m个A种类型的垃圾桶，则购买(8-m)个B种类型的垃圾桶，

依题意得:120m+100(8-m)<880,…………………………………………………………………………………………7分

解得:m<4,…………………………………………………………………………………………………………………8分

又∵m,(8-m)均为正整数,

∴m可以为1,2,3,……………………………………………………………………………………………………………………9分

∴该小区共有3种购买方案，

方案1：购买1个A种类型的垃圾桶，7个B种类型的垃圾桶；

方案2：购买2个A种类型的垃圾桶，6个B种类型的垃圾桶；

方案3:购买3个A种类型的垃圾桶,5个B种类型的垃圾桶………………………………………………………10分

24.(1)将点A(8,     )代入一次函数.

得     ……………………………………………1分

解得         …………………………………………2分

∴一次函数的表达式：        

将点       代入反比例函数      

得     …………………………………………3分

∴反比例函数表达式：        

(2)∵点C的横坐标为3，过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，∴点C(3,-1),点D(3,4),

∴OD=5,……………………………………………4分

设点E(3,n),

∵点E到OD的距离等于它到x轴的距离，

  …………………………………………5分

解得    

∴点E坐标为        …………………………………………6分

方法二:作EM⊥OD,垂足为M,易得△DME∽△DHO ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分

方法三：三角函数(略)

(3)由题可知    

  ……………………7分

 …………………8分

设直线OC的解析式:y=kx,代入点C(3,-1),

得3k=-1,解得        

∴直线OC的解析式：        

根据平移，可得        

设直线O'C'的表达式为          

将    带入得：      …………………9分

设直线OO′的表达式为          

联立        解得     ……………………10分

25.解:(1)①CE=AD,120°;………………………………………………………………………………………4分

②∵AB=AC,∠BAC=90°

 ………………………………………………………………………5分

∵DB绕点D逆时针旋转90°，得到线段DE

∴DB=DE,∠DBE=90°

    ………………………………………………………………………………6分

∴∠ABC- ∠DBC=∠DBE-∠DBC,

∴∠ABD=∠CBE,

∴△ABD∽△CBE,………………………………………………………………………………………………………7分

 ……………………………………………………………………………………………………8分

(2)①当D在线段AC上时

设DC=a

∵AB=AC,AD=2DC,

∴AD=2a,AB=AC=3a

由(2)可知        

∵AN∥DE

∴∠AND=∠BDE=90°

 ………………………………………………………………………………………………9分

    ………………………………………………………………………………………10分

②当D在线段AC的延长线上时

设DC=a

∵AB=AC,AD=2DC,

∴AD=2a,AB=AC=a

由(2)可知        

∵AN∥DE

∴∠AND=∠BDE=90°

26.解:(1)由题意可得,点A的坐标为(-1,0),点C的坐标为(0,3),

将A(-1,0),C(0,3)代入抛物线                    y=-x²+bx+c,

     …………………………………………………………………………………………………1分

解得      …………………………………………………………………………………………………2分

∴抛物线的解析式为：          y= -x²+2x+3;          ………………………………………………………………………3分

∴其对称轴为直线          即直线x=1;…………………………………………………………………4分

(2)设对称轴直线x=1交x轴于点E,作DF⊥PE于F,

由旋转的性质可知：AP=PD，

∵∠APE+∠CPF=90° ,∠APE+∠PAE=90° ,

∴∠PAE=∠CPF,

又∠AEP=∠PFC=90°,

∴△APE≌△PCF(AAS),…………………………………………………………………………………5分

∴AE=PF,DF=PE,

设点P    (1,m),

点P在x轴上方时,有D(1-m,m+2),………………………………………………………………………6分

则:  -(m-1)²+2(1-m)+3=m+2,…………………………………………………………………………7分

整理得    m²+m-2=0,       解得m=1,m=-2(舍去);

点P的坐标为(1,1)……………………………………………………………………………………………8分

(3)令   -x²+2x+3=0,        解得x=-1或x=3,

∴B ( 3,0) ,

∴直线BC的解析式:y=-x+3;

如图,过点Q作QG⊥AB于点G,交BC于点H,

设点Q(t,-t²+2t+3),H(t,-t+3),

∴QH= - t²+2t+3 -  ( - t+3)  = -t²+3t,                 ……………………………………………………………………9分

∴当     时，△QBC的面积有最大值，

   ……………………………………………………………………………10分

作∠JOC=45°,过点M作MN⊥OJ于点N,过点Q作MK⊥OJ于K交y轴于点I,QR⊥y轴于点R,

∵∠JOC=45° ,MN⊥OJ,

  的最小值为QK,………………………………………………………………………………10分

∵∠JOC=45° ,QK ⊥OK,

∴∠OIK=45° ,

∴∠QIR=∠OIK=45° ,

   的最小值为        ………………………………………………………………………12分