2023年吉林省长春市农安县中考数学一模试卷（含解析）

2023年吉林省长春市农安县中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  年卡塔尔世界杯开幕式所在的主体育场户塞尔体育场吸引了全球目光，这座建筑面积平方米的“金色之碗”由中国铁建国际集团有限公司承建，数据用学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  自从学校开展双减工作，很大的减轻了学生的作业负担，同学们有了更多的时间进行课外活动，增强体质，王同学利用“落实双减政策”做了一个正方体展开图，那么在原正方体中，与“减”字所在面相对的面上的汉字是(    )

A. 双 B. 减 C. 政 D. 策

4.  不等式的解集在数轴上表示，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图所示，塔底与观测点在同一水平线上为了测量铁塔的高度，在处测得塔顶的仰角为，塔底与观测点的距离为米，则铁塔的高为(    )

A. 米
B. 米
C. 米
D. 米

6.  如图，是的内接三角形，连接，，若，则的度数(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，已知下列尺规作图：
作一个角的平分线；
作一条线段的垂直平分线；
过直线外一点作已知直线的垂线．
其中作法正确的是(    )
 

A.  B.  C.  D.

8.  如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，，点在反比例函数的图象上，则经过点的反比例函数解析式为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.  因式分解：        ．

10.  若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是          ．

11.  如图，所对的圆心角为，半径为，则的长为______ ．

12.  五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行横线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐如图，，，为直线与五线谱的横线相交的三个点，则的值是        ．

13.  在平面内，有一条公共边的正六边形和正方形，如图所示放置，则等于______ 度

14.  如图，已经二次函数的图象如图所示，直线轴，则当时的取值范围        ．

三、解答题（本大题共10小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

16.  本小题分
一个不透明的口袋中装有个红球和个白球，小球除颜色外其余均相同．从口袋中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，再随机摸出一个小球．请用画树状图或列表的方法，求两次摸出的小球颜色不同的概率．

17.  本小题分
某单位党支部在“精准扶贫”活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗．已知每棵乙种树苗的价格比甲种树苗的价格贵元，用元购买乙种树苗的棵数恰好与用元购买甲种树苗的棵数相同，求甲、乙两种树苗每棵的价格．

18.  本小题分
图、图、图都是的网格，每个小正方形的顶点称为格点顶点、、均在格点上，在图、图、图给定网格中按要求作图，并保留作图痕迹．

在图中画出的边上的中线．
在图中的边上确定一点，使．
在图中的边上确定一点，使．

19.  本小题分
如图，菱形中，，相交于点，过点作，且，连结．
求证：四边形是矩形．
连接，若，则的值是______ ．

20.  本小题分
为了了解某学校初三年级学生每周平均课外阅读时间的情况，随机抽查了该学校初三年级名同学，对其每周平均课外阅读时间进行统计，绘制了如下条形统计图图一和扇形统计图图二：

根据以上信息回答下列问题：
求        ，并补全条形统计图．
这组数据的众数        、中位数        ．
若该校共有名初三学生，请你估计该校学生课外阅读时间不低于小时的人数．

21.  本小题分
甲、乙两车分别从、两地沿同一路线同时出发，相向而行，以各自速度匀速行驶，甲车行驶到地停止，乙车行驶到地停止，甲车比乙车先到达目的地设甲、乙两车之间的路程为，乙车行驶的时间为，与之间的函数图象如图所示．
求甲车行驶的速度．
求甲车到达地后与之间的函数关系式．
当两车相遇后，两车之间的路程是时，求乙车行驶的时间．

22.  本小题分
【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第页的部分内容．

【定理证明】请根据教材内容，结合图，写出证明过程．
【定理应用】如图，已知矩形中，，，点在上从向移动，、、分别是、、的中点，则 ______ ．
【拓展提升】如图，中，，，点，分别是，的中点，点在上，且，则 ______ ．
 

23.  本小题分
在中，，，，现有动点从点出发，沿向点方向运动，动点从点出发，沿线段也向点方向运动，如果点的速度是秒，点的速度是秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为秒．求：
当秒时，这时，，两点之间的距离是多少？
若的面积为，求关于的函数关系式．
当为多少秒时，以点，，为顶点的三角形与相似？

24.  本小题分
如图所示，二次函数的图象与轴的一个交点为，另一交点为，且与轴交于点．
求的值；
求点的坐标；
该二次函数图象上有一点其中，，使，求点的坐标；
若点在直线上，点是平面上一点，是否存在点，使以点、点、点、点为顶点的四边形为矩形？若存在，请你直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据绝对值的定义：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值进行计算即可．
本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的前提．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：由正方体的展开图可得：
“减”的相对面的汉字是“策”，“落”的相对面的汉字是“双”，“实”的相对面的汉字是“政”，
故选：．
正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答即可．
本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体是空间图形，从相对面入手，分析及解答问题是关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故选：．
解出不等式的解集，然后根据解集选择合适的数轴表示即可．
本题考查了解一元一次不等式，以及解集的表示方法，正确解不等式是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
米．
故选：．
根据题意可得，米，，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题主要考查了锐角三角函数的实际应用，理解正切的含义是解答关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：是的内接三角形，
，
，
．
故选：．
根据圆周角定理即可得到结论．
本题考查三角形的外接圆与外心和圆周角定理，解题的关键是熟知“同弧所对圆周角的度数等于所对圆心角度数的一半”．
 

7.【答案】 

【解析】解：利用基本作图得作一个角的平分线，所以正确；
过直线外一点作已知直线的垂线，所以正确．
故选：．
利用种基本作图对题中的三个作图进行判断．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了直线、射线、线段．
 

8.【答案】 

【解析】解：过点作轴于点，过点作轴于点，
，
，
，
，
又，
∽，
，
，
点在反比例函数上，
，
，
，
经过点的反比例函数图象在第二象限，
故反比例函数解析式为：．
故选：．
直接利用相似三角形的判定与性质得出，进而得出，即可得出答案．
此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及反比例函数数的性质，正确得出是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为：．
先提取公因式，再用平方差公式因式分解即可．
本题考查因式分解，熟练掌握提取公因式法，公式法因式分解的方法是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．熟记这些内容是解题关键．
【解答】
解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：．
故答案为：．  

11.【答案】 

【解析】解：所对的圆心角为，半径为，
．
故答案为：．
根据弧长公式求解即可．
此题考查了弧长的计算，解题的关键是熟练掌握弧长公式是圆心角．
 

12.【答案】 

【解析】解：过点作于，交于，
，
，
故答案为：．
过点作于，交于，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：正六边形的内角是：；
正方形的角是度．
则．
求出正六边形和正方形的内角的度数，这两个角的度数与的和是，即可求得．
本题主要考查了正多边形的内角和定理，边形的内角和是．
 

14.【答案】 

【解析】解：由函数图象可知抛物线对称轴为直线，直线与抛物线交于点，
直线与抛物线的另一个交点坐标为．
当时，，
故答案为：．
先根据抛物线的对称性求出直线与抛物线的另一个交点坐标为，再根据图象法求解即可．
本题主要考查了抛物线的对称性，图象法求不等式的解集，正确求出直线与抛物线的另一个交点坐标是解题的关键．
 

15.【答案】解：

，
当时，原式． 

【解析】先根据完全平方公式和单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
 

16.【答案】解：树状图如下图所示，

则一共有种可能性，其中两次摸出的小球颜色不同有种可能性，
故两次摸出的小球颜色不同的概率是． 

【解析】根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以求得两次摸出的小球颜色不同的概率．
本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．
 

17.【答案】解：设每棵甲种树苗的价格为元，则每棵乙种树苗的价格为元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：每棵甲种树苗的价格为元，每棵乙种树苗的价格为元． 

【解析】设每棵甲种树苗的价格为元，则每棵乙种树苗的价格为元，利用数量总价单价，结合用元购买乙种树苗的棵数恰好与用元购买甲种树苗的棵数相同，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可求出每棵甲种树苗的价格，再将其代入中即可求出每棵乙种树苗的价格．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

18.【答案】解：如图所示，即为所求；

如图所示，点即为所求；

正方形，
，即；
如图所示，点即为所求．

，
∽，
，
． 

【解析】根据中线的定义，结合网格即可得；
取格点、、，作正方形，再作射线交于即可；
如图作出线段，根据且，利用相似三角形的判定与性质即可确定点．
本题主要考查利用网格作图，掌握三角形中线的定义，相似三角形的判定与性质，正方形的性质是解题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】证明：四边形是菱形，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，即，
四边形是矩形；
解：如图，

四边形是菱形，
，，，
，
，
可设，，则，
，
，
，
，
．
故答案为：．
证，再证四边形是平行四边形，然后由即可得出结论；
由锐角三角函数得设，，则，再由勾股定理得，然后由锐角三角函数即可得出结论．
本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质和菱形的性质是解题的关键．
 

20.【答案】     

【解析】解：名，小时的人数名．
条形图如图所示：

故答案为：；
这组数据的众数、中位数是．
故答案为：，；
名．
答：估计该校学生课外阅读时间不低于小时的人数约为名．
根据小时的人数，以及扇形统计图中的圆心角的度数，解决问题即可，再求出小时的人数，画出条形图；
根据中位数，众数的定义判断即可；
用样本估计总体的思想解决问题．
本题考查条形统计图，扇形统计图，中位数，众数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

21.【答案】解：，，，
甲车的行驶速度为：．
甲车的行驶速度为，
乙车的速度为：，
，
设与之间的函数关系式为：，
，
解得，
．
与之间的函数关系式为：．
由得，
当时，，
解得．
两车之间的路程是时，求乙车行驶了小时． 

【解析】根据，，，即可求出甲的速度；
根据乙车的速度为：，根据得，求出，根据待定系数法，即可求出函数解析式；
由得，函数解析式，当时，求的值．
本题考查函数的知识，解题的关键是掌握函数图象的信息，求解移项函数的解析式．
 

22.【答案】   

【解析】证明：点、分别是与的中点，
，
∽，
，，
，；
解：连接，
是的中点，是的中点，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
解：是的中点，
，
，
，
，点是的中点，
，
，
，
，
故答案为：．
利用两边成比例，夹角相等证明∽，即可证明；
连接，在中求出，再由中位线的性质求即可；
在直角中，利用斜边的中线等于斜边的一半，求出，再由中位线定义求，即可求．
本题是四边形的综合应用题，熟练掌握中位线的定义及性质，三角形相似的判定及性质，直角三角形的性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：由题意得，，则，
当秒时，，，
由勾股定理得；

由题意得，，则，
因此的面积为；

分两种情况：
当∽时，，即，解得秒；
当∽时，，即，解得秒．
因此秒或秒时，以点、、为顶点的三角形与相似． 

【解析】在中，当秒，可知、的长，运用勾股定理可将的长求出；
由点，点的运动速度和运动时间，又知，的长，可将、用含的表达式求出，代入直角三角形面积公式求解；
应分两种情况：当∽时，根据，可将时间求出；当∽时，根据，可求出时间．
本题主要考查相似三角形性质的运用，在解第三问时应分两种情况进行求解，在解题过程应防止漏解或错解．
 

24.【答案】解：把代入二次函数得：
，
；

由可知，二次函数的解析式为：；
当时，，
，
当时，，
，
，
或，
；

，
当时，，
，
，
，
或，
只有符合题意．
综上所述，点的坐标为；

存在，理由：
当是矩形的边时，此时，对应的矩形为，

，故，
矩形为正方形，
故点的坐标为；
当是矩形的对角线时，此时，对应的矩形为，
同理可得，矩形为正方形，
故点的坐标为，
故点的坐标为或． 

【解析】直接将点的坐标代入到二次函数的解析式即可求出的值，写出二次函数的解析式；
分别计算当和时的值，写出、两点的坐标；
因为，则根据同底等高的两个三角形的面积相等，所以只要高与的长相等即可，因此要计算时对应的点即可；
分是矩形的边、是矩形的对角线两种情况，通过画图，利用数形结合即可求解．
本题是二次函数综合题，主要考查的是一次函数的性质、矩形的性质、正方形的性质，面积的计算等，其中，要注意分类求解，避免遗漏．