黑龙江省大庆市2021年中考数学试卷【含答案】

黑龙江省大庆市2021年中考数学试卷

一、单选题

1．在 ， ， ， 这四个数中，整数是（　　） 

A． B． C． D．

2．下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是(　　) 

A． B．

C． D．

3．北京故宫的占地面积约为720 000m2，将720 000用科学记数法表示为(　　).  

A．72×104 B．7.2×105 C．7.2×106 D．0.72×106

4．下列说法正确的是（　　） 

A．

B．若 取最小值，则

C．若 ，则

D．若 ，则

5．已知 ，则分式 与 的大小关系是（　　） 

A． B． C． D．不能确定

6．已知反比例函数 ，当 时，y随x的增大而减小，那么一次的数 的图像经过第（　　） 

A．一，二，三象限 B．一，二，四象限

C．一，三，四象限 D．二，三，四象限

7．一个儿何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小正方块的个数，能符合题意表示该几何体的主视图的是（　　） 

A． B．

C． D．

8．如图，F是线段 上除端点外的一点，将 绕正方形 的顶点A顺时针旋转 ，得到 ．连接 交 于点H．下列结论正确的是（　　） 

A． B．

C． D．

9．小刚家2019年和2020年的家庭支出如下，已知2020年的总支出2019年的总支出增加了2成，则下列说法正确的是（　　） 

A．2020年教育方面的支出是2019年教育方面的支出的1.4倍；

B．2020年衣食方面的支出比2019年衣食方面的支出增加了10%；

C．2020年总支出比2019年总支出增加了2%；

D．2020年其他方面的支出与2019年娱乐方面的支出相同．

10．已知函数 ，则下列说法错误的个数是（　　） 

①若该函数图象与 轴只有一个交点，则

②方程 至少有一个整数根

③若 ，则 的函数值都是负数

④不存在实数a，使得 对任意实数x都成立

A．0 B．1 C．2 D．3

二、填空题

11．　     　

12．已知 ，则 　     　

13．一个圆柱形橡皮泥，底面积是 ．高是 ．如果用这个橡皮泥的一半，把它捏成高为 的圆锥，则这个圆锥的底面积是　     　

14．如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有　     　个交点

15．三个数3， 在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则a的取值范围为　        　

16．如图，作 的任意一条直经 ，分别以 为圆心，以 的长为半径作弧，与 相交于点 和 ，顺次连接 ，得到六边形 ，则 的面积与阴影区域的面积的比值为　     　； 

17．某酒店客房都有三人间普通客房，双人间普通客房，收费标准为：三人间150元/间，双人间140元/间．为吸引游客，酒店实行团体入住五折优惠措施，一个46人的旅游团，优惠期间到该酒店入住，住了一些三人间普通客房和双人间普通客房，若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费1310元，则该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房共　     　间；

18．已知，如图1，若 是 中 的内角平分线，通过证明可得 ，同理，若 是 中 的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图2，在 中， 是 的内角平分线，则 的 边上的中线长 的取值范围是　        　

三、解答题

19．计算

20．先因式分解，再计算求值： ，其中 ． 

21．解方程:

22．小明在A点测得C点在A点的北偏西 方向，并由A点向南偏西 方向行走到达B点测得C点在B点的北偏西 方向，继续向正西方向行走 后到达D点，测得C点在D点的北偏东 方向，求 两点之间的距离．（结果保留 ，参数数据 ） 

23．如图①是甲，乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形实心铁块立放其中（圆柱形实心铁块的下底面完全落在乙槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲，乙两个水槽中水的深度 与注水时间 之间的关系如图②所示，根据图象解答下列问题： 

（1）图②中折线 表示　     　槽中水的深度与注入时间之间的关系；线段 表示　     　槽中水的深度与注入时间之间的关系；铁块的高度为　     　 ． 

（2）注入多长时间，甲､乙两个水槽中水的深度相同？（请写出必要的计算过程）

24．如图，在平行四边形 中， ，点E为线段 的三等分点（靠近点A），点F为线段 的三等分点（靠近点C，且 ．将 沿 对折， 边与 边交于点G，且 ． 

（1）证明：四边形 为矩形； 

（2）求四边形 的面积． 

25．某校要从甲，乙两名学生中挑选一名学生参加数学竞赛，在最近的8次选拔赛中，他们的成绩（成绩均为整数，单位：分）如下：

甲：92，95，96，88，92，98，99，100

乙：100，87，92，93，9▆，95，97，98

由于保存不当，学生乙有一次成绩的个位数字模糊不清，

（1）求甲成绩的平均数和中位数；

（2）求事件“甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数”的概率；

（3）当甲成绩的平均数与乙成绩的平均数相等时，请用方差大小说明应选哪个学生参加数学竞赛．

26．如图，一次函数 的图象与y轴的正半轴交于点A，与反比例函数 的图像交于 两点．以 为边作正方形 ，点B落在x轴的负半轴上，已知 的面积与 的面积之比为 ． 

（1）求一次函数 的表达式： 

（2）求点P的坐标及 外接圆半径的长． 

27．如图，已知 是 的直径． 是 的弦，弦 垂直 于点F，交 于点G．过点C作 的切线交 的延长线于点P 

（1）求证： ； 

（2）判断 是否成立？若成立，请证明该结论； 

（3）若G为 中点， ， ，求 的长． 

28．如图，抛物线 与 轴交于除原点 和点 ，且其顶点 关于 轴的对称点坐标为 ． 

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线 上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线 的距离总相等． 

①证明上述结论并求出点F的坐标；

②过点F的直线l与抛物线 交于 两点．证明：当直线l绕点F旋转时， 是定值，并求出该定值；

（3）点 是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点 ，使四边形 周长最小，直接写出 的坐标． 

1．C

2．A

3．B

4．D

5．A

6．B

7．B

8．D

9．A

10．C

11．4

12．

13．18

14．190

15．

16．

17．18

18．

19．解：

故答案是： ．

20．解： ， 

当 时，原式 ．

21．解：方程变为： ﹣ =4，

方程两边乘以2x﹣3得：x﹣5=4（2x﹣3），

解得：x=1，

检验：把x=1代入2x﹣3≠0，

∴x=1是原方程的解．

即原方程的解是x=1．

22．解：如下图所示，

由题意可知：∠EAC=75°，∠FAB=∠NBA=45°，∠CBN=45°，DB=2km，∠MDC=22.5°，

在△BCD中，∠CDB=90°-∠MDC=90°-22.5°=67.5°，

∠CBD=90°-∠CBN=90°-45°=45°，

∠DCB=180°-∠CDB-∠CBD=180°-67.5°-45°=67.5°，

∴∠DCB=∠CDB，△CDB为等腰三角形，

∴CB=DB=2，

在△CBA中，∠CBA=∠CBN+∠NBA=45°+45°=90°，

∴△CBA为直角三角形，

又∠CAB=∠CAG+∠GAB=(90°-∠EAC)+∠GAB=(90°-75°)+45°=60°，

∴△CBA为30°，60°，90°直角三角形，

∴ ，代入 ，

∴ (km)，

故 两点之间的距离为 km．

23．（1）乙；甲；16

（2）解：设甲槽中水的深度为 ，把 ， 代入，可得 

，解得 ，

∴甲槽中水的深度为 ，

根据图象可知乙槽和甲槽水深相同时，在DE段，

设乙槽DE段水的深度为 ，把 ， 代入，可得

，解得 ，

∴甲槽中水的深度为 ，

∴甲､乙两个水槽中水的深度相同时， ，解得 ，

故注入2分钟时，甲､乙两个水槽中水的深度相同．

24．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴ ， ，

∵点E为线段 的三等分点（靠近点A），点F为线段 的三等分点（靠近点C），

∴ ， ，

∴ ，

∴四边形 为平行四边形，

∵ ，

∴四边形 为矩形；

（2）解：∵ ，点E为线段 的三等分点（靠近点A）， 

∴ ， ，

∵将 沿 对折， 边与 边交于点G，

∴ ， ，

∵ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ， ，

∴ ，

∴ 是等边三角形， 是等边三角形，

作B'H⊥AG于H，

∴ ， ，

∴ ．

25．（1）解：甲成绩的平均数为： ； 

甲成绩从小到大排列为：88，92，92，95，96，98，99，100 ，

∴甲成绩的中位数为： ；

（2）解：设乙成绩模糊不清的分数个位数为a，（a为0-9的整数）

则乙成绩的平均数为： ，

当甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数时，即 ，

解得 ，

∴a的值可以为 这8个整数

∴P(甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数) ；

（3）解：当甲成绩的平均数与乙成绩的平均数相等时， ，解得 ， 

此时乙的平均数也为95，

∴甲的方差为：

；

乙的方差为：   ，

∵ ，

∴甲的成绩更稳定，故应选甲参加数学竞赛．

26．（1）解：过D点作DE∥y轴交x轴于H点，过A点作EF∥x轴交DE于E点，过B作BF∥y轴交EF于F点，如下图所示：

∵ 与 有公共的底边BO，其面积之比为1：4，

∴DH：OA=1：4，

设 ，则 ，

∵ABCD为正方形，

∴AB=AD，∠BAD=90°，

∴∠BAF+∠EAD=90°，

∵∠BAF+∠FBA=90°，

∴∠FBA=∠EAD，

在△ABF和△DAE中： ，

∴△ABF≌△DAE(AAS)，

∴

又 ，

∴ ，解得 (负值舍去)，

∴ ，代入 中，

∴  ，解得   ，

∴一次函数的表达式为 ；

（2）解：联立一次函数与反比例函数解析式：   ， 

整理得到： ，

解得   ， ，

∴点P的坐标为 ；D点的坐标为（4，1）

∵四边形ABCD为正方形，

∴ ，

且 ，

在 中，由勾股定理： ，

∴ ，

又△CPD为直角三角形，其外接圆的圆心位于斜边PC的中点处，

∴△CPD外接圆的半径为 ．

27．（1）证明：如图：连接

  为等腰三角形

， 切⊙O于点

（2）解：结论成立；理由如下；

如图：连接EC，CD， 并延长 交⊙O于点H，连接

为⊙O的直径

  切⊙O于点

（3）解：如图：连接OD，OG，

为 中点

与点F

在 中有

28．（1）解： 点B关于x轴对称点的坐标为

点B的坐标为

设抛物线的解析式为

抛物点过原点

解得

抛物线解析式为： 即

（2）解： 设点F坐标为 ，点G坐标为

由题意可得：

整理得：

点F的坐标为

设直线l的解析式为 ，直线 与抛物线交于点

整理得：

由 得

整理得：

（3） ，