黑龙江省大庆市2021年中考数学真题（含解析）

这是一份黑龙江省大庆市2021年中考数学真题（含解析），共29页。试卷主要包含了2×105C， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序母填涂在答题卡上）
1. 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 这四个数中，整数是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据整数分为正整数、0、负整数，由此即可求解．
【详解】解：选项A： SKIPIF 1 < 0 是无理数，不符合题意；
选项B： SKIPIF 1 < 0 是分数，不符合题意；
选项C： SKIPIF 1 < 0 是负整数，符合题意；
选项D： SKIPIF 1 < 0 是分数，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的定义，熟练掌握整数分为正整数、0、负整数是解决本题的关键．
2. 下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】分析：根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，即可判断出答案．
详解：A、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项正确；
B、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
C、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误；
D、此图形不中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误．
故选A．
点睛：此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，关键是找出图形的对称中心与对称轴．
3. 北京故宫的占地面积约为720 000m2，将720 000用科学记数法表示为( ).
A. 72×104B. 7.2×105C. 7.2×106D. 0.72×106
【答案】B
【解析】
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【详解】解：将720000用科学记数法表示为7.2×105．
故选B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4. 下列说法正确的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. 若 SKIPIF 1 < 0 取最小值，则 SKIPIF 1 < 0
C. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 D. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】根据绝对值的定义和绝对值的非负性逐一分析判定即可．
【详解】解：A．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故该项错误；
B．∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 取最小值，故该项错误；
C．∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，故该项错误；
D．∵ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，故该项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查绝对值，掌握绝对值的定义和绝对值的非负性是解题的关键．
5. 已知 SKIPIF 1 < 0 ，则分式 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的大小关系是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. 不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】将两个式子作差，利用分式的减法法则化简，即可求解．
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A．
【点睛】本题考查分式的大小比较，掌握作差法是解题的关键．
6. 已知反比例函数 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 随 SKIPIF 1 < 0 的增大而减小，那么一次的数 SKIPIF 1 < 0 的图像经过第（ ）
A. 一，二，三象限B. 一，二，四象限
C. 一，三，四象限D. 二，三，四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据反比例函数的增减性得到 SKIPIF 1 < 0 ，再利用一次函数的图象与性质即可求解．
【详解】解：∵反比例函数 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 随 SKIPIF 1 < 0 的增大而减小，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的图像经过第一，二，四象限，
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数和一次函数的图象与性质，掌握反比例函数和一次函数的图象与性质是解题的关键．
7. 一个儿何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小正方块的个数，能正确表示该几何体的主视图的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】主视图的列数与俯视图的列数相同，且每列小正方形的数目为俯视图中该列小正方数字中最大数字，从而可得出结论．
【详解】由已知条件可知：主视图有3列，每列小正方形的数目分别为4，2，3，根据此可画出图形如下：
故选：B．
【点睛】本题考查了从不同方向观察物体和几何图像，是培养学生观察能力．
8. 如图， SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 上除端点外一点，将 SKIPIF 1 < 0 绕正方形 SKIPIF 1 < 0 的顶点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ．连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ．下列结论正确的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】根据旋转的性质可以得到△EAF是等腰直角三角形，然后根据相似三角形的判定和性质，以及平行线分线段成比例定理即可作出判断．
【详解】解：根据旋转的性质知：∠EAF=90°，故A选项错误；
根据旋转的性质知：∠EAF=90°，EA=AF，则△EAF是等腰直角三角形，
∴EF= SKIPIF 1 < 0 AE，即AE：EF=1： SKIPIF 1 < 0 ，故B选项错误；
若C选项正确，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∵∠AEF=∠HEA=45°，
∴△EAF SKIPIF 1 < 0 △EHA，
∴∠EAH SKIPIF 1 < 0 ∠EFA，
而∠EFA=45°，∠EAH SKIPIF 1 < 0 45°，
∴∠EAH SKIPIF 1 < 0 ∠EFA，
∴假设不成立，故C选项错误；
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD∥AB，即BH∥CF，AD=BC，
∴EB：BC=EH：HF，即EB：AD=EH：HF，故D选项正确；
故选：D
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，正确运用反证法是解题的关键．
9. 小刚家2019年和2020年的家庭支出如下，已知2020年的总支出2019年的总支出增加了2成，则下列说法正确的是（ ）
A. 2020年教育方面的支出是2019年教育方面的支出的1.4倍；
B. 2020年衣食方面的支出比2019年衣食方面的支出增加了10%；
C. 2020年总支出比2019年总支出增加了2%；
D. 2020年其他方面的支出与2019年娱乐方面的支出相同．
【答案】A
【解析】
【分析】设2019年总支出为a元，则2020年总支出为1.2a元，根据扇形统计图中的信息逐项分析即可．
【详解】解：设2019年总支出为a元，则2020年总支出为1.2a元，
A．2019年教育总支出为0.3a，2020年教育总支出为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故该项正确；
B．2019年衣食方面总支出为0.3a，2020年衣食方面总支出为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故该项错误；
C．2020年总支出比2019年总支出增加了20%，故该项错误；
D．2020年其他方面的支出为 SKIPIF 1 < 0 ，2019年娱乐方面的支出为0.15a，故该项错误；
故选：A．
【点睛】本题考查扇形统计图，能够从扇形统计图中获取相关信息是解题的关键．
10. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法不正确的个数是（ ）
①若该函数图像与 SKIPIF 1 < 0 轴只有一个交点，则 SKIPIF 1 < 0
②方程 SKIPIF 1 < 0 至少有一个整数根
③若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的函数值都是负数
④不存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 对任意实数 SKIPIF 1 < 0 都成立
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】对于①：分情况讨论一次函数和二次函数即可求解；
对于②：分情况讨论a＝0和a≠0时方程的根即可；
对于③：已知条件中限定a≠0且a＞1或a＜0，分情况讨论a＞1或a＜0时的函数值即可；
对于④：分情况讨论a＝0和a≠0时函数的最大值是否小于等于0即可．
【详解】解：对于①：当a＝0时，函数变为 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 只有一个交点，
当a≠0时， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故图像与 SKIPIF 1 < 0 轴只有一个交点时， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，①错误；
对于②：当a＝0时，方程变为 SKIPIF 1 < 0 ，有一个整数根为 SKIPIF 1 < 0 ，
当a≠0时，方程 SKIPIF 1 < 0 因式分解得到： SKIPIF 1 < 0 ，其中有一个根为 SKIPIF 1 < 0 ，故此时方程至少有一个整数根，故②正确；
对于③：由已知条件 SKIPIF 1 < 0 得到a≠0，且a＞1或a＜0
当a＞1时， SKIPIF 1 < 0 开口向上，对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，自变量离对称轴越远，其对应的函数值越大，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 离对称轴的距离一样，将 SKIPIF 1 < 0 代入得到 SKIPIF 1 < 0 ，此时函数最大值小于0；
当a＜0时， SKIPIF 1 < 0 开口向下，自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小，
∴ SKIPIF 1 < 0 时，函数取得最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵a＜0，
∴最大值 SKIPIF 1 < 0 ，即有一部分实数 SKIPIF 1 < 0 ，其对应的函数值 SKIPIF 1 < 0 ，故③错误；
对于④：a＝0时，原不等式变形为： SKIPIF 1 < 0 对任意实数 SKIPIF 1 < 0 不一定成立，故a＝0不符合；
a≠0时，对于函数 SKIPIF 1 < 0 ，
当a＞0时开口向上，总有对应的函数值 SKIPIF 1 < 0 ，此时不存在a对 SKIPIF 1 < 0 对任意实数 SKIPIF 1 < 0 都成立；
当a＜0时开口向下，此时函数的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵a＜0，
∴最大值 SKIPIF 1 < 0 ，即有一部分实数 SKIPIF 1 < 0 ，其对应的函数值 SKIPIF 1 < 0 ，
此时不存在a对 SKIPIF 1 < 0 对任意实数 SKIPIF 1 < 0 都成立；故④正确；
综上所述，②④正确，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图像及性质，二次函数与方程之间的关系，分类讨论的思想，本题难度较大，熟练掌握二次函数的性质是解决本类题的关键．
二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11. SKIPIF 1 < 0 ________
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】先算 SKIPIF 1 < 0 ，再开根即可．
【详解】解： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故答案是： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了求一个数的4次方和对一个实数开根号，解题的关键是：掌握相关的运算法则．
12. 已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ，再将 SKIPIF 1 < 0 分别用 SKIPIF 1 < 0 的代数式表示，再代入约去 SKIPIF 1 < 0 即可求解．
【详解】解：设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了比例的性质，正确用同一字母表示各数是解决此类题的关键．
13. 一个圆柱形橡皮泥，底面积是 SKIPIF 1 < 0 ．高是 SKIPIF 1 < 0 ．如果用这个橡皮泥的一半，把它捏成高为 SKIPIF 1 < 0 的圆锥，则这个圆锥的底面积是______ SKIPIF 1 < 0
【答案】18
【解析】
【分析】首先求出圆柱体积，根据题意得出圆柱体积的一半即为圆锥的体积，根据圆锥体积计算公式列出方程，即可求出圆锥的底面积．
【详解】Ｖ圆柱＝ SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，
这个橡皮泥的一半体积为： SKIPIF 1 < 0 ，
把它捏成高为 SKIPIF 1 < 0 的圆锥，则圆锥的高为5cm，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 （cm2），
故填：18．
【点睛】本题考查了圆柱体积和圆锥的体积计算公式，解题关键是理解题意，熟练掌握圆柱体积和圆锥体积计算公式．
14. 如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有______个交点
【答案】190
【解析】
【分析】根据题目中的交点个数，找出 SKIPIF 1 < 0 条直线相交最多有的交点个数公式： SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】解：2条直线相交有1个交点；
3条直线相交最多有 SKIPIF 1 < 0 个交点；
4条直线相交最多有 SKIPIF 1 < 0 个交点；
5条直线相交最多有 SKIPIF 1 < 0 个交点；
SKIPIF 1 < 0
20条直线相交最多有 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为：190．
【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即 SKIPIF 1 < 0 条直线相交最多有 SKIPIF 1 < 0 ．
15. 三个数3， SKIPIF 1 < 0 在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为______
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】根据三个数在数轴上的位置得到 SKIPIF 1 < 0 ，再根据三角形的三边关系得到 SKIPIF 1 < 0 ，求解不等式组即可．
【详解】解：∵3， SKIPIF 1 < 0 在数轴上从左到右依次排列，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∵这三个数为边长能构成三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述， SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查不等式组的应用、三角形的三边关系，根据题意列出不等式组是解题的关键．
16. 如图，作 SKIPIF 1 < 0 的任意一条直经 SKIPIF 1 < 0 ，分别以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，以 SKIPIF 1 < 0 的长为半径作弧，与 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，顺次连接 SKIPIF 1 < 0 ，得到六边形 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积与阴影区域的面积的比值为______；
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】可将图中阴影部分的面积转化为两个等边三角形的面积之和，设⊙O的半径与等边三角形的边长为 SKIPIF 1 < 0 ，分别表示出圆的面积和两个等边三角形的面积，即可求解
【详解】连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由题可得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 为边长相等的等边三角形
SKIPIF 1 < 0 可将图中阴影部分的面积转化为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的面积之和，如图所示：
设⊙O的半径与等边三角形的边长为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ⊙O的面积为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 等边 SKIPIF 1 < 0 与等边 SKIPIF 1 < 0 的边长为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ⊙O的面积与阴影部分的面积比为 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了图形的面积转换，等边三角形面积以及圆面积的求法，将不规则图形的面积转换成规则图形的面积是解题关键．
17. 某酒店客房都有三人间普通客房，双人间普通客房，收费标准为：三人间150元/间，双人间140元/间．为吸引游客，酒店实行团体入住五折优惠措施，一个46人的旅游团，优惠期间到该酒店入住，住了一些三人间普通客房和双人间普通客房，若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费1310元，则该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房共________间；
【答案】18．
【解析】
【分析】根据客房数×相应的收费标准=1310元列出方程并解答．
【详解】解：设住了三人间普通客房x间，则住了两人间普通客房 SKIPIF 1 < 0 间，由题意，得：
SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 =1310，
解得：x=10，
则： SKIPIF 1 < 0 =8，
所以，这个旅游团住了三人间普通客房10间，住了两人间普通客房8间，共18间．
故答案为：18．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找出合适的等量关系，利用已知得出等式方程是解题关键．
18. 已知，如图1，若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 的内角平分线，通过证明可得 SKIPIF 1 < 0 ，同理，若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图2，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的内角平分线，则 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 边上的中线长 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是________
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】根据题意得到 SKIPIF 1 < 0 ，反向延长中线 SKIPIF 1 < 0 至 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，最后根据三角形三边关系解题．
【详解】如图，反向延长中线 SKIPIF 1 < 0 至 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的内角平分线，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
由三角形三边关系可知，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查角平分线的性质、中线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形三边关系等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
三．解答题（本大题共10小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解有时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 计算 SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】直接利用去绝对值符号、特殊角度的三角函数值、负整数的平方运算计算出结果即可．
【详解】解： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故答案是： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了去绝对值符号、特殊角度的三角函数值、负整数的平方运算法则，解题的关键是：掌握相关的运算法则．
20. 先因式分解，再计算求值： SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ，30
【解析】
【分析】先利用提公因式法和平方差公式进行因式分解，再代入x的值即可．
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，原式 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查因式分解，掌握提公因式法和公式法是解题的关键．
21. 解方程： SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】方程两边乘 SKIPIF 1 < 0 ，得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
检验：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 是原分式方程的解．
【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
22. 小明在 SKIPIF 1 < 0 点测得 SKIPIF 1 < 0 点在 SKIPIF 1 < 0 点的北偏西 SKIPIF 1 < 0 方向，并由 SKIPIF 1 < 0 点向南偏西 SKIPIF 1 < 0 方向行走到达 SKIPIF 1 < 0 点测得 SKIPIF 1 < 0 点在 SKIPIF 1 < 0 点的北偏西 SKIPIF 1 < 0 方向，继续向正西方向行走 SKIPIF 1 < 0 后到达 SKIPIF 1 < 0 点，测得 SKIPIF 1 < 0 点在 SKIPIF 1 < 0 点的北偏东 SKIPIF 1 < 0 方向，求 SKIPIF 1 < 0 两点之间的距离．（结果保留 SKIPIF 1 < 0 ，参数数据 SKIPIF 1 < 0 ）
【答案】 SKIPIF 1 < 0 km
【解析】
【分析】根据题中给出的角度证明△CDB为等腰三角形，得到CB=DB=2，再证明△CBA为30°，60°，90°直角三角形，最后根据 SKIPIF 1 < 0 即可求出AC的长．
【详解】解：如下图所示，
由题意可知：∠EAC=75°，∠FAB=∠NBA=45°，∠CBN=45°，DB=2km，∠MDC=22.5°，
在△BCD中，∠CDB=90°-∠MDC=90°-22.5°=67.5°，
∠CBD=90°-∠CBN=90°-45°=45°，
∠DCB=180°-∠CDB-∠CBD=180°-67.5°-45°=67.5°，
∴∠DCB=∠CDB，△CDB为等腰三角形，
∴CB=DB=2，
在△CBA中，∠CBA=∠CBN+∠NBA=45°+45°=90°，
∴△CBA为直角三角形，
又∠CAB=∠CAG+∠GAB=(90°-∠EAC)+∠GAB=(90°-75°)+45°=60°，
∴△CBA为30°，60°，90°直角三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 (km)，
故 SKIPIF 1 < 0 两点之间的距离为 SKIPIF 1 < 0 km．
【点睛】本题考查了三角函数解直角三角形，读懂题意，将题中信息转化成已知条件，本题中得出△CDB为等腰三角形是解题的关键．
23. 如图①是甲，乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形实心铁块立放其中（圆柱形实心铁块的下底面完全落在乙槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲，乙两个水槽中水的深度 SKIPIF 1 < 0 与注水时间 SKIPIF 1 < 0 之间的关系如图②所示，根据图象解答下列问题：
（1）图②中折线 SKIPIF 1 < 0 表示_____________槽中水的深度与注入时间之间的关系；线段 SKIPIF 1 < 0 表示_____________槽中水的深度与注入时间之间的关系；铁块的高度为_____________ SKIPIF 1 < 0 ．
（2）注入多长时间，甲､乙两个水槽中水的深度相同？（请写出必要的计算过程）
【答案】（1）乙，甲，16；（2）2分钟
【解析】
【分析】（1）根据图象分析可知水深减少的图象为甲槽的，水深增加的为乙槽的，并水深16cm之后增加的变慢，即可得到铁块的高度；
（2）利用待定系数法求出两个水槽中水深与时间的解析式，即可求解．
【详解】解：（1）图②中折线 SKIPIF 1 < 0 表示乙槽中水深度与注入时间之间的关系；
线段 SKIPIF 1 < 0 表示甲槽中水的深度与放出时间之间的关系；
铁块的高度为16 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设甲槽中水的深度为 SKIPIF 1 < 0 ，把 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入，可得
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴甲槽中水的深度为 SKIPIF 1 < 0 ，
根据图象可知乙槽和甲槽水深相同时，在DE段，
设乙槽DE段水的深度为 SKIPIF 1 < 0 ，把 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入，可得
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴甲槽中水的深度为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴甲､乙两个水槽中水的深度相同时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故注入2分钟时，甲､乙两个水槽中水的深度相同．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，根据题意理解每段函数对应的实际情况是解题的关键．
24. 如图，在平行四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的三等分点（靠近点 SKIPIF 1 < 0 ），点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的三等分点（靠近点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 对折， SKIPIF 1 < 0 边与 SKIPIF 1 < 0 边交于点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）证明：四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形；
（2）求四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根据题意三等分点可得 SKIPIF 1 < 0 ，根据对边平行且相等得到四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，再根据一个角为90°的平行四边形是矩形即可得证；
（2）根据角度关系可得 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形， SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，利用割补法即可求出面积．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的三等分点（靠近点 SKIPIF 1 < 0 ），点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的三等分点（靠近点 SKIPIF 1 < 0 ），
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形；
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的三等分点（靠近点 SKIPIF 1 < 0 ），
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 对折， SKIPIF 1 < 0 边与 SKIPIF 1 < 0 边交于点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是等边三角形， SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，
作B'H⊥AG于H，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查矩形的判定、割补法求面积、解直角三角形，掌握上述性质定理是解题的关键．
25. 某校要从甲，乙两名学生中挑选一名学生参加数学竞赛，在最近的8次选拔赛中，他们的成绩（成绩均为整数，单位：分）如下：
甲：92，95，96，88，92，98，99，100
乙：100，87，92，93，9▆，95，97，98
由于保存不当，学生乙有一次成绩的个位数字模糊不清，
（1）求甲成绩的平均数和中位数；
（2）求事件“甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数”的概率；
（3）当甲成绩的平均数与乙成绩的平均数相等时，请用方差大小说明应选哪个学生参加数学竞赛．
【答案】（1）平均数为95分，中位数为95.5分；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3）甲
【解析】
【分析】（1）根据平均数和中位数的定义求解即可；
（2）设乙成绩模糊不清的分数个位数为a，求出乙成绩的平均数，解不等式得到a的范围，利用概率公式即可求解；
（3）利用方差公式求出甲和乙的方差，选方差较小的即可．
【详解】解：（1）甲成绩的平均数为： SKIPIF 1 < 0 ；
甲成绩从小到大排列为：88，92，92，95，96，98，99，100 ，
∴甲成绩的中位数为： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设乙成绩模糊不清的分数个位数为a，（a为0-9的整数）
则乙成绩的平均数为： SKIPIF 1 < 0 ，
当甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数时，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴a的值可以为 SKIPIF 1 < 0 这8个整数
∴P(甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数) SKIPIF 1 < 0 ；
（3）当甲成绩的平均数与乙成绩的平均数相等时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
此时乙的平均数也为95，
∴甲的方差为： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ；
乙的方差为： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴甲的成绩更稳定，故应选甲参加数学竞赛．
【点睛】本题考查求平均数、中位数和方差，以及概率公式，掌握求平均数、中位数和方差的公式是解题的关键．
26. 如图，一次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与 SKIPIF 1 < 0 轴的正半轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，与反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图像交于 SKIPIF 1 < 0 两点．以 SKIPIF 1 < 0 为边作正方形 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 落在 SKIPIF 1 < 0 轴的负半轴上，已知 SKIPIF 1 < 0 的面积与 SKIPIF 1 < 0 的面积之比为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求一次函数 SKIPIF 1 < 0 的表达式：
（2）求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标及 SKIPIF 1 < 0 外接圆半径的长．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2)点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 外接圆半径的长为 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)过D点作DE∥y轴交x轴于H点，过A点作EF∥x轴交DE于E点，过B作BF∥y轴交EF于F点，证明△ABF≌△DAE， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积与 SKIPIF 1 < 0 的面积之比为 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，进而得到 SKIPIF 1 < 0 ，求出A、D两点坐标即可求解；
(2)联立一次函数与反比例函数解析式即可求出P点坐标；再求出C点坐标，进而求出CP长度，Rt△CPD外接圆的半径即为CP的一半．
【详解】解：(1)过D点作DE∥y轴交x轴于H点，过A点作EF∥x轴交DE于E点，过B作BF∥y轴交EF于F点，如下图所示：
∵ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有公共的底边BO，其面积之比为1:4，
∴DH:OA=1:4，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAF+∠EAD=90°，
∵∠BAF+∠FBA=90°，
∴∠FBA=∠EAD，
在△ABF和△DAE中： SKIPIF 1 < 0 ,
∴△ABF≌△DAE(AAS)，
∴ SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 (负值舍去)，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 中，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴一次函数的表达式为 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)联立一次函数与反比例函数解析式： SKIPIF 1 < 0 ，
整理得到： SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ；D点的坐标为（4,1）
∵四边形ABCD为正方形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由勾股定理： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又△CPD为直角三角形，其外接圆的圆心位于斜边PC的中点处，
∴△CPD外接圆的半径为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，三角形全等的判定与性质，勾股定理求线段长，本题属于综合题，解题的关键是正确求出点A、D两点坐标．
27. 如图，已知 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的直径． SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的弦，弦 SKIPIF 1 < 0 垂直 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ．过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的切线交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于点 SKIPIF 1 < 0
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）判断 SKIPIF 1 < 0 是否成立？若成立，请证明该结论；
（3）若 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
【答案】（1）见解析；（2）结论成立，见解析；（3） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）连接 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形，则 SKIPIF 1 < 0 ，结合垂经定理和切线的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，从而可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可得到结论；
（2）连接EC，CD， SKIPIF 1 < 0 并延长 SKIPIF 1 < 0 交⊙O于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 ，在结合（1）中的结论即可求解；
（3）连接OD，OG，根据垂经定理的推论得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中利用三角函数求出⊙O的半径，在 SKIPIF 1 < 0 中利用三角函数即可求得 SKIPIF 1 < 0 长，在利用勾股定理求出 SKIPIF 1 < 0 ，从而可求DE
【详解】（1）如图：连接 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 切⊙O于点 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
（2）结论成立；理由如下；
如图：连接EC，CD， SKIPIF 1 < 0 并延长 SKIPIF 1 < 0 交⊙O于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 为⊙O的直径
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 切⊙O于点 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
（3）如图：连接OD，OG，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 中点
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 与点F
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 中有
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
【点睛】本题考查了垂经定理及推论，相似三角形的判定和性质，切线的性质，以及解直角三角形等知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练掌握各部分内容，将所学知识贯穿起来．
28. 如图，抛物线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于除原点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 ，且其顶点 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴的对称点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）抛物线的对称轴上存在定点 SKIPIF 1 < 0 ，使得抛物线 SKIPIF 1 < 0 上的任意一点 SKIPIF 1 < 0 到定点 SKIPIF 1 < 0 的距离与点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离总相等．
①证明上述结论并求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
②过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点．证明：当直线 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 旋转时， SKIPIF 1 < 0 是定值，并求出该定值；
（3）点 SKIPIF 1 < 0 是该抛物线上的一点，在 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴上分别找点 SKIPIF 1 < 0 ，使四边形 SKIPIF 1 < 0 周长最小，直接写出 SKIPIF 1 < 0 的坐标．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ，证明见解析（3） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）先求出顶点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，在设抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，根据抛物线过原点，即可求出其解析式；
（2） SKIPIF 1 < 0 设点 SKIPIF 1 < 0 坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，利用两点间距离公式，结合题目已知列出等量关系； SKIPIF 1 < 0 设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线交于点 SKIPIF 1 < 0 ，直线方程与抛物线联立得出 SKIPIF 1 < 0 ，在结合 SKIPIF 1 < 0 的结论，分别表示出 SKIPIF 1 < 0 的值，即可求解；
（3）先求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，分别作点 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 即为所求
【详解】解：（1） SKIPIF 1 < 0 点B关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称点的坐标为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0
设抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 抛物点过原点
SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 抛物线解析式为： SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0 设点 SKIPIF 1 < 0 坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 坐标为 SKIPIF 1 < 0
由题意可得： SKIPIF 1 < 0
整理得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线交于点 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
整理得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
整理得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
（3） SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
如图：作点 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴的对称点 SKIPIF 1 < 0
则点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，则此时四边形PQBC周长最小
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 坐标为 SKIPIF 1 < 0
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，点到直线的距离，两点间距离公式，以及线段最值问题，以及点的对称问题，综合性较强