第六单元《正比例和反比例》（原卷版+解析版）——【期末复习】2022-2023学年六年级下册数学单元复习知识点+练习学案（苏教版）

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2022-2023学年苏教版六年级下册同步重难点讲义精讲精练
第六单元 正比例和反比例





知识点一：正比例的意义及应用
（1） 正比例的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，
如果这两种量相对应的两个数 的比值（在除法中是叫做商）一定，那么这两个量叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系。
（2） 如果用字母 x 和 y 分别表示两种相关的量，用 k 表示它们的比值（一定），正比例关系式可用x/y=k。
（3） 判断两种量是否成正比例的应用方法：
、判断两个是否相关联；、判断这两个量的比值是否一定，比值一定就成正比例关系； 反之不成正比例关系。（简说：用除法，商一定，成正比）
知识点二：正比例的图像
正比例图像是一条直线。从图像中，可以直观看到两种量的变化情况，由一个量的值可以直接找到对应的另一个量的值。
知识点三：反比例的意义及应用
（1） 反比例的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化， 如果这两种量相对应的两个数的积一定，那么这两个量叫做成反比例的量，它们的关系叫做成反比例关系。
（2） 如果用字母 x 和 y 分别表示两种相关的量，用 k 表示它们的比值（一定），反比例关系式可用x×y=k。
（3） 判断两种量是否成反比例的应用方法： 1、判断两个是否相关联；
2、判断这两个量的积是否一定，积一定就成反比例关系；反之 不成反比例关系。（简说：用乘法，积一定，成反比）
知识点四：解题方法：
（1） 判断题目中相关联的量成什么关系，列出等量关系式；
（2） 设未知数，列方程；
（3） 解方程并检验写答。

考点1：正比例和反比例的意义
【典例分析01】（2022•江门）表中，如果a和b成反比例，空格里应填（　　）
a
4
8
b

12
A．2 B．8 C．18 D．24
【思路点拨】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的比值一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
【规范解答】解：因为a和b成反比例，所以ab＝8×12＝96（一定）
96÷4＝24
答：空格里应填24。
故选：D。
【考点评析】熟练掌握反比例的意义是解题的关键。
【典例分析02】（2022•晋安区）如表，如果x与y成正比例，那么“？”处填（　　）
x
2
？
y
8
24
A．8 B．3 C．6 D．0.5
【思路点拨】根据正比例意义列关于？的方程即可解答。
【规范解答】解：因为x与y成正比例关系，则：
2：8＝x：24
8x＝48
8x÷8＝48÷8
x＝6
故选：C。
【考点评析】本题考查了利用正比例解决问题。若两种相关联的量成正比例，则其比值一定。
【变式训练01】（2022•英德市）如图表示两辆汽车所行驶的路程与相应时间关系的图象，下列关于图象描述错误的是（　　）

A．两辆汽车行驶的路程和时间都成正比例
B．从昆明到大理大约有350千米，甲车从昆明到大理大约要4个小时
C．从图象上看甲车的速度比乙车快
D．从图象上看乙车的速度比甲车快
【思路点拨】根据图像都是直线可以判断两辆汽车行驶的路程和时间都成正比例，再根据两车行驶360千米所用的时间确定两车速度的快慢即可。
【规范解答】解：从图像中可以得到：
（1）两辆汽车形式的路程与时间的关系图像都是一条直线，所以两辆汽车行驶的路程和时间都成正比例。
（2）甲车4小时到达，乙车8小时到达，所以甲车的速度大于乙车的速度。
故选：D。
【考点评析】本题考查了正比例关系图像，要读懂图像反映出来的信息，并能根据信息解决问题。
【变式训练02】（2022春•沽源县期中）如图表是华信超市一段时间内某种牛奶的销售情况。
销售量/箱
4
5
6
8
9
销售额/元
240
300
360
480
540
（1）写出几组销售额与相对应销售量的比，并比较比值的大小。
（2）这个比值表示的意义是什么？
（3）牛奶的销售额与销售量成正比例关系吗？为什么？
【思路点拨】（1）根据销售额与相对应销售量，写出比即可，求出比值，再比较即可；
（2）根据销售额、销售量和每箱的价钱三者之间的关系解答；
（3）看牛奶的销售额与销售量对应的比值是否一定，如果是比值一定，就成正比例。
【规范解答】解：（1）240：4＝60，300：5＝60，360：6＝60，480：8＝60，540：9＝60，比值都相等是60；
（2）根据销售额÷销售量＝每箱的价钱，所以这个比值表示某种牛奶每箱的价钱；
（3）销售额÷销售量＝每箱的价钱（一定），可知牛奶的销售额与销售量成正比例关系。
【考点评析】此题统计图与销售额问题相结合，考查了学生综合运用知识解决问题的能力。
考点2：正比例
【典例分析03】（2022•武安市）下面图（　　）表示的是成正比例关系的图像。
A． B．
C．
【思路点拨】根据正比例关系图像的特点分析解答。
【规范解答】解：正比例关系图像是起始于原点的一条直线。选项A图像的起点不在原点，选项B是反比例关系图像。
故选：B。
【考点评析】本题考查了认识正比例关系图像和反比例关系图像，属于最基础知识。
【典例分析04】（2022•蒲城县）一种丝绸面料购买的长度与金额的情况如表。
长度/米
0
1
2
3
4
5
6
7
金额/元
0
50
100
150
200
250


（1）判断这种丝绸面料购买的长度与金额是不是成正比例，并说明理由。
（2）先将上面的表格填写完整，再根据表中数据，在图中描出这种丝绸面料购买的长度与金额所对应的点，再把这些点依次连接起来。
（3）800元可以买 　16　米这种丝绸面料；购买7.5米这种丝绸面需要 　375　元。

【思路点拨】（1）求出丝绸面料购买的长度与金额的比值，判定丝绸面料购买的长度与金额成正比例。
（2）先计算，再填表格，再在图中描点、连线。
（3）根据应付金额÷单价＝丝线长度求出800元购买的丝线的米数，再根据应付金额＝单价×丝线长度求出购买7.5米这种丝线需要的钱数。
【规范解答】解：（1）50：1＝100：2＝150：3＝200：4＝250：5＝50
比值一定，丝绸面料购买的长度与金额成正比例。
（2）6×50＝300（元）
7×50＝350（元）
长度/米
0
1
2
3
4
5
6
7
金额/元
0
50
100
150
200
250
300
350

（3）800÷50＝16（米）
50×7.5＝375（元）
答：800元可以买16米这种丝绸面料；购买7.5米这种丝绸面需要375元。
故答案为：16，375。
【考点评析】本题考查了正比例的判定、正比例图像的绘制、利用正比例关系解决问题，属于基础知识，需熟练掌握。
【变式训练03】（2022•西安）造纸术是中国四大发明之一，是中华民族对世界文明的巨大贡献，是人类文明史上的一项杰出的发明创造。某造纸厂的生产情况如下表，根据表回答问题。
时间（天）
0
1
2
3
4
5
6
7
……
生产量（吨）
0
70
140
210
280
350
420
490
……
（1）生产量和所用时间成正比例关系吗？为什么？
（2）根据表中的数据，写出一个比例 　1：70＝2：140　。
（3）在图中描出表示时间和相应生产量对应的点，并把它们按顺序连接起来。

（4）生产560吨纸需要 　8　天。
【思路点拨】（1）根据生产量与生产时间的比的比值判断是不是成正比例。
（2）从表中找出两组数据，写成比例式。
（3）根据表中数据描点、连线。
（4）用560除以每天生产的吨数即可。
【规范解答】解：（1）＝＝＝＝＝＝
所以生产量和所用时间成正比例关系。
（2）1：70＝2：140（答案不唯一）
（3）

（4）560÷70＝8（天）
故答案为：1：70＝2：140（答案不唯一），8。
【考点评析】本题考查了正比例关系的判断、写比例式、画正比例关系图像、根据正比例关系解决问题等，综合性强，需仔细更新和解答。
【变式训练04】（2022•八步区）一辆汽车以90千米/时的速度行驶，行驶的路程与时间如下表。
时间/时
1
2
3
4
5
6
……
路程/千米
90
180




……
（1）先把上表补充完整，再根据表中的数据，在如图中描出时间和路程所对应的点，再把这些点按顺序连起来。
（2）时间和路程成 　正　比例，理由是 　路程÷时间＝速度（一定），即比值一定　。
（3）利用图像估计一下，这辆车2.5时行 　225　千米，行驶585千米要 　6.5　小时。

【思路点拨】（1）利用路程＝速度×时间，计算求出路程，再完成统计图即可；
（2）速度一定，路程与时间成正比例关系；
（3）利用速度×时间即可求出3.5小时所行的路程。
【规范解答】解：（1）90×3＝270（千米）
90×4＝360（千米）
90×5＝450（千米）
90×6＝540（千米）
如表：
时间/时
1
2
3
4
5
6
路程/km
90
180
270
360
450
540


（2）因为路程÷时间＝速度（一定），即比值一定
所以汽车行驶的路程与时间成 正比例。

（3）利用图像估计一下，这辆车2.5时行225千米，行驶585千米要6.5小时。
故答案为：正，路程÷时间＝速度（一定），即比值一定，225，6.5。
【考点评析】本题考查了折线统计图及路程、速度、时间之间的关系及正比例的意义的灵活应用。
考点3：反比例
【典例分析05】（2022•江北区）下面各题中，成反比例关系的是（　　）
A．路程一定，速度和时间 B．时间一定，路程和速度
C．单价一定，总价和数量 D．数量一定，总价和单价
【思路点拨】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。
【规范解答】解：选项A：速度×时间＝路程（一定），速度和时间成反比例关系。
选项B：路程÷速度＝时间（一定），路程和速度成正比例关系。
选项C：总价÷数量＝单价（一定），总价和数量成正比例关系。
选项D：总价÷单价＝数量（一定）），总价和数量成正比例关系。
故选：A。
【考点评析】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。
【典例分析06】（2022•郑州）举出一个生活中成反比例关系的例子 　从家去学校上学，行走的平均速度与到校所用的时间成反比例　。
【思路点拨】路程＝速度×时间，路程一定时，速度和时间成反比例。
【规范解答】解：从家去学校上学，家到学校的路程一定，行走的平均速度与到校所用的时间成反比例。
故答案为：从家去学校上学，行走的平均速度与到校所用的时间成反比例。（答案不唯一）
【考点评析】两种相关联的量，若其乘积一定，两种量成反比例关系。
【变式训练05】（2022•广安）物流公司要将一批货物运往加工厂，如果要一次把这批货物全部运出，车辆的载重量与所需车辆的数量如下表。
载重量
2.5
3
5
数量（辆）
48
40
24
（1）车辆的载重量和所需车辆的数量成 　反　比例。
（2）如果用载重量为4.8t的卡车来运，一共需要多少辆卡车？（用比例解）
【思路点拨】（1）2.5×48＝4×30＝5×24＝120，得出：车辆的载重量×所需车辆的数量＝总重量，则车辆的载重量与所需车辆的数量的乘积一定，所以车辆的载重量与所需车辆的数量成反比例。
（2）设一共需要x辆卡车。因为车辆的载重量×所需车辆的数量＝总重量（一定），所以4.8乘x的积等于2.5×48的积，据此即可解答。
【规范解答】解：（1）因为2.5×48＝120（吨），4×30＝120（吨），车辆的载重量与所需车辆的数量的乘积一定，所以车辆的载重量与所需车辆的数量成反比例。

（2）设一共需要x辆卡车。
4.8x＝2.5×48
4.8x÷4.8＝2.5×48÷4.8
x＝25
答：一共需要25辆。
故答案为：反。
【考点评析】本题考查了学生正反比例的判断情况，能运用统计表提供的信息解决问题．同时考查了学生理解分析问题的能力。
【变式训练06】（2022春•兴平市月考）用批纸装订样大小的练习本，每本的页数和可以装订的本数如下表。
每本的页数（页）
16
20
25
30
60
可以装订的本数（本）
225
180
　144　
　120　
60
（1）将如表补充完整。
（2）判断每本的页数和可以装订的本数是不是成反比例？说明理由。
（3）如果现在需要用这批纸装订80本一样大小的练习本，平均每本练习本有多少页？
【思路点拨】（1）根据每本的页数×装订的本数＝总页数，计算出结果填表即可。
（2）根据表中的数据可知：每本的页数随装订的本数的变化而变化，它们是两个相关联的量，总页数一定，即每本的页数和装订的本数的积是一定的，所以成反比例。
（3）用总页数除以装订的本数，可得平均每本页数。
【规范解答】解：（1）20×180＝3600（本）
3600÷25＝144（本）
3600÷30＝120（本）
填表如下：
每本的页数（页）
16
20
25
30
60
可以装订的本数（本）
225
180
144
120
60
（2）每本的页数和可以装订的本数成反比例。根据表中的数据可知：每本的页数随装订的本数的变化而变化，它们是两个相关联的量，总页数一定，即每本的页数和装订的本数的积是一定的，所以成反比例。
（3）3600÷80＝45（页）
答：平均每本练习本有45页。
故答案为：144，120。
【考点评析】解答本题的关键是根据题意，先判断哪两种相关联的量成何比例，即两个量的乘积一定则成反比例，两个量的比值一定则成正比例。
考点4：辨识成正比例的量与成反比例的量
【典例分析07】（2022•黄陵县）晶晶去文具店购买同一支圆珠笔，购买圆珠笔的数量和总价如表所示。
数量/支
0
1
2
3
4
5
总价/元
0
4
8
12


（1）把上表填写完整。
（2）购买圆珠笔的数量与总价成正比例吗？为什么？
（3）先根据上表描点，再顺次连接各点。

（4）晶晶想要买12支这种圆珠笔，一共需要花费 　48　元；如果晶晶有70元，她最多可以买 　17　支这种圆珠笔。

【思路点拨】（1）从表中可以看出，每支钢笔4元，据此填表。
（2）根据表中数据计算总价与数量的比，再根据比值的情况判断总价与数量是否成正比例。
（3）根据表中数据在坐标图中描点、连线。
（4）根据总价＝单价×数量及总价÷单价＝数量解答。
【规范解答】解：（1）
数量/支
0
1
2
3
4
5
总价/元
0
4
8
12
16
20
（2）4：1＝8：2＝12：3＝16：4＝20：5＝4
总价与数量的比值一定，所以购买圆珠笔的数量与总价成正比例。
（3）

（4）4×12＝48（元）
70÷4＝17（支）……2（元）
故答案为：48，17。

【考点评析】本题考查了成正比例关系的判定、正比例图像的画法、利用正比例解决问题，综合性较强，需熟练掌握。
【典例分析08】（2022•安顺）某物流公司将120t蔬菜运往上海，如果要一次把所有货物全部运出，每辆车的载质量与所需车辆数量如表。
每辆车的载质量/t
2.5
3
5
10
所需车辆数量/辆
48
40
24
12
（1）每辆车的载质量与所需车辆数量成 　反　比例关系。
（2）如果用15辆相同的车来运，每辆车的载质量是多少吨？
【思路点拨】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。
（2）用蔬菜的吨数除以车的辆数即可解答。
【规范解答】解：（1）因为2.5×48＝120（t）
3×40＝120（t）
5×24＝120（t）
……
每辆车的载质量×所需车辆数量＝120（t）（一定），乘积一定，所以每辆车的载质量与所需车辆数量成反比例；
（2）120÷15＝8（吨）
答：每辆车的载质量是8吨。
故答案为：反。
【考点评析】本题考查了判断两个相关联的量之间成什么比例的方法以及反比例的应用。
【变式训练07】（2022•张家川县模拟）某台机器的工作时间和耗电量如表。
时间/时
0
1
2
3
4
5
6
耗电量/千瓦时
0
30
60
90

150

（1）这台机器的工作时间和耗电量成正比例吗？为什么？
（2）先将表格补充完整，再将表中这台机器的工作时间和耗电量对应的点描在方格纸上，再顺次连接。
（3）如果这台机器的工作时间是2.5时，那么这台机器的耗电量是 　75　千瓦时。
【思路点拨】（1）根据画出的图象，折线在上升过程中成直线上升的就是机器的工作时间和耗电量成正比例的量，进而判定；
（2）先根据统计表中数据，先分别进行描点，再按图示进行依次连线即可；
（3）根据画出的图象估计，工作时间在2小时与3小时中间对应的耗电量，求出工作2.5小时耗电量。
【规范解答】解：（1）这台机器的工作时间和耗电量成正比例。
因为＝＝＝＝30，是定值，所以这台机器的工作时间和耗电量成正比例。
（2）表格如下：
时间/时
0
1
2
3
4
5
6
耗电量/千瓦时
0
30
60
90
120
150
180
画图：

（3）2.5×30＝75（千瓦时）
答：这台机器的耗电量是75千瓦时。
故答案为：75。
【考点评析】本题考查的根据统计表中数据画折线统计图的方法的运用。读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键。
【变式训练08】（2022•中原区）细心的妙妙在做核酸时发现核酸采样管的支架规格各不相同，通过上网查阅，发现有以下不同的规格。
每排管数/管
6
8
12
16
排数/排
8
6
4
3

（1）每排管数和排数成 　反　比例关系，请写出判断理由。
（2）如果每个架子的总管数不变，能设置10排管子吗？说说你的理由。
【思路点拨】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例；
（2）用管子的总数除以排数10，看计算结果是否有余数，如果有余数则不能设置10排管子，如果没有余数就设置10排管子。
【规范解答】解：（1）因为6×8＝8×6＝12×4＝16×3＝48（一定），乘积一定，所以排管数和排数成反比例关系；
（2）因为48÷10＝4（管）……8（管）
因为有余数8，所以不能设置10排管子。
故答案为：反。
【考点评析】熟练掌握判断两个相关联的量之间成什么比例的方法、有余数的除法的应用是解题的关键

基础练
一．选择题（共3小题）
1．（2022•通州区）下面关系式（　　）中，x与y不成比例。（x≠0，y≠0）
A．x+5＝y B． C． D．3x﹣2y＝0
【思路点拨】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。
【规范解答】解：A.x+5＝y，所以x﹣y＝5，差一定，所以x与y不成比例；
B.x＝y，所以x÷y＝（一定），商一定，所以x与y成正比例；
C.x÷＝6，即x×y＝6（一定），积一定，所以x与y成反比例；
D.3x﹣2y＝0，所以x÷y＝（一定），商一定，所以x与y成正比例。
故选：A。
【考点评析】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再作判断。
2．（2022•港北区）用四根木条制作一个长方形框架，双手将它的两个对角慢慢向两边拉动，在这个变化过程中，平行四边形的面积和高（　　）

A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．无法判断
【思路点拨】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。
【规范解答】解：平行四边形的面积÷高＝底（一定），商一定，所以平行四边形的面积和高成正比例关系。
故选：A。
【考点评析】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再作判断。
3．（2022春•鹿城区校级期中）下列x和y成正比例关系的是（　　）
A．y＝3+x B．x+y＝ C．xy+5＝12 D．x＝
【思路点拨】判断成正比例关系还是成反比例关系，如果两个变量的比值一定，这两个量成正比例关系，如果积一定，成反比例关系。y＝3+x，x+y＝，这两个式子差、和是定值，所以不成比例关系；x＝y，比值一定，成正比例关系；由xy+5＝12，可得：xy＝7，积一定，成反比例关系。
【规范解答】解：A.因为y＝3+x，所以y﹣x＝3（一定）x和y的差一定，x和y不成比例；
B.因为x+y＝（一定），x与y的和一定，x和y不成比例；
C.根据xy+5＝12，可得：xy＝7，x和y的积一定，所以x和y成反比例关系；
D.因为x＝y，所以x：y＝5：6，比值为，比值一定，x和y成正比例关系。
故选：D。
【考点评析】本题考查的是成正比例关系和成反比例关系，根据如果两个变量的比值一定，这两个量成正比例关系，如果积一定，成反比例关系。
二．填空题（共3小题）
4．（2023•郧阳区模拟）如果m＝n，那么，m：n＝　　m和n成　正　比例．
【思路点拨】如果m＝n，则等式两边除以n得m：n＝，因为m和n的比值为一个定值，结合正比例关系的定义可知：m和n成正比例。
【规范解答】解：因为m＝n，所以m：n＝，
又因为m和n的比值为一个定值，
所以m和n成正比例。
故答案为：；正。
【考点评析】考查等式的性质，辨识成正比例的量与成反比例的量。
5．（2022春•洋县月考）六年级同学排队做广播操，每行人数和排成的行数成 　反　比例；出油率一定，花生油的质量和花生的质量，成 　正　比例；3x＝y，x和y成 　正　比例；图上距离一定，实际距离和比例尺成 　反　比例。
【思路点拨】判定两种量是否成正、反比例，要看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定就成正比例；如果是乘积一定，就成反比例。
【规范解答】解：①每行人数×排成的行数＝总人数（一定），是乘积一定，每行人数和排成的行数成反比例；
②花生油的质量÷花生的质量＝出油率（一定），是比值一定，花生油的质量和花生的质量成正比例；
③3x＝y，x÷y＝（一定），是比值一定，x和y成正比例；
④比例尺×实际距离＝比例尺（一定），是乘积一定，实际距离和比例尺成反比例；
故答案为：反，正，正，反。
【考点评析】此题是辨识两种量是否成正、反比例，要看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定。
6．（2022•扬州）圆的周长与它的 　直径或半径　成正比例；如果6÷x＝y，那么x与y成 　反　比例。
【思路点拨】两种相关联的量，如果它们的比值一定，则这两种量成正比例关系；如果它们的乘积一定，则这两种量成反比例关系。据此解答。
【规范解答】解：圆的周长C＝πd＝2πr，则＝π、＝2π，圆的周长与直径的比值、圆的周长与半径的比值都一定，那么圆的周长与它的直径或半径成正比例；6÷x＝y，则xy＝6，x和y的乘积一定，那么x与y成反比例。
故答案为：直径或半径；反。
【考点评析】本题考查正比例和反比例的辨认。掌握正比例和反比例的意义是解题的关键。
三．判断题（共2小题）
7．（2023•黄州区模拟）加工一批零件，加工的时间和每小时加工的个数不成正比例．　√　（判断对错）
【思路点拨】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．
【规范解答】解：因为，每小时加工的个数×加工的时间＝这批零件的总数（一定）；
即乘积一定，所以加工的时间和每小时加工的个数成反比例，不成正比例；所以原题说法正确．
故答案为：√．
【考点评析】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．
8．（2022春•习水县月考）分数的分母一定，分子和分数值成正比例。 　√　（判断对错）
【思路点拨】分析数量关系，找出一定的量，然后看那两个变量是比值一定还是乘积一定，然后利用正反比例的意义判断是成什么比例即可。
【规范解答】解：因为分子÷分母＝分数值，所以，分子：分数值＝分母（一定），比值一定，所以分子与分数值成正比例。
所以原题说法正确。
故答案为：√。
【考点评析】此题考查用正反比例的意义辨识成正比例的量或成反比例的量。
四．操作题（共2小题）
9．（2021•渭城区）一台榨油机的生产情况如表所示。
时间/时
0
1
2
3
4
5
…
榨油量/吨
0
4
8
12
16
20
…
（1）榨油量与时间成正比例关系吗？说明理由。
（2）把表中时间和榨油量所对应的点描在如图所示的方格纸上，再顺次连接。

（3）这台榨油机5.5小时可以榨油 　22　吨；榨50吨油需要 　12.5　小时。
【思路点拨】（1）分别求出生产时间与产量的比，看比值是否相等。
（2）补充完整表格，并在图中描出生产时间和产量所对应的点，再顺次连接各点。
（3）先用4除以1，求出每小时的榨油量；再用每小时的榨油量乘5.5，即可求出5.5小时榨油吨数；最后用50吨除以每小时的榨油量，求出榨50吨油需要的时间。
【规范解答】解：（1）生产时间与产量成正比例关系。
因为4：1＝8：2＝12：3＝16：4＝20：5，所以时间与榨油量的比值一定，所以生产时间与产量成正比例关系。
（2）作图如下：

（3）4÷1＝4（吨）
4×5.5＝22（吨）
50÷4＝12.5（小时）
答：这台榨油机5.5时可以榨22吨油；榨50吨油需要12.5时。
故答案为：22，12.5。
【考点评析】本题考查了成正比例关系的判定、画正比例图像及利用正比例关系解决问题，需正确分析题意，准确画图。
10．（2019春•宝应县校级期末）甲、乙两台机器的工作时间和耗电量如表．
时间/时
1
2
3
4
5
6
甲机器耗电量/千瓦时
30
60
90
120
150
180
乙机器耗电量/千瓦时
30
65
100
130
160
200
根据表中的数据，在下图中描出每一组工作时间与耗电量所对应的点，再把它们按顺序连接起来．

（1）根据画出的图象，　甲　机器的工作时间和耗电量成正比例．
（2）根据画出的图象，工作2.5小时，甲机器的耗电量大约是　75　千瓦时，乙机器的耗电量大约是　82.5　千瓦时．
【思路点拨】先根据统计表中数据，先分别进行描点，再按图示进行依次连线即可；
（1）根据画出的图象，折线在上升过程中成直线上升的就是机器的工作时间和耗电量成正比例的量．进而判定；
（2）根据画出的图象估计，工作时间在2小时与3小时中间对应的耗电量，就是甲或乙工作2.5小时各自耗电量．
【规范解答】解：先根据统计表中数据，先分别进行描点，再按图示进行依次连线即可；如图：

（1）根据画出的图象，折线在上升过程中各点的连线成一条直线上升的就是机器的工作时间和耗电量成正比例的量，所以甲机器的工作时间和耗电量成正比例，
（2）根据画出的图象估计，工作时间在2小时与3小时中间对应的耗电量，就是甲或乙工作2.5小时各自耗电量；
所以：甲工作2.5小时耗电量：大约75千瓦时，乙工作2.5小时耗电量：大约82.5千瓦时，
故答案为：甲；75，82.5．
【考点评析】本题考查的根据统计表中数据画折线统计图的方法的运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
五．解答题（共5小题）
11．（2022•孟津县）一种彩笔每支售价5元。在图中描出购买2支、3支、4支、5支彩笔总价和数量对应的点，再顺次连接起来。购买彩笔的总价和数量成 　正　比例。

【思路点拨】根据总价＝单价×数量，分别求出购买2支、3支、4支、5支彩笔的总价，然后在图中描点并连线。再根据图像判断总价和数量成正比例还是成反比例。
【规范解答】解：5×2＝10（元）
5×3＝15（元）
5×4＝20（元）
5×5＝25（元）

由图像可知，购买彩笔的总价和数量成正比例。
故答案为：正。
【考点评析】两种相关联的量，若其比值一定，两种量成正比例关系；若其乘积一定，两种量成反比例关系。
12．（2022•金昌）这学期我们学习了有关正比例和反比例的内容，请你观察判断，如图是表示 　正　比例关系？并联系生活实际举例说明可能是什么样的两个量？填在表格第一列中，并在后面填出相应的数据。















【思路点拨】判断两个相关联的量之间成正比例，还是反比例，只要判断出这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。然后结合图中的数据，联系生活实际，图中可能表示总价和单价两个量，据此解答即可。（答案不唯一）
【规范解答】解：如图是表示正比例关系，联系生活实际，图中可能表示总价和单价两个量，据此解答如下：
总价（元）
10
20
30
40
50
60
数量（个）
2
4
6
8
10
12
（数量答案不唯一）
【考点评析】此题主要考查了正比例、反比例的意义，解答此题的关键是判断出：这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，然后结合图示分析解答即可。
13．（2022•蓝田县模拟）李叔叔摘了一些苹果，每箱装的个数和装的箱数如表。
每箱装的个数
12
20
30
40
50
装的箱数
200
120
80


（1）完成表格。
（2）每箱装的个数和装的箱数成反比例吗？为什么？
（3）如果装了75箱，平均每箱装了多少个？
【思路点拨】（1）先用每箱装的个数乘装的箱数等于苹果的总数，再用苹果的总数除以每箱装的个数，求出装的箱数；
（2）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例；
（3）用苹果的总个数除以装的箱数，即可求平均每箱装了多少个。
【规范解答】解：（1）
每箱装的个数
12
20
30
40
50
装的箱数
200
120
80
60
48
（2）每箱装的个数和装的箱数成反比例，因为12×200＝20×120＝30×80＝40×60＝50×48＝2400（一定），乘积一定，所以每箱装的个数和装的箱数成反比例。
（3）12×200÷75
＝2400÷75
＝32（个）
答：平均每箱装了32个。
【考点评析】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再作判断。
14．（2022•潼关县）某台榨油机的生产时间与产量的关系如表。
生产时间/时
0
1
2
3
4
5
6
7
产量/吨
0
4
8
12
16
20
24
28
（1）先根据如表描点，再顺次连接各点。
（2）生产时间与产量成 　正　（填“正”或“反”）比例关系。
（3）这台榨油机榨70吨油需要 　17.5　时。

【思路点拨】（1）根据表格中的数据描点、连线即可；
（2）正比例图像是过原点的直线，反比例是一条平滑的曲线，根据图像判断；
（3）由（2）知，生产时间与产量成正比例关系，设这台榨油机榨70吨油需要x小时，列出正比例求解即可。
【规范解答】解：（1）

（2）由于图像是过原点的直线，所以生产时间与产量成正比例关系；
（3）设这台榨油机榨70吨油需要x小时。
70：x＝4：1
4x＝70
x＝17.5
答：这台榨油机榨70吨油需要17.5小时。
故答案为：正，17.5。
【考点评析】熟练掌握描点连线的方法画图、根据图像判断正、反比例的方法以及应用比例解题的方法是解题的关键。
15．（2022•西安）新冠肺炎疫情期间，口罩需求量大幅度上升。某工厂接到任务紧急生产一批口罩，下面是该工厂口罩的生产数量与所需时间的关系。
时间/时
0
1
2
3
4
5
……
生产数量/只
0
300
600
900
1200
1500
……
（1）判断该工厂口罩的生产数量与所需时间是不是成正比例，并说明理由。
（2）根据表中数据，在下图中描出该工厂口罩的生产数量与所需时间对应的点，再把这些点依次连接起来。

（3）生产750只口罩，需要 　2.5　时；7.5时可以生产 　2250　只口罩。
【思路点拨】（1）求出生产数量与所需时间的比，判断生产数量与所需时间成不成正比例。
（2）根据表中数据，在图中描点、连线。
（3）根据每小时的生产数量解答即可。
【规范解答】解：（1）300：1＝600：2＝900：3＝1200：4＝1500：5＝300
生产数量与所需时间的比值一定，所以生产数量与所需时间成正比例。
（2）

（3）750÷300＝2.5（时）
300×7.5＝2250（只）
答：生产750只口罩，需要2.5时；7.5时可以生产2250只口罩。
故答案为：2.5，2250。
【考点评析】本题考查了正比例关系的判定、正比例的图像的画法、利用正比例解决问题，需熟练掌握。

提高练
一．选择题（共4小题）
1．（2022•大东区）三角形的面积一定，三角形的底和高（　　）
A．成正比例 B．成反比例
C．不成比例 D．无法确定是否成比例
【思路点拨】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。
【规范解答】解：三角形的底×高＝面积×2（一定），
是对应的乘积一定，所以底和高成反比例；
故选：B。
【考点评析】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。
2．（2022•碌曲县）已知x＝，则x和y（　　）
A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例
【思路点拨】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。
【规范解答】解：因为x＝
所以x÷y＝（比值一定），x和y成正比例。
故选：A。
【考点评析】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。
3．（2022春•济南期中）下面各种关系中，成反比例关系的是（　　）
A．平行四边形的面积一定，它的底与高
B．长方形的周长一定，它的长与宽
C．《当代小学生》的单价一定，订阅的总价与数量
D．商场每天的营业时间一定，每天接待顾客的数量与营业额
【思路点拨】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。
【规范解答】解：A.平行四边形的面积＝底×高，底和高的积一定，成反比例；
B.长方形的周长＝（长+宽）×2，周长一定，长和宽不成比例；
C.总价÷数量＝单价（一定），即比值一定，总价和数量成反比例；
D.营业额÷顾客的数量＝每个顾客的消费额，和营业时间没有关系，每天接待顾客的数量与营业额不成比例。
故选：A。
【考点评析】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。
4．（2022春•东莞市期中）圆柱的高一定，它的体积与（　　）成正比例关系。
A．底面积 B．侧面积 C．底面周长 D．π
【思路点拨】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。
【规范解答】解：因为圆柱的体积÷底面积＝高（一定），比值一定，所以它的体积与底面积成正比例关系。
故选：A。
【考点评析】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。
二．填空题（共3小题）
5．（2022•郏县）若（x，y均不为0），则x与y的最简整数比是 　6：5　，x和y成 　正　比例。
【思路点拨】将等积式化成比例式，求出x与y的比，再化简成最简整数比，最后根据比值判断x和y成正比例还是成反比例。
【规范解答】解：
x：y＝：
＝6：5
＝
x和y的比值一定，x和y成正比例。
故答案为：6：5，正。
【考点评析】本题考查了求两个数的比、化简比、求比值、辨识两种相关联的量成正比例还是成反比例，综合性较强，需熟练掌握。
6．（2022•无棣县）下面表格中，如果a和b成反比例，那么空格中应该填 　0.25　；如果a和b成正比例，那么空格中应该填 　0.64　。
a
5
8
b
0.4

【思路点拨】两个相关联的量，若两个量成正比例关系，则其比值一定；若两个量成反比例关系，则其乘积一定。
【规范解答】解：若a和b成反比例，则：
8b＝5×0.4
8b＝2
8b÷8＝2÷8
b＝0.25
若a和b成正比例，则：
5：0.4＝8：b
5b＝0.4×8
5b＝3.2
5b÷5＝3.2÷5
b＝0.64
故答案为：0.25，0.64。
【考点评析】解决本题的关键是根据成哪种比例关系列出比例式，再根据等式的性质解比例。
7．（2022春•乳源县期中）若ab＝，则a与b成 　反　比例；若x＝y，则x与y成 　正　比例。
【思路点拨】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。
【规范解答】解：因为ab＝（乘积一定），a与b成反比例关系；
因为x＝y，x÷y＝（比值一定），a与b成正比例关系。
故答案为：反；正。
【考点评析】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。
三．应用题（共2小题）
8．（2022•富县）富县的“睁眼辣子”，开胃、下饭，是餐桌上必备的饮食调味品。某食品公司将“睁眼辣子”包装成小袋售卖，购买数量和总价的关系如表。
数量/袋
1
2
3
4
5
……
总价/元
8
16
24
32
40
……
（1）表中的总价和数量成正比例关系吗？为什么？
（2）68元够买几袋“睁眼辣子”？
【思路点拨】（1）观察表格，发现表中有总价和数量两种相关联的量，总价随着数量的变化而变化，且总价与相应数量的比值都是一定的，实际就是“睁眼辣子”的单价。
（2）根据总价÷单价＝数量即可解答。
【规范解答】解：（1）8÷1＝8（元）
16÷2＝8（元）
24÷3＝8（元）
32÷4＝8（元）
40÷5＝8（元）
答：总价与数量成正比例关系，因为比值都是8元。
（2）68÷8＝8（袋）......4（元）
答：68元够买8袋“睁眼辣子”，还剩下4元。
【考点评析】此题主要考查正比例的意义以及总价、数量和单价之间的关系，正比例的意义是：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系是正比例关系。
9．（2019春•卢龙县期末）右边的图象表示汽车在公路上行驶的路程与耗油量的关系．
①请你用学过的数学知识描述这辆汽车行驶的路程和耗油量的关系，并讲明理由．
②根据图象，这辆汽车行驶75km耗6升．计算这辆汽车行驶180km耗油多少升？

【思路点拨】①表中有两种相关联的量，行驶的路程和耗油量，耗油量随着行驶的路程变化而变化，且行驶路程和耗油量的比值是一定的，50：4＝100：8＝150：12…，符合正比例关系式x：y＝k（一定），所以汽车行驶路程与耗油量是正比例关系．
②因为行驶的路程和耗油量成正比例，设这辆汽车行驶180km耗油x升，据此列比例解答．
【规范解答】解：①汽车行驶路程与耗油量是正比例关系；
因为50：4＝100：8＝150：12＝…＝12.5（一定），
汽车行驶路程与耗油量的比值一定，所以汽车行驶路程与耗油量是正比例关系．
②设这辆汽车行驶180km耗油x升，
＝
75x＝6×180
x＝
x＝14.4．
答：辆汽车行驶180km耗油14.4升．
【考点评析】此题主要考查从折线统计图中获得信息的能力，以及正比例的意义的实际应用．
四．操作题（共3小题）
10．（2022•黄陵县）晶晶去文具店购买同一支圆珠笔，购买圆珠笔的数量和总价如表所示。
数量/支
0
1
2
3
4
5
总价/元
0
4
8
12


（1）把上表填写完整。
（2）购买圆珠笔的数量与总价成正比例吗？为什么？
（3）先根据上表描点，再顺次连接各点。

（4）晶晶想要买12支这种圆珠笔，一共需要花费 　48　元；如果晶晶有70元，她最多可以买 　17　支这种圆珠笔。

【思路点拨】（1）从表中可以看出，每支钢笔4元，据此填表。
（2）根据表中数据计算总价与数量的比，再根据比值的情况判断总价与数量是否成正比例。
（3）根据表中数据在坐标图中描点、连线。
（4）根据总价＝单价×数量及总价÷单价＝数量解答。
【规范解答】解：（1）
数量/支
0
1
2
3
4
5
总价/元
0
4
8
12
16
20
（2）4：1＝8：2＝12：3＝16：4＝20：5＝4
总价与数量的比值一定，所以购买圆珠笔的数量与总价成正比例。
（3）

（4）4×12＝48（元）
70÷4＝17（支）……2（元）
故答案为：48，17。

【考点评析】本题考查了成正比例关系的判定、正比例图像的画法、利用正比例解决问题，综合性较强，需熟练掌握。
11．（2019•保定模拟）购买一种丝绸面料，购买的长度与应付的钱数如下．
（1）把下表填写完整．
长度/米
1
2
3
4
5
6
…
总价钱/元
40
80
　120　
　160　
　200　
　240　
…
（2）在图中描点连线表示上表中的数量关系．
（3）观察图象，180元可以购买多少米丝绸？

【思路点拨】（1）因为每米布料的价钱相等，所以根据表格中的数据和等量关系“单价×数量＝总价”作答即可；
（2）线将表格中的数据所表示的点在图中描出来，然后用线连接起来即可；
（3）观察图中直线的走向作答即可．
【规范解答】解：（1）
长度/米
1
2
3
4
5
6
…
总价钱/元
40
80
120
160
200
240
…
（2）解：如图所示：

（3）在上图中画线可知，180元可以购买4.5米丝绸．
故答案为：120；160；200；240．
【考点评析】本题考查了正比例应用题，单价、数量、总价的关系及应用．
12．（2016春•郁南县校级月考）如图图象表示长颈鹿的奔跑情况，请回答下面问题：
（1）完成表：
时间/分
5
10
15
20
25
30
路程/千米






（2）不计算，根据图象估计一下，长颈鹿跑10km，大约要　12.5　分钟．
（3）长颈鹿奔跑的路程和时间是否成比例？成什么比例？　正比例　．

【思路点拨】（1）根据图象的数据填出表中的数据；
（2）长颈鹿跑10km，大约要12.5分钟
（3）通过计算，发现长颈鹿跑的速度是一定的，4÷5＝8÷10＝12÷15＝0.8千米，所以行驶的路程和时间成正比例．
【规范解答】解：（1）
时间/分
5
10
15
20
25
30
路程/千米
4
8
12
16
20
24
（2）不计算，根据图象估计一下，长颈鹿跑10km，大约要12.5分钟．
（3长颈鹿奔跑的路程和时间是成比例；成正比例．
故答案为：12.5，正，
【考点评析】本题考查根据数据会简单统计图的画法，还考查了判断两个量能否成正比例关系及数值的估计．
五．解答题（共3小题）
13．（2022春•郓城县期中）新冠肺炎疫情期间，工作人员配制消毒水，这种消毒水是由药液和水按1：50配制而成的。
（1）请根据这个关系完成下表。
药液/g
0
1
2
3
4
5
6
水/g
0
50
100

　150　

　200　

　250　
　300　
（2）在如图中描出表示药液和相对应的水的质量的点，再把这些点按顺序连接起来。
（3）水的质量与所需药液的质量成 　正　比例关系。
（4）要配制975g的消毒水需要药液 　　g。
【思路点拨】（1）按照药液与水的比是1：50计算并填空。
（2）完成表格后，将每组数据看作一组数对，在图中描出相应的点并将这些点连接起来。
（3）由表格和图象可以发现，水的质量与药液的质量的比值一定，所以水的质量与所需药液的质量成正比例关系。
（4）求出药液和水的总份数，然后根据按比例分配的方法列式解答即可。
【规范解答】解：（1）
药液/g
0
1
2
3
4
5
6
水/g
0
50
100
150
200
250
300
（2）

（3）药液：水＝1：50＝（一定），所以药液的质量与所需水的质量成正比例关系。
（4）水与药液共：1+50＝51（份）
975×＝（g）
答：要配制975g的消毒水需要药液g。
故答案为：150，200，250，300；正；。
【考点评析】此题考查了正比例关系的描点、连线以及辨识成正比例的量和反比例的量和按比例分配的问题。
14．（2022•交口县）竹子是世界上生长最快的植物．据观察，竹子24小时可以生长约72厘米．如果每小时是匀速生长的，你能完成下面的表格吗？
时间（时）
1
2
3

15
高度（厘米）
3
6
9
36

【思路点拨】如果每小时是匀速生长的，时间和高度成正比例，从表中看出，1小时长3厘米，长36厘米，假设用x小时，则有：1：3＝x：36；1小时长3厘米，假设15小时长y厘米高，则有：1：3＝15：y．按照比例的基本性质，求解．
【规范解答】解：①长36厘米，设用x小时，则
1：3＝x：36，
3x＝36，
x＝36÷3
x＝12；
②设15小时长y厘米高，则
1：3＝15：y，
y＝15×3
y＝45；
时间（时）
1
2
3
12
15
高度（厘米）
3
6
9
36
45
故答案为：12，45．
【考点评析】此题考查了正比例和反比例的意义，细心观察，找出比例关系，列出比例式，利用比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，化成乘法算式，求出未知量．
15．（2016•黔江区模拟）食堂每天开饭人数与购买蔬菜的数量如表：
每天开饭人数/个
0
1
2
3
4
5
6
7
8
…
购买蔬菜的数量/千克
0
0.5
1
1.5
2




…
（1）根据已知的数量关系补充完整上面的表格．
（2）根据表中的数在下面图中描出对应的点，再把各个点连接起来．
（3）上面的两种量成比例吗？如果成，成什么比例，为什么？

【思路点拨】（1）先求出每个人需要蔬菜多少千克，再根据除法的意义解答；
（2）根据折线统计图的绘制方法，根据数量描出各对应点并连线即可；
（3）购买蔬菜的数量与开饭的人数的比值是一定，所以购买蔬菜的数量与人数成正比例关系．
【规范解答】解：（1）食堂每天开饭人数与购买蔬菜的数量如下表：
每天开饭人数/个
0
1
2
3
4
5
6
7
8
…
购买蔬菜的数量/千克
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
…
（2）作图如下：

（3）因为＝0.5（一定），所以购买蔬菜的数量和人数成正比例关系．
答：成比例；因为＝0.5（一定），所以购买蔬菜的数量和人数成正比例关系．
【考点评析】此题考查的目的是理解掌握统计表、折线统计图的特点及作用，并且能够根据统计表、统计图提供的信息，解决有关的实际问题．