高考 第四章 数列（公式、定理、结论图表）（新教材）

第四章 数列（公式、定理、结论图表）

一．数列的概念：

1.定义：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。

2．数列是按一定顺序排列的一列数，记作简记.

3．数列的第项与项数的关系若用一个公式给出，则这个公式叫做这个数列的通项公式。

4．数列的项为当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值，它的图像是一群孤立的点。

5、数列的递推公式：表示任一项与它的前一项（或前几项）间的关系的公式．

6、求数列中最大最小项的方法：最大    最小   考虑数列的单调性

二、等差数列

1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．

（2）符号表示：

2、通项公式：若等差数列的首项是，公差是，则．

通项公式的变形：①；②．

通项公式特点：

是数列成等差数列的充要条件。

3、等差中项

若三个数，，组成等差数列，则称为与的等差中项．若，则称为与的等差中项．即a、b、c成等差数列

4、等差数列的基本性质

（1）。

（2）

（3）

5、等差数列的前项和的公式

公式：①；②．

公式特征：，时是一个关于n且没有常数项的二次函数形式

等差数列的前项和的性质：

①若项数为，则，且，．

②若项数为，则，且，

（其中，）．

③，，成等差数列．

6、判断或证明一个数列是等差数列的方法：

①定义法：是等差数列

②中项法：是等差数列

③通项公式法：是等差数列

④前项和公式法：是等差数列

三、等比数列

1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．

（2）符号表示：

2、通项公式

（1）、若等比数列的首项是，公比是，则．

（2）、通项公式的变形：①；②．

3、等比中项：在与中插入一个数，使，，成等比数列，则称为与的等比中项．若，则称为与的等比中项．注意：与的等比中项可能是。

4、等比数列性质

若是等比数列，且（、、、），则；

若是等比数列，且（、、），则．

5、等比数列的前项和的公式：

（1）公式：．

（2）公式特点：

（3）等比数列的前项和的性质：①若项数为，则．

②．③，，成等比数列（）．

6、等比数列判定方法：

①定义法：为等比数列；

②中项法：为等比数列；

③通项公式法：为等比数列；

④前项和法：为等比数列。

四、等差数列与等比数列性质的比较

<解题方法与技巧>

1．解决等差、等比数列有关问题的几点注意

1等差数列、等比数列公式和性质的灵活应用；

2对于计算解答题注意基本量及方程思想的运用；

3注重问题的转化，由非等差数列、非等比数列构造出新的等差数列或等比数列，以便利用相关公式和性质解题；

4当题目中出现多个数列时，既要纵向考察单一数列的项与项之间的关系，又要横向考察各数列之间的内在联系.

2．数列求和问题一般转化为等差数列或等比数列的前n项和问题或已知公式的数列求和，不能转化的再根据数列通项公式的特点选择恰当的方法求解.,一般常见的求和方法有：

（一）公式法

①等差数列的前n项和公式：Sn＝＝na1＋d.

②等比数列的前n项和公式：

Sn＝

③数列前项和重要公式：

（1）      

（2）

（3） 

（4）  

（5）等差数列中，；

（6）等比数列中，.

一分组求和法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列.

三裂项相消法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和.

常见的裂项技巧

①等差型

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

（10）

②根式型

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

③指数型

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6），设，易得，

于是

（7）

④对数型

⑤幂型

（1）

（2）

（3）

⑥三角型

（1）

（2）

（3）

（4），

则

⑦常见放缩公式：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）；

（7）；

（8）

；

（9）

；

（10）．

（11）．

四错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.

(1)适用条件：若{an}是公差为d(d≠0)的等差数列，{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列，求数列{anbn}的前n项和Sn；

(2)基本步骤

(3)注意事项：①在写出Sn与qSn的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出Sn－qSn；

②作差后，等式右边有第一项、中间n－1项的和式、最后一项三部分组成；

③运算时，经常把b2＋b3＋…＋bn这n－1项和看成n项和，把－anbn＋1写成＋anbn＋1导致错误．　

五倒序相加法

如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法，等差数列前n项和公式的推导便使用了此法. 用倒序相加法解题的关键，就是要能够找出首项和末项之间的关系，因为有时这种关系比较隐蔽.

典例1：等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.

【解析】(1)设{an}的公比为q，

由已知得16＝2q3，解得q＝2，∴an＝2×2n－1＝2n.

(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，

则b3＝8，b5＝32.

设{bn}的公差为d，则有

解得

所以bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28.

所以数列{bn}的前n项和

Sn＝＝6n2－22n.

典例2：数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)．

(1)设bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列；

(2)设cn＝，求证：{cn}是等差数列．

【证明】　(1)an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2

＝4an＋1－4an.

＝＝＝＝2.

因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5.

所以b1＝a2－2a1＝3.

所以数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．

(2)由(1)知bn＝3·2n－1＝an＋1－2an，

所以－＝3.

所以cn＋1－cn＝3，且c1＝＝2，

所以数列{cn}是等差数列，公差为3，首项为2.

典例3：已知数列{an}是递增的等差数列，a2＝3，且a1，a2，a5成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝an＋2n，求数列{bn}的前n项和Sn；

(3)若cn＝，设数列{cn}的前n项和为Tn，求满足Tn>的n的最小值．

【解析】　(1)设等差数列{an}的公差为d(d>0)．

由得解得

∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.

(2)由(1)得：bn＝an＋2n＝2n－1＋2n，

则Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＋2＋22＋23＋…＋2n＝＋＝n2＋2n＋1－2，

∴Sn＝n2＋2n＋1－2.

(3)由(1)得：cn＝＝＝－，

∴Tn＝1－＋－＋…＋－＝.

由>得n>12.

又∵n∈N*，∴n的最小值为13.