2023届四川省泸县第一中学高考适应性考试数学（理）试题

泸县一中高2020级高考适应性考试

数学（理工类）参考答案

1．B  2．C   3．A  4．C  5．B  6．A   7．B  8．D  9．D  10．D  11．A   12．A

13．      14．60   15．     16．

17．解：（1）由，

得，且，所以，

所以

（2）由得：解得.

由余弦定理

，得到，

由正弦定理得：，即解得.

18．解：（1）证明：因为平面，平面，所以.

因为，，所以平面.

因为，，所以，

故平面.因为平面，所以平面平面.

（2）方法一：因为，，所以.

以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，

则，，，

所以，，，.

设是平面的法向量，则，即，

令，则，，所以，.

设是平面的法向量，则，即，

令，则，，所以，

所以.所以平面与平面的夹角的大小为.

方法二：如图，过作，垂足为，连接.

由（1）中的垂直关系及条件，可计算得

，，

所以.

所以.

所以为二面角的平面角.

，

.

.

所以.

在中，由余弦定理可得

.

所以，所以平面与平面的夹角的大小为.

19．解：（1）设考生小李在各测试点测试合格记为事件,且各个事件相互独立,由题意.若选择在测试点测试,则参加面试的概率为:;若选择在测试点测试,则参加面试的概率为:;若选择在测试点测试,则参加面试的概率为:;因为,所以小李选择在测试点测试参加面试的可能性最大.

（2）记小李在测试点测试合格记为事件,记小王在测试点测试合格记为事件,

则.且的所有可能取值为0,1,2,3,4

所以;

;

;

;

.所以,的分布列为:

.

20．解：（1）是面积为的正三角形，，解得：，

椭圆的方程为：.

（2）

设，则，

直线方程为：，即；

由对称性可知：点在轴上，则令，解得：，

设直线，

由得：，，

，，

又，，，，

为钝角，，解得：或，

即实数的取值范围为.

21．解：（1）函数定义域为，

在内有两个不同的极值点、，等价于在内有两个不同的零点、．

设，由，

当时，，在上单调递增，至多只有一个零点，不符题意；

当时，在上，单调递增；在上，单调递减，

∴当时，，函数有两个零点，则必有，

即，解得．易证，证明如下：

令，，

当时，，单调递减，当时，单调递增，

故，故，得证．

∴，又，

∴在和上各有一个零点、，此时：

故在定义域内有两个不同的极值点时，a的范围为；

（2）方法1：由(1)可知是的两个零点，不防设，

由且，得．

∵．

令，则，

记，，

则，令，．

又，则，即，

∴在上单调递增，故，即成立．

∴不等式成立．

方法2：欲证，由，，则只需证：．

不妨设，

则且，则，

∴，

令，则，记，，

由，即在上单调递增，故，即成立.故．

22．解：（1）设，

，则，

，即.

方程化为，将代入可得；

（2）可知，

Q到的距离，

，

当时，面积取得最小值2.

23．解：（1），

，则，

，仅当时等号成立，

，仅当时等号成立，

，仅当时等号成立，

，

，即，仅当时取等号，

故的最小值为.

（2），仅当时等号成立，

，仅当时等号成立，

，仅当时等号成立，

，

又，仅当时等号成立，

同理，仅当时等号成立，，仅当时等号成立，

，当且仅当时等号成立，

即.