数学（山东济南卷）2023年中考考前最后一卷（全解全析）

这是一份数学（山东济南卷）2023年中考考前最后一卷（全解全析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

2023年中考考前最后一卷数学（山东济南卷）
数学·全解全析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．65的倒数是（　　）
A．1 B．56 C．65 D．0
【答案】B
【分析】根据倒数的定义求解即可．
【详解】解：65的倒数是56．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2．国家卫健委通报：截至2021年6月19日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗101000万余剂次，建立免疫屏障，我们一起努力！将101000用科学记数法表示为（　　）
A．101×103 B．1.01×105 C．101×107 D．1.01×109
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：101000＝1.01×105，
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．如图是由4个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图是（　　）

A．B． C．D．
【答案】D
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】解：从左边看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形．
故选：D．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
4．下列图案是中心对称图形的是（　　）
A．B． C．D．
【答案】D
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念作答．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形，熟记定义是解答本题的关键．
5．如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若∠AOC＝130°，则∠BOD等于（　　）

A．30° B．45° C．50° D．60°
【答案】C
【分析】先利用∠AOC﹣∠COD计算出∠AOD，然后利用互余计算出∠BOD．
【详解】解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOD＝∠AOC﹣∠COD＝130°﹣90°＝40°，
∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝90°﹣40°＝50°．
故选：C．
【点睛】本题考查了余角：等角的补角相等．等角的余角相等．余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
6．某校开展“文明小卫士”活动，从学生会的2名男生和1名女生中随机选取两名进行督查，恰好选中两名男生的概率是（　　）
A．13 B．23 C．29 D．49
【答案】A
【分析】先画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出恰好选中两名男学生的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图为：

共有6个等可能的结果数，其中恰好选中两名男学生的结果数为2个，
恰好选中两名男学生的概率=26=13，
故选：A．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
7．如果a2﹣2a﹣1＝0，那么代数式(4a-a)⋅a2a+2的值是（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【答案】B
【分析】先化简所求的式子，再根据a2﹣2a﹣1＝0，可以得到2a﹣a2＝﹣1，然后代入化简后的式子即可．
【详解】解：(4a-a)⋅a2a+2
=4-a2a•a2a+2
=(2+a)(2-a)a•a2a+2
＝a（2﹣a）
＝2a﹣a2，
∵a2﹣2a﹣1＝0，
∴2a﹣a2＝﹣1，
∴原式＝﹣1，
故选：B．
【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
8．在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF）放在平面直角坐标系中，若AB与x轴垂直，顶点A的坐标为（2，﹣3），则顶点C的坐标为（　　）

A．（2﹣23，3） B．（0，1+23） C．（2-3，3） D．（2﹣23，2+3）
【答案】A
【分析】根据正六边形的性质以及坐标与图形的性质进行计算即可．
【详解】解：如图，连接BD交CF于点M，则点B（2，1），
在Rt△BCM中，BC＝4，∠BCM=12×120°＝60°，
∴CM=12BC＝2，BM=32BC＝23，
∴点C的横坐标为﹣（23-2）＝2﹣23，纵坐标为1+2＝3，
∴点C的坐标为（2﹣23，3），
故选：A．

【点睛】本题考查正多边形与圆，勾股定理，掌握正六边形的性质以及勾股定理是正确计算的前提，理解坐标与图形的性质是解决问题的关键．
9．如图，▱ABCD中，分别以点B，D为圆心，大于12BD的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F，连接BE、DF．若∠BAD＝120°，AE＝1，AB＝2，则线段BF的长是（　　）

A．7+1 B．3+2 C．3 D．7
【答案】D
【分析】过B点作BH⊥AE于H点，如图，先计算出∠BAH＝60°，根据含30度角的直角三角形三边的关系得到AH＝1，BH=3，再利用勾股定理计算出BE=7，接着由作法得MN垂直平分BD，所以EB＝ED，然后证明∠BEF＝∠BFE得到BF＝BE=7．
【详解】解：过B点作BH⊥AE于H点，如图，
∵∠BAD＝120°，
∴∠BAH＝60°，
在Rt△ABH中，∵AH=12AB＝1，
∴BH=3AH=3，
在Rt△BHE中，BE=BH2+EH2=(3)2+22=7，
由作法得MN垂直平分BD，
∴EB＝ED，
∴∠EBD＝∠EDB，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EDB＝∠FBD，
∴∠EBD＝∠FBD，
∴∠BEF＝∠BFE，
∴BF＝BE=7．
故选：D．

【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质．
10．在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为雅系点．已知二次函数y＝ax2﹣4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个雅系点（-52，-52），且当m≤x≤0时，函数y＝ax2﹣4x+c+14（a≠0）的最小值为﹣6，最大值为﹣2，则m的取值范围是（　　）
A．﹣1≤m≤0 B．-72＜m≤﹣2 C．﹣4≤m≤﹣2 D．-72≤m＜-94
【答案】C
【分析】根据雅系点的概念令ax2﹣4x+c＝x，即ax2﹣5x+c＝0，由题意，△＝（﹣5）2﹣4ac＝0，即4ac＝25，方程的根为52a=-52，从而求得a＝﹣1，c=-254，所以函数y＝ax2﹣4x+c+14=-x2﹣4x﹣6，根据函数解析式求得顶点坐标与纵坐标的交点坐标，根据y的取值，即可确定x的取值范围．
【详解】解：令ax2﹣4x+c＝x，即ax2﹣5x+c＝0，
由题意，△＝（﹣5）2﹣4ac＝0，即4ac＝25，
又方程的根为52a=-52，
解得a＝﹣1，c=-254，
故函数y＝ax2﹣4x+c+14=-x2﹣4x﹣6，
∵y＝﹣x2﹣4x﹣6＝﹣（x+2）2﹣2，
∴函数图象开口向下，顶点为（﹣2，﹣2），与y轴交点为（0，﹣6），由对称性，该函数图象也经过点（﹣4，﹣6）．
由于函数图象在对称轴x＝﹣2左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，且当0≤x≤m时，函数y＝﹣x2﹣4x﹣6的最小值为﹣6，最大值为﹣2，
∴﹣4≤m≤﹣2，
故选：C．

【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质以及根的判别式等知识，利用分类讨论以及数形结合得出是解题关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.请直接填写答案.）
11．因式分解：（a+b）2﹣9b2＝　（a﹣2b）（a+4b）　．
【答案】（a﹣2b）（a+4b）．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【详解】解：原式＝（a+b﹣3b）（a+b+3b）
＝（a﹣2b）（a+4b）．
故答案为：（a﹣2b）（a+4b）．
【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式分解因式是解题关键．
12．如图所示，在正六边形ABCDEF内，以AB为边作正五边形ABGHI，则∠CBG＝　12°　．

【答案】12°．
【分析】分别求出正六边形，正五边形的内角可得结论．
【详解】解：在正六边形ABCDEF内，正五边形ABGHI中，∠ABC＝120°，∠ABG＝108°，
∴∠CBG＝∠ABC﹣∠ABG＝120°﹣108°＝12°．
故答案为：12°．
【点睛】本题考查正多边形与圆，解题的关键是求出正多边形的内角，属于中考常考题型．
13．一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是 　29　．

【答案】29．
【分析】若将每个方格地砖的面积记为1，则图中地砖的总面积为9，其中阴影部分的面积为2，再根据概率公式求解可得．
【详解】解：若将每个方格地砖的面积记为1，则图中地砖的总面积为9，其中阴影部分的面积为2，
所以该小球停留在黑色区域的概率是29．
故答案为：29．
【点睛】本题考查的是几何概率，用到的知识点为：几何概率＝相应的面积与总面积之比．
14．甲、乙两车从A地出发，沿同一路线驶向B地．甲车先出发，匀速驶向B地，40min后乙车出发，匀速行驶一段时间后在途中的货站装货耗时半小时，由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了50km/h，结果与甲车同时到达B地．甲、乙两车距A地的路程y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示，当甲、乙两车相距40km时，甲车的行驶时间为 　23或103或173　h．

【答案】23或103或173．
【分析】根据图象数据求出甲、乙的速度，再求出OD段，EF段，CF段对应的函数解析式，然后根据甲、乙两车相距40km列出方程求出x即可．
【详解】解：由图可知，甲从A到B所用时间为7+4060=723（小时），
∴甲车的速度为460723=60（km/h），
乙出发时甲所走的路程为：60×23=40（km），
∴甲出发23h时，甲、乙两车相距40km；
∴线段CF对应的函数表达式为：y＝60x+40，
设乙车刚出发时的速度为a千米/时，则装满货后的速度为（a﹣50）千米/时，
根据题意可知：4a+（7﹣4.5）（a﹣50）＝460，
解得：a＝90，
∴OD段对应的函数解析式为y＝90x，
根据题意得：90x﹣（60x+40）＝40，
解得x=83，
∴83+23=103，
∴甲出发103h时，甲、乙两车相距40km；
∵D坐标为（4，360），
∴E坐标为（4.5，360），
设EF对应的函数解析式为y＝kx+b，
则4.5k+b=3607k+b=460，
解得k=40b=180，
∴EF对应的函数解析式为y＝40x+180，
由题意得：40x+180﹣（60x+40）＝40，
解得x＝5，
此时5+23=173（h），
综上所述：当甲、乙两车相距40km时，甲车的行驶时间为23h或103h或173h．
故答案为：23或103或173．
【点睛】本题考查了一次函数的应用：学会从函数图象中获取信息，注意自变量取值范围的变化是解题关键．
15．如图，已知扇形AOB，点D在AB上，将扇形沿直线CD折叠，点A恰好落在点O，作DE⊥DA交OB于点E，若∠AOB＝150°，OA＝4，则图中阴影部分的面积是 　833　．

【答案】833．
【分析】连接OD，根据折叠的性质得到AD＝OD，根据等边三角形的性质得到∠AOD＝∠ADO＝60°，求得∠DOE＝90°，得到∠ODE＝30°，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：连接OD，
∵将扇形沿直线CD折叠，点A恰好落在点O，
∴AD＝OD，
∵AO＝OD，
∴OA＝OD＝AD，
∴∠AOD＝∠ADO＝60°，
∵∠AOB＝150°，
∴∠DOE＝90°，
∵DE⊥DA，
∴∠ADE＝90°，
∴∠ODE＝30°，
∵AO＝OD＝4，
∴OE=33OD=433，
∴图中阴影部分的面积＝S△ODE=12×433×4=833，
故答案为：833．

【点睛】本题考查的是扇形面积计算，掌握扇形面积公式、等边三角形的性质、折叠的性质是解题的关键．
16．正方形ABCD中，AB＝2，E为AB的中点，将△ADE沿DE折叠得到△FDE，FH⊥BC，垂足为H，则FH＝　25　．

【答案】25．
【分析】先证明△EMF∽△FND，列比例式可得比值为12，设FH＝x，根据勾股定理列方程可得结论．
【详解】解：如图，过点F作MN∥BC，交AB于M，交CD于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∵MN∥BC，
∴∠AMF＝∠B＝90°，∠DNF＝∠C＝90°，
∴∠EMF＝∠DNF＝90°，
由折叠得：AD＝DF＝2，AE＝EF，∠A＝∠EFD＝90°，
∴∠EFM+∠DFN＝∠DFN+∠NDF＝90°，
∴∠EFM＝∠NDF，
∴△EMF∽△FND，
∴EFDF=FMDN=EMFN，
∵正方形ABCD中，AB＝2，E为AB的中点，

∴AE＝BE＝EF＝1，
设FH＝BM＝x，则EM＝1﹣x，FN＝2EM＝2（1﹣x）＝2﹣2x，
∴FM＝2﹣FN＝2﹣（2﹣2x）＝2x，
在Rt△EMF中，由勾股定理得：FM2＝EM2+FM2，
∴12＝（1﹣x）2+（2x）2，
解得：x1＝0，x2=25，
∴FH=25．
故答案为：25．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理等知识，本题综合性较强，证明三角形相似是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（6分）计算：|﹣2|+3tan60°﹣（12）﹣1﹣（+2023）0．
【答案】2．
【分析】利用绝对值的定义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂计算．
【详解】解：|﹣2|+3tan60°﹣（12）﹣1﹣（+2023）0
＝2+3×3-2﹣1
＝2+3﹣2﹣1
＝2．
【点睛】本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握绝对值的定义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂．
18．（6分）解不等式组：x+1≤2x+33x-42＜x，并求出它的所有整数解的和．
【答案】3．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，继而可得答案．
【详解】解：x+1≤2x+3①3x-42＜x②，
解不等式①，得：x≥﹣2，
解不等式②，得：x＜4，
则不等式组的解集为﹣2≤x＜4，
所以不等式组所有整数解的和为﹣2﹣1+0+1+2+3＝3．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．（6分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F．求证：AE＝DF．

【答案】证明见解答．
【分析】根据矩形的性质得到OA＝OC＝OB＝OD，再根据AE⊥BD，DF⊥AC得出∠AEO＝∠DFO，从而证明出△AOE≌△DOF即可．
【详解】证明：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∵AE⊥BD，DF⊥AC，
∴∠AEO＝∠DFO＝90°，
在△AOE和△DOF中，
∠AEO=∠DFO∠AOE=∠DOFAO=DO，
∴△AOE≌△DOF（AAS），
∴AE＝DF．
【点睛】本题主要考查矩形的应用和三角形全等，关键是找到全等三角形．
20．（8分）读书是文化建设的基础，为了充分发挥读书启智润心的正能量，十四届政协委员林丽颍建议设立了“国家读书日”，让读书成为一种有品质的生活方式，成为新时代的新风尚．某社区设立了家庭成年人阅读问卷调查，社区管理人员随机抽查了30户家庭进行问卷调查，将调查结果分为4个等级：A、B、C、D．整理如下：
下面是家庭成年人阅读时间在1≤x＜2小时内的数据：1，1.2，1.3，1.5，1.2，1，1.5，1.4，1.7，1.2，1.2，1，1.8，1.6，1.5．
家庭成年人阅读时间统计表：
等级
阅读时间（小时）
频数
A
0≤x＜1
12
B
1≤x＜1.5
a
C
1.5≤x＜2
b
D
x≥2
3
合计

30
请结合以上信息回答下列问题：
（1）统计表中的a＝　9　，b＝　6　；
（2）B组数据的众数是 　1.2　，中位数是 　1.2　；
（3）扇形统计图中C组对应扇形的圆心角为 　72　度，m＝　30　；
（4）该社区宣传管理人员有1男2女，要从中随机选两名人员参加读书日宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“1男1女”的概率．

【答案】（1）9；6．
（2）1.2；1.2．
（3）72；30．
（4）23．
【分析】（1）由家庭成年人阅读时间在1≤x＜2小时内的数据可得答案．
（2）根据众数和中位数的定义可得答案．
（3）用360°乘以C等级的人数所占的百分比，即可求出C组对应扇形的圆心角的度数；求出B等级的人数所占的百分比即可得出答案．
（4）画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好选中“1男1女”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：（1）由家庭成年人阅读时间在1≤x＜2小时内的数据可知，a＝9，b＝6．
故答案为：9；6．
（2）∵1≤x＜1.5小时内的数据中，1.2出现的次数最多，
∴B组数据的众数是1.2．
将1≤x＜1.5小时内的数据按从小到大排列，排在第5个的是1.2，
∴B组数据的中位数是1.2．
故答案为：1.2；1.2．
（3）扇形统计图中C组对应扇形的圆心角为360°×630=72°．
m%=930×100%＝30%，
∴m＝30．
故答案为：72；30．
（4）设1名男生记为A，2名女生记为B，C，
画树状图如下：

共有6种等可能的结果，其中恰好选中“1男1女”的结果有：AB，AC，BA，CA，共4种，
∴恰好选中“1男1女”的概率为46=23．
【点睛】本题考查列表法与树状图法、频数（率）分布表、扇形统计图、众数、中位数，能够理解频数（率）分布表和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及众数和中位数的定义是解答本题的关键．
21．（8分）如图1是某小车侧面示意图，图2是该车后备箱开起侧面示意图，具体数据如图所示（单位：cm）且AC＝BD，AF∥BE，sin∠BAF＝0.8，箱盖开起过程中，点A，C，F不随箱盖转动，点B，D，E绕点A沿逆时针方向转动相同角度，分别到点B'，D'，E'的位置，气簧活塞杆CD随之伸长CD'．已知直线BE⊥B'E'，CD'＝2CD．

（1）求AB的长度．
（2）求CD'的长度．

【答案】（1）AB＝207cm；
（2）CD'＝40cm．
【分析】（1）过A作AP⊥EB延长线交于点P，由BE旋转一定角度后得到B'E'可知，旋转角度为90°，过B'作BH⊥AP，交AP于点H，分别表示出B'H、PB的长，即可得出AB的长，
（2）设CD＝xcm，则AC＝BD=207-x2cm，利用勾股定理可得AC2+AD'2＝CD'2，代入解方程即可．
【详解】解：（1）如图，过点A作AP⊥BE于P，过点B′作B′H⊥AP于H，
则∠APB＝∠APE′＝∠AHB′＝∠B′HP＝90°，

∵AF∥BE，
∴∠ABP＝∠BAF，
∴sin∠ABP＝sin∠BAF＝0.8=45，
在Rt△ABP中，APAB=sin∠ABP=45，
设AP＝4k，则AB＝5k，
∴BP=AB2-AP2=(5k)2-(4k)2=3k，
∴cos∠ABP=BPAB=3k5k=35，
∴BP=35AB，
由BE旋转一定角度后得到B'E'可知：旋转角度为90°，即∠BAB′＝90°，AB′＝AB，B′E′＝BE，
∵∠PAB+∠ABP＝90°，∠D'AP+∠PAB＝90°，
∴∠D'AP＝∠ABP，
∴B'H＝AB'sin∠D'AP＝ABsin∠ABP=45AB，
∵BE⊥B'E'，
∴∠B′E′P＝∠B′HP＝∠APE′＝90°，
∴四边形B′E′PH是矩形，
∴PE′＝B′H=45AB，
∴BE′＝BP+PE′=35AB+45AB=75AB，
∵BE′＝287，
∴75AB＝287，
∴AB＝207cm；
（2）设CD＝xcm，则AC＝BD=207-x2cm，AD'＝AD＝x+207-x2=207+x2（cm），CD'＝2CD＝2x，
∵∠D'AC＝90°，
∴AC2+AD'2＝CD'2，
∴（207-x2）2+（207+x2）2＝（2x）2，
解得x＝20，或x＝﹣20（舍），
∴CD'＝2x＝40cm．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，已知三角函数表示边长，旋转的性质，以及勾股定理等知识，利用旋转的性质得出旋转角是90°是解题的关键．
22．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，过点C的直线与⊙O相切，与BA延长线交于点D，点F为CB上一点，且CF=CA，连接BF并延长交射线DC于点E．
（1）求证：DE⊥BE；
（2）若DC=53EC，DA＝2，求⊙O的半径和EF的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）⊙O的半径为3，EF=65．
【分析】（1）连接OC，利用圆周角定理，同圆的半径相等，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质解答即可；
（2）设DC＝5a，则EC＝3a，DE＝8a，设⊙O的半径为r，则AB＝2r，OD＝DA+OA＝2+r，DB＝2+2r，利用相似三角形的判定与性质列出比例式求得圆的半径和线段BE的长；连接AF，利用相似三角形的判定与性质证得△BAF∽△BDE，列出比例式求得BF，则EF＝BE﹣BF．
【详解】（1）证明：连接OC，如图，
∵CF=CA，
∴∠ABC＝∠EBC．
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠ABC，
∴∠OCB＝∠EBC，
∴OC∥BE．
∵ED为O的切线，
∴OC⊥DE，
∴DE⊥BE；
（2）解：∵DC=53EC，
∴设DC＝5a，则EC＝3a，
∴DE＝8a．
设⊙O的半径为r，则AB＝2r，OD＝DA+OA＝2+r，DB＝2+2r．
∵OC∥BE，
∴△DCO∽△DEB，
∴DCDE=DODB，
∴5a8a=2+r2+2r，
∴r＝3．
∴⊙O的半径为3；
∴AB＝6，DB＝8．
∵△DCO∽△DEB．
∴OCBE=DODB=58，
∴BE=245．
连接AF，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∴AF⊥BE．
∵DE⊥BE，
∴AF∥DE，
∴△BAF∽△BDE，
∴BABD=BFBE，
∴BF245=68，
∴BF=185，
∴EF＝BE﹣BF=65．

【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径和线段AF是解决此类问题常添加的辅助线．
23．（10分）某商店准备从机械厂购进甲、乙两种零件进行销售，若一个甲种零件的进价比一个乙种零件的进价多50元，用4000元购进甲种零件的数量是用1500元购进乙种零件的数量的2倍．
（1）求每个甲种零件，每个乙种零件的进价分别为多少元？
（2）这个商店甲种零件每件售价为260元，乙种零件每件售价为190元，商店根据市场需求，决定向该厂购进一批零件，且购进乙种零件的数量比购进甲种零件的数量的2倍还多4个，若本次购进的两种零件全部售出后，总获利大于2400元．求该商店本次购进甲种零件至少是多少个？
【答案】（1）甲200元，乙150元；
（2）17个．
【分析】（1）设每个乙种零件的进价为x元，则每个甲种零件的进价为（x+50）元，根据数量＝总价÷单价结合用4000元购进甲种零件的数量是用1500元购进乙种零件的数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设该商店本次购进甲种零件m个，则购进乙种零件（2m+4）个，根据总利润＝单个利润×销售数量，结合总获利大于2400元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论．
【详解】解：（1）设每个乙种零件的进价为x元，则每个甲种零件的进价为（x+50）元，
依题意，得：4000x+50=2×1500x，
解得：x＝150（元），
经检验，x＝150是分式方程的解，且符合题意，
∴x+50＝200（元）．
答：每个甲种零件的进价为200元，每个乙种零件的进价为150元．

（2）设该商店本次购进甲种零件m个，则购进乙种零件（2m+4）个，
依题意，得：（260﹣200）m+（190﹣150）（2m+4）＞2400，
解得：m＞16，
∵m为正整数，
∴m的最小值为17．
答：该商店本次购进甲种零件至少是17个．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24．（10分）如图，直线OC：y＝3x的图象与反比例函数：y=kx(x＞0)的图象交于点C（2，c），点A在x轴的正半轴上，四边形OABC是平行四边形，y=kx(x＞0)的图象经过线段AB的中点M．
（1）求c的值与k的值；
（2）求平行四边形OABC的面积；
（3）若点P是反比例函数y=kx(x＞0)图象上的一个动点，点Q是平面内的任意一点，试判断是否存在这样的点P，使得四边形AMPQ是矩形．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）c＝6，k＝12；
（2）18；
（3）存在，点P的坐标为：（9，43）．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）设点A（m，0），则点B（m+2，6），得到点M的坐标为：（m+1，3），求出m＝3，即可求解；
（3）证明∠GAM＝∠HMP，得到tan∠GAM＝tan∠HMP，即GMAG=PHMH，即可求解．
【详解】解：（1）当x＝2时，y＝3x＝6＝c，
即点C（2，6），
将点C的坐标代入反比例函数表达式得：k＝2×6＝12，
即c＝6，k＝12；

（2）由（1）知，反比例函数的表达式为：y=12x，
设点A（m，0），则点B（m+2，6），
则点M的坐标为：（m+1，3），
将点M的坐标代入反比例函数表达式得：3（m+1）＝12，
解得：m＝3，
即点M（4，3），点B（5，6），
则四边形OABC的面积＝OA×yB＝3×6＝18；

（3）存在，理由：
设点P（s，t），则st＝12①，
过点M作GH∥x轴，交故点A和y轴的平行线于点G，交过点P和y轴的平行线于点H，

则△AGM、△MPH为直角三角形，
∵AMPQ是矩形，则∠AMP＝90°，
∵∠GMA+∠HMP＝90°，∠GMA+∠GAM＝90°，
∴∠GAM＝∠HMP，
∴tan∠GAM＝tan∠HMP，即GMAG=PHMH
∵GM＝4﹣3＝1，AG＝3，MH＝s﹣4，PH＝3﹣t，
则13=3-ts-4②，
联立①②并解得：s=4或9t=3或43，
即点P的坐标为：（4，3）（舍去）或（9，43）．
【点睛】本题考查了反比例函数综合运用，涉及到解直角三角形、平行四边形和矩形的性质、面积的计算等，分类求解和数形结合是本题解题的关键．
25．（12分）在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，点D在BC上，且满足BD=13BC，将线段DB绕点D顺时针旋转至DE，连接CE，BE，以CE为斜边在其右侧作直角三角形CEF，且∠CFE＝90°，∠ECF＝60°，连接AF．
（1）如图1，当点E落在BC上时，直接写出线段BE与线段AF的数量关系；
（2）如图2，在线段DB旋转过程中，（1）中线段BE与线段AF的数量关系是否仍然成立？请利用图2说明理由；
（3）如图3，连接DF，若AC＝3，求线段DF长度的最小值．

【答案】（1）BE＝2AF；
（2）结论仍然成立，BE＝2AF；
（3）23-1．
【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理和含30°角的直角三角形的性质可得结论；
（2）利用两边成比例且夹角相等证明△CBE∽△CAF，得AFBE=CFCE=12；
（3）在CA上截取CG，使CG=23CA，连接GF，同理证明△DCE∽△GCF，可得FG＝1，则点F在以G为圆心，以1为半径的圆上运动，当D，G，F三点共线，且点F在DG之间时，DF取得最小值，最小值为DG﹣1，从而解决问题．
【详解】解：（1）BE＝2AF，理由如下：
∵∠BAC＝∠EFC，
∴EF∥AB，
∴BECE=AFCF，
∴BEAF=CECF，
∵∠ECF＝60°，
∴∠CEF＝30°，
∴CE＝2CF，
∴BE＝2AF；
（2）结论仍然成立，BE＝2AF；
证明：理由如下：
在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，

∴ACBC=sin30°=12，∠ACB＝60°，
同理可证CFCE=cos60°=12，
∴AFBE=CFCE
∵∠BCA＝∠ECF＝60°，
∴∠BCA﹣∠ACE＝∠ECF﹣∠ACE，
∴∠BCE＝∠ACF，
∴△CBE∽△CAF，
∴AFBE=CFCE=12，
∴BE＝2AF；
（3）在CA上截取CG，使CG=23CA，连接GF，

∴CGCD=CACB，
∵由（2）知CACB=CFCE，∠DCE＝∠GCF，
∴CGCD=CFCE，
∴△DCE∽△GCF，
∴GFDE=12
∵∠BAC＝90°，∠ACE＝30°，AC＝3，D，G分别是BC，AC三等分点，BD＝DE，
∴BC＝6，AB=33，BD＝DE＝CG＝2，
∴GF＝1，
∴点F在以G为圆心，以1为半径的圆上运动，
∴当D，G，F三点共线，且点F在DG之间时，DF取得最小值，最小值为DG﹣1，
∵CGCA=CDCB=23，∠DCG＝∠BCA，
∴△DCG∽△BCA，
∴DGAB=CGCA=23，
∴DG=23，
∴线段DF长度的最小值为23-1．
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，含30°角的直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，定点定长构造隐圆等知识，熟练掌握旋转相似的基本模型是解题的关键．
26．（12分）抛物线y=-12x2+(a-1)x+2a与x轴交于A（b，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，c），点P是抛物线在第一象限内的一个动点，且在对称轴右侧．
（1）求a，b，c的值；
（2）如图1，连接BC、AP，交点为M，连接PB，若S△PMBS△AMB=14，求点P的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线交x轴于点E，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接EB，E′C，求E'B+34E'C的最小值．
​
【答案】（1）a＝2，c＝4，b＝﹣2；
（2）P（3，52）；
（3）最小值为：BF=42+(94)2=3374．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）过点P作PD⊥x轴，交BC于点D，过点A作y轴的平行线交BC的延长线于H，求得lBC的解析式，设P（m，-12m2+m+4），则D（m，﹣m+4），利用相似三角形的判定与性质可得答案；
（3）在y轴上取一点F，使得OF=94，连接BF，在BF上取一点E′，使得OE′＝OE，由相似三角形的判定与性质可得FE′=34CE'，可得E′B+34E′C＝BE′+E′F＝BF，此时E'B+34E'C最小，即可解答．
【详解】解：（1）将B（4，0）代入y=-12x2+(a-1)x+2a，
得﹣8+4（a﹣1）+2a＝0，
∴a＝2，
∴抛物线的解析式为y=-12x2+x+4，
令x＝0，则y＝4，
∴c＝4，
令y＝0，则0=-12x2+x+4，
∴x1＝4，x2＝﹣2，
∴A（﹣2，0），即b＝﹣2；
（2）过点P作PD⊥x轴，交BC于点D，过点A作y轴的平行线交BC的延长线于H，

设lBC：y＝kx+b，将（0，4），（4，0）代入得b＝4，k＝﹣1，
∴lBC：y＝﹣x+4，
设P（m，-12m2+m+4），则D（m，﹣m+4），
PD＝yP﹣yD=-12m2+m+4﹣（﹣m+1）=-12m2+2m，
∵PD∥HA，
∴△AMH∽△PMD，
∴PMMA=PDHA，
将x＝﹣2代入y＝﹣x+4，
∴HA＝6，
∵S1S2=12PM⋅h12AM⋅h=PMAM=14，
∴S1S2=PDHA=PD6=14，
∴PD=32，
∴32=12m2+2m，
∴m1＝1（舍），m2＝3，
∴P（3，52）；
（3）在y轴上取一点F，使得OF=94，连接BF，在BF上取一点E′，使得OE′＝OE，

∵OE′＝3，OF•OC=94×4＝9，
∴OE2＝OF•OC，
∴OE'OF=OCOE'，
∵∠COE′＝∠FOE，
∴△FOE′∽△E′OC，
∴FE'CE'=OE'OC=34，
∴FE′=34CE'，
∴E′B+34E′C＝BE′+E′F＝BF，此时E'B+34E'C最小，
最小值为：BF=42+(94)2=3374．
【点睛】此题考查的是二次函数的综合题意，涉及到相似三角形的判定与性质、二次函数的性质、待定系数法求解析式等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．