2023年中考考前最后一卷：数学（全国通用）（全解全析）

这是一份2023年中考考前最后一卷：数学（全国通用）（全解全析），共23页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

2023年中考考前最后一卷
数学·全解全析
第Ⅰ卷
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
D
B
C
A
B
A
C
D
A
B
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．（本题3分）的倒数是（    ）
A． B．2023 C． D．
【答案】D
【分析】直接利用倒数的定义，即若两个不为零的数的积为1，则这两个数互为倒数，即可求解．
【详解】解：的倒数是，
故选：D．
【点睛】本题考查了倒数的定义，熟练掌握和运用倒数的求法是解决本题的关键．
2．（本题3分）的值等于（    ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】根据三角函数定义：正切=对边与邻边之比，进行求解．
【详解】作一个直角三角形，∠C=90°，∠A=45°，如图：

∴∠B=90°-45°=45°，
∴△ABC是等腰三角形，AC=BC，
∴根据正切定义，，
∵∠A=45°，
∴，
故选 B．
【点睛】本题考查了三角函数，熟练理解三角函数的定义是解题关键．
3．（本题3分）华为最新款手机芯片“麒麟990”是一种微型处理器，每秒可进行100亿次运算，它工作2022秒可进行的运算次数用科学记数法表示为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同，题中：1亿．
【详解】解：100亿，，
故选：C．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法，关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（本题3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意；
B．不是轴对称图形，故B不符合题意；
C．不是轴对称图形，故C不符合题意；
D．是轴对称图形，故D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
5．（本题3分）如图，是一个正方体截去一个角后得到的几何体，则该几何体的左视图是（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
【详解】解：从左边看，可得如下图形：
故选：A．

【点睛】本题考查三视图、熟练掌握三视图的定义是解决问题的关键．
6．（本题3分）设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（    ）
A．6 B． C．12 D．
【答案】A
【分析】首先根据的整数部分可确定的值，进而确定的值，然后将与的值代入计算即可得到所求代数式的值．
【详解】∵，
∴，
∴的整数部分，
∴小数部分，
∴．
故选：．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确确定的整数部分与小数部分的值是解题关键．
7．（本题3分）已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根为（  ）
A．±2 B． C．2 D．4
【答案】C
【分析】把x与y的值代入方程组求出m与n的值，即可求出所求．
【详解】∵是二元一次方程组的解，
∴，
解得
∴
即的算术平方根为2
故选C．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，以及算术平方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．（本题3分）如果点P（m，1+2m）在第三象限内，那么m的取值范围是(   )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据第三象限点的特征，横纵坐标都为负，列出一元一次不等式组，进而即可求解．
【详解】解：∵点P（m，1+2m）在第三象限内，
∴，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
故选D．
【点睛】本题考查了第三象限的点的坐标特征，一元一次不等式组的应用，掌握各象限点的坐标特征是解题的关键．
9．（本题3分）如图，正比例函数与反比例函数的图像交于、B两点，当时，x的取值范围是（    ）

A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】A
【分析】先根据反比例函数图像的对称点求出点的坐标，然后根据的解集即为反比例函数在一次函数上方的部分可得答案．
【详解】解析：正比例函数与反比例函数的图像交于、B两点，
，
由图像可知，当时，x的取值范围是或，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据反比例函数的对称性得出点的坐标的坐标是解本题的关键．
10．（本题3分）如图，抛物线的对称轴是．下列结论：①；②；③；④，正确的有（    ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】由抛物线的性质和对称轴是，分别判断a、b、c的符号，即可判断①；抛物线与x轴有两个交点，可判断②；由，得，令，求函数值，即可判断③；令时，则，令时，，即可判断④；然后得到答案．
【详解】解：根据题意，则，，
∵，
∴，
∴，故①错误；
由抛物线与x轴有两个交点，则，故②正确；
∵，
令时，，
∴，故③正确；
在中，
令时，则，
令时，，
由两式相加，得，故④正确；
∴正确的结论有：②③④，共3个；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，熟练判断各个式子的符号．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、 填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，直接填写答案．）
11．（本题3分）单项式的系数为___________．
【答案】3
【分析】单项式中数字因数叫做单项式的系数，从而可得出答案．
【详解】的系数是3，
故答案为：3．
【点睛】此题考查了单项式的知识，解答本题的关键是掌握单项式系数的定义．
12．（本题3分）若分式有意义，则的取值范围是______．
【答案】且/x≠2且x≥-3
【分析】根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件解题即可．
【详解】解：由题意得

解得，即且
故答案为：且．
【点睛】本题考查分式有意义的条件、二次根式有意义的条件，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
13．（本题3分）有甲､乙两组数据，如表所示：
甲
11
12
13
14
15
乙
12
12
13
14
14
甲､乙两组数据的方差分别为，则______________（填“＞”，“＜”或“＝”）．
【答案】＞
【分析】根据甲、乙两组数据分别求出甲、乙的平均数，然后再利用方差公式进行求解比较即可．
【详解】解：由题意得：
，，
∴，
，
∴，
∴；
故答案为＞．
【点睛】本题主要考查平均数及方差，熟练掌握平均数及方差的计算是解题的关键．
14．（本题3分）如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于，，且，，那么的长度为__．

【答案】；
【分析】延长至使，连接，得出,得出，所以得出是等腰三角形，根据已知线段长度建立等量关系计算．
【详解】
如图：延长至使，连接
在和中：

∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
即
∴
【点睛】倍长中线是常见的辅助线、全等中相关的角的代换是解决本题的关键．
15．（本题3分）点在一次函数的图像上，当时，，则a的取值范围是____________．
【答案】a＜2
【分析】根据一次函数的性质，建立不等式计算即可．
【详解】∵当时，，
∴a-2＜0，
∴a＜2，
故答案为：a＜2．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
16．（本题3分）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例．这个三角形给出了（a+b）n（n=1，2，3，4，5，6）的展开式的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2=a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项的系数，等等．
有如下四个结论：
①（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；
②当a=-2，b=1时，代数式a3+3a2b+3ab2+b3的值是-1；
③当代数式a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4的值是0时，一定是a=-1，b=1；
④（a+b）n的展开式中的各项系数之和为2n．
上述结论中，正确的有______（写出序号即可）．

【答案】①②
【分析】根据题中举例说明，明确杨辉三角的与的展开式的系数间的对应关系，据此逐项分析．
【详解】解：∵在杨辉三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数，等等
∴在杨辉三角形中第行的个数，对应展开式中各项的系数，
①∵展开式中各项的系数，为杨辉三角形中第6行的6个数，
∴；
②∵各项系数对应杨辉三角中的第4行的4个数，
∴，
当时，代数式=；
③∵各项系数对应杨辉三角中的第5行的5个数，
∴，
当代数式时，，不一定是；
④∵当时，展开式各项之和便是系数之和，
∴的展开式中的各项系数之和为，
故答案为：①②．
【点睛】本题考查了合情推理，由具体举例推广到一般情况下杨辉三角与展开式的系数之间的对应规律，是解题的关键．
三、 解答题（本大题共个8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（本题6分）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
(1)解不等式①，得___________；
(2)解不等式②，得___________；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

(4)原不等式组的解集为___________．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
(4)
【分析】（1）通过移项、合并同类项直接求出结果；
（2）通过移项直接求出结果；
（3）根据在数轴上表示解集的方法求解即可；
（4）根据数轴得出原不等式组的解集．
【详解】（1）解：移项得：
解得：
故答案为：；
（2）移项得：，
解得：，
故答案为：；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

（4）所以原不等式组的解集为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键．
18．（本题6分）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】利用分式的混合运算法则，结合因式分解化简原式，再代值求解即可．
【详解】解：



，
当时，
原式
．
【点睛】本题考查分式的化简求值、分母有理化，熟练掌握分式的混合运算法则并正确计算是解答的关键．
19．（本题6分）某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程（要求必须选修一门且只能选修一门）？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：

请结合上述信息，解答下列问题：
(1)共有　名学生参与了本次问卷调查；“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是　度；
(2)补全调查结果条形统计图；
(3)小刚和小强分别从“礼仪”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．
【答案】(1)120，99
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由选修“礼仪”的学生人数除以所占百分比得出参与了本次问卷调查的学生人数，即可解决问题；
（2）求出选修“厨艺”和“园艺”的学生人数，即可解决问题；
（3）画树状图，共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：参与了本次问卷调查的学生人数为：（名），
则“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角为：，
故答案为：120，99；
（2）解：条形统计图中，选修“厨艺”的学生人数为：（名），
则选修“园艺”的学生人数为：（名），
补全条形统计图如下：

（3）解：把“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为、、、、，
画树状图如下：

共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种，
小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为．
【点睛】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
20．（本题10分）如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度，在居民楼前方有一斜坡，坡长，斜坡的倾斜角为，．小文在点处测得楼顶端的仰角为，在点处测得楼顶端的仰角为（点，，，在同一平面内）．

(1)求，两点的高度差；
(2)求居民楼的高度．（结果精确到，参考数据：）
【答案】(1)9m
(2)24m
【分析】（1）过点作，交的延长线于点，在中，可得，再利用勾股定理可求出，即可得出答案．
（2）过点作于，设，在中，，解得，在中，，，，求出的值，即可得出答案．
【详解】（1）解：过点作，交的延长线于点，

在中，，，
．
．
答：，两点的高度差为．
（2）过点作于，
由题意可得，，
设，
在中，，
解得，
在中，，，
，
解得，
．
答：居民楼的高度约为．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
21．（本题10分）如图，在中，，以为直径作⊙，交边于点，在上取一点，使，连接，作射线交边于点．

(1)求证：；
(2)若，，求及的长．
【答案】(1)见解析
(2)BF=5，
【分析】（1）根据中，，得到∠A+∠B=∠ACF+∠BCF=90°，根据，得到∠B=∠BCF，推出∠A=∠ACF；
（2）根据∠B=∠BCF，∠A=∠ACF，得到AF=CF，BF=CF，推出AF=BF= AB，根据，AC=8，得到AB=10，得到BF=5，根据，得到，连接CD，根据BC是⊙O的直径，得到∠BDC=90°，推出∠B+∠BCD=90°，推出∠A=∠BCD，得到，推出，得到，根据∠FDE=∠BCE，∠B=∠BCE，得到∠FDE=∠B，推出DE∥BC，得到△FDE∽△FBC，推出，得到．
【详解】（1）解：∵中，，
∴∠A+∠B=∠ACF+∠BCF=90°，
∵，
∴∠B=∠BCF，
∴∠A=∠ACF；
（2）∵∠B=∠BCF，∠A=∠ACF
∴AF=CF，BF=CF，
∴AF=BF= AB，
∵，AC=8，
∴AB=10，
∴BF=5，
∵，
∴，
连接CD，∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
∴∠B+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴，
∴，
∴，
∵∠FDE=∠BCE，∠B=∠BCE，
∴∠FDE=∠B，
∴DE∥BC，
∴△FDE∽△FBC，
∴，
∴．

【点睛】本题主要考查了圆周角，解直角三角形，勾股定理，相似三角形，解决问题的关键是熟练掌握圆周角定理及推论，运用勾股定理和正弦余弦解直角三角形，相似三角形的判定和性质．
22．（本题10分）某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．
(1)求y与x之间的函数关系式．
(2)若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？
(3)设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)13
(3)每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．
【分析】（1）根据给定的数据，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；
（2）根据每件的销售利润×每天的销售量=425，解一元二次方程即可；
（3）利用销售该消毒用品每天的销售利润=每件的销售利润×每天的销售量，即可得出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，根据题意得：
，解得：，
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）解：（-5x+150）（x-8）=425，
整理得：，
解得：，
∵8≤x≤15，
∴若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为13元；
（3）解：根据题意得：


∵8≤x≤15，且x为整数，
当x<19时，w随x的增大而增大，
∴当x=15时，w有最大值，最大值为525．
答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的应用，解题的关键是找准题目的等量关系，
23．（本题11分）如图，抛物线y＝a（x﹣2）2+3（a为常数且a≠0）与y轴交于点A（0，）．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）若直线y＝kx（k≠0）与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为x1，x2，当x12+x22＝10时，求k的值；
（3）当﹣4＜x≤m时，y有最大值，求m的值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）把代入抛物线的解析式，解方程求解即可；
（2）联立两个函数的解析式，消去 得：再利用根与系数的关系与可得关于的方程，解方程可得答案；
（3）先求解抛物线的对称轴方程，分三种情况讨论，当 ＜＜ 结合函数图象，利用函数的最大值列方程，再解方程即可得到答案.
【详解】解：（1）把代入中，


抛物线的解析式为：
（2）联立一次函数与抛物线的解析式得：


整理得：



∵x1+x2=4-3k，x1•x2=-3，
∴x12+x22=（4-3k）2+6=10，
解得：
∴
（3）∵函数的对称轴为直线x=2，
当m＜2时，当x=m时，y有最大值，=-（m-2）2+3，
解得m=±，∴m=-，
当m≥2时，当x=2时，y有最大值，
∴=3，
∴m=，
综上所述，m的值为-或．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线与轴的交点坐标，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的增减性，掌握数形结合的方法与分类讨论是解题的关键.
24．（本题13分）在矩形中，点E是射线上一动点，连接，过点B作于点G，交直线于点F．

（1）当矩形是正方形时，以点F为直角顶点在正方形的外部作等腰直角三角形，连接．
①如图1，若点E在线段上，则线段与之间的数量关系是________，位置关系是_________；
②如图2，若点E在线段的延长线上，①中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；
（2）如图3，若点E在线段上，以和为邻边作，M是中点，连接，，，求的最小值．
【答案】（1）①相等；垂直；②成立，理由见解析；（2）
【分析】（1）①证明△ABE≌△BCF，得到BE=CF，AE=BF，再证明四边形BEHF为平行四边形，从而可得结果；
②根据（1）中同样的证明方法求证即可；
（2）说明C、E、G、F四点共圆，得出GM的最小值为圆M半径的最小值，设BE=x，证明△ABE∽△BCF，得到CF，再利用勾股定理表示出EF=，求出最值即可得到GM的最小值．
【详解】解：（1）①∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，即∠BAE+∠AEB=90°，
∵AE⊥BF，
∴∠CBF+∠AEB=90°，
∴∠CBF=∠BAE，又AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴BE=CF，AE=BF，
∵△FCH为等腰直角三角形，
∴FC=FH=BE，FH⊥FC，而CD⊥BC，
∴FH∥BC，
∴四边形BEHF为平行四边形，
∴BF∥EH且BF=EH，
∴AE=EH，AE⊥EH，
故答案为：相等；垂直；
②成立，理由是：
当点E在线段BC的延长线上时，
同理可得：△ABE≌△BCF（AAS），
∴BE=CF，AE=BF，
∵△FCH为等腰直角三角形，
∴FC=FH=BE，FH⊥FC，而CD⊥BC，
∴FH∥BC，
∴四边形BEHF为平行四边形，
∴BF∥EH且BF=EH，
∴AE=EH，AE⊥EH；
（2）∵∠EGF=∠BCD=90°，
∴C、E、G、F四点共圆，
∵四边形BCHF是平行四边形，M为BH中点，
∴M也是EF中点，
∴M是四边形BCHF外接圆圆心，
则GM的最小值为圆M半径的最小值，
∵AB=3，BC=2，
设BE=x，则CE=2-x，
同（1）可得：∠CBF=∠BAE，
又∵∠ABE=∠BCF=90°，
∴△ABE∽△BCF，
∴，即，
∴CF=，
∴EF=
=
=，
设y=，
当x=时，y取最小值，
∴EF的最小值为，
故GM的最小值为．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，二次函数的最值，圆的性质，难度较大，找出图形中的全等以及相似三角形是解题的关键