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2023年河北省承德市八校联考中考数学模拟试卷（含答案）
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这是一份2023年河北省承德市八校联考中考数学模拟试卷（含答案），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年河北省承德市八校联考中考数学模拟试卷(含解析)
一、选择题：本大题共10小题 ,每题3分 ,共30分．
1． (3分 )﹣2的绝|对值等于 ( )
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
2． (3分 )某汽车参展商为参加第8届中|国 (长春 )国际汽车博览会 ,印制了105 000张宣传彩页．105 000这个数字用科学记数法表示为 ( )
A．10.5×104 B．1.05×105 C．1.05×106 D．0.105×106
3． (3分 )右图是由4个相同的小正方体组成的几何体 ,其俯视图为 ( )
A． B． C． D．
4． (3分 )一条葡萄藤上结有五串葡萄 ,每串葡萄的粒数如下图 (单位：粒 )．那么这组数据的中位数为 ( )
A．37 B．35 C．33.8 D．32
5． (3分 )关于x的方程mx﹣1 =2x的解为正实数 ,那么m的取值范围是 ( )
A．m≥2 B．m≤2 C．m＞2 D．m＜2
6． (3分 )在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中 ,是轴对称图形的是 ( )
A． B． C． D．
7． (3分 )以下命题中 ,假命题是 ( )
A．经过两点有且只有一条直线
B．平行四边形的对角线相等
C．两腰相等的梯形叫做等腰梯形
D．圆的切线垂直于经过切点的半径
8． (3分 )现定义运算 "★〞 ,对于任意实数a、b ,都有a★b =a2﹣3a +b ,如：4★5 =42﹣3×4 +5 ,假设x★2 =6 ,那么实数x的值是 ( )
A．﹣4或﹣1 B．4或﹣1 C．4或﹣2 D．﹣4或2
9． (3分 )如图 ,矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上 ,点B的坐标为 (3 ,2 )．点D、E 分别在AB、BC边上 ,BD =BE =1．沿直线将△BDE翻折 ,点B落在点B′处．那么点B′的坐标为 ( )
A． (1 ,2 ) B． (2 ,1 ) C． (2 ,2 ) D． (3 ,1 )
10． (3分 )如图 ,将边长为a的正六边形A1A2A3A4A5A6在直线l上由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动 ,当A1第|一次滚动到图2位置时 ,顶点A1所经过的路径的长为 ( )
A． B． C． D．
二、填空题 (本大题共6小题 ,每题3分 ,共18分 )
11． (3分 )函数中 ,自变量x的取值范围是 ．
12． (3分 )分解因式：a3﹣2a2 +a = ．
13． (3分 )如图 ,菱形ABCD的边长为5 ,对角线AC ,BD相交于点O ,BD =6 ,那么菱形ABCD的面积为 ．
14． (3分 )如图 ,将三角板的直角顶点放在⊙O的圆心上 ,两条直角边分别交⊙O于A、B两点 ,点P在优弧AB上 ,且与点A、B不重合 ,连接PA、PB．那么∠APB的大小为 度．
15． (3分 )双曲线y1、y2在第|一象限的图象如图 , ,过y1上的任意一点A ,作x轴的平行线交y2于B ,交y轴于C ,假设S△AOB =1 ,那么y2的解析式是 ．
16． (3分 )假设a1 =1﹣ ,a2 =1﹣ ,a3 =1 ,… ,那么a2021的值为 ．
三、解答题：
17． (5分 )化简：．
18． (6分 )在▱ABCD中 ,点E、F分别在AB、CD上 ,且AE =CF．
(1 )求证：△ADE≌△CBF；
(2 )假设DF =BF ,求证：四边形DEBF为菱形．
19． (8分 )2021年5月19日 ,中|国首|个旅游日正式启动．某校组织了八年级|800名学生参加的旅游地理知识竞赛 ,李老师为了了解学生对旅游地理知识的掌握情况 ,从中随机抽取了局部学生的成绩作为样本 ,把成绩按优秀、良好、及格和不及格4个级|别进行统计 ,并绘制了如下图的条形统计图和扇形统计图 (局部信息未给出 )．
请根据以上提供的信息 ,解答以下问题：
(1 )求被抽取局部学生的人数；
(2 )请补全条形统计图 ,并求出扇形统计图中表示及格的扇形的圆心角度数；
(3 )请估计八年级|800名学生中到达良好和优秀的总人数．
20． (8分 )把大小和形状完全相同的6张卡片分成两组 ,每组3张 ,分别标上1、2、3 ,将这两组卡片分别放入两个盒子中搅匀 ,再从中随机抽取一张．
(1 )试求取出的两张卡片数字之和为奇数的概率；
(2 )假设取出的两张卡片数字之和为奇数 ,那么甲胜；取出的两张卡片数字之和为偶数 ,那么乙胜；试分析这个游戏是否公平 ?请说明理由．
21． (8分 )钓鱼岛及其附属岛屿是中|国固有领土 (如图1 ) ,A、B、C分别是钓鱼岛、南小岛、黄尾屿上的点 (如图2 ) ,点C在点A的北偏东47°方向 ,点B在点A的南偏东79°方向 ,且A、B两点的距离约为5.5km；同时 ,点B在点C的南偏西36°方向．假设一艘中|国渔船以30km/h的速度从点A驶向点C捕鱼 ,需要多长时间到达 (结果保存小数点后两位 ) ? (参考数据：sin54°≈0.81 ,cos54°≈0.59 ,tan47°≈1.07 ,tan36°≈0.73 ,tan11°≈0.19 )
22． (8分 )某公司销售一种新型节能产品 ,现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．
假设只在国内销售 ,销售价格y (元/件 )与月销量x (件 )的函数关系式为y =x +150 ,本钱为20元/件 ,无论销售多少 ,每月还需支出广告费62500元 ,设月利润为w内 (元 ) (利润 =销售额﹣本钱﹣广告费 )．
假设只在国外销售 ,销售价格为150元/件 ,受各种不确定因素影响 ,本钱为a元/件 (a为常数 ,10≤a≤40 ) ,当月销量为x (件 )时 ,每月还需缴纳x2元的附加费 ,设月利润为w外 (元 ) (利润 =销售额﹣本钱﹣附加费 )．
(1 )当x =1000时 ,y = 元/件 ,w内 = 元；
(2 )分别求出w内 ,w外与x间的函数关系式 (不必写x的取值范围 )；
(3 )当x为何值时 ,在国内销售的月利润最|大 ?假设在国外销售月利润的最|大值与在国内销售月利润的最|大值相同 ,求a的值；
(4 )如果某月要将5000件产品全部销售完 ,请你通过分析帮公司决策 ,选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大 ?
参考公式：抛物线y =ax2 +bx +c (a≠0 )的顶点坐标是 ( )．
23． (8分 )如图 ,⊙O是Rt△ABC的外接圆 ,AC是⊙O的直径 ,弦BD =BA ,AB =12 ,BC =5 ,BE⊥DC ,交DC的延长线于点E．
(1 )求证：△ABC∽△DEB；
(2 )求证：BE是⊙O的切线；
(3 )求DE的长．
24． (10分 )如图1 ,抛物线y =ax2﹣3ax +3交x轴分别于A (﹣1 ,0 )、B (4 ,0 )两点 ,交y轴于C．
(1 )求抛物线的解析式；
(2 )将抛物线沿y轴平移交y轴于点D ,当BD =2CD时 ,求点D的坐标；
(3 )如图2 ,假设将抛物线沿直线x =m翻折 ,使翻折后的抛物线交直线BC于P、Q两点 ,且P、Q关于C点对称 ,求m的值．
25． (11分 )如图 ,四边形ABCD是矩形 ,点P是直线AD与BC外的任意一点 ,连接PA、PB、PC、PD．请解答以下问题：
(1 )如图1 ,当点P在线段BC的垂直平分线MN上 (对角线AC与BD的交点Q除外 )时 ,证明△PAC≌△PDB；
(2 )如图2 ,当点P在矩形ABCD内部时 ,求证：PA2 +PC2 =PB2 +PD2；
(3 )假设矩形ABCD在平面直角坐标系xOy中 ,点B的坐标为 (1 ,1 ) ,点D的坐标为 (5 ,3 ) ,如图3所示 ,设△PBC的面积为y ,△PAD的面积为x ,求y与x之间的函数关系式．
2023年河北省承德市八校联考中考数学模拟试卷(含解析)
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题 ,每题3分 ,共30分．
1． (3分 ) (2021•长春 )﹣2的绝|对值等于 ( )
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
【分析】根据绝|对值的性质：一个负数的绝|对值是它的相反数解答即可．
【解答】解：根据绝|对值的性质 ,
|﹣2| =2．
应选D．
【点评】此题考查了绝|对值的性质：一个正数的绝|对值是它本身 ,一个负数的绝|对值是它的相反数 ,0的绝|对值是0 ,难度适中．
2． (3分 ) (2021•长春 )某汽车参展商为参加第8届中|国 (长春 )国际汽车博览会 ,印制了105 000张宣传彩页．105 000这个数字用科学记数法表示为 ( )
A．10.5×104 B．1.05×105 C．1.05×106 D．0.105×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式 ,其中1≤|a|＜10 ,n为整数．确定n的值时 ,要看把原数变成a时 ,小数点移动了多少位 ,n的绝|对值与小数点移动的位数相同．当原数绝|对值＞1时 ,n是正数；当原数的绝|对值＜1时 ,n是负数．
【解答】解：105 000 =1.05×105．
应选B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式 ,其中1≤|a|＜10 ,n为整数 ,表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3． (3分 ) (2021•长春 )右图是由4个相同的小正方体组成的几何体 ,其俯视图为 ( )
A． B． C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可．
【解答】解：从上面看可得到从上往下两行正方形的个数依次为2 ,1 ,并且在左上方．
应选C．
【点评】此题考查了三视图的知识 ,俯视图是从物体的上面看得到的视图．
4． (3分 ) (2021•长春 )一条葡萄藤上结有五串葡萄 ,每串葡萄的粒数如下图 (单位：粒 )．那么这组数据的中位数为 ( )
A．37 B．35 C．33.8 D．32
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列 ,位于最|中间的一个数 (或两个数的平均数 )为中位数．
【解答】解：先对这组数据按从小到大的顺序重新排序：28 ,32 ,35 ,37 ,37 ,
位于最|中间的数是35 ,
∴这组数的中位数是35．
应选B．
【点评】此题主要考查了确定一组数据的中位数的能力 ,注意找中位数的时候一定要先排好顺序 ,然后再根据奇数和偶数个来确定中位数 ,如果数据有奇数个 ,那么正中间的数字即为所求 ,如果是偶数个那么找中间两位数的平均数 ,难度适中．
5． (3分 ) (2021•南通 )关于x的方程mx﹣1 =2x的解为正实数 ,那么m的取值范围是 ( )
A．m≥2 B．m≤2 C．m＞2 D．m＜2
【分析】根据题意可得x＞0 ,将x化成关于m的一元一次方程 ,然后根据x的取值范围即可求出m的取值范围．
【解答】解：由mx﹣1 =2x ,
移项、合并 ,得 (m﹣2 )x =1 ,
∴x =．
∵方程mx﹣1 =2x的解为正实数 ,
∴＞0 ,
解得m＞2．
应选C．
【点评】此题考查的是一元一次方程的解法 ,将x用含m的代数式来表示 ,根据x的取值范围可求出m的取值范围．
6． (3分 ) (2021•庆阳 )在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中 ,是轴对称图形的是 ( )
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两局部完全重合 ,这样的图形叫做轴对称图形 ,这条直线叫做对称轴．
【解答】解：A、是轴对称图形 ,故A符合题意；
B、不是轴对称图形 ,故B不符合题意；
C、不是轴对称图形 ,故C不符合题意；
D、不是轴对称图形 ,故D不符合题意．
应选：A．
【点评】此题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴 ,图形两局部折叠后可重合．
7． (3分 ) (2021•漳州 )以下命题中 ,假命题是 ( )
A．经过两点有且只有一条直线
B．平行四边形的对角线相等
C．两腰相等的梯形叫做等腰梯形
D．圆的切线垂直于经过切点的半径
【分析】根据直线的性质、平行四边形的性质、等腰梯形的性质和切线的性质判断各选项即可．
【解答】解：A、经过两点有且只有一条直线 ,故本选项正确；
B、平行四边形的对角线不一定相等 ,故本选项错误；
C、两腰相等的梯形叫做等腰梯形 ,故本选项正确
D、圆的切线垂直于经过切点的半径 ,故本选项正确．
应选B．
【点评】此题考查了直线的性质、平行四边形的性质、等腰梯形的性质和切线的性质 ,属于根底题 ,注意这些知识的熟练掌握．
8． (3分 ) (2021•宁津县模拟 )现定义运算 "★〞 ,对于任意实数a、b ,都有a★b =a2﹣3a +b ,如：4★5 =42﹣3×4 +5 ,假设x★2 =6 ,那么实数x的值是 ( )
A．﹣4或﹣1 B．4或﹣1 C．4或﹣2 D．﹣4或2
【分析】先根据新定义得到x2﹣3x +2 =6 ,整理得x2﹣3x﹣4 =0 ,再把方程左边分解 ,原方程化为x﹣4 =0或x +1 =0 ,然后解一次方程即可．
【解答】解：∵x★2 =6 ,
∴x2﹣3x +2 =6 ,
整理得x2﹣3x﹣4 =0 ,
∴ (x﹣4 ) (x +1 ) =0 ,
∴x﹣4 =0或x +1 =0 ,
∴x1 =4 ,x2 =﹣1．
应选B．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右边变形为0 ,然后把方程左边进行因式分解 ,这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程 ,再解一次方程可得到一元二次方程的解．
9． (3分 ) (2021•长春 )如图 ,矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上 ,点B的坐标为 (3 ,2 )．点D、E 分别在AB、BC边上 ,BD =BE =1．沿直线将△BDE翻折 ,点B落在点B′处．那么点B′的坐标为 ( )
A． (1 ,2 ) B． (2 ,1 ) C． (2 ,2 ) D． (3 ,1 )
【分析】首|先根据折叠可以得到B′E =BE ,B′D =BD ,又点B的坐标为 (3 ,2 ) ,BD =BE =1 ,根据这些条件即可确定B′的坐标．
【解答】解：∵矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上 ,点B的坐标为 (3 ,2 ) ,
∴CB =3 ,AB =2 ,
又根据折叠得B′E =BE ,B′D =BD ,而BD =BE =1 ,
∴CE =2 ,AD =1 ,
∴B′的坐标为 (2 ,1 )．
应选B．
【点评】此题主要考查了折叠问题 ,解题的关键是利用折叠的隐含条件得到相等的线段 ,然后利用线段的长度即可确定点的坐标．
10． (3分 ) (2021•桂林 )如图 ,将边长为a的正六边形A1A2A3A4A5A6在直线l上由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动 ,当A1第|一次滚动到图2位置时 ,顶点A1所经过的路径的长为 ( )
A． B． C． D．
【分析】连A1A5 ,A1A4 ,A1A3 ,作A6C⊥A1A5 ,利用正六边形的性质分别计算出A1A4 =2a ,A1A5 =A1A3 =a ,而当A1第|一次滚动到图2位置时 ,顶点A1所经过的路径分别是以A6 ,A5 ,A4 ,A3 ,A2为圆心 ,以a ,a ,2a ,a ,a为半径 ,圆心角都为60°的五条弧 ,然后根据弧长公式进行计算即可．
【解答】解：连A1A5 ,A1A4 ,A1A3 ,作A6C⊥A1A5 ,如图 ,
∵六边形A1A2A3A4A5A6为正六边形 ,
∴A1A4 =2a ,∠A1A6A5 =120° ,
∴∠CA1A6 =30° ,
∴A6C =a ,A1C =a ,
∴A1A5 =A1A3 =a ,
当A1第|一次滚动到图2位置时 ,顶点A1所经过的路径分别是以A6 ,A5 ,A4 ,A3 ,A2为圆心 ,
以a ,a ,2a ,a ,a为半径 ,圆心角都为60°的五条弧 ,
∴顶点A1所经过的路径的长 = + + + + ,
=πa．
应选：A．
【点评】此题考查了弧长公式：l =；也考查了正六边形的性质以及旋转的性质．
二、填空题 (本大题共6小题 ,每题3分 ,共18分 )
11． (3分 ) (2021•海南 )函数中 ,自变量x的取值范围是 x≥﹣1且x≠2 ．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义 ,被开方数大于或等于0 ,分母不等于0 ,可以求出x的范围．
【解答】解：根据题意得：x +1≥0且x﹣2≠0 ,
解得：x≥﹣1且x≠2．
故答案为：x≥﹣1且x≠2．
【点评】考查了函数自变量的取值范围 ,函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
(1 )当函数表达式是整式时 ,自变量可取全体实数；
(2 )当函数表达式是分式时 ,考虑分式的分母不能为0；
(3 )当函数表达式是二次根式时 ,被开方数非负．
12． (3分 ) (2021•南平 )分解因式：a3﹣2a2 +a = a (a﹣1 )2 ．
【分析】此多项式有公因式 ,应先提取公因式a ,再对余下的多项式进行观察 ,有3项 ,可利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：a3﹣2a2 +a
=a (a2﹣2a +1 )
=a (a﹣1 )2．
故答案为：a (a﹣1 )2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法分解因式 ,要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解 ,一般来说 ,如果可以先提取公因式的要先提取公因式 ,再考虑运用公式法分解．
13． (3分 ) (2021•海安县模拟 )如图 ,菱形ABCD的边长为5 ,对角线AC ,BD相交于点O ,BD =6 ,那么菱形ABCD的面积为 24 ．
【分析】根据菱形的对角线互相垂直且互相平分可得出对角线AC的长度 ,进而根据对角线乘积的一半可得出菱形的面积．
【解答】解：由题意得：AO = =4 ,
∴AC =8 ,
故可得菱形ABCD的面积为×8×6 =24．
故答案为：24．
【点评】此题考查了菱形面积的计算 ,考查了勾股定理在直角三角形中的运用 ,考查了菱形各边长相等的性质．
14． (3分 ) (2021•长春 )如图 ,将三角板的直角顶点放在⊙O的圆心上 ,两条直角边分别交⊙O于A、B两点 ,点P在优弧AB上 ,且与点A、B不重合 ,连接PA、PB．那么∠APB的大小为 45 度．
【分析】∠AOB与∠APB为所对的圆心角和圆周角 ,∠AOB =90° ,利用圆周角定理求解．
【解答】解：∵∠AOB与∠APB为所对的圆心角和圆周角 ,
∴∠APB =∠AOB =×90° =45°．
故答案为：45．
【点评】此题考查了圆周角定理的运用．关键是确定同弧所对的圆心角和圆周角 ,利用圆周角定理．
15． (3分 ) (2021•桂林 )双曲线y1、y2在第|一象限的图象如图 , ,过y1上的任意一点A ,作x轴的平行线交y2于B ,交y轴于C ,假设S△AOB =1 ,那么y2的解析式是 y2 = ．
【分析】根据 ,过y1上的任意一点A ,得出△CAO的面积为2 ,进而得出△CBO面积为3 ,即可得出y2的解析式．
【解答】解：∵ ,过y1上的任意一点A ,作x轴的平行线交y2于B ,交y轴于C ,
∴S△AOC =×4 =2 ,
∵S△AOB =1 ,
∴△CBO面积为3 ,
∴k =xy =6 ,
∴y2的解析式是：y2 =．
故答案为：y2 =．
【点评】此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义 ,根据得出△CAO的面积为2 ,进而得出△CBO面积为3是解决问题的关键．
16． (3分 ) (2021•南京校级|二模 )假设a1 =1﹣ ,a2 =1﹣ ,a3 =1 ,… ,那么a2021的值为 ．
【分析】根据计算 ,发现规律：每三次一循环 ,根据规律 ,可得答案．
【解答】解：a1 =1﹣ ,
a2 =1﹣ =1﹣ ,
a3 =1 =1﹣ (1﹣m ) =m ,
a4 =1﹣ =1﹣ ,
每三次一循环：2021÷3 =671…2 ,
a2021是即第671轮第二个： ,
故答案为：．
【点评】此题考查了数字的变化类 ,发现规律是解题关键．
三、解答题：
17． (5分 ) (2021•陆川县校级|一模 )化简：．
【分析】分母不变 ,直接把分子相加减即可．
【解答】解：原式 =
=
=2．
【点评】此题考查的是分式的加减法 ,熟知同分母的分数相加减 ,分母不变 ,分子相加减是解答此题的关键．
18． (6分 ) (2021•雅安 )在▱ABCD中 ,点E、F分别在AB、CD上 ,且AE =CF．
(1 )求证：△ADE≌△CBF；
(2 )假设DF =BF ,求证：四边形DEBF为菱形．
【分析】 (1 )首|先根据平行四边形的性质可得AD =BC ,∠A =∠C ,再加上条件AE =CF可利用SAS证明△ADE≌△CBF；
(2 )首|先证明DF =BE ,再加上条件AB∥CD可得四边形DEBF是平行四边形 ,又DF =FB ,可根据邻边相等的平行四边形为菱形证出结论．
【解答】证明： (1 )∵四边形ABCD是平行四边形 ,
∴AD =BC ,∠A =∠C ,
∵在△ADE和△CBF中 ,
,
∴△ADE≌△CBF (SAS )；
(2 )∵四边形ABCD是平行四边形 ,
∴AB∥CD ,AB =CD ,
∵AE =CF ,
∴DF =EB ,
∴四边形DEBF是平行四边形 ,
又∵DF =FB ,
∴四边形DEBF为菱形．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定 ,以及菱形的判定 ,关键是掌握全等三角形的判定定理 ,以及菱形的判定定理 ,平行四边形的性质．
19． (8分 ) (2021•台州 )2021年5月19日 ,中|国首|个旅游日正式启动．某校组织了八年级|800名学生参加的旅游地理知识竞赛 ,李老师为了了解学生对旅游地理知识的掌握情况 ,从中随机抽取了局部学生的成绩作为样本 ,把成绩按优秀、良好、及格和不及格4个级|别进行统计 ,并绘制了如下图的条形统计图和扇形统计图 (局部信息未给出 )．
请根据以上提供的信息 ,解答以下问题：
(1 )求被抽取局部学生的人数；
(2 )请补全条形统计图 ,并求出扇形统计图中表示及格的扇形的圆心角度数；
(3 )请估计八年级|800名学生中到达良好和优秀的总人数．
【分析】 (1 )用不及格的百分比除以不及格人数即为被抽取局部学生的人数；
(2 )及格的百分比等于 ,再求得优秀百分比和人数 ,用360°乘以及格的百分比即求出表示及格的扇形的圆心角度数；
(3 )先计算出被抽查的学生中到达良好和优秀的百分比 ,再乘以800即可．
【解答】解： (1 )10÷10% =100 (人 ) ,
(2 )良好：40%×100 =40 (人 ) ,
优秀：100﹣40﹣10﹣30 =20 (人 ) ,
表示及格的扇形的圆心角度数：30÷100×360° =108° ,
如图：
(3 ) (40 +20 )÷100×800 =480 (人 ) ,
答：估计八年级|800名学生中到达良好和优秀的总人数为480人．
【点评】此题考查了条形统计图和扇形统计图 ,以及用样本来估计总体 ,是根底知识 ,要熟练掌握．
20． (8分 ) (2021•湛江 )把大小和形状完全相同的6张卡片分成两组 ,每组3张 ,分别标上1、2、3 ,将这两组卡片分别放入两个盒子中搅匀 ,再从中随机抽取一张．
(1 )试求取出的两张卡片数字之和为奇数的概率；
(2 )假设取出的两张卡片数字之和为奇数 ,那么甲胜；取出的两张卡片数字之和为偶数 ,那么乙胜；试分析这个游戏是否公平 ?请说明理由．
【分析】 (1 )依据题意画树状图法分析所有等可能和出现所有结果的可能 ,然后根据概率公式求出该事件的概率；
(2 )根据 (1 )中所求 ,进而求出两人获胜的概率 ,即可得出答案．
【解答】解： (1 )画树状图得：
,
由上图可知 ,所有等可能结果共有9种 ,其中两张卡片数字之和为奇数的结果有4种．
∴P =．
(2 )不公平；
理由：
由 (1 )可得出：取出的两张卡片数字之和为偶数的概率为：．
∵＜ ,
∴这个游戏不公平．
【点评】此题主要考查了游戏公平性 ,用树状图或表格表达事件出现的可能性是求解概率的常用方法．用到的知识点为：概率 =所求情况数与总情况数之比．
21． (8分 ) (2021•济宁 )钓鱼岛及其附属岛屿是中|国固有领土 (如图1 ) ,A、B、C分别是钓鱼岛、南小岛、黄尾屿上的点 (如图2 ) ,点C在点A的北偏东47°方向 ,点B在点A的南偏东79°方向 ,且A、B两点的距离约为5.5km；同时 ,点B在点C的南偏西36°方向．假设一艘中|国渔船以30km/h的速度从点A驶向点C捕鱼 ,需要多长时间到达 (结果保存小数点后两位 ) ? (参考数据：sin54°≈0.81 ,cos54°≈0.59 ,tan47°≈1.07 ,tan36°≈0.73 ,tan11°≈0.19 )
【分析】过点B作BD⊥AC交AC于点D ,根据方向角分别求出∠DAB和∠DCB的度数 ,然后在Rt△ABD和Rt△BCD中 ,分别解直角三角形求出AD、CD的长度 ,然后根据时间 =路程÷速度即可求出需要的时间．
【解答】解：过点B作BD⊥AC交AC于点D ,
由题意得 ,∠DAB =180°﹣47°﹣79° =54° ,
∠DCB =47°﹣36° =11° ,
在Rt△ABD中 ,
∵AB =5.5 ,∠DAB =54° ,
=cos54° , =sin54° ,
∴AD =5.5×0.59 =3.245 ,BD =4.455 ,
在Rt△BCD中 ,
∵BD =4.455 ,∠DCB =11° ,
∴ =tan11° ,
∴CD = =23.447 ,
∴AC =AD +CD =3.245 +23.447 =26.692≈26.70 (km ) ,
那么时间t =26.70÷30≈0.89 (h )．
答：需要0.89h到达．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用 ,难度适中 ,解答此题的关键是构造直角三角形并解直角三角形 ,
22． (8分 ) (2021•河北 )某公司销售一种新型节能产品 ,现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．
假设只在国内销售 ,销售价格y (元/件 )与月销量x (件 )的函数关系式为y =x +150 ,本钱为20元/件 ,无论销售多少 ,每月还需支出广告费62500元 ,设月利润为w内 (元 ) (利润 =销售额﹣本钱﹣广告费 )．
假设只在国外销售 ,销售价格为150元/件 ,受各种不确定因素影响 ,本钱为a元/件 (a为常数 ,10≤a≤40 ) ,当月销量为x (件 )时 ,每月还需缴纳x2元的附加费 ,设月利润为w外 (元 ) (利润 =销售额﹣本钱﹣附加费 )．
(1 )当x =1000时 ,y = 140 元/件 ,w内 = 57500 元；
(2 )分别求出w内 ,w外与x间的函数关系式 (不必写x的取值范围 )；
(3 )当x为何值时 ,在国内销售的月利润最|大 ?假设在国外销售月利润的最|大值与在国内销售月利润的最|大值相同 ,求a的值；
(4 )如果某月要将5000件产品全部销售完 ,请你通过分析帮公司决策 ,选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大 ?
参考公式：抛物线y =ax2 +bx +c (a≠0 )的顶点坐标是 ( )．
【分析】 (1 )将x =1000代入函数关系式求得y ,并根据等量关系 "利润 =销售额﹣本钱﹣广告费〞求得w内；
(2 )根据等量关系 "利润 =销售额﹣本钱﹣广告费〞 "利润 =销售额﹣本钱﹣附加费〞列出两个函数关系式；
(3 )对w内函数的函数关系式求得最|大值 ,再求出w外的最|大值并令二者相等求得a值；
(4 )通过对国内和国外的利润比拟 ,又由于a值不确定 ,故要讨论a的取值范围．
【解答】解： (1 )x =1000 ,y =×1000 +150 =140 ,
w内 = (140﹣20 )×1000﹣62500 =57500．
(2 )w内 =x (y﹣20 )﹣62500 =x2 +130x﹣62500 ,
w外 =x2 + (150﹣a )x．
(3 )当x = =6500时 ,w内最|大；
由题意在国外销售月利润的最|大值与在国内销售月利润的最|大值相同 ,得：
= ,
解得a1 =30 ,a2 =270 (不合题意 ,舍去 )．
∴a =30．
(4 )当x =5000时 ,w内 =337500 ,w外 =﹣5000a +500000．
假设w内＜w外 ,那么a＜32.5；
假设w内 =w外 ,那么a =32.5；
假设w内＞w外 ,那么a＞32.5．
∴当10≤a＜32.5时 ,选择在国外销售；
当a =32.5时 ,在国外和国内销售都一样；
当32.5＜a≤40时 ,选择在国内销售．
【点评】此题是一道综合类题目 ,考查了同学们运用函数分析问题、解决问题的能力．
23． (8分 ) (2021•石城县模拟 )如图 ,⊙O是Rt△ABC的外接圆 ,AC是⊙O的直径 ,弦BD =BA ,AB =12 ,BC =5 ,BE⊥DC ,交DC的延长线于点E．
(1 )求证：△ABC∽△DEB；
(2 )求证：BE是⊙O的切线；
(3 )求DE的长．
【分析】 (1 )根据BDE =∠CAB (圆周角定理 )且∠BED =∠CBA =90°即可得出结论；
(2 )连接OB ,OD ,证明△ABO≌△DBO ,推出OB∥DE ,继而判断OB⊥DE ,可得出结论．
(3 )根据△BED∽△CBA ,利用对应边成比例的性质可求出DE的长度．
【解答】 (1 )BDE =∠CAB (圆周角定理 )且∠BED =∠CBA =90° ,
∴△ABC∽△DEB；
(2 )证明：连结OB ,OD ,
在△ABO和△DBO中 ,
,
∴△ABO≌△DBO (SSS ) ,
∴∠DBO =∠ABO ,
∵∠ABO =∠OAB =∠BDC ,
∴∠DBO =∠BDC ,
∴OB∥ED ,
∵BE⊥ED ,
∴EB⊥BO ,
∴OB⊥BE ,
∴BE是⊙O的切线．
(3 )∵△BED∽△CBA ,
∴ ,
即 = ,
解得：DE =．
【点评】此题考查了切线的判定及圆周角定理的知识 ,综合考查的知识点较多 ,解答此题要求同学们熟练掌握一些定理的内容．
24． (10分 ) (2021•西安模拟 )如图1 ,抛物线y =ax2﹣3ax +3交x轴分别于A (﹣1 ,0 )、B (4 ,0 )两点 ,交y轴于C．
(1 )求抛物线的解析式；
(2 )将抛物线沿y轴平移交y轴于点D ,当BD =2CD时 ,求点D的坐标；
(3 )如图2 ,假设将抛物线沿直线x =m翻折 ,使翻折后的抛物线交直线BC于P、Q两点 ,且P、Q关于C点对称 ,求m的值．
【分析】 (1 )将A坐标代入抛物线解析式求出a的值 ,即可确定出抛物线解析式；
(2 )设CD =a ,BD =2a ,OD =OC +CD =a +3 ,OB =4 ,在Rt△OBD中 ,根据勾股定理得：BD2 =OD2 +OB2 ,
得到关于a的方程 ,解方程即可．
(3 )设翻折后抛物线与x轴交点为E、F．根据E与B关于x =m对称 ,A和F关于x =m对称 ,求出E (2m﹣4 ,0 ) ,F (2m +1 ,0 ) ,可得翻折后的解析式 ,与BC解析式联立 ,得到一元二次方程 ,根据根与系数的关系 ,得到4m﹣2 =0 ,求出m的值．
【解答】解： (1 )将A (﹣1 ,0 )代入抛物线解析式得：0 =a +3a +3 ,
解得：a =﹣ ,
那么抛物线解析式为y =﹣x2 +x +3；
(2 )设CD =a ,BD =2a ,
∴OD =OC +CD =a +3 ,OB =4 ,
在Rt△OBD中 ,根据勾股定理得：BD2 =OD2 +OB2
即4a2 = (a +3 )2 +16 ,
解得：a =1 + (负值舍去 ) ,
∴D (0 ,1 + )；
(3 )如图 ,设翻折后抛物线与x轴交点为E、F．
∵E与B关于x =m对称 ,A和F关于x =m对称 ,
∴E (2m﹣4 ,0 ) ,F (2m +1 ,0 ) ,
设翻折后的解析式为y =﹣ (x﹣2m +4 ) (x﹣2m﹣1 )
=﹣[x2﹣ (4m﹣3 )x +4m2﹣6m﹣4]
=﹣x2 + (4m﹣3 )x﹣3m2 +m +3
设BC解析式为y =kx +b ,
将B (4 ,0 )和C (0 ,4 )分别代入解析式得 , ,
解得 , ,
解析式为y =﹣x +3．
令y =﹣x2 + (4m﹣3 )x﹣3m2 +m +3和y =﹣x +3的值相等 ,得
﹣x2 + (4m﹣3 )x﹣3m2 +m +3 =﹣x +3 ,
整理得x2﹣ (4m﹣2 )x +4m2﹣6m +8 =0 ,
∵P、Q关于C点对称 ,
∴P、Q的横坐标互为相反数 ,
那么4m﹣2 =0 ,
m =．
【点评】此题考查了二次函数综合题 ,涉及抛物线与x轴的交点 ,待定系数法求函数解析式、根与系数的关系等知识 ,难度较大．
25． (11分 ) (2021•海安县模拟 )如图 ,四边形ABCD是矩形 ,点P是直线AD与BC外的任意一点 ,连接PA、PB、PC、PD．请解答以下问题：
(1 )如图1 ,当点P在线段BC的垂直平分线MN上 (对角线AC与BD的交点Q除外 )时 ,证明△PAC≌△PDB；
(2 )如图2 ,当点P在矩形ABCD内部时 ,求证：PA2 +PC2 =PB2 +PD2；
(3 )假设矩形ABCD在平面直角坐标系xOy中 ,点B的坐标为 (1 ,1 ) ,点D的坐标为 (5 ,3 ) ,如图3所示 ,设△PBC的面积为y ,△PAD的面积为x ,求y与x之间的函数关系式．
【分析】 (1 )利用三角形三边关系对应相等得出△PAC≌△PDB即可；
(2 )利用可证得四边形ADGK是矩形 ,进而得出AK2 =DG2 ,CG2 =BK2 ,即可得出答案；
(3 )结合图形得出当点P在直线AD与BC之间时 ,以及当点P在直线AD上方时和当点P在直线BC下方时 ,分别求出即可．
【解答】解： (1 )作BC的中垂线MN ,在MN上取点P ,连接PA、PB、PC、PD ,
如图 (1 )所示 ,∵MN是BC的中垂线 ,
∴PA =PD ,PC =PB ,
又∵四边形ABCD是矩形 ,
∴AC =DB ,
即 ,
∴△PAC≌△PDB (SSS ) ,
(2 )证明：过点P作KG∥BC ,如图 (2 )
∵四边形ABCD是矩形 ,
∴AB⊥BC ,DC⊥BC
∴AB⊥KG ,DC⊥KG ,
∴在Rt△PAK中 ,PA2 =AK2 +PK2
同理 ,PC2 =CG2 +PG2；PB2 =BK2 +PK2 ,PD2 =DG2 +PG2
PA2 +PC2 =AK2 +PK2 +CG2 +PG2 ,PB2 +PD2 =BK2 +PK2 +DG2 +PG2
AB⊥KG ,DC⊥KG ,AD⊥AB ,可证得四边形ADGK是矩形 ,
∴AK =DG ,同理CG =BK ,
∴AK2 =DG2 ,CG2 =BK2
∴PA2 +PC2 =PB2 +PD2
(3 )∵点B的坐标为 (1 ,1 ) ,点D的坐标为 (5 ,3 )
∴BC =4 ,AB =2 ,
∴S矩形ABCD =4×2 =8 ,
直线HI垂直BC于点I ,交AD于点H ,
当点P在直线AD与BC之间时 ,
S△PAD +S△PBC =BC•HI =4 ,
即x +y =4 ,因而y与x的函数关系式为y =﹣x +4 ,
当点P在直线AD上方时 ,S△PBC﹣S△PAD =BC•HI =4 ,
而y与x的函数关系式为y =4 +x ,
当点P在直线BC下方时 ,S△PAD﹣S△PBC =BC•HI =4 ,
y与x的函数关系式为y =x﹣4．
【点评】此题主要考查了矩形的判定与全等三角形的判定以及分类讨论思想应用 ,根据得出P点不同位置得出y与x之间的关系是解题关键．
参与本试卷答题和审题的老师有：HJJ；zhangCF；HLing；冯延鹏；workholic；gsls；Liuzhx；gbl210；2300680618；ZJX；sd2021；张其铎；caicl；Linaliu；张超 .；sjzx；CJX (排名不分先后 )
2021年11月24日
2023年河北省承德市八校联考中考数学模拟试卷(含解析)
一、选择题：本大题共10小题 ,每题3分 ,共30分．
1． (3分 )﹣2的绝|对值等于 ( )
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
2． (3分 )某汽车参展商为参加第8届中|国 (长春 )国际汽车博览会 ,印制了105 000张宣传彩页．105 000这个数字用科学记数法表示为 ( )
A．10.5×104 B．1.05×105 C．1.05×106 D．0.105×106
3． (3分 )右图是由4个相同的小正方体组成的几何体 ,其俯视图为 ( )
A． B． C． D．
4． (3分 )一条葡萄藤上结有五串葡萄 ,每串葡萄的粒数如下图 (单位：粒 )．那么这组数据的中位数为 ( )
A．37 B．35 C．33.8 D．32
5． (3分 )关于x的方程mx﹣1 =2x的解为正实数 ,那么m的取值范围是 ( )
A．m≥2 B．m≤2 C．m＞2 D．m＜2
6． (3分 )在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中 ,是轴对称图形的是 ( )
A． B． C． D．
7． (3分 )以下命题中 ,假命题是 ( )
A．经过两点有且只有一条直线
B．平行四边形的对角线相等
C．两腰相等的梯形叫做等腰梯形
D．圆的切线垂直于经过切点的半径
8． (3分 )现定义运算 "★〞 ,对于任意实数a、b ,都有a★b =a2﹣3a +b ,如：4★5 =42﹣3×4 +5 ,假设x★2 =6 ,那么实数x的值是 ( )
A．﹣4或﹣1 B．4或﹣1 C．4或﹣2 D．﹣4或2
9． (3分 )如图 ,矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上 ,点B的坐标为 (3 ,2 )．点D、E 分别在AB、BC边上 ,BD =BE =1．沿直线将△BDE翻折 ,点B落在点B′处．那么点B′的坐标为 ( )
A． (1 ,2 ) B． (2 ,1 ) C． (2 ,2 ) D． (3 ,1 )
10． (3分 )如图 ,将边长为a的正六边形A1A2A3A4A5A6在直线l上由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动 ,当A1第|一次滚动到图2位置时 ,顶点A1所经过的路径的长为 ( )
A． B． C． D．
二、填空题 (本大题共6小题 ,每题3分 ,共18分 )
11． (3分 )函数中 ,自变量x的取值范围是 ．
12． (3分 )分解因式：a3﹣2a2 +a = ．
13． (3分 )如图 ,菱形ABCD的边长为5 ,对角线AC ,BD相交于点O ,BD =6 ,那么菱形ABCD的面积为 ．
14． (3分 )如图 ,将三角板的直角顶点放在⊙O的圆心上 ,两条直角边分别交⊙O于A、B两点 ,点P在优弧AB上 ,且与点A、B不重合 ,连接PA、PB．那么∠APB的大小为 度．
15． (3分 )双曲线y1、y2在第|一象限的图象如图 , ,过y1上的任意一点A ,作x轴的平行线交y2于B ,交y轴于C ,假设S△AOB =1 ,那么y2的解析式是 ．
16． (3分 )假设a1 =1﹣ ,a2 =1﹣ ,a3 =1 ,… ,那么a2021的值为 ．
三、解答题：
17． (5分 )化简：．
18． (6分 )在▱ABCD中 ,点E、F分别在AB、CD上 ,且AE =CF．
(1 )求证：△ADE≌△CBF；
(2 )假设DF =BF ,求证：四边形DEBF为菱形．
19． (8分 )2021年5月19日 ,中|国首|个旅游日正式启动．某校组织了八年级|800名学生参加的旅游地理知识竞赛 ,李老师为了了解学生对旅游地理知识的掌握情况 ,从中随机抽取了局部学生的成绩作为样本 ,把成绩按优秀、良好、及格和不及格4个级|别进行统计 ,并绘制了如下图的条形统计图和扇形统计图 (局部信息未给出 )．
请根据以上提供的信息 ,解答以下问题：
(1 )求被抽取局部学生的人数；
(2 )请补全条形统计图 ,并求出扇形统计图中表示及格的扇形的圆心角度数；
(3 )请估计八年级|800名学生中到达良好和优秀的总人数．
20． (8分 )把大小和形状完全相同的6张卡片分成两组 ,每组3张 ,分别标上1、2、3 ,将这两组卡片分别放入两个盒子中搅匀 ,再从中随机抽取一张．
(1 )试求取出的两张卡片数字之和为奇数的概率；
(2 )假设取出的两张卡片数字之和为奇数 ,那么甲胜；取出的两张卡片数字之和为偶数 ,那么乙胜；试分析这个游戏是否公平 ?请说明理由．
21． (8分 )钓鱼岛及其附属岛屿是中|国固有领土 (如图1 ) ,A、B、C分别是钓鱼岛、南小岛、黄尾屿上的点 (如图2 ) ,点C在点A的北偏东47°方向 ,点B在点A的南偏东79°方向 ,且A、B两点的距离约为5.5km；同时 ,点B在点C的南偏西36°方向．假设一艘中|国渔船以30km/h的速度从点A驶向点C捕鱼 ,需要多长时间到达 (结果保存小数点后两位 ) ? (参考数据：sin54°≈0.81 ,cos54°≈0.59 ,tan47°≈1.07 ,tan36°≈0.73 ,tan11°≈0.19 )
22． (8分 )某公司销售一种新型节能产品 ,现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．
假设只在国内销售 ,销售价格y (元/件 )与月销量x (件 )的函数关系式为y =x +150 ,本钱为20元/件 ,无论销售多少 ,每月还需支出广告费62500元 ,设月利润为w内 (元 ) (利润 =销售额﹣本钱﹣广告费 )．
假设只在国外销售 ,销售价格为150元/件 ,受各种不确定因素影响 ,本钱为a元/件 (a为常数 ,10≤a≤40 ) ,当月销量为x (件 )时 ,每月还需缴纳x2元的附加费 ,设月利润为w外 (元 ) (利润 =销售额﹣本钱﹣附加费 )．
(1 )当x =1000时 ,y = 元/件 ,w内 = 元；
(2 )分别求出w内 ,w外与x间的函数关系式 (不必写x的取值范围 )；
(3 )当x为何值时 ,在国内销售的月利润最|大 ?假设在国外销售月利润的最|大值与在国内销售月利润的最|大值相同 ,求a的值；
(4 )如果某月要将5000件产品全部销售完 ,请你通过分析帮公司决策 ,选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大 ?
参考公式：抛物线y =ax2 +bx +c (a≠0 )的顶点坐标是 ( )．
23． (8分 )如图 ,⊙O是Rt△ABC的外接圆 ,AC是⊙O的直径 ,弦BD =BA ,AB =12 ,BC =5 ,BE⊥DC ,交DC的延长线于点E．
(1 )求证：△ABC∽△DEB；
(2 )求证：BE是⊙O的切线；
(3 )求DE的长．
24． (10分 )如图1 ,抛物线y =ax2﹣3ax +3交x轴分别于A (﹣1 ,0 )、B (4 ,0 )两点 ,交y轴于C．
(1 )求抛物线的解析式；
(2 )将抛物线沿y轴平移交y轴于点D ,当BD =2CD时 ,求点D的坐标；
(3 )如图2 ,假设将抛物线沿直线x =m翻折 ,使翻折后的抛物线交直线BC于P、Q两点 ,且P、Q关于C点对称 ,求m的值．
25． (11分 )如图 ,四边形ABCD是矩形 ,点P是直线AD与BC外的任意一点 ,连接PA、PB、PC、PD．请解答以下问题：
(1 )如图1 ,当点P在线段BC的垂直平分线MN上 (对角线AC与BD的交点Q除外 )时 ,证明△PAC≌△PDB；
(2 )如图2 ,当点P在矩形ABCD内部时 ,求证：PA2 +PC2 =PB2 +PD2；
(3 )假设矩形ABCD在平面直角坐标系xOy中 ,点B的坐标为 (1 ,1 ) ,点D的坐标为 (5 ,3 ) ,如图3所示 ,设△PBC的面积为y ,△PAD的面积为x ,求y与x之间的函数关系式．
2023年河北省承德市八校联考中考数学模拟试卷(含解析)
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题 ,每题3分 ,共30分．
1． (3分 ) (2021•长春 )﹣2的绝|对值等于 ( )
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
【分析】根据绝|对值的性质：一个负数的绝|对值是它的相反数解答即可．
【解答】解：根据绝|对值的性质 ,
|﹣2| =2．
应选D．
【点评】此题考查了绝|对值的性质：一个正数的绝|对值是它本身 ,一个负数的绝|对值是它的相反数 ,0的绝|对值是0 ,难度适中．
2． (3分 ) (2021•长春 )某汽车参展商为参加第8届中|国 (长春 )国际汽车博览会 ,印制了105 000张宣传彩页．105 000这个数字用科学记数法表示为 ( )
A．10.5×104 B．1.05×105 C．1.05×106 D．0.105×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式 ,其中1≤|a|＜10 ,n为整数．确定n的值时 ,要看把原数变成a时 ,小数点移动了多少位 ,n的绝|对值与小数点移动的位数相同．当原数绝|对值＞1时 ,n是正数；当原数的绝|对值＜1时 ,n是负数．
【解答】解：105 000 =1.05×105．
应选B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式 ,其中1≤|a|＜10 ,n为整数 ,表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3． (3分 ) (2021•长春 )右图是由4个相同的小正方体组成的几何体 ,其俯视图为 ( )
A． B． C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可．
【解答】解：从上面看可得到从上往下两行正方形的个数依次为2 ,1 ,并且在左上方．
应选C．
【点评】此题考查了三视图的知识 ,俯视图是从物体的上面看得到的视图．
4． (3分 ) (2021•长春 )一条葡萄藤上结有五串葡萄 ,每串葡萄的粒数如下图 (单位：粒 )．那么这组数据的中位数为 ( )
A．37 B．35 C．33.8 D．32
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列 ,位于最|中间的一个数 (或两个数的平均数 )为中位数．
【解答】解：先对这组数据按从小到大的顺序重新排序：28 ,32 ,35 ,37 ,37 ,
位于最|中间的数是35 ,
∴这组数的中位数是35．
应选B．
【点评】此题主要考查了确定一组数据的中位数的能力 ,注意找中位数的时候一定要先排好顺序 ,然后再根据奇数和偶数个来确定中位数 ,如果数据有奇数个 ,那么正中间的数字即为所求 ,如果是偶数个那么找中间两位数的平均数 ,难度适中．
5． (3分 ) (2021•南通 )关于x的方程mx﹣1 =2x的解为正实数 ,那么m的取值范围是 ( )
A．m≥2 B．m≤2 C．m＞2 D．m＜2
【分析】根据题意可得x＞0 ,将x化成关于m的一元一次方程 ,然后根据x的取值范围即可求出m的取值范围．
【解答】解：由mx﹣1 =2x ,
移项、合并 ,得 (m﹣2 )x =1 ,
∴x =．
∵方程mx﹣1 =2x的解为正实数 ,
∴＞0 ,
解得m＞2．
应选C．
【点评】此题考查的是一元一次方程的解法 ,将x用含m的代数式来表示 ,根据x的取值范围可求出m的取值范围．
6． (3分 ) (2021•庆阳 )在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中 ,是轴对称图形的是 ( )
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两局部完全重合 ,这样的图形叫做轴对称图形 ,这条直线叫做对称轴．
【解答】解：A、是轴对称图形 ,故A符合题意；
B、不是轴对称图形 ,故B不符合题意；
C、不是轴对称图形 ,故C不符合题意；
D、不是轴对称图形 ,故D不符合题意．
应选：A．
【点评】此题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴 ,图形两局部折叠后可重合．
7． (3分 ) (2021•漳州 )以下命题中 ,假命题是 ( )
A．经过两点有且只有一条直线
B．平行四边形的对角线相等
C．两腰相等的梯形叫做等腰梯形
D．圆的切线垂直于经过切点的半径
【分析】根据直线的性质、平行四边形的性质、等腰梯形的性质和切线的性质判断各选项即可．
【解答】解：A、经过两点有且只有一条直线 ,故本选项正确；
B、平行四边形的对角线不一定相等 ,故本选项错误；
C、两腰相等的梯形叫做等腰梯形 ,故本选项正确
D、圆的切线垂直于经过切点的半径 ,故本选项正确．
应选B．
【点评】此题考查了直线的性质、平行四边形的性质、等腰梯形的性质和切线的性质 ,属于根底题 ,注意这些知识的熟练掌握．
8． (3分 ) (2021•宁津县模拟 )现定义运算 "★〞 ,对于任意实数a、b ,都有a★b =a2﹣3a +b ,如：4★5 =42﹣3×4 +5 ,假设x★2 =6 ,那么实数x的值是 ( )
A．﹣4或﹣1 B．4或﹣1 C．4或﹣2 D．﹣4或2
【分析】先根据新定义得到x2﹣3x +2 =6 ,整理得x2﹣3x﹣4 =0 ,再把方程左边分解 ,原方程化为x﹣4 =0或x +1 =0 ,然后解一次方程即可．
【解答】解：∵x★2 =6 ,
∴x2﹣3x +2 =6 ,
整理得x2﹣3x﹣4 =0 ,
∴ (x﹣4 ) (x +1 ) =0 ,
∴x﹣4 =0或x +1 =0 ,
∴x1 =4 ,x2 =﹣1．
应选B．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右边变形为0 ,然后把方程左边进行因式分解 ,这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程 ,再解一次方程可得到一元二次方程的解．
9． (3分 ) (2021•长春 )如图 ,矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上 ,点B的坐标为 (3 ,2 )．点D、E 分别在AB、BC边上 ,BD =BE =1．沿直线将△BDE翻折 ,点B落在点B′处．那么点B′的坐标为 ( )
A． (1 ,2 ) B． (2 ,1 ) C． (2 ,2 ) D． (3 ,1 )
【分析】首|先根据折叠可以得到B′E =BE ,B′D =BD ,又点B的坐标为 (3 ,2 ) ,BD =BE =1 ,根据这些条件即可确定B′的坐标．
【解答】解：∵矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上 ,点B的坐标为 (3 ,2 ) ,
∴CB =3 ,AB =2 ,
又根据折叠得B′E =BE ,B′D =BD ,而BD =BE =1 ,
∴CE =2 ,AD =1 ,
∴B′的坐标为 (2 ,1 )．
应选B．
【点评】此题主要考查了折叠问题 ,解题的关键是利用折叠的隐含条件得到相等的线段 ,然后利用线段的长度即可确定点的坐标．
10． (3分 ) (2021•桂林 )如图 ,将边长为a的正六边形A1A2A3A4A5A6在直线l上由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动 ,当A1第|一次滚动到图2位置时 ,顶点A1所经过的路径的长为 ( )
A． B． C． D．
【分析】连A1A5 ,A1A4 ,A1A3 ,作A6C⊥A1A5 ,利用正六边形的性质分别计算出A1A4 =2a ,A1A5 =A1A3 =a ,而当A1第|一次滚动到图2位置时 ,顶点A1所经过的路径分别是以A6 ,A5 ,A4 ,A3 ,A2为圆心 ,以a ,a ,2a ,a ,a为半径 ,圆心角都为60°的五条弧 ,然后根据弧长公式进行计算即可．
【解答】解：连A1A5 ,A1A4 ,A1A3 ,作A6C⊥A1A5 ,如图 ,
∵六边形A1A2A3A4A5A6为正六边形 ,
∴A1A4 =2a ,∠A1A6A5 =120° ,
∴∠CA1A6 =30° ,
∴A6C =a ,A1C =a ,
∴A1A5 =A1A3 =a ,
当A1第|一次滚动到图2位置时 ,顶点A1所经过的路径分别是以A6 ,A5 ,A4 ,A3 ,A2为圆心 ,
以a ,a ,2a ,a ,a为半径 ,圆心角都为60°的五条弧 ,
∴顶点A1所经过的路径的长 = + + + + ,
=πa．
应选：A．
【点评】此题考查了弧长公式：l =；也考查了正六边形的性质以及旋转的性质．
二、填空题 (本大题共6小题 ,每题3分 ,共18分 )
11． (3分 ) (2021•海南 )函数中 ,自变量x的取值范围是 x≥﹣1且x≠2 ．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义 ,被开方数大于或等于0 ,分母不等于0 ,可以求出x的范围．
【解答】解：根据题意得：x +1≥0且x﹣2≠0 ,
解得：x≥﹣1且x≠2．
故答案为：x≥﹣1且x≠2．
【点评】考查了函数自变量的取值范围 ,函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
(1 )当函数表达式是整式时 ,自变量可取全体实数；
(2 )当函数表达式是分式时 ,考虑分式的分母不能为0；
(3 )当函数表达式是二次根式时 ,被开方数非负．
12． (3分 ) (2021•南平 )分解因式：a3﹣2a2 +a = a (a﹣1 )2 ．
【分析】此多项式有公因式 ,应先提取公因式a ,再对余下的多项式进行观察 ,有3项 ,可利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：a3﹣2a2 +a
=a (a2﹣2a +1 )
=a (a﹣1 )2．
故答案为：a (a﹣1 )2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法分解因式 ,要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解 ,一般来说 ,如果可以先提取公因式的要先提取公因式 ,再考虑运用公式法分解．
13． (3分 ) (2021•海安县模拟 )如图 ,菱形ABCD的边长为5 ,对角线AC ,BD相交于点O ,BD =6 ,那么菱形ABCD的面积为 24 ．
【分析】根据菱形的对角线互相垂直且互相平分可得出对角线AC的长度 ,进而根据对角线乘积的一半可得出菱形的面积．
【解答】解：由题意得：AO = =4 ,
∴AC =8 ,
故可得菱形ABCD的面积为×8×6 =24．
故答案为：24．
【点评】此题考查了菱形面积的计算 ,考查了勾股定理在直角三角形中的运用 ,考查了菱形各边长相等的性质．
14． (3分 ) (2021•长春 )如图 ,将三角板的直角顶点放在⊙O的圆心上 ,两条直角边分别交⊙O于A、B两点 ,点P在优弧AB上 ,且与点A、B不重合 ,连接PA、PB．那么∠APB的大小为 45 度．
【分析】∠AOB与∠APB为所对的圆心角和圆周角 ,∠AOB =90° ,利用圆周角定理求解．
【解答】解：∵∠AOB与∠APB为所对的圆心角和圆周角 ,
∴∠APB =∠AOB =×90° =45°．
故答案为：45．
【点评】此题考查了圆周角定理的运用．关键是确定同弧所对的圆心角和圆周角 ,利用圆周角定理．
15． (3分 ) (2021•桂林 )双曲线y1、y2在第|一象限的图象如图 , ,过y1上的任意一点A ,作x轴的平行线交y2于B ,交y轴于C ,假设S△AOB =1 ,那么y2的解析式是 y2 = ．
【分析】根据 ,过y1上的任意一点A ,得出△CAO的面积为2 ,进而得出△CBO面积为3 ,即可得出y2的解析式．
【解答】解：∵ ,过y1上的任意一点A ,作x轴的平行线交y2于B ,交y轴于C ,
∴S△AOC =×4 =2 ,
∵S△AOB =1 ,
∴△CBO面积为3 ,
∴k =xy =6 ,
∴y2的解析式是：y2 =．
故答案为：y2 =．
【点评】此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义 ,根据得出△CAO的面积为2 ,进而得出△CBO面积为3是解决问题的关键．
16． (3分 ) (2021•南京校级|二模 )假设a1 =1﹣ ,a2 =1﹣ ,a3 =1 ,… ,那么a2021的值为 ．
【分析】根据计算 ,发现规律：每三次一循环 ,根据规律 ,可得答案．
【解答】解：a1 =1﹣ ,
a2 =1﹣ =1﹣ ,
a3 =1 =1﹣ (1﹣m ) =m ,
a4 =1﹣ =1﹣ ,
每三次一循环：2021÷3 =671…2 ,
a2021是即第671轮第二个： ,
故答案为：．
【点评】此题考查了数字的变化类 ,发现规律是解题关键．
三、解答题：
17． (5分 ) (2021•陆川县校级|一模 )化简：．
【分析】分母不变 ,直接把分子相加减即可．
【解答】解：原式 =
=
=2．
【点评】此题考查的是分式的加减法 ,熟知同分母的分数相加减 ,分母不变 ,分子相加减是解答此题的关键．
18． (6分 ) (2021•雅安 )在▱ABCD中 ,点E、F分别在AB、CD上 ,且AE =CF．
(1 )求证：△ADE≌△CBF；
(2 )假设DF =BF ,求证：四边形DEBF为菱形．
【分析】 (1 )首|先根据平行四边形的性质可得AD =BC ,∠A =∠C ,再加上条件AE =CF可利用SAS证明△ADE≌△CBF；
(2 )首|先证明DF =BE ,再加上条件AB∥CD可得四边形DEBF是平行四边形 ,又DF =FB ,可根据邻边相等的平行四边形为菱形证出结论．
【解答】证明： (1 )∵四边形ABCD是平行四边形 ,
∴AD =BC ,∠A =∠C ,
∵在△ADE和△CBF中 ,
,
∴△ADE≌△CBF (SAS )；
(2 )∵四边形ABCD是平行四边形 ,
∴AB∥CD ,AB =CD ,
∵AE =CF ,
∴DF =EB ,
∴四边形DEBF是平行四边形 ,
又∵DF =FB ,
∴四边形DEBF为菱形．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定 ,以及菱形的判定 ,关键是掌握全等三角形的判定定理 ,以及菱形的判定定理 ,平行四边形的性质．
19． (8分 ) (2021•台州 )2021年5月19日 ,中|国首|个旅游日正式启动．某校组织了八年级|800名学生参加的旅游地理知识竞赛 ,李老师为了了解学生对旅游地理知识的掌握情况 ,从中随机抽取了局部学生的成绩作为样本 ,把成绩按优秀、良好、及格和不及格4个级|别进行统计 ,并绘制了如下图的条形统计图和扇形统计图 (局部信息未给出 )．
请根据以上提供的信息 ,解答以下问题：
(1 )求被抽取局部学生的人数；
(2 )请补全条形统计图 ,并求出扇形统计图中表示及格的扇形的圆心角度数；
(3 )请估计八年级|800名学生中到达良好和优秀的总人数．
【分析】 (1 )用不及格的百分比除以不及格人数即为被抽取局部学生的人数；
(2 )及格的百分比等于 ,再求得优秀百分比和人数 ,用360°乘以及格的百分比即求出表示及格的扇形的圆心角度数；
(3 )先计算出被抽查的学生中到达良好和优秀的百分比 ,再乘以800即可．
【解答】解： (1 )10÷10% =100 (人 ) ,
(2 )良好：40%×100 =40 (人 ) ,
优秀：100﹣40﹣10﹣30 =20 (人 ) ,
表示及格的扇形的圆心角度数：30÷100×360° =108° ,
如图：
(3 ) (40 +20 )÷100×800 =480 (人 ) ,
答：估计八年级|800名学生中到达良好和优秀的总人数为480人．
【点评】此题考查了条形统计图和扇形统计图 ,以及用样本来估计总体 ,是根底知识 ,要熟练掌握．
20． (8分 ) (2021•湛江 )把大小和形状完全相同的6张卡片分成两组 ,每组3张 ,分别标上1、2、3 ,将这两组卡片分别放入两个盒子中搅匀 ,再从中随机抽取一张．
(1 )试求取出的两张卡片数字之和为奇数的概率；
(2 )假设取出的两张卡片数字之和为奇数 ,那么甲胜；取出的两张卡片数字之和为偶数 ,那么乙胜；试分析这个游戏是否公平 ?请说明理由．
【分析】 (1 )依据题意画树状图法分析所有等可能和出现所有结果的可能 ,然后根据概率公式求出该事件的概率；
(2 )根据 (1 )中所求 ,进而求出两人获胜的概率 ,即可得出答案．
【解答】解： (1 )画树状图得：
,
由上图可知 ,所有等可能结果共有9种 ,其中两张卡片数字之和为奇数的结果有4种．
∴P =．
(2 )不公平；
理由：
由 (1 )可得出：取出的两张卡片数字之和为偶数的概率为：．
∵＜ ,
∴这个游戏不公平．
【点评】此题主要考查了游戏公平性 ,用树状图或表格表达事件出现的可能性是求解概率的常用方法．用到的知识点为：概率 =所求情况数与总情况数之比．
21． (8分 ) (2021•济宁 )钓鱼岛及其附属岛屿是中|国固有领土 (如图1 ) ,A、B、C分别是钓鱼岛、南小岛、黄尾屿上的点 (如图2 ) ,点C在点A的北偏东47°方向 ,点B在点A的南偏东79°方向 ,且A、B两点的距离约为5.5km；同时 ,点B在点C的南偏西36°方向．假设一艘中|国渔船以30km/h的速度从点A驶向点C捕鱼 ,需要多长时间到达 (结果保存小数点后两位 ) ? (参考数据：sin54°≈0.81 ,cos54°≈0.59 ,tan47°≈1.07 ,tan36°≈0.73 ,tan11°≈0.19 )
【分析】过点B作BD⊥AC交AC于点D ,根据方向角分别求出∠DAB和∠DCB的度数 ,然后在Rt△ABD和Rt△BCD中 ,分别解直角三角形求出AD、CD的长度 ,然后根据时间 =路程÷速度即可求出需要的时间．
【解答】解：过点B作BD⊥AC交AC于点D ,
由题意得 ,∠DAB =180°﹣47°﹣79° =54° ,
∠DCB =47°﹣36° =11° ,
在Rt△ABD中 ,
∵AB =5.5 ,∠DAB =54° ,
=cos54° , =sin54° ,
∴AD =5.5×0.59 =3.245 ,BD =4.455 ,
在Rt△BCD中 ,
∵BD =4.455 ,∠DCB =11° ,
∴ =tan11° ,
∴CD = =23.447 ,
∴AC =AD +CD =3.245 +23.447 =26.692≈26.70 (km ) ,
那么时间t =26.70÷30≈0.89 (h )．
答：需要0.89h到达．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用 ,难度适中 ,解答此题的关键是构造直角三角形并解直角三角形 ,
22． (8分 ) (2021•河北 )某公司销售一种新型节能产品 ,现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．
假设只在国内销售 ,销售价格y (元/件 )与月销量x (件 )的函数关系式为y =x +150 ,本钱为20元/件 ,无论销售多少 ,每月还需支出广告费62500元 ,设月利润为w内 (元 ) (利润 =销售额﹣本钱﹣广告费 )．
假设只在国外销售 ,销售价格为150元/件 ,受各种不确定因素影响 ,本钱为a元/件 (a为常数 ,10≤a≤40 ) ,当月销量为x (件 )时 ,每月还需缴纳x2元的附加费 ,设月利润为w外 (元 ) (利润 =销售额﹣本钱﹣附加费 )．
(1 )当x =1000时 ,y = 140 元/件 ,w内 = 57500 元；
(2 )分别求出w内 ,w外与x间的函数关系式 (不必写x的取值范围 )；
(3 )当x为何值时 ,在国内销售的月利润最|大 ?假设在国外销售月利润的最|大值与在国内销售月利润的最|大值相同 ,求a的值；
(4 )如果某月要将5000件产品全部销售完 ,请你通过分析帮公司决策 ,选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大 ?
参考公式：抛物线y =ax2 +bx +c (a≠0 )的顶点坐标是 ( )．
【分析】 (1 )将x =1000代入函数关系式求得y ,并根据等量关系 "利润 =销售额﹣本钱﹣广告费〞求得w内；
(2 )根据等量关系 "利润 =销售额﹣本钱﹣广告费〞 "利润 =销售额﹣本钱﹣附加费〞列出两个函数关系式；
(3 )对w内函数的函数关系式求得最|大值 ,再求出w外的最|大值并令二者相等求得a值；
(4 )通过对国内和国外的利润比拟 ,又由于a值不确定 ,故要讨论a的取值范围．
【解答】解： (1 )x =1000 ,y =×1000 +150 =140 ,
w内 = (140﹣20 )×1000﹣62500 =57500．
(2 )w内 =x (y﹣20 )﹣62500 =x2 +130x﹣62500 ,
w外 =x2 + (150﹣a )x．
(3 )当x = =6500时 ,w内最|大；
由题意在国外销售月利润的最|大值与在国内销售月利润的最|大值相同 ,得：
= ,
解得a1 =30 ,a2 =270 (不合题意 ,舍去 )．
∴a =30．
(4 )当x =5000时 ,w内 =337500 ,w外 =﹣5000a +500000．
假设w内＜w外 ,那么a＜32.5；
假设w内 =w外 ,那么a =32.5；
假设w内＞w外 ,那么a＞32.5．
∴当10≤a＜32.5时 ,选择在国外销售；
当a =32.5时 ,在国外和国内销售都一样；
当32.5＜a≤40时 ,选择在国内销售．
【点评】此题是一道综合类题目 ,考查了同学们运用函数分析问题、解决问题的能力．
23． (8分 ) (2021•石城县模拟 )如图 ,⊙O是Rt△ABC的外接圆 ,AC是⊙O的直径 ,弦BD =BA ,AB =12 ,BC =5 ,BE⊥DC ,交DC的延长线于点E．
(1 )求证：△ABC∽△DEB；
(2 )求证：BE是⊙O的切线；
(3 )求DE的长．
【分析】 (1 )根据BDE =∠CAB (圆周角定理 )且∠BED =∠CBA =90°即可得出结论；
(2 )连接OB ,OD ,证明△ABO≌△DBO ,推出OB∥DE ,继而判断OB⊥DE ,可得出结论．
(3 )根据△BED∽△CBA ,利用对应边成比例的性质可求出DE的长度．
【解答】 (1 )BDE =∠CAB (圆周角定理 )且∠BED =∠CBA =90° ,
∴△ABC∽△DEB；
(2 )证明：连结OB ,OD ,
在△ABO和△DBO中 ,
,
∴△ABO≌△DBO (SSS ) ,
∴∠DBO =∠ABO ,
∵∠ABO =∠OAB =∠BDC ,
∴∠DBO =∠BDC ,
∴OB∥ED ,
∵BE⊥ED ,
∴EB⊥BO ,
∴OB⊥BE ,
∴BE是⊙O的切线．
(3 )∵△BED∽△CBA ,
∴ ,
即 = ,
解得：DE =．
【点评】此题考查了切线的判定及圆周角定理的知识 ,综合考查的知识点较多 ,解答此题要求同学们熟练掌握一些定理的内容．
24． (10分 ) (2021•西安模拟 )如图1 ,抛物线y =ax2﹣3ax +3交x轴分别于A (﹣1 ,0 )、B (4 ,0 )两点 ,交y轴于C．
(1 )求抛物线的解析式；
(2 )将抛物线沿y轴平移交y轴于点D ,当BD =2CD时 ,求点D的坐标；
(3 )如图2 ,假设将抛物线沿直线x =m翻折 ,使翻折后的抛物线交直线BC于P、Q两点 ,且P、Q关于C点对称 ,求m的值．
【分析】 (1 )将A坐标代入抛物线解析式求出a的值 ,即可确定出抛物线解析式；
(2 )设CD =a ,BD =2a ,OD =OC +CD =a +3 ,OB =4 ,在Rt△OBD中 ,根据勾股定理得：BD2 =OD2 +OB2 ,
得到关于a的方程 ,解方程即可．
(3 )设翻折后抛物线与x轴交点为E、F．根据E与B关于x =m对称 ,A和F关于x =m对称 ,求出E (2m﹣4 ,0 ) ,F (2m +1 ,0 ) ,可得翻折后的解析式 ,与BC解析式联立 ,得到一元二次方程 ,根据根与系数的关系 ,得到4m﹣2 =0 ,求出m的值．
【解答】解： (1 )将A (﹣1 ,0 )代入抛物线解析式得：0 =a +3a +3 ,
解得：a =﹣ ,
那么抛物线解析式为y =﹣x2 +x +3；
(2 )设CD =a ,BD =2a ,
∴OD =OC +CD =a +3 ,OB =4 ,
在Rt△OBD中 ,根据勾股定理得：BD2 =OD2 +OB2
即4a2 = (a +3 )2 +16 ,
解得：a =1 + (负值舍去 ) ,
∴D (0 ,1 + )；
(3 )如图 ,设翻折后抛物线与x轴交点为E、F．
∵E与B关于x =m对称 ,A和F关于x =m对称 ,
∴E (2m﹣4 ,0 ) ,F (2m +1 ,0 ) ,
设翻折后的解析式为y =﹣ (x﹣2m +4 ) (x﹣2m﹣1 )
=﹣[x2﹣ (4m﹣3 )x +4m2﹣6m﹣4]
=﹣x2 + (4m﹣3 )x﹣3m2 +m +3
设BC解析式为y =kx +b ,
将B (4 ,0 )和C (0 ,4 )分别代入解析式得 , ,
解得 , ,
解析式为y =﹣x +3．
令y =﹣x2 + (4m﹣3 )x﹣3m2 +m +3和y =﹣x +3的值相等 ,得
﹣x2 + (4m﹣3 )x﹣3m2 +m +3 =﹣x +3 ,
整理得x2﹣ (4m﹣2 )x +4m2﹣6m +8 =0 ,
∵P、Q关于C点对称 ,
∴P、Q的横坐标互为相反数 ,
那么4m﹣2 =0 ,
m =．
【点评】此题考查了二次函数综合题 ,涉及抛物线与x轴的交点 ,待定系数法求函数解析式、根与系数的关系等知识 ,难度较大．
25． (11分 ) (2021•海安县模拟 )如图 ,四边形ABCD是矩形 ,点P是直线AD与BC外的任意一点 ,连接PA、PB、PC、PD．请解答以下问题：
(1 )如图1 ,当点P在线段BC的垂直平分线MN上 (对角线AC与BD的交点Q除外 )时 ,证明△PAC≌△PDB；
(2 )如图2 ,当点P在矩形ABCD内部时 ,求证：PA2 +PC2 =PB2 +PD2；
(3 )假设矩形ABCD在平面直角坐标系xOy中 ,点B的坐标为 (1 ,1 ) ,点D的坐标为 (5 ,3 ) ,如图3所示 ,设△PBC的面积为y ,△PAD的面积为x ,求y与x之间的函数关系式．
【分析】 (1 )利用三角形三边关系对应相等得出△PAC≌△PDB即可；
(2 )利用可证得四边形ADGK是矩形 ,进而得出AK2 =DG2 ,CG2 =BK2 ,即可得出答案；
(3 )结合图形得出当点P在直线AD与BC之间时 ,以及当点P在直线AD上方时和当点P在直线BC下方时 ,分别求出即可．
【解答】解： (1 )作BC的中垂线MN ,在MN上取点P ,连接PA、PB、PC、PD ,
如图 (1 )所示 ,∵MN是BC的中垂线 ,
∴PA =PD ,PC =PB ,
又∵四边形ABCD是矩形 ,
∴AC =DB ,
即 ,
∴△PAC≌△PDB (SSS ) ,
(2 )证明：过点P作KG∥BC ,如图 (2 )
∵四边形ABCD是矩形 ,
∴AB⊥BC ,DC⊥BC
∴AB⊥KG ,DC⊥KG ,
∴在Rt△PAK中 ,PA2 =AK2 +PK2
同理 ,PC2 =CG2 +PG2；PB2 =BK2 +PK2 ,PD2 =DG2 +PG2
PA2 +PC2 =AK2 +PK2 +CG2 +PG2 ,PB2 +PD2 =BK2 +PK2 +DG2 +PG2
AB⊥KG ,DC⊥KG ,AD⊥AB ,可证得四边形ADGK是矩形 ,
∴AK =DG ,同理CG =BK ,
∴AK2 =DG2 ,CG2 =BK2
∴PA2 +PC2 =PB2 +PD2
(3 )∵点B的坐标为 (1 ,1 ) ,点D的坐标为 (5 ,3 )
∴BC =4 ,AB =2 ,
∴S矩形ABCD =4×2 =8 ,
直线HI垂直BC于点I ,交AD于点H ,
当点P在直线AD与BC之间时 ,
S△PAD +S△PBC =BC•HI =4 ,
即x +y =4 ,因而y与x的函数关系式为y =﹣x +4 ,
当点P在直线AD上方时 ,S△PBC﹣S△PAD =BC•HI =4 ,
而y与x的函数关系式为y =4 +x ,
当点P在直线BC下方时 ,S△PAD﹣S△PBC =BC•HI =4 ,
y与x的函数关系式为y =x﹣4．
【点评】此题主要考查了矩形的判定与全等三角形的判定以及分类讨论思想应用 ,根据得出P点不同位置得出y与x之间的关系是解题关键．
参与本试卷答题和审题的老师有：HJJ；zhangCF；HLing；冯延鹏；workholic；gsls；Liuzhx；gbl210；2300680618；ZJX；sd2021；张其铎；caicl；Linaliu；张超 .；sjzx；CJX (排名不分先后 )
2021年11月24日
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