江苏省盐城市五校联考2022-2023学年高二下学期5月阶段性测试数学试题

2022/2023学年度第二学期

五校联考阶段测试高二年级数学试题

命题人：曹经伟  审核人：史红专 做题人：童林

（总分150分     考试时间120分钟）

注意事项:

1.本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分。

2.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸

上。

3.作答非选择题时必须用黑色字迹 0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择

题必须用2B铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损。

一、单选题(共40分，每小题5分）

1．把5个相同的小球分给3个小朋友，使每个小朋友都能分到小球的分法有（    ）

A．4种 B．6种 C．21种 D．35种

2．设在处可导，则（　　）

A． B． C． D．

3．根据组合数的性质可知，（    ）

A． B． C． D．

4．已知服从正态分布的随机变量在区间，和内取值的概率分别为68.26%，95.44%和99.74%.若某校高二年级1000名学生的某次考试成绩服从正态分布N，则此次考试成绩在区间内的学生大约有（    ）

A．477人 B．136人 C．341人 D．131人

5．《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡肉、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（    ）

A．6种 B．12种 C．36种 D．72种

6．已知，且满足，为自然对数的底数，则（    ）

A． B． C． D．

7．抛掷三枚质地均匀的硬币一次，在有一枚正面朝上的条件下，另外两枚也正面朝上的概率是（    ）

A． B． C． D．

8．若不等式对任意恒成立，则实数m的取值范围是（    ）．

A． B．

C． D．以上均不正确

二、多选题(共20分，每小题5分，少选得2分，错选得0分）

9．下列命题正确的是（    ）

A．在回归分析中，相关指数越小，说明回归效果越好

B．已知若根据2×2列联表得到的观测值为4.1，则有95%的把握认为两个分类变量有关

C．已知由一组样本数据（，2，，n）得到的回归直线方程为，且，则这组样本数据中一定有

D．若随机变量，则不论取何值，为定值

10．某车间加工同一型号零件，第一、二台车床加工的零件分别占总数的40%，60%，各自产品中的次品率分别为6%，5%.记“任取一个零件为第i台车床加工”为事件，“任取一个零件是次品”为事件B，则（    ）

A． B．

C． D．

11．在空间直角坐标系中，，则（    ）

A．

B．点B到平面的距离是2

C．异面直线与所成角的余弦值

D．点O到直线的距离是

12．给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数．以下四个函数在上不是凸函数的是（    ）

A． B．

C． D．

三、填空题(共20分，每题5分）

13．已知，则__________．（用数字作答）

14．曲线在点处的切线方程为___________.

15．设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球，现从甲袋中任取1球放入乙袋，再从乙袋中任取2球，则取出的全是红球的概率为________________.

16．已知变量，的关系可以用模型拟合，设，其变换后得到一组数据如下：

由上表可得线性回归方程，则______．

四、解答题(共70分,17题10分，18-22每题12分）

17．如图 ，在四棱锥中，,，为棱的中点，.

(1)证明：平面；

(2)若二面角的大小为,求直线与平面所成角的正弦值.

18．已知函数，.

(1)求函数的极值；

(2)若不等式在上恒成立，求a的取值范围.

19．某生物制品研究所将某一型号疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验，得到统计数据如表所示．现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为．

(1)求2×2列联表中的数据p、q、x、y的值；

(2)能否有99%把握认为注射此种疫苗有效？

(3)在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只进行病例分析，然后从这5只小白鼠中随机抽取3只对注射疫苗情况进行核实，求至少抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的概率．

参考公式：其中．

临界值表：

20．阳澄湖大闸蟹又名金爪蟹，产于江苏省，蟹身青壳白肚，金爪黄毛，肉质膏腻，营养丰富，深受消费者喜爱．某水产品超市购进一批质量为100千克的阳澄湖大闸蟹，随机抽取了50只统计其质量（单位：克），得到的结果如下表所示：

(1)试用组中值来估计该批大闸蟹的平均质量，并估算这批大闸蟹有多少只；（结果保留整数）

(2)某顾客从抽取的10只特大蟹中随机购买了4只，记质量在区间[260，280]内的大闸蟹数量为，求的概率分布列和均值．

21．如图，在三棱锥中，，，记二面角的平面角为．

(1)若，，求三棱锥的体积；

(2)若M为BC的中点，求直线AD与EM所成角的取值范围．

22．已知函数，．

(1)讨论函数的单调性；

(2)当时，设，，函数有两个极值点．

①求m的取值范围；

②若，求的取值范围．

参考答案：

1．B

2．A

3．C

4．B

5．B

6．A

7．C

解：根据题意，可知抛掷三枚硬币，则基本事件共有8个，

其中有一枚正面朝上的基本事件有7个，

记事件为“有一枚正面朝上”，则，

记事件为“另外两枚也正面朝上”，

则为“三枚都正面朝上”，故，

故.

即在有一枚正面朝上的条件下，另外两枚也正面朝上的概率是.

8．C

解：因为对任意恒成立，

即对任意恒成立，

令，，

则，所以在上单调递增，

依题意对任意恒成立，

即对任意恒成立，

两边取对数可得，所以，

令，则，所以当时，当时，

所以在上单调递增，在上单调递减，所以，

所以，所以，即；

故选：C

9．BD

10．BCD

11．BD

12．AD

13．63

14．

15．

16．

17．(1)证明：由已知，，

又，即，

且 ，

∴平面 .

(2)

∵平面 ，∴为二面角的平面角，从而.

如图所示，在平面内，作， 以A为原点，分别以所在直线为轴，轴建立空间直角坐标系，

设，则，

∴，

设平面的法向量，

则，取，则，

设直线与平面所成角为，

则 ，

∴直线与平面所成角的正弦值为.

18．（1）函数定义域为，求导得：，

由得，由得，即在上单调递减，在上单调递增，

所以当时，有极小值，极小值为，无极大值．

（2），不等式成立，

即在上恒成立，

令，则，当时，，当时，，

因此函数在上单调递减，在上单调递增，则，即，

所以a的取值范围是.

19．（1）

由从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为，可得，解得，

又由表格中的数据可知，解得，

于是.

（2）

因为，所以能认为注射此种疫苗有效．

（3）

由于在感染病毒的小白鼠中，未注射疫苗和注射疫苗的比例为3：2，故抽取的5只小白鼠中3只未注射疫苗用a、b、c表示，2只已注射疫苗用D、E表示．从这5只小白鼠中随机抽取3只，可能的情况共有以下10种：

，，，，，，，，，；

其中至少抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的情况有以下7种：

，，，，，，；

所以至少抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的概率为．

20．

(1)

50只大闸蟹的平均质量为:（克），

所以该水产品超市购进的100千克阳澄湖大闸蟹的只数约为．

(2)

由题意知，的可能取值为0，1，2，3，

则，，，，

所以的概率分布列为

所以.

21．（1）取AC的中点F，连接FD，FE，由BC=2，则，故DF⊥AC，EF⊥AC，故∠DFE即为二面角的平面角，即，连接DE，作DH⊥FE，因为，所以平面DEF，因为DH平面DEF，所以AC⊥DH，因为，所以DH⊥平面ABC，因为，由勾股定理得：，，又，由勾股定理逆定理可知，AE⊥CE，且∠BAC=，，在△ABC中，由余弦定理得：，解得：或（舍去），则，因为，，所以△DEF为等边三角形，则，故三棱锥的体积；

（2）设，则，，由（1）知：，，取为空间中的一组基底，则，由第一问可知：

，

则

其中，且，，故，

由第一问可知，又是的中点，所以，所以，

因为三棱锥中，所以，所以，故直线AD与EM所成角范围为.

22．

（1）解：，

当时，或时，，时，，

所以的增区间是，，减区间是，

当时，，所以在上单调递增；

当时，或时，，时，，

所以的增区间是，，减区间是；

（2）解：①，因为函数有两个极值点，

所以有两个变号零点，

令，则，

当时，，单减，

当时，，单增，

所以函数在上递减，在上递增，

当时，，当时，，

所以只需即可，

所以；

②由已知，

则，令，得，

，

令，，则，

令，则，

所以函数在上递增，又因为，

所以当时，，即，所以函数在上递增，

由洛必达法则，，

所以的范围是.（仅供参考）